高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題04 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值解析版

專題04利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值一、單選題1．已知函數(shù)，那么（）A．有極小值，也有大極值 B．有極小值，沒(méi)有極大值C．有極大值，沒(méi)有極小值 D．沒(méi)有極值【解析】，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)有極大值，沒(méi)有極小值.故選：.2．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，則它在上的極大值為（）A． B． C．24 D．27【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)取得極小值，時(shí)函數(shù)取得極大值，又，，所以，解得，所以，故選：D3．函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則的極小值為（）A． B． C．-1 D．1【解析】函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為，由，，則，則，所以，由，得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，故選：B4．函數(shù)在上的極大值點(diǎn)為（）A．0 B． C． D．【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令得，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以使得函數(shù)取得極大值的的值為.故選：C.5．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的極大值為（）A． B． C．2 D．6或2【解析】因?yàn)?，所以又是的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得或．當(dāng)時(shí)，，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為和的單調(diào)遞減區(qū)間為．故當(dāng)時(shí)，取得極大值，且極大值為故選：B6．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若的零點(diǎn)為，極值點(diǎn)為，則（）A． B．0 C．1 D．2【解析】，當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立，的零點(diǎn)為．又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故在，上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，取到極小值，即的極值點(diǎn)，．故選：C．7．若a，b是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【解析】，因?yàn)?，是函?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，是的兩根，令得，則，，，故選A．8．函數(shù)圖象如圖所示（，都是極值點(diǎn)），則（）A． B． C． D．【解析】由圖可知，點(diǎn)在函數(shù)上，所以，解得，故，則，令，即，解得，所以，故選：D二、多選題9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖，則下列敘述正確的是（）A．函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)B．函數(shù)滿足，且在處取得極小值C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖像可得，當(dāng)x<2時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,只有當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極大值，無(wú)極小值.故選:AC.10．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（）A．B．C．的極小值為D．的極大值為【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線方程為，所以，，解得，.所以AB正確；由，令，得在單增，令，得在單減，知在處取得極大值，.無(wú)極小值.故選ABD.11．函數(shù)的所有極值點(diǎn)從小到大排列成數(shù)列，設(shè)是的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．C． D．【解析】，令可得或，，易得函數(shù)的極值點(diǎn)為或，，從小到大為，，不是等差數(shù)列，錯(cuò)誤；，正確；，，則根據(jù)誘導(dǎo)公式得，正確；，錯(cuò)誤．故選：．12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)B．有零點(diǎn)C．若的極小值點(diǎn)為，則D．若的極小值點(diǎn)為，則【解析】由題意得，的定義域?yàn)?，且，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，又，，∴存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴有唯一極小值點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確．令，得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得．∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），又，∴，即，∴無(wú)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．由，可設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減．∴，即，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC三、填空題13．函數(shù)的極大值是______.【解析】．可得：，時(shí)，；時(shí)，．時(shí)，函數(shù)取得極大值，．14．已知等比數(shù)列是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則____【解析】因?yàn)椋质呛瘮?shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的根，所以，所以解得(正值舍去).15．若，，且函數(shù)在處有極值，則的最小值等于________．【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：，由函數(shù)的極值可得：，解得：，則：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值等于.16．函數(shù)的極小值為_(kāi)_________.【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，有極小值四、解答題17．已知函數(shù)在處的切線方程．（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間與極小值．【解析】（1），由已知可得，解得.（2）由（1）可得，∴，令，解得；令，解得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，的極小值為．18．已知函數(shù)與函數(shù)在處有公共的切線.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）記，求的極值.【解析】（1），，由題意得，，解得，.（2），，，的變化情況如下表：x0+0-極大值由表可知，的極大值為，無(wú)極小值.19．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)（1）求函數(shù)的極值與單調(diào)增區(qū)間；（2）若曲線與軸僅有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）．令，則或．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：100↗極大值↘極小值↗所以的極大值是，極小值是．所以的單調(diào)增區(qū)間為，（2）函數(shù)，由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有，所以曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．由（1）知，．∵曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴或，即或，∴或，∴當(dāng)時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．20．設(shè)函數(shù)，其中．已知在處取得極值．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)的極值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，由在處取得極值，得，解得：，故；（2）由（1）可知，所以，令，即，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，令，即，解得，所以在上單調(diào)遞減，綜上可得：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）由（2）可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取值極大值，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取值極小值，；即，21．若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值．（1）求函數(shù)的極大值；（2）若方程在上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋?，由題意知，解得，所以所求的解析式為；所以令，解得或，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，所以，（2）由（1）可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，函數(shù)圖象如下所示：因?yàn)榉匠淘谏嫌腥齻€(gè)零點(diǎn)，即與在上有3個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)圖象可知，即22．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)減區(qū)間；（2）若在上有極小值，求該極小值的最大值．【解析】（1）由題意，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，若即，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；若即，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)