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上海市浦東區(qū)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,、分別為、的中點(diǎn),沿把折起,使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置,連接、,當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí),四棱錐的體積為()A. B. C. D.2.在中,,則=()A. B.C. D.3.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱,旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系,共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來,“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年,我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖,下列描述錯(cuò)誤的是()A.這五年,出口總額之和比進(jìn)口總額之和大B.這五年,2015年出口額最少C.這五年,2019年進(jìn)口增速最快D.這五年,出口增速前四年逐年下降4.是定義在上的增函數(shù),且滿足:的導(dǎo)函數(shù)存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.5.若函數(shù)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.7.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),且,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.8.如圖,棱長(zhǎng)為的正方體中,為線段的中點(diǎn),分別為線段和棱上任意一點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.9.已知甲盒子中有個(gè)紅球,個(gè)藍(lán)球,乙盒子中有個(gè)紅球,個(gè)藍(lán)球,同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換,(a)交換后,從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.(b)交換后,乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則()A. B.C. D.10.等比數(shù)列中,,則與的等比中項(xiàng)是()A.±4 B.4 C. D.11.已知集合,則等于()A. B. C. D.12.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn),則正數(shù)的取值范圍是______.14.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,則的取值范圍為__________.15.已知是拋物線的焦點(diǎn),是上一點(diǎn),的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn).若為的中點(diǎn),則_________.16.的展開式中,的系數(shù)為_______(用數(shù)字作答).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在平行四邊形中,,,現(xiàn)沿對(duì)角線將折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P,點(diǎn)M,N分別在直線,上,且A,B,M,N四點(diǎn)共面.(1)求證:;(2)若平面平面,二面角平面角大小為,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)為曲線上位于第一,二象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,射線交曲線分別于,求面積的最小值,并求此時(shí)四邊形的面積.19.(12分)近幾年一種新奇水果深受廣大消費(fèi)者的喜愛,一位農(nóng)戶發(fā)揮聰明才智,把這種露天種植的新奇水果搬到了大棚里,收到了很好的經(jīng)濟(jì)效益.根據(jù)資料顯示,產(chǎn)出的新奇水果的箱數(shù)x(單位:十箱)與成本y(單位:千元)的關(guān)系如下:x13412y51.522.58y與x可用回歸方程(其中,為常數(shù))進(jìn)行模擬.(Ⅰ)若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新奇水果的價(jià)格為150元/箱,試預(yù)測(cè)該新奇水果100箱的利潤(rùn)是多少元.|.(Ⅱ)據(jù)統(tǒng)計(jì),10月份的連續(xù)11天中該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.(i)若從箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)中隨機(jī)抽取2天,估計(jì)恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的概率;(ⅱ)求這11天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值.(每組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)參考數(shù)據(jù)與公式:設(shè),則0.541.81.530.45線性回歸直線中,,.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)設(shè),且當(dāng)時(shí),不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知矩形中,,E,F(xiàn)分別為,的中點(diǎn).沿將矩形折起,使,如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段,的中點(diǎn),連接.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線為,試求實(shí)數(shù),的值;(2)當(dāng)時(shí),若有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,,若不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
首先由題意得,當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,通過圖形發(fā)現(xiàn),的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設(shè)為梯形的外接圓圓心,當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過作的垂線交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,點(diǎn)必在上,、分別為、的中點(diǎn),則必有,,即為直角三角形.對(duì)于等腰梯形,如圖:因?yàn)槭堑冗吶切危?、、分別為、、的中點(diǎn),必有,所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心,即點(diǎn)與點(diǎn)重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題,關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個(gè)是一個(gè)難點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.2、B【解析】
在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)A項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年出口額和進(jìn)口額基本相等,而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額,則A正確;對(duì)B項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年出口額最少,則B正確;對(duì)C項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2019年進(jìn)口增速都超過其余年份,則C正確;對(duì)D項(xiàng),由統(tǒng)計(jì)圖可得,2015年到2016年出口增速是上升的,則D錯(cuò)誤;故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問題,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得,構(gòu)建新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù),從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù),故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數(shù),所以即,整理得到.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,一般地,數(shù)的大小比較,可根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù),本題屬于中檔題.5、B【解析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象,即可排除;對(duì)B滿足函數(shù)定義,故符合;對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒有原象,故可否定.故選B.6、D【解析】
利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為即可得到答案.【詳解】因?yàn)?,,,所以的周期?,故,故的虛部為2,A錯(cuò)誤;在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限,B錯(cuò)誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯(cuò)誤;,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),是一道基礎(chǔ)題.7、A【解析】
根據(jù)題意求得參數(shù),根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意,得,故,故,,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查推理論證能力,屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】
取中點(diǎn),過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當(dāng)時(shí),最小,由,故,即可求解.【詳解】取中點(diǎn),過作面,如圖:則,故,而對(duì)固定的點(diǎn),當(dāng)時(shí),最?。藭r(shí)由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.9、A【解析】分析:首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù),對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果,從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小,再者就是對(duì)隨機(jī)變量的值要分清,對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì),利用公式求得其期望.詳解:根據(jù)題意有,如果交換一個(gè)球,有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球,紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況;如果交換的是兩個(gè)球,有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán),對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況,所以分析可以求得,故選A.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問題,在解題的過程中,需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白,對(duì)應(yīng)的概率會(huì)算,以及變量的可取值會(huì)分析是多少,利用期望公式求得結(jié)果.10、A【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得,即可得出.【詳解】設(shè)與的等比中項(xiàng)是.
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,.
∴與的等比中項(xiàng)
故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
先化簡(jiǎn)集合A,再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)?,,所?故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對(duì)值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對(duì)于命題q,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),,由,得,無解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯(cuò)誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯(cuò)誤;為真命題,D錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、;【解析】
求出函數(shù)的零點(diǎn),讓正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列,第三個(gè)正數(shù)零點(diǎn)落在區(qū)間上,第四個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間外即可.【詳解】由,得,,,,∵,∴,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)零點(diǎn),然后題意,把正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列,由于0已經(jīng)是一個(gè)零點(diǎn),因此只有前3個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上.由此可得的不等關(guān)系,從而得出結(jié)論,本題解法屬于中檔題.14、【解析】
真數(shù)有最小值,根據(jù)已知可得的范圍,求出函數(shù)的最小值,建立關(guān)于的不等量關(guān)系,求解即可.【詳解】,且(且)有最小值,,的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由題意可得,又由于為的中點(diǎn),且點(diǎn)在軸上,所以可得點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入拋物線方程中可求點(diǎn)的縱坐標(biāo),從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn),所以,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),而點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,所以,所以,解得,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為所以,故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的性質(zhì),中點(diǎn)坐標(biāo)公式,屬于基礎(chǔ)題.16、60【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng),即可求得的系數(shù).【詳解】因?yàn)?,所以,則所求項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:60【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用,指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)余弦定理,可得,利用//,可得//平面,然后利用線面平行的性質(zhì)定理,//,最后可得結(jié)果.(2)根據(jù)二面角平面角大小為,可知N為的中點(diǎn),然后利用建系,計(jì)算以及平面的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)不妨設(shè),則,在中,,則,因?yàn)?,所以,因?yàn)?/,且A、B、M、N四點(diǎn)共面,所以//平面.又平面平面,所以//.而,.(2)因?yàn)槠矫嫫矫?,且,所以平面,,因?yàn)?,所以平面,,因?yàn)?,平面與平面夾角為,所以,在中,易知N為的中點(diǎn),如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則由,令,得.設(shè)與平面所成角為,則.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理以及線面角,熟練掌握利用建系的方法解決幾何問題,將幾何問題代數(shù)化,化繁為簡(jiǎn),屬中檔題.18、(1);(2)面積的最小值為;四邊形的面積為【解析】
(1)將曲線消去參數(shù)即可得到的普通方程,將,代入曲線的極坐標(biāo)方程即可;(2)由(1)得曲線的極坐標(biāo)方程,設(shè),,,利用方程可得,再利用基本不等式得,即可得,根據(jù)題意知,進(jìn)而可得四邊形的面積.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))消去參數(shù)得曲線的極坐標(biāo)方程為,即,所以,曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)依題意得的極坐標(biāo)方程為設(shè),,,則,,故,當(dāng)且僅當(dāng)(即)時(shí)取“=”,故,即面積的最小值為.此時(shí),故所求四邊形的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(Ⅰ)1131;(Ⅱ)(i);(ⅱ)125箱【解析】
(Ⅰ)根據(jù)參考數(shù)據(jù)得到和,代入得到回歸直線方程,,再代入求成本,最后代入利潤(rùn)公式;(Ⅱ)(?。┦紫确謩e計(jì)算水果箱數(shù)在和內(nèi)的天數(shù),再用編號(hào)列舉基本事件的方法求概率;(ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)題意,,所以,所以.又,所以.所以時(shí),(千元),即該新奇水果100箱的成本為8314元,故該新奇水果100箱的利潤(rùn).(Ⅱ)(i)根據(jù)頻率分布直方圖,可知水果箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)為設(shè)這兩天分別為a,b,水果箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)為,設(shè)這四天分別為A,B,C,D,所以隨機(jī)抽取2天的基本結(jié)果為,,,,,,,,,,,,,,,共15種.滿足恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的結(jié)果為,,,,,,,,共8種,所以估計(jì)恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的概率為.(ⅱ)這11天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值為(箱).【點(diǎn)睛】本題考查考查回歸直線方程,統(tǒng)計(jì),概率,均值的綜合問題,意在考查分析數(shù)據(jù),應(yīng)用數(shù)據(jù),解決問題的能力,屬于中檔題型.20、(1);(2).【解析】
(1)通過分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),進(jìn)而解不等式組求得結(jié)果;(2)將不等式整理為,根據(jù)能成立思想可知,由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),可化為,由,解得;由,解得;由,解得.綜上所述:所以原不等式的解集為.(2),,,,有解,,即,又,,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解、根據(jù)不
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