2023-2024學(xué)年北京市房山區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市房山區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）如果，那么的值是（）A． B． C． D．3．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）4．（2分）如圖，在⊙O中，若∠BAC＝25°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．50° D．75°5．（2分）將二次函數(shù)y＝x2的圖象向上平移5個單位，得到的函數(shù)圖象的表達式是（）A．y＝x2+5 B．y＝x2﹣5 C．y＝（x+5）2 D．y＝（x﹣5）26．（2分）若點A（1，y1），B（2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y27．（2分）如圖，建筑物CD和旗桿AB的水平距離BD為9m，在建筑物的頂端C測得旗桿頂部A的仰角α為30°，旗桿底部B的俯角β為45°，則旗桿AB的高度為（）A． B． C． D．8．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB，點D是的中點，連接BD，OD，AC，AD，AD與OC交于點E，給出下面三個結(jié)論：①AD平分∠CAB；②AC∥OD；③，上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）函數(shù)的自變量x的取值范圍是．10．（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝130°，則∠A＝°．11．（2分）請寫出一個圖象過點（1，2）的函數(shù)表達式：．12．（2分）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AE＝2，則EC的長為．13．（2分）如圖，A，B，D三點在半徑為5的⊙O上，AB是⊙O的一條弦，且OD⊥AB于點C，若AB＝8，則OC的長為．14．（2分）如圖，在3×3的方格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，O，A，B分別是小正方形的頂點，點C在OB上，則的長為．15．（2分）在△ABC中，BC＝2，，∠A＝30°，則△ABC的面積為．16．（2分）在平面直角坐標系xOy中，A為y軸正半軸上一點．已知點B（1，0），C（5，0），⊙P是△ABC的外接圓．（1）點P的橫坐標為；（2）若∠BAC最大時，則點A的坐標為．三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（5分）計算：|﹣5|．18．（5分）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，∠ADE＝∠C．求證：△ADE∽△ACB．19．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．（1）在平面直角坐標系中畫出它的圖象，并寫出它的對稱軸；（2）結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)﹣1＜x＜1時，y的取值范圍．20．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，求cosA的值．21．（5分）已知：如圖⊙O．求作：⊙O的內(nèi)接正方形．作法：①作⊙O的直徑AB；②作直徑AB的垂直平分線MN交⊙O于點C，D；③連接AC，BC，AD，BD．所以四邊形ACBD就是所求作的正方形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵MN是AB的垂直平分線，∴MN過點O．∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°，∴AC＝BC＝BD＝AD．（）（填推理的依據(jù)）∴四邊形ACBD是菱形．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝°．（）（填推理的依據(jù)）∴菱形ACBD是正方形．22．（5分）如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，DE⊥AC，垂足為點E．（1）求證：∠DAE＝∠EDC；（2）若BC＝8，，求DE的長．23．（6分）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x與雙曲線相交于點P（2，m）和點Q．（1）求m的值及點Q的坐標；（2）已知點N（0，n），過點N作平行于x軸的直線交直線y＝x與雙曲線分別為點A（x1，y1）和B（x2，y2）．當(dāng)x1＞x2時，直接寫出n的取值范圍是．24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC是弦，點D在AB的延長線上，且∠DCB＝∠DAC，⊙O的切線AE與DC的延長線交于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，∠D＝30°，求AE的長．25．（6分）原地正面擲實心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場考試的選考項目之一．實心球被擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系．實心球從出手（點A處）到落地的過程中，實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．九年級一名男生進行了兩次訓(xùn)練．（1）第一次訓(xùn)練時，實心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m035679豎直高度y/m25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出實心球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次訓(xùn)練時，實心球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系．記該男生第一次訓(xùn)練實心球落地的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練實心球落地的水平距離為d2，則d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）、（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+4（a＞0）上，設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝t．（1）當(dāng)m＝n時，求拋物線與y軸交點的坐標及t的值；（2）點（x0，n）（x0≠3）在拋物線上，若m＜n＜4，求t的取值范圍及x0的取值范圍．27．（7分）如圖，在等邊三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是BC，AC上的點，且BE＝CF，AE，BF交于點G．（1）∠AGF＝°；（2）過點A作AD∥BC（點D在AE的右側(cè)），且AD＝BC，連接DG．①依題意補全圖形；②用等式表示線段AG，BG與DG的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）定義：在平面直角坐標系xOy中，對于⊙M內(nèi)的一點P，若在⊙M外存在點P'，使得MP'＝2MP，則稱點P為⊙M的“內(nèi)二分點”．（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時，①在P1（﹣1，0），，，四個點中，是⊙O的“內(nèi)二分點”的是；②已知一次函數(shù)y＝kx﹣2k在第一象限的圖象上的所有點都是⊙O的“內(nèi)二分點”，求k的取值范圍；（2）已知點M（m，0），B（0，﹣1），C（1，﹣1），⊙M的半徑為4，若線段BC上存在⊙M的“內(nèi)二分點”，直接寫出m的取值范圍．

2023-2024學(xué)年北京市房山區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱：一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與自身重合，對選項進行分析，即可得出答案．【解答】解：A．該圖形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意；B．該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不合題意；C．該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不合題意；D．該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不合題意．故選：A．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；判斷中心對稱圖形的關(guān)鍵是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2．（2分）如果，那么的值是（）A． B． C． D．【分析】利用比例的性質(zhì)進行計算，即可解答．【解答】解：∵，∴＝﹣1＝﹣1＝，故選：C．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）【分析】根據(jù)拋物線的頂點式解析式寫出頂點坐標即可．【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標為（1，2）．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點式解析式寫出頂點坐標的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2分）如圖，在⊙O中，若∠BAC＝25°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．50° D．75°【分析】根據(jù)圓周角定理求解即可．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝25°，∴∠BOC＝50°，故選：C．【點評】此題考查了圓周角定理，熟記“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角的一半”是解題的關(guān)鍵．5．（2分）將二次函數(shù)y＝x2的圖象向上平移5個單位，得到的函數(shù)圖象的表達式是（）A．y＝x2+5 B．y＝x2﹣5 C．y＝（x+5）2 D．y＝（x﹣5）2【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則解答即可．【解答】解：將二次函數(shù)y＝x2的圖象向上平移5個單位，得到的函數(shù)圖象的表達式是y＝x2+5．故選：A．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“左加右減，上加下減”的法則是解題的關(guān)鍵．6．（2分）若點A（1，y1），B（2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2【分析】把各點坐標代入反比例函數(shù)，求出y1，y2的值，再比較大小即可．【解答】解：∵點A（1，y1），B（2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，∴y1＝﹣＝﹣2，y2＝﹣＝﹣1，∵﹣2＜﹣1，∴y1＜y2．故選：B．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．7．（2分）如圖，建筑物CD和旗桿AB的水平距離BD為9m，在建筑物的頂端C測得旗桿頂部A的仰角α為30°，旗桿底部B的俯角β為45°，則旗桿AB的高度為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可得：CE⊥AB，CE＝BD＝9m，然后分別在Rt△AEC和Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE和BE的長，最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：CE⊥AB，CE＝BD＝9m，在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，∴AE＝CE?tan30?＝9×＝3（m），在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE?tan45°＝9（m），∴AB＝AE+BE＝（3+9）m，故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB，點D是的中點，連接BD，OD，AC，AD，AD與OC交于點E，給出下面三個結(jié)論：①AD平分∠CAB；②AC∥OD；③，上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】利用圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理判斷即可．【解答】解：∵D是的中點，∴∠CAD＝∠DAB，∴AD平分∠CAB，故①正確，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，故②正確，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC＝OD，∴AC＝OA＝OD，∵AC∥OD，∴＝＝，∴AE＝DE，故③正確．故選：D．【點評】本題考查圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）函數(shù)的自變量x的取值范圍是x≠1．【分析】根據(jù)分式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得，x﹣1≠0，解得，x≠1．故答案為：x≠1．【點評】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍，掌握分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．10．（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝130°，則∠A＝50°．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∵∠C＝130°，∴∠A＝180°﹣130°＝50°，故答案為：50．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．11．（2分）請寫出一個圖象過點（1，2）的函數(shù)表達式：y＝2x（答案不唯一）．【分析】令x＝1，函數(shù)值y＝2寫出一個正比例函數(shù)即可．【解答】解：函數(shù)y＝2x經(jīng)過點（1，2）．故答案為：y＝2x（答案不唯一）．【點評】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，正確掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2分）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AE＝2，則EC的長為4．【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出AE＝6，再根據(jù)線段的和差求解即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE＝3，BC＝9，AE＝2，∴AE＝6，∴EC＝AC﹣AE＝4，故答案為：4．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，A，B，D三點在半徑為5的⊙O上，AB是⊙O的一條弦，且OD⊥AB于點C，若AB＝8，則OC的長為3．【分析】利用垂徑定理，勾股定理求解即可．【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝CB＝AB＝4，∴OC＝＝＝3，故答案為：3．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用．14．（2分）如圖，在3×3的方格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，O，A，B分別是小正方形的頂點，點C在OB上，則的長為π．【分析】利用弧長公式求解．【解答】解：由題意OA＝OC＝2，∠AOC＝45°，∴的長＝＝π．故答案為：π．【點評】本題考查弧長的計算，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式l＝．15．（2分）在△ABC中，BC＝2，，∠A＝30°，則△ABC的面積為或．【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可解決問題．【解答】解：由題知，過點C作AB邊的垂線，垂足為M，在Rt△AMC中，sinA＝，則，∴CM＝，由勾股定理得，AM＝3．當(dāng)點B在點M的左側(cè)時，∵BC＝2，CM＝，∴B1M＝1，∴AB1＝3﹣1＝2，則．當(dāng)點B在點M的右側(cè)時，同理可得，AB2＝3+1＝4，∴．綜上所述，△ABC的面積為或．故答案為：或．【點評】本題考查勾股定理，對點B的位置進行正確的分類討論是解題的關(guān)鍵．16．（2分）在平面直角坐標系xOy中，A為y軸正半軸上一點．已知點B（1，0），C（5，0），⊙P是△ABC的外接圓．（1）點P的橫坐標為3；（2）若∠BAC最大時，則點A的坐標為（0，）．【分析】（1）由B、C的坐標，得到OB＝1，OC＝5，求出BC＝5﹣1＝4，由P在BC的垂直平分線上，即可得到P的橫坐標是1+2＝3．（2）當(dāng)圓P與y軸相切時，∠BAC最大，連接AP，過P作PH⊥BC于H，由垂徑定理得到BH＝CH＝BC，求出OH＝1+2＝3，由矩形的性質(zhì)得到PC＝AP＝OH＝3，AO＝PH，由勾股定理求出PH＝＝，即可得到點A的坐標為（0，）．【解答】解：（1）∵⊙P是△ABC的外接圓，∴P在BC的垂直平分線上，∵B的坐標是（1，0），C的坐標是（5，0）．∴OB＝1，OC＝5，∴BC＝5﹣1＝4，∴P的橫坐標是1+2＝3．故答案為：3．（2）當(dāng)圓P與y軸相切時，∠BAC最大，連接AP，PC，過P作PH⊥BC于H，∴BH＝CH＝BC，由（1）知OB＝1，BC＝4，∴BH＝CH＝2，∴OH＝1+2＝3，∴AP⊥OA，∵∠AOH＝90°，∴四邊形AOHP是矩形，∴PC＝AP＝OH＝3，AO＝PH，∵PH＝＝，∴OA＝，∴點A的坐標為（0，）．故答案為：（0，）．【點評】本題考查切線的性質(zhì)，勾股定理，坐標與圖形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，關(guān)鍵是明白當(dāng)圓P與y軸相切時，∠BAC最大．三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（5分）計算：|﹣5|．【分析】利用特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)計算即可．【解答】解：原式＝4×+1+5﹣2＝2+1+5﹣2＝6．【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．18．（5分）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，∠ADE＝∠C．求證：△ADE∽△ACB．【分析】根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”即可得解．【解答】證明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB．【點評】此題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．19．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．（1）在平面直角坐標系中畫出它的圖象，并寫出它的對稱軸；（2）結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)﹣1＜x＜1時，y的取值范圍．【分析】（1）化為頂點式求出二次函數(shù)對稱軸，進而畫出函數(shù)圖象；（2）直接利用二次函數(shù)增減性以及結(jié)合極值法求出y的取值范圍．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴對稱軸為：直線x＝﹣1，畫出函數(shù)圖形如圖所示：（2）當(dāng)﹣1＜x＜1時，當(dāng)x＝﹣1，y＝﹣4，當(dāng)x＝1，y＝0則y的取值范圍為：﹣4＜y＜0．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象，正確畫出函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．20．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，求cosA的值．【分析】結(jié)合已知條件可求得AC的長度，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦的定義即可求得答案．【解答】解：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，則AC＝＝12，那么cosA＝＝．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合已知條件求得AC的長度是解題的關(guān)鍵．21．（5分）已知：如圖⊙O．求作：⊙O的內(nèi)接正方形．作法：①作⊙O的直徑AB；②作直徑AB的垂直平分線MN交⊙O于點C，D；③連接AC，BC，AD，BD．所以四邊形ACBD就是所求作的正方形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵MN是AB的垂直平分線，∴MN過點O．∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°，∴AC＝BC＝BD＝AD．（相等的圓心角所對的弦相等）（填推理的依據(jù)）∴四邊形ACBD是菱形．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝，90°．（有一個角是90°的菱形是正方形）（填推理的依據(jù)）∴菱形ACBD是正方形．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)有一個角是90°的菱形是正方形證明即可．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵MN是AB的垂直平分線，∴MN過點O．∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°，∴AC＝BC＝BD＝AD（相等的圓心角所對的弦相等），∴四邊形ACBD是菱形．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°（有一個角是90°的菱形是正方形），∴菱形ACBD是正方形．故答案為：相等的圓心角所對的弦相等，90，有一個角是90°的菱形是正方形．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握正方形的判定方法．22．（5分）如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，DE⊥AC，垂足為點E．（1）求證：∠DAE＝∠EDC；（2）若BC＝8，，求DE的長．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得∠ADC＝90°，則∠ADE+∠EDC＝90°，由垂直可得∠AED＝90°，則∠ADE+∠DAE＝90°，即可得∠DAE＝∠EDC．（2）結(jié)合矩形的性質(zhì)以及已知條件可得∠BCA＝∠EDC，進而可得AB＝CD＝6，AC＝＝10，證明△ABC∽△CED，可得，即可得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠EDC．（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA，∵∠DAE＝∠EDC，∴∠BCA＝∠EDC，∴tan∠BCA＝＝，∴AB＝6，∴CD＝6，AC＝＝10，∵∠DEC＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△CED，∴，即，解得DE＝，∴DE的長為．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵．23．（6分）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x與雙曲線相交于點P（2，m）和點Q．（1）求m的值及點Q的坐標；（2）已知點N（0，n），過點N作平行于x軸的直線交直線y＝x與雙曲線分別為點A（x1，y1）和B（x2，y2）．當(dāng)x1＞x2時，直接寫出n的取值范圍是n＞2或﹣2＜n＜0．【分析】（1）由直線解析式求得點P的坐標，進而利用對稱性求得點Q的坐標；（2）先求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的另一個交點坐標，再根據(jù)函數(shù)圖象進行求解即可．【解答】解：（1）直線y＝x過點P（2，m），∴m＝2，∴P（2，2），∵直線y＝x與雙曲線相交于點P（2，m）和點Q，∴Q（﹣2，﹣2）；（2）∵直線y＝x與雙曲線相交于點P（2，2）和點Q（﹣2，﹣2），∴當(dāng)x1＞x2時，n的取值范圍是n＞2或﹣2＜n＜0．故答案為：n＞2或﹣2＜n＜0．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，反比例函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC是弦，點D在AB的延長線上，且∠DCB＝∠DAC，⊙O的切線AE與DC的延長線交于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，∠D＝30°，求AE的長．【分析】（1）連接OC，由題意可得∠CAD＝∠ACO，進而可得∠DCB＝∠ACO，由圓周角定理可得∠ACB＝90°，即可得∠OCD＝90°，從而可得結(jié)論．（2）由題意可得△BOC為等邊三角形，則∠BCO＝60°，BC＝OB＝2，進而可得BC＝BD＝2，則AD＝6，由切線的性質(zhì)可得∠EAD＝90°，在Rt△DAE中，根據(jù)AE＝AD?tan30°可得答案．【解答】（1）證明：連接OC，∵OA，OC為⊙O的半徑，∴OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∵∠DCB＝∠DAC，∴∠DCB＝∠ACO，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠DCB+∠BCO＝90°，即∠OCD＝90°，∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）解：由（1）知，∠OCD＝90°，∵∠D＝30°，∴∠COD＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC為等邊三角形，∴∠BCO＝60°，BC＝OB＝2，∴∠DCB＝30°，∵∠D＝30°，∴∠DCB＝∠D，∴BC＝BD＝2，∴AD＝OA+OB+BD＝6，∵AE是⊙O的切線，∴∠EAD＝90°，在Rt△DAE中，AE＝AD?tan30°＝6×＝，即AE的長為．【點評】本題考查切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵．25．（6分）原地正面擲實心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場考試的選考項目之一．實心球被擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系．實心球從出手（點A處）到落地的過程中，實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．九年級一名男生進行了兩次訓(xùn)練．（1）第一次訓(xùn)練時，實心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m035679豎直高度y/m25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出實心球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次訓(xùn)練時，實心球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系．記該男生第一次訓(xùn)練實心球落地的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練實心球落地的水平距離為d2，則d1＞d2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點坐標，即可得出實心球豎直高度的最大值；選出表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；（2）令落地點的縱坐標為0，分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式，求出落地點的橫坐標，然后進行比較即可．【解答】解：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點坐標為：（6，5），∴實心球豎直高度的最大值是5m；∵拋物線的頂點坐標為：（6，5），∴拋物線的解析式可表示為：y＝a（x﹣6）2+5，∵當(dāng)x＝0時，y＝2，∴2＝a（0﹣6）2+5，解得a＝﹣，∴函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣6）2+5；（2）d1＜d2．理由如下：在y＝﹣（x﹣6）2+5中，令y＝0得：0＝﹣（x﹣6）2+5，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2＜0（舍去），∴d1＝（6+2）m；在y＝﹣（x﹣5）2+中，令y＝0得﹣（x﹣5）2+＝0，解得x1＝12，x2＝﹣2＜0（舍去），∴d2＝12m，∵6+2＜6+2，即12＜6+2，∴d1＞d2．故答案為：＞．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，實數(shù)大小比較，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠從表格中獲取有用信息列出函數(shù)關(guān)系式．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）、（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+4（a＞0）上，設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝t．（1）當(dāng)m＝n時，求拋物線與y軸交點的坐標及t的值；（2）點（x0，n）（x0≠3）在拋物線上，若m＜n＜4，求t的取值范圍及x0的取值范圍．【分析】（1）將點（1，m），（3，n）代入拋物線解析式，再根據(jù)m＝n得出b＝﹣4a，再求對稱軸即可；（2）再根據(jù)m＜n＜4，可確定出對稱軸的取值范圍，進而可確定x0的取值范圍．【解答】解：（1）∵當(dāng)x＝0時，y＝4，∴拋物線與y軸交點的坐標為（0，4），∵點（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+4（a＞0）上，m＝n，∴a+b+4＝9a+3b+4，∴b＝﹣4a，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝2；∴t＝2；（2）∵m＜n＜4，∴a+b+4＜9a+3b+4＜4，解得﹣4a＜b＜﹣3a，∴3a＜﹣b＜4a，∴＜﹣＜，即＜t＜2，當(dāng)t＝時，x0＝0；當(dāng)t＝2時，x0＝1．∴x0的取值范圍0＜x0＜1．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．27．（7分）如圖，在等邊三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是BC，AC上的點，且BE＝CF，AE，BF交于點G．（1）∠AGF＝60°；（2）過點A作AD∥BC（點D在AE的右側(cè)），且AD＝BC，連接DG．①依題意補全圖形；②用等式表示線段AG，BG與DG的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝BC，∠ABC＝∠C，證明△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAE＝∠CBF，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠AGF＝∠ABF+BAE＝∠ABF+∠CBF＝60°；（2）①由題意畫出圖形即可；②作∠GAM＝120°，在AM上截取AP＝AG，連接GP，PD．證明△BAG≌△DAP（SAS），得出BG＝DP，∠APD＝∠AGB＝120°，證出GP2+DP2＝DG2.過點A作AQ⊥GP于點Q，由銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝60°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴∠AGF＝∠ABF+BAE＝∠ABF+∠CBF＝60°．故答案為：60；（2）①依題意補全圖形，如圖．②用等式表示線段AG，BG與DG的數(shù)量關(guān)系為：3AG2+BG2＝DG2．證明：作∠GAM＝120°，在AM上截取AP＝AG，連接GP，PD．∵AP＝AG，∠GAP＝120°，∴∠AGP＝∠APG＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°．又∵AD＝BC，∴AB＝AD．∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝120°，∵∠GAP＝120°，∴∠BAG＝∠DAP，∴△BAG≌△DAP（SAS），∴BG＝DP，∠APD＝∠AGB＝120°，∵∠APG＝30°，∴∠DPG＝90°，∴GP2+DP2＝D