《神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)》課件第11章

11.1多尺度分析11.2小波變換

11.3小波包變換

11.4小波分析在信號處理中的應(yīng)用11.5小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)11.6小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在電纜故障識別中的應(yīng)用11.7小結(jié)習(xí)題

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是近幾年國際上的研究熱點(diǎn)。小波分析在信號去噪、信號奇異點(diǎn)檢測及信號發(fā)展趨勢檢測等方面具有其它分析方法無可比擬的優(yōu)勢。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對任意線性和非線性具有良好的逼近性，又具有很強(qiáng)的模式識別、自適應(yīng)預(yù)報(bào)和故障診斷能力。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)綜合了小波與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點(diǎn)，成為目前眾多科技工作者關(guān)心的課題。本章介紹了小波分析，引入了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及其在電纜故障識別中的應(yīng)用，給出了信號奇異點(diǎn)檢測、信號消噪及故障識別的仿真程序和執(zhí)行結(jié)果實(shí)例。11.1多尺度分析

多尺度分析是小波分析理論中的重要內(nèi)容。多尺度分析又稱為多分辨率分析，它從函數(shù)空間的角度來研究信號的多尺度表示，將信號分解到尺度空間和小波空間中[41]。

1986年，S.Mallat和Y.Meyer提出了多尺度分析的概念，簡稱MRA(MultipleResolutionAnalysis)，它是理解和構(gòu)造小波的統(tǒng)一框架，無論在理論分析還是在實(shí)際應(yīng)用中，它都十分重要。智能控制是控制科學(xué)發(fā)展的高級階段，是一門新興的交叉前沿學(xué)科。它具有極為廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，例如航空航天載人衛(wèi)星的精確導(dǎo)航控制、智能機(jī)器人柔性控制、深海石油鉆機(jī)的智能監(jiān)測監(jiān)控、智能過程控制、智能調(diào)度與規(guī)劃、專家控制系統(tǒng)、智能故障診斷與定位、醫(yī)療內(nèi)鏡監(jiān)控智能儀器及柔性自動制造系統(tǒng)的智能控制等。1.1智能控制的基本概念

1.智能控制的定義

智能控制有多種定義。從信息的角度來看，所謂智能，可具體地定義為能有效地獲取、傳遞、處理、再生和利用信息，從而在任意給定的環(huán)境下成功地達(dá)到預(yù)定目的的能力?？梢钥闯觯悄艿暮诵氖且环N思維的活動。

設(shè)Z表示整數(shù)集，x(t)表示函數(shù)或信號，多尺度分析是指滿足下列性質(zhì)的一系列閉子空間{Vn}n∈Z[43]：

(1)單調(diào)性：；

(2)逼近性：；

(3)伸縮性：函數(shù)；

(4)平移性：；

(5)正交基存在性：存在，使得

構(gòu)成V0的正交基，即

對進(jìn)行伸縮和平移生成多尺度空間(11-1)(11-2)稱為多尺度分析的尺度函數(shù)。對于存在唯一序列，使得(11-3)，反之，若，則存在E2>E1>0，有(11-4)根據(jù)多尺度分析的概念和補(bǔ)空間的定義可以建立小波空間Wn的概念。若,,,

即,則稱Wn是Vn在Vn+1中的小波空間。有了這一概念，L2(R)可分解為小波空間{Wn}的和，即(11-5)由于小波空間Wn是兩個相鄰空間的差，因此小波空間Wn又稱為細(xì)節(jié)空間，對應(yīng)的是高頻部分，Vn對應(yīng)低頻部分。

多尺度分析的思路是：在尺度n+1下的函數(shù)或信號x∈Vn+1，可分解為高頻部分Wn和低頻部分Vn，然后將Vn進(jìn)行再分解，又分為高頻部分Wn-1和低頻部分Vn-1。如此反復(fù)，可將信號x(t)分解到任意空間中，即(11-6)(11-7)11.2小波變換小波分析是近20多年來迅速發(fā)展起來的一門新興學(xué)科，是Fourier分析劃時代的發(fā)展成果，是目前國際上公認(rèn)的最新時間頻率分析工具，是架在各尺度之間的橋梁。小波分析不僅吸收了Gabor窗口Fourier變換對信號具有一定程度的局域性分析的優(yōu)點(diǎn)，而且通過對伸縮系數(shù)的改變實(shí)現(xiàn)了對窗口形狀和大小的改變[3]

。

雖然第一個小波是1910年Haar在一篇論文里描述Hilbert空間特性時給出的，但是小波變換的概念是1984年由法國地球物理學(xué)家J.Morlet首先提出的。隨后，物理學(xué)家D.Gcrossmann在Morlet研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對信號按一個確定函數(shù)的伸縮、平移展開的可行性進(jìn)行研究。1986年法國數(shù)學(xué)家Y.Meyer創(chuàng)造性地構(gòu)造出第一個真正的小波，并與S.

Mallat合作建立了構(gòu)造小波的統(tǒng)一方法，即多尺度分析。1987年，Mallat將計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的多尺度思想引入到小波函數(shù)的構(gòu)造及信號的小波分解與重構(gòu)中，并研究了小波變換的離散化算法，即Mallat算法。

1989年，Mallat將以前分布在各領(lǐng)域的小波統(tǒng)一在一個框架下。同時，Mallat又提出了塔式分解和重構(gòu)算法，這極大地促進(jìn)了小波在信號處理中的應(yīng)用。20世紀(jì)90年代，小波理論與各領(lǐng)域應(yīng)用進(jìn)一步結(jié)合，Wickerhauser和Coifman等提出了小波包的概念，使得小波分析不僅可以對信號的低頻分量進(jìn)行分解，而且可以對信號的高頻分量進(jìn)行分解，從而達(dá)到了對信號任意頻段的聚焦，信號的分析更加靈活方便。

在應(yīng)用方面，Donoho提出的基于離散小波變換的非線性去噪和壓縮方法，已被成功地用于圖像處理、信號檢測、波形估計(jì)和高分辨譜估計(jì)等諸多領(lǐng)域。Mallat等構(gòu)造的對信號奇異點(diǎn)敏感的非正交小波，已用于信號的奇異性檢測和圖像的邊緣提取[4]

。在故障診斷方面，通過對信號進(jìn)行小波變換，利用小波變換對信號奇異點(diǎn)的敏感性，以模極大值描述故障特征，最后確定出故障的類型與位置。

下面將對小波變換的基本概念進(jìn)行簡單介紹。

1.基本小波

基本小波又稱母小波，其數(shù)學(xué)定義為：設(shè)，其Fourier變換為，如果滿足,則稱

為基本小波或母小波?；拘〔ㄋ哂械男再|(zhì)如下：

(1)帶通性。當(dāng)ω→0時,，意味著信號在零頻處為0。因此，基本小波是一個帶通或高通濾波器。

(2)零均值。若ω=0時，ψ(ω)=0,則有

由此可知，基本小波函數(shù)的直流分量為零。

(3)波動性?；拘〔ㄊ钦?fù)交替的且正負(fù)方向的波動互相抵消。

(4)局部化。選擇小波除了必須滿足

的允許條件外，其能量還必須在時頻內(nèi)集中，這樣便于分析。

目前已有數(shù)十種小波應(yīng)用于各個領(lǐng)域。圖11-1給出了MathWork公司推出的MATLAB軟件中提供的db7小波函數(shù)及其尺度函數(shù)圖形。(11-8)圖11-1db7小波函數(shù)及其尺度函數(shù)圖形

2.小波基函數(shù)

小波基函數(shù)是將基本小波進(jìn)行某種平移和伸縮得到的，其數(shù)學(xué)定義為

式中稱為小波基函數(shù);a,τ分別稱為尺度因子和平移因子，二者都是連續(xù)變化的;式中的作用是保持拉伸后的函數(shù)能量不變[5]

。(11-9)

3.連續(xù)小波變換

連續(xù)小波變換的基本思想就是將小波基函數(shù)作用于待分析的信號x(t)，即將x(t)與伸縮的小波基函數(shù)作內(nèi)積。其數(shù)學(xué)定義為：設(shè)x(t)∈L2(R)，ψ(t)為基本小波，a,τ∈R，則連續(xù)小波變換為

(11-10)

式中，ψ*表示基本小波函數(shù)ψ的共軛函數(shù)。

Wf(a,τ)稱為小波變換系數(shù)。由于連續(xù)小波變換中的尺度因子、平移因子和時間都是連續(xù)的，因而該方法往往只適用于理論分析。

4.離散小波變換

實(shí)際中采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)字處理，因此必須將連續(xù)小波變換進(jìn)行離散化。離散小波變換是相對于連續(xù)小波變換而言的，實(shí)質(zhì)上是對尺度因子a和平移因子τ進(jìn)行離散化，而不

是對時間進(jìn)行離散化[42]

。其中，較為典型和普遍被認(rèn)可的離散方式是：

(1)尺度因子按冪級數(shù)進(jìn)行離散化，即

(11-11)

(2)在同一尺度下，平移因子均勻離散化，即

(11-12)

式中，n、k為整數(shù)，a0>0，τ0>0。將離散后的尺度因子和平移因子帶入連續(xù)小波基函數(shù)和連續(xù)小波變換公式中,得到離散小波基函數(shù)和離散小波變化分別為

(11-13)(11-14)若取a0=2，τ0=1，即a=2n，τ=2nk,則可得到二進(jìn)小波基函數(shù)和二進(jìn)小波離散變化，分別為(11-15)(11-16)

5.Mallat算法

Mallat算法是實(shí)現(xiàn)多尺度分析理論的一種簡便、高效、易于編程的算法，可以快速算出不同空間中的小波系數(shù)[48]

。

設(shè)信號x(t)在尺度空間Vn和小波空間Wn的投影分別為和，有(11-17)(11-18)式中和分別為尺度函數(shù)和小波函數(shù)；cn,k和dn,k分別為尺度系數(shù)和小波系數(shù)，通常將cn,k和dn,k統(tǒng)稱為小波系數(shù)。

設(shè)尺度函數(shù)滿足的雙尺度方程為

小波函數(shù)為(11-19)(11-20)，令，，上兩式改寫為(11-21)式中和分別是低通濾波系數(shù)和高通濾波系數(shù)。對上式兩端作Fourier變換，有(11-22)其中(11-23)式(11-22)和式(11-23)表明，在G(ω)的作用下頻率范圍縮為原來的一半，即，因此可以將G(ω)理解成低通濾波器的頻域表現(xiàn)，它在頻域中的濾波效果是通過時域中的內(nèi)積來實(shí)現(xiàn)的。同理，H(ω)可以理解成高通或帶通濾波器的頻域表現(xiàn)，它在頻域中的濾波效果是通過時域中的內(nèi)積來實(shí)現(xiàn)的。圖11-2為信號的濾波過程示意圖。圖11-2信號濾波過程示意圖對于固定的尺度n，在是標(biāo)準(zhǔn)正交基的條件下，由已知的{cn+1,k}、{gk}和{hk}，求尺度空間的系數(shù){cn,k}和小波空間的系數(shù){dn,k}，推導(dǎo)如下：

由式(11-21)有(11-24)利用上式得(11-25)同理可推得(11-26)從上面的分析可以看出，當(dāng)已知大的空間Vn+1中的系數(shù)時，便可計(jì)算出小的空間Vn和Wn空間中的系數(shù)。圖11-3為分解算法結(jié)構(gòu)示意圖。圖11-3分解算法結(jié)構(gòu)示意圖原始信號x(t)與各層次分解成分之間的關(guān)系可用圖11-4所示的小波分解樹表示。圖11-4小波分解樹原始信號x(t)與各層次分解成分之間的關(guān)系可描述如下：

x(t)=A1+D1=A2+D2+D1=A3+D3+D2+D1(11-27)

小波重構(gòu)算法是分解算法的逆過程，即

6.小波變換的時頻特性

我們已經(jīng)知道，小波變換就是把某一個基本小波函數(shù)

位移(t-k)后，在不同的尺度n上與被分析信號x(t)∈L2(R)作內(nèi)積[49]

，即

式中，表示基本小波函數(shù)的共軛函數(shù)。(11-29)上式對應(yīng)的頻域形式為(11-30)小波函數(shù)是一個雙窗函數(shù)，其時—頻窗的中心在(tc,ωc)，且(11-31)(11-32)小波函數(shù)的時窗半徑和頻窗半徑分別為Δt和Δω，且(11-33)(11-34)若用分別表示a=1、τ=0時的時窗和頻窗的中心和半徑，則(11-35)相應(yīng)的頻域表達(dá)式為(11-36)(11-37)(11-38)因此，平移和縮放后的小波函數(shù)的時、頻中心分別為(11-39)(11-40)小波函數(shù)的時頻窗口和半徑分別為(11-41)(11-42)由此可見，小波函數(shù)被壓縮1/a變?yōu)闀r，其頻窗半徑被拉寬為原來的a倍。用作窗函數(shù)時，小波變換能在時頻局部范圍內(nèi)分析信號。此時，時、頻窗中心為(11-43)時窗寬度為(11-44)頻窗寬度為(11-45)時-頻窗面積為(11-46)由此可見，信號x(t)的小波變換Wx(a,t)是關(guān)于平移參數(shù)的時域函數(shù)，因?yàn)樾〔ㄗ儞Q是在保持尺度參數(shù)a固定、讓平移參數(shù)t自由的情況下進(jìn)行的。由于是頻域函數(shù)，信號x(t)的小波變換Wx(a,t)實(shí)際上是被限制在頻窗這個子頻帶范圍內(nèi)的時域函數(shù)。從小波函數(shù)的參數(shù)選擇方面看，當(dāng)尺度a較大時，頻窗中心自動地調(diào)整到較高的頻率中心位置，而且時-頻窗的形狀自動得變?yōu)榀l窄狀，這恰好符合信號中的高頻信號在很短的時域范圍內(nèi)幅值變化大的特性。相反，當(dāng)尺度a較小時，頻窗中心自動地調(diào)整到較低的頻率中心位置，而且時-頻窗的形狀自動得變?yōu)楸馄綘?，這恰好符合信號中的低頻信號在較長的時域范圍內(nèi)幅值變化相對不大的特性。小波函數(shù)的時-頻窗刻畫了小波的時-頻局部化特性。信號x(t)的小波變換尺度與信號x(t)的頻率之間存在對應(yīng)關(guān)系。粗略地說，尺度a越小，小波函數(shù)衰減得越快，頻率越高；尺度a越大，小波函數(shù)衰減得越慢，頻率越低。對于離散二進(jìn)小波變換，頻率和尺度之間有存在著上述準(zhǔn)確對應(yīng)關(guān)系。但是，對于連續(xù)小波變換來說，只能從廣義上描述這種對應(yīng)關(guān)系：

式中，a為尺度；D為采樣間隔；fc為小波的中心頻率,單位為Hz；fa為偽頻率。

基于小波變換的信號多分辨分析是利用兩組濾波器系數(shù)和，將信號x(t)分解為近似分量和細(xì)節(jié)分量。我們把該近似分量和細(xì)節(jié)分量稱為信號x(t)在尺度a上的表現(xiàn)或?qū)哟蝞上的表現(xiàn)，其中a=2n。若采樣頻率為f，則信號的近似分量是經(jīng)過濾波器作用后的頻率介于的分量，細(xì)節(jié)部分則是經(jīng)過濾波器作用后的頻率介于的分量。連續(xù)對信號的近似分量進(jìn)行小波分解，可得到頻率介于范圍的近似分量和頻率介于范圍的細(xì)節(jié)分量。11.3小波包變換

在實(shí)際應(yīng)用中，不僅需要對信號的低頻部分進(jìn)行再次分解，有時也需要對信號的高頻部分進(jìn)行再次分解[50]。設(shè)空間{Vn}是L2(R)的多分辨分析，f(t)和是相應(yīng)的正交尺度函數(shù)和正交小波函數(shù)，和滿足的尺度方程為(11-48)(11-49)若記，，則式(11-48)和式(11-49)變?yōu)?11-50)(11-51)那么，由尺度函數(shù)確定的正交小波包是由

所定義的函數(shù)集合。由于尺度函數(shù)

是由濾波器惟一確定，所以小波包也是的正交小波包。(11-52)(11-53)設(shè)是空間{Vn}的正交尺度函數(shù)生成的小波包，用以下方式生成子空間

那么，空間是信號x(t)的尺度空間Vn和電纜故障行波信號的小波空間Wn的推廣。由于，則(11-54)(11-55)(11-56)(11-57)式(11-57)的一般推廣形式為(11-58)設(shè)L2(R)中的信號，則可以表示為(11-59)又因?yàn)?，所?/p>

式中，，，且(11-60)(11-61)(11-62)由于(11-63)信號為(11-64)由上可得(11-65)(11-66)式(11-65)和(11-66)就是信號x(t)的Mallat小波包分解算法。它們表示若已知信號x(t)在尺度n上的某子空間基上的系數(shù)，就可以算出在尺度n-1上的相應(yīng)的系數(shù)和，而并不需要知道小波函數(shù)的具體表達(dá)式，只需要知道濾波器的系數(shù)gk和hk。在實(shí)際應(yīng)用中，信號往往是序列形式。與信號的小波變換相似，被近似地看作是信號x(t)在尺度空間Vj上的投影系數(shù)的組合，即(11-67)其中(11-68)信號x(t)的小波包系數(shù)就是信號x(t)在各小波包子空間中的投影系數(shù)。圖11-5為信號x(t)的小波包分解樹。圖11-5小波包分解樹原始信號x(t)與各層次分解成分之間的關(guān)系可描述如下：

x(t)=A1+D1

=(AA2+DA2)+(AD2+DD2)

=[(AAA3+DAA3)]+[(ADA3+DDA3)]

+[(AAD3)+(DAD3)]+[(ADD3)+(DDD3)]

(11-69)11.4小波分析在信號處理中的應(yīng)用

11.4.1信號奇異點(diǎn)檢測仿真信號突變點(diǎn)往往包含的信息量最多，也是分析、解決問題的重點(diǎn)。設(shè)h(t)是信號x(t)和濾波器g(t)的卷積，即有h(t)=x(t)*g(t)，根據(jù)Fourier變換的性質(zhì)有(11-70)因此,有h′(t)=x′(t)*g(t)=x(t)*g′(t)(11-71)可以得出，信號的導(dǎo)數(shù)與濾波器的卷積結(jié)果可以看成是濾波器的導(dǎo)數(shù)與信號的卷積。設(shè)濾波函數(shù)g(t)是一個起平滑作用的低通平滑函數(shù)，且滿足條件(11-72)通常選g(t)為高斯函數(shù)，即(11-73)假設(shè)g(t)二次可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為(11-74)(11-75)由于、滿足小波允許條件，因此高斯函數(shù)g(t)的導(dǎo)函數(shù)可以作小波基函數(shù)。由于小波變換就是將原始信號x(t)用伸縮小波進(jìn)行卷積得到的，于是有(11-77)(11-76)由此可見，小波變換分別是信號x(t)在尺度a下由g(t)平滑后再取一階、二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)將小波函數(shù)看做某一平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)時，信號小波變換模的局部極值點(diǎn)對應(yīng)信號的突變點(diǎn)。當(dāng)小波函數(shù)可看做某一平滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時，信號小波變換模的過零點(diǎn)對應(yīng)著突變點(diǎn)。通常采用檢測小波變換系數(shù)的模極大值檢測信號的突變點(diǎn)。定義如下：設(shè)是信號x(t)的小波變換，在尺度a下，若對于任意τ，τ∈(t0-a,t0+a),存在

(11-78)

則t0是在尺度a下的局部模極大值點(diǎn)，為局部模極大值。小波變換模極大值與信號的奇異點(diǎn)是對應(yīng)的。用小波變換檢測信號奇異點(diǎn)的過程一般分為兩步：信號分解和模極大值點(diǎn)確定。首先，對信號進(jìn)行多尺度小波分解，得到信號的各子頻帶系數(shù)。然后，對高頻部分進(jìn)行重構(gòu)。信號發(fā)生突變時，相應(yīng)的小波系數(shù)會出現(xiàn)模極大值，以此確定出信號奇異點(diǎn)的位置。這樣就達(dá)到了奇異點(diǎn)檢測的目的。

【例11-1】用小波分析檢測含有故障信息的電壓信號的奇異點(diǎn)。

MATLAB程序如下(在光盤中對應(yīng)的源程序?yàn)镕LCH11eg1)：

t=0:0.0001:0.5;

s1=380*(sin(314*t));

%產(chǎn)生正常電壓信號

s2=zeros(1,5001);

%產(chǎn)生零序列

s2(2000)=5;

%在零序列中產(chǎn)生奇異點(diǎn)

s3=s1-s2;

%產(chǎn)生含有故障信息的電壓信號

figure(1)

%圖1subplot(3,1,1),plot(s1),ylabel(‘s1/V’),

%title(‘s1=380sin(314*t)/V’);繪出正常電壓信號

subplot(3,1,2),plot(s2),ylabel(‘s2/V’),

%title(‘s2(k)=0,excepts2(k)=5/V,k=2000’);繪奇異點(diǎn)

subplot(3,1,3),plot(s3),ylabel(‘s3/V’),

%title(‘s3=s1-s2’);繪出含有故障信息的電壓信號

[c,l]=wavedec(s3,3,‘db4’);

%用db4小波對信號進(jìn)行第層分解s=a3+d3+d2+d1

figure(2);

%圖2subplot(4,1,1),plot(s3),ylabel('VotageSignals3/V');

d1=wrcoef('d',c,l,'db4',1);

%取出信號第1層的細(xì)節(jié)部分

subplot(4,1,2),plot(d1),ylabel('d1');

%繪出信號第1層的細(xì)節(jié)部分

d2=wrcoef('d',c,l,'db4',2);

%取出信號第2層的細(xì)節(jié)部分

subplot(4,1,3),plot(d2),ylabel('d2');

%繪出信號第2層的細(xì)節(jié)部分

d3=wrcoef('d',c,l,'db4',3);

%取出信號第3層的細(xì)節(jié)部分

subplot(4,1,4),plot(d3),ylabel('d3')

%繪出信號第3層的細(xì)節(jié)部分

電壓信號的奇異點(diǎn)檢測示意圖如圖11-6所示。在本例中，我們用db4小波將信號分解到第3層，來檢測其中的奇異點(diǎn)。由示意圖可以看出，本例中的原始電壓信號在外觀上是一條光滑的曲線，但實(shí)際上它含有奇異點(diǎn)。信號分解的第1、2、3層的細(xì)節(jié)部分均能清晰地顯示出奇異點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，即奇異點(diǎn)在第2000個采樣點(diǎn)處。圖11-6奇異點(diǎn)檢測示意圖11.4.2信號消噪仿真

在實(shí)際系統(tǒng)中，所采集到有用信號通常夾雜著噪聲信號。有用信號一般是一些比較平穩(wěn)的信號或是低頻信號，噪聲信號通常為高頻信號。當(dāng)有用信號是非平穩(wěn)信號且有一定的

奇異性時，傳統(tǒng)的傅里葉變換已不適應(yīng)對其進(jìn)行去噪處理，小波變換因其具有時間和頻域上的自適應(yīng)性而能夠有效地區(qū)分信號中的噪聲和突變部分，從而實(shí)現(xiàn)對這種非平穩(wěn)信號的消噪。小波消噪過程一般分為兩步：信號分解和信號重構(gòu)。首先，將信號進(jìn)行多尺度小波分析，得到信號的各子頻帶，噪聲部分通常包含在各級子頻帶中。然后，通過設(shè)置閾值的方法對高頻子帶的小波系數(shù)進(jìn)行處理，對處理后的信號進(jìn)行重構(gòu)。這樣就達(dá)到了信號消噪的目的。

【例11-2】用小波包分析對染噪的電壓信號進(jìn)行消噪處理。

MATLAB程序如下(在光盤中對應(yīng)的程序?yàn)镕LCH11eg2)：

t=0:0.00005:0.018;

so=380*(sin(314*t));%原始信號

sn=randn(size(so));%噪聲信號

s=so+30*sn;%染噪信號

figure(1)subplot(2,2,1),plot(so),ylabel(‘原始信號so/V’);

%繪出原始信號

subplot(2,2,2),plot(s),ylabel(‘染噪信號sn/V’);

%繪出染噪信號

[thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp('den','wp',s);

%采用默認(rèn)閾值進(jìn)行消噪處理

[c,treed,perf0,perf12]=wpdencmp(s,sorh,3,'db5',crit,thr,keepapp);%用全局閾值消噪處理

subplot(2,2,3),plot(c),ylabel(‘默認(rèn)閾值消噪后的信號c/V’);

%繪出默認(rèn)閾值消噪信號

thr=thr+100;

%調(diào)節(jié)閾值

[c1,treed,perf0,perf12]=wpdencmp(s,sorh,3,

‘db5’,crit,thr,keepapp);

%調(diào)節(jié)閾值消噪

subplot(2,2,4),plot(c1),ylabel('調(diào)節(jié)閾值后的消噪信號c1/V')染噪的電壓信號消噪處理示意圖如圖11-7所示。由示意圖可以看出，默認(rèn)閾值的消噪效果一般不能達(dá)到理想狀態(tài)，閾值的選取直接關(guān)系到消噪的質(zhì)量。圖11-7信號消噪示意圖11.5小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的一個重要的發(fā)展方向就是與小波分析、混沌理論及模糊集等非線性理論相結(jié)合。

Pati和Krishnaprasad最早研究了小波變換和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之間的聯(lián)系，提出了離散仿射小波模型網(wǎng)絡(luò)。其基本思想是將離散小波變換引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，通過對Sigmoid激發(fā)函數(shù)的伸縮平移構(gòu)成L2(R)中的仿射框架，進(jìn)而構(gòu)造小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。1992年小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概念被正式提出，用小波伸縮和平移得到的小波元函數(shù)作為神經(jīng)元的激發(fā)函數(shù)，用隨機(jī)梯度算法對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練以實(shí)現(xiàn)對函數(shù)的逼近。隨后，Szu等又提出了基于連續(xù)小波變換的兩種自適應(yīng)小

波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。一種用于信號表示，偏重于函數(shù)逼近；另一種偏重于選擇合適的小波進(jìn)行特征提取，而后與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合。1993年，R.Bakshi提出了多分辨小波網(wǎng)絡(luò)的設(shè)想。R.Bakshi將尺度函數(shù)和小波函數(shù)共同應(yīng)用于小波網(wǎng)絡(luò)中，給出了網(wǎng)絡(luò)全局誤差和局部誤差的指標(biāo)?，F(xiàn)在也有人用小波分析對信號進(jìn)行預(yù)處理，即以小波空間作為模式識別的空間，提取特征向量，而后送入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理[11]

。由于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)既具有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)以及對非線性輸入、輸出關(guān)系的任意逼近能力，又具有優(yōu)越的小波分析的時頻特征提取能力，使得它成為人們十分關(guān)注的熱門交叉學(xué)科，涉及生物、電子、人工智能等多種學(xué)科和技術(shù)，應(yīng)用前景廣闊。

目前，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)大致可以概括為以下兩大類。

(1)松散結(jié)合：將小波分析作為常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前置處理手段，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供特征向量，二者雖然彼此緊密相聯(lián)，但卻又相對獨(dú)立。其結(jié)構(gòu)如圖11-8所示。圖11-8松散結(jié)合小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(2)緊密結(jié)合：將小波和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接融合的一種方式，即將常規(guī)單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱節(jié)點(diǎn)函數(shù)由小波函數(shù)代替，相應(yīng)的輸入層到隱層的權(quán)值及隱層閾值分別由小波函數(shù)的尺度與平移參數(shù)所代替，如圖11-9所示。圖11-9緊密結(jié)合小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠較好地完成模式識別任務(wù)，一個重要原因就是小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)崿F(xiàn)非線性變換，把輸入信號空間變換到由其隱含層輸出所張成的空間，使在這個空間中分類問題變得比較容易。這種變換把一種特殊的特征提取準(zhǔn)則最大化，或者認(rèn)為這種變換是一種特殊的特征提取器。設(shè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類器有d個輸入節(jié)點(diǎn)，即輸入向量X=[x1,x2,…,xd]T∈Rd，訓(xùn)練樣本總數(shù)為n，網(wǎng)絡(luò)的最后一個隱含層

有m個節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)的輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)為c。對于某個輸入向量X，最后隱含層節(jié)點(diǎn)的輸出為oi(i=1,2,…,m)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為Y=[y1,y2,…,yc]T。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層節(jié)點(diǎn)的輸出為

式中，woi和wji分別是第i個輸出節(jié)點(diǎn)的偏移量和第j個隱含節(jié)點(diǎn)到第i個輸出節(jié)點(diǎn)的權(quán)值[1]。

(11-79)對于輸入樣本X，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的希望輸出為T，設(shè)第i個輸出節(jié)點(diǎn)的希望輸出為ti，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的均方誤差函數(shù)E為

若所有輸出節(jié)點(diǎn)的偏移量記作w0，所有權(quán)值組成的矩陣記作W，有(11-80)(11-81)式中，T和Y分別是ti和yi組成的c×n矩陣；O是Oi(Xi)組成的m×n矩陣；In表示某個分量都是1的n維列向量。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的目標(biāo)是通過一定的算法使誤差函數(shù)E最小[13]

。

用輸出偏移量w0求E最小值,得到

式中，md和mo分別是網(wǎng)絡(luò)希望輸出與隱含層節(jié)點(diǎn)輸出的均值。(11-82)將式(11-82)代入式(11-81),得到(11-83)式中，tr表示矩陣的跡；；。根據(jù)相關(guān)偽逆的原理，有(11-84)式中，表示的偽逆。將式(11-84)代入式(11-83)得(11-85)對于固定的輸出編碼，是固定的。因此，誤差函數(shù)E最小就等價于使準(zhǔn)則函數(shù)J

(11-86)最大。如果定義(11-87)(11-88)那么，準(zhǔn)則函數(shù)J可以寫成與傳統(tǒng)的判別分析和特征提取準(zhǔn)則相似的形式[14]

，即

式中，SD實(shí)際上就是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最后一個隱含層輸出所張成的空間上訓(xùn)練樣本的混合散度矩陣，也就是樣本集的總體協(xié)方差矩陣；SB是一種加權(quán)的類間散度矩陣。(11-89)可見，采用均方誤差最小準(zhǔn)則的線性輸出多層感知器可以看做是由兩部分組成的。第一部分是輸出層以外的其它所有層，它們完成的是一種對輸入信號的非線性特征提取的功能，將輸入空間變化到隱含層輸出空間，使函數(shù)最大化，從而使樣本在這個空間具有最好的可分性；第二部分就是輸出節(jié)點(diǎn)，它們完成線性分類決策[15]

。與傳統(tǒng)方法中先進(jìn)行特征提取再進(jìn)行分類器設(shè)計(jì)的步驟不同，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是同時進(jìn)行這兩個步驟的。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特性由拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、節(jié)點(diǎn)特性和訓(xùn)練規(guī)則決定。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則能充分利用輸入信號的各種信息對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，最后獲得輸入與輸出之間的映射關(guān)系。當(dāng)輸入信息發(fā)

生變化時，這種映射關(guān)系還可以自動適應(yīng)環(huán)境變化，實(shí)現(xiàn)對輸入與輸出的進(jìn)一步逼近。

11.6小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在電纜故障識別中的應(yīng)用

社會的飛速發(fā)展使得電纜線路已延伸至社會的各個角落。保障電纜線路安全運(yùn)行是一個亟待解決的問題，實(shí)現(xiàn)電纜絕緣狀態(tài)的監(jiān)測及電纜故障的在線診斷，是我國近年的熱門研究領(lǐng)域，具有迫切的現(xiàn)實(shí)意義。電纜故障類型的正確識別不僅對于電纜故障的定位方法的選取非常重要，而且為電纜故障修復(fù)方法的選取提供決策依據(jù)。11.6.1小波變換提取特征

特征的選擇和提取是構(gòu)造電纜故障模式識別系統(tǒng)最困難的任務(wù)之一。這是因?yàn)樵趯?shí)際電纜故障定位問題中常常不容易找到那些最重要的特征，或受條件的限制不能對它們進(jìn)行測量。電纜故障特征的品質(zhì)強(qiáng)烈地影響分類器的設(shè)計(jì)及其性能。當(dāng)不同類別的特征之間的差別較大時，就比較容易設(shè)計(jì)出高性能的分類器；相反，當(dāng)不同類別的特征之間的差別不明顯時，就很難設(shè)計(jì)出高性能的分類器。因此，特征的選擇和提取已經(jīng)越來越受到人們的重視，成為模式識別中的一個關(guān)鍵問題。

電纜故障的原始特征是用儀表或傳感器對故障電纜進(jìn)行測量或是通過計(jì)算而得到的。常見的原始特征可分為物理特征、結(jié)構(gòu)特征和數(shù)學(xué)特征三種類型。這樣的特征容易被視覺、觸覺或其它感覺器官所發(fā)現(xiàn)。另一方面，專用機(jī)器或通用計(jì)算機(jī)在抽取數(shù)學(xué)特征的能力方面比人強(qiáng)得多。這種常用的數(shù)學(xué)特征包括統(tǒng)計(jì)平均值、相關(guān)系數(shù)、特征向量等。電纜故障的特征提取在廣義上是指一種變換。它把數(shù)量可能很大或處在高維空間的原始特征映射到一個維數(shù)相對較低的空間中成為所謂的二次特征。從原始空間到二次特征空間的變換A:X→Y就是特征提取器。

經(jīng)過特征提取器得到的特征是否就是對分類最有效的特征，需要有一個比較標(biāo)準(zhǔn)，同時還要衡量模式分類的有效性。

各類樣本可以被分開是因?yàn)樗鼈冊谔卣骺臻g中位于不同的區(qū)域。顯然，這類區(qū)域之間的距離越大，分類器的設(shè)計(jì)就愈容易，其性能也愈高。因此，各類之間的距離對樣本質(zhì)量有著至關(guān)重要的影響。設(shè)類Ti和Tj中的n維特征向量為和，為這兩個特征向量間的距離，則各類向量之間的平均距離dm為

式中，c為類別數(shù)；ni為類Ti中的樣本數(shù)；nj為類Tj中的樣本數(shù)；Pi和Pj是相應(yīng)類別的先驗(yàn)概率[24]

。

(11-90)在多維空間中，兩個向量之間有多種不同的距離度量方式。歐氏距離do為(11-91)若mi表示第i類樣本集的均值向量，m表示所有各類樣本集的均值向量，即(11-92)(11-93)則式(11-93)的各類向量之間的平均距離dm為(11-94)若令第i類樣本集的數(shù)學(xué)期望為μi，所有各類樣本集的數(shù)學(xué)期望為μ，即(11-95)(11-96)那么，類間離散度Sa和類內(nèi)離散度Sb分別為(11-97)(11-98)各類之間的平均距離為(11-99)有利于電纜故障模式識別的特征向量應(yīng)該使各類之間的平均距離dm相對較大?；蚴穷愰g離散度Sa較大，類內(nèi)離散度Sb相對較小。為實(shí)現(xiàn)電纜故障的識別，故障信號的原始特征應(yīng)該能充分地反映故障信息。故障相電壓和故障相電流中都含有充分的故障信息，但是如何將故障特征從故障電壓或故障電流中提取出來是問題的關(guān)鍵。對于50Hz的工頻而言，疊加在基本電壓、基本電流上的故障信息屬于高頻奇異信息。從前面幾章的分析中可知，小波變換在提取信號中的奇異分量方面有顯著的優(yōu)勢。本文將以零序分量u0、i0或故障電壓u、故障電流i作為原始信號，通過小波包變換獲取各個子頻帶的小波系數(shù)。以小波包系數(shù)平方和的函數(shù)f作為電纜故障模式識別的二次特征E，即

(11-100)

式中，函數(shù)f根據(jù)具體問題而定，可以是對其自變量的歸一化處理，也可以是其它方式的增大或縮小。在電纜單相接地、兩相相間短路和三相相間短路故障識別中，零序電流i0被取為故障的原始信號，函數(shù)f取最低子頻帶能量的比例放大函數(shù)，即

在電纜單相接地故障電阻范圍的識別中，故障電壓u被取為故障的原始信號，函數(shù)f取歸一化處理函數(shù)，即(11-101)(11-102)11.6.2小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

依據(jù)前面的分析，本文采用松散小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，如圖11-10所示。電纜故障原始特征信號為電纜故障行波信號。對電纜故障原始特征信號進(jìn)行小波包分解后，取適當(dāng)?shù)淖宇l帶的小波包能量函數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。圖11-10電纜故障識別的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)選用BP網(wǎng)，隱含層激發(fā)函數(shù)采用正切S形函數(shù)，輸出層激發(fā)函數(shù)采用線性函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練函數(shù)為自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法。輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)等于電纜故障原始特征信號的小波包分解子頻帶能量函數(shù)的向量維數(shù)，輸出層的節(jié)點(diǎn)數(shù)則由故障分類器的類型決定。當(dāng)分類器所要識別的模式為兩類時，輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)為1即可。當(dāng)分類器所要識別的模式為多類時，采用多節(jié)點(diǎn)輸出。若類別數(shù)c≤3，訓(xùn)練樣本X∈Tj,j=1,2,3，其輸出

T分別為

(11-103)

隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)目根據(jù)實(shí)際情況而定，初始時先放入比較少的節(jié)點(diǎn)，訓(xùn)練一定次數(shù)后，若不成功再增加節(jié)點(diǎn)數(shù)，一直到得到比較合理的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為止。11.6.3電纜故障識別仿真

根據(jù)以上分析，下面將對電纜短路故障與斷路故障進(jìn)行識別[17]

。

1.特征的選擇與提取

選擇故障電纜的零序電流差ifn作為故障電纜短路故障與斷路故障識別的原始信號。圖11-11為單相斷路故障、兩相斷路并短路故障以及三相斷路并短路故障的三相電壓、電流波形圖。圖11-12為單相斷路故障、兩相斷路并短路故障及三相斷路并短路故障的零序電流if、正常狀態(tài)零序電流in及零序電流差ifn。圖11-11不同斷路故障的三相電壓(上)、三相電流(下)單相斷路故障；(b)兩相斷路并短路故障；

(c)三相斷路并短路故障圖11-12不同斷路故障零序電流if(上)、正常零序電流in(中)及差值ifn(下)(a)單相斷路故障；(b)兩相斷路并短路故障；(c)三相斷路并短路故障圖11-13為單相斷路故障電纜零序電流差信號三層小波包分解各個子頻帶系數(shù)d。圖11-14為單相斷路故障零序電流差信號三層小波包分解各個子頻帶能量E。圖11-13單相斷路故障電纜零序電流差信號小波包分解各個子頻帶系數(shù)圖11-14單相斷路故障零序電流差信號子頻帶能量分布對不同類別的電纜故障的零序電流差信號進(jìn)行三層小波包分解，取最低層子頻帶的能量的比例放大函數(shù)作為故障特征E，即

(11-104)

式中，比例放大系數(shù)k=1010。

2.小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

電纜短路故障與斷路故障識別小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖11-15所示。零序電流差信號ifn為電纜故障信號。對零序電流差

ifn進(jìn)行三層小波包分解，取最低子頻帶能量的比例放大函數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。圖11-15電纜短路故障與斷路故障識別小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

3.電纜故障識別神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真

【例11-3】對電纜短路故障與斷路故障識別仿真。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)選用BP算法，隱層激發(fā)函數(shù)采用正切S形函數(shù)，輸出層激發(fā)函數(shù)采用線性函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練函數(shù)為自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法[18]

。

訓(xùn)練樣本X屬于短路故障和斷路故障時，輸出T分別為

T1=0,

T2=10

(11-105)

輸入訓(xùn)練樣本分別選取了短路故障的單相接地、兩相接地、三相接地故障時(故障電阻為10Ω、50Ω)最低子頻帶能量的比例放大函數(shù)值，以及單相斷路、單相斷路并接地(接地電阻為50Ω)、三相斷路、三相斷路并接地(接地電阻為50Ω)最低子頻帶能量的比例放大函數(shù)值。表11-1給出了短路故障與斷路故障識別的輸入訓(xùn)練樣本P和輸出訓(xùn)練樣本T。表11-1短路故障與斷路故障識別的輸入訓(xùn)練樣本P和輸出訓(xùn)練樣本T測試樣本P′樣本分別選取了短路故障的單相接地、兩相接地、三相接地故障時(接地電阻為20Ω、100Ω)最低子頻帶能量的比例放大函數(shù)值，以及兩相斷路、兩相斷路并接地(接地電阻為50Ω)、單相斷路并兩相接地(接地電阻為50Ω)、三相斷路并三相接地(接地電阻為50Ω)最低子頻帶能

量的比例放大函數(shù)值。設(shè)定訓(xùn)練條件為準(zhǔn)則函數(shù)不大于1e-5。表11-2為小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的測試樣本P′。表11-2短路故障與斷路故障識別的測試樣本P′

Matlab程序如下(在光盤中對應(yīng)的程序?yàn)镕LCH11eg3)：

csc%清理主窗口

ps1=[0.0444]‘*1e10;

%短路輸入樣本

ps2=[0.0414]’*1e10;

%短路輸入樣本

ps3=[0.0413]‘*1e10;

%短路輸入樣本

ps4=[0.6909]’;

%短路輸入樣本

po1=[1.1430]‘*1e16;

%斷路輸入樣本

po2=[2.3228]’*1e15;

%斷路輸入樣本

po3=[2.0379]‘*1e15;