寧夏銀川市2025屆高三數學第二次月考文試題含解析

Page24寧夏銀川市2024屆高三數學其次次月考（文）試題留意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.作答時，務必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.某國近日開展了大規(guī)模COVID-19核酸檢測，并將數據整理如圖所示，其中集合S表示（）A.無癥狀感染者 B.發(fā)病者 C.未感染者 D.輕癥感染者2.已知，則（）A. B. C. D.3.如圖所示的程序框圖，輸入3個數，，，，則輸出的為（）A.0 B. C. D.4.已知是等差數列，，，則的公差等于（）A.3 B.4 C.-3 D.-45.設，，，…，，，則（）A B. C. D.6.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.7.若x，y滿意約束條件，則的最大值為（）．A.6 B.10 C.14 D.188.函數在單調遞減，且為奇函數．若，則滿意的取值范圍是（）A. B.C. D.9.函數的圖像大致是（）A B.C. D.10.已知實數，且，則的最小值是（）A.6 B. C. D.11.已知，若關于x的方程有5個不同的實根，則實數k的取值范圍為（）A. B. C. D.12.英國物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數的零點時，給出的“牛頓數列”在航空航天中應用廣泛，若數列滿意，則稱數列為牛頓數列，假如，數列為牛頓數列，設且，，數列的前項和為，則（）A. B. C. D.二?填空題（本大題共4小題，每小題5分.共20分）13.已知函數，若f[f(-1)]=4，且a>-1，則a=______.14.若，使成立是假命題，則實數的取值范圍是___________.15.數列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項為1，公比為2的等比數列，那么an＝________.16.已知定義域為的偶函數，其導函數為，滿意,則的解集為_________．三?解答題（共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22?23題為選考題，考生依據要求作答.）（一）必考題：（共60分）17.如圖，某房地產開發(fā)公司安排在一棟樓區(qū)內建立一個矩形公園，公園由矩形休閑區(qū)（陰影部分）和環(huán)公園人行道組成，已知休閑區(qū)的面積為1000平方米，人行道的寬分別為5米和8米，設休閑區(qū)的長為米．（1）求矩形所占面積（單位：平方米）關于函數解析式；（2）要使公園所占面積最小，問休閑區(qū)的長和寬應分別為多少米？18.已知函數，在處切線的斜率為-2.（1）求的值及的微小值；（2）探討方程的實數解的個數.19.已知是等差數列的前項和，，，公差，且___________.從①為與等比中項，②等比數列的公比為，，這兩個條件中，選擇一個補充在上面問題的橫線上，使得符合條件的數列存在并作答.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，求證：.注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.20.對于數列、，把和叫做數列與的前項泛和，記作為.已知數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）數列與數列的前項的泛和為，且恒成立，求實數的取值范圍；21.已知函數.（1）當時，求函數的極值；（2）若關于x的方程在無實數解，求實數a的取值范圍.（二）選考題（共10分.請考生在第22?23兩題中任選一題做答，假如多做.則按所做的第一題記分.）[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為，(α為參數)，直線C2的方程為，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線C1和直線C2的極坐標方程；（2）若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求.[選修4—5：不等式選講]23.設函數.（1）求的最小值m；（2）設正數x，y，z滿意，證明：.銀川一中2024屆高三年級其次次月考文科數學留意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.作答時，務必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.某國近日開展了大規(guī)模COVID-19核酸檢測，并將數據整理如圖所示，其中集合S表示（）A.無癥狀感染者 B.發(fā)病者 C.未感染者 D.輕癥感染者【答案】A【解析】【分析】由即可推斷S的含義.【詳解】解：由圖可知，集合S是集合A與集合B的交集，所以集合S表示：感染未發(fā)病者，即無癥狀感染者，故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知，先依據給的復數，寫出其共軛復數，然后帶入要求的式子干脆計算即可.【詳解】由已知，，，所以.故選：D.3.如圖所示的程序框圖，輸入3個數，，，，則輸出的為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據條件結構的程序框圖，依次執(zhí)行，即得解【詳解】由題意，輸入，，第一步，判定是否成立，由于因此賦值，其次步，判定是否成立，由于因此賦值輸出故選：D4.已知是等差數列，，，則的公差等于（）A3 B.4 C.-3 D.-4【答案】C【解析】【分析】利用等差數列下標和性質得出，進而可得公差．【詳解】，，則的公差，故選：C5.設，，，…，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求解，歸納可得，即得解【詳解】，，，，，所以（）．故．故選：A6.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法解除A，B；利用作差法解除選項C，進而得出正確選項．【詳解】取，，則，解除A，B；因為，則，，從而.又，即，則，所以，故選：D.7.若x，y滿意約束條件，則的最大值為（）．A.6 B.10 C.14 D.18【答案】B【解析】【分析】由題意作出可行域，變換目標函數為，數形結合即可得解.【詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點,轉換目標函數，上下平移直線，數形結合可得當直線過點時,取最大值，此時.故選：B.8.函數在單調遞減，且為奇函數．若，則滿意的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：不妨設，解即可得出答案.方法二：取，則有，又因為，所以與沖突，即可得出答案.方法三：依據題意，由函數的奇偶性可得，利用函數的單調性可得，解不等式即可求出答案.【詳解】［方法一］：特別函數法由題意，不妨設，因為，所以，化簡得．故選：D.［方法二］：【最優(yōu)解】特別值法假設可取，則有，又因為，所以與沖突，故不是不等式的解，于是解除A、B、C．故選：D.［方法三］：干脆法依據題意，為奇函數，若，則，因為在單調遞減，且，所以，即有：，解可得：.故選：D.【整體點評】方法一：取滿意題意的特別函數，是做選擇題的好方法；方法二：取特別值，利用單調性解除，是該題的最優(yōu)解；方法三：依據題意依照單調性解不等式，是該題的通性通法．9.函數的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用解除法，依據函數過及值域范圍，即可確定答案.【詳解】由時，解除B、C；又，當且僅當時等號成立，故，解除D.故選：A10.已知實數，且，則的最小值是（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造，利用均值不等式即得解【詳解】，當且僅當，即，時等號成立故選：B【點睛】本題考查了均值不等式在最值問題中應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算實力，屬于中檔題11.已知，若關于x的方程有5個不同的實根，則實數k的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導數探討分段函數的性質，作出函數圖形，數形結合得到，然后結合一元二次方程根的分布即可求出結果.【詳解】因為時，，則，令，則，所以時，，則單調遞增；時，，則單調遞減；且，，時，；時，，則，令，則，所以時，，則單調遞增；時，，則單調遞減；且，，時，；作出在上的圖象，如圖：關于x的方程有5個不同的實根，令，則有兩個不同的實根，所以，令，則，解得，故選：A.【點睛】函數零點的求解與推斷方法：（1）干脆求零點：令f(x)＝0，假如能求出解，則有幾個解就有幾個零點．（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區(qū)間[a，b]上是連綿不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必需結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．（3）利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．12.英國物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數的零點時，給出的“牛頓數列”在航空航天中應用廣泛，若數列滿意，則稱數列為牛頓數列，假如，數列為牛頓數列，設且，，數列的前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得，然后等比數列的前項和公式求得，進而求得正確答案.【詳解】依題意，，，，依題意，即，則，（由于，所以），則，兩邊取對數得，即，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以.所以，所以.故選：A二?填空題（本大題共4小題，每小題5分.共20分）13.已知函數，若f[f(-1)]=4，且a>-1，則a=______.【答案】1【解析】【分析】利用分段函數的性質求解.【詳解】解：因為函數，所以又因為a>-1，所以，所以，則，解得，故答案為：1.14.若，使成立是假命題，則實數的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】轉化為“，使得成立”是真命題，利用不等式的基本性質分別參數，利用函數的單調性求相應最值即可得到結論.【詳解】若，使成立是假命題，則“，使得成立”是真命題，即，恒成立，因為時等號成立，所以，所以，故答案為：.15.數列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項為1，公比為2的等比數列，那么an＝________.【答案】2n－1(n∈N*)【解析】【分析】利用累加法可得數列通項公式.【詳解】an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2＝2n－1(n∈N*).又時，符合an＝2n－1故答案為：2n－1(n∈N*).16.已知定義域為的偶函數，其導函數為，滿意,則的解集為_________．【答案】【解析】【分析】令，對函數求導，依據條件可得單調遞增，且單調遞增，進而利用單調性和奇偶性求解．【詳解】的解集為的解集，令，則，因為，所以當時有，所以，即當時，單調遞增，又因為，所以，所以的解集為的解集，由單調性可知，又因為為偶函數，所以解集為【點睛】本題解題的關鍵是構造新函數，求導進而得出函數的單調性，然后利用奇偶性和單調性求解．三?解答題（共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22?23題為選考題，考生依據要求作答.）（一）必考題：（共60分）17.如圖，某房地產開發(fā)公司安排在一棟樓區(qū)內建立一個矩形公園，公園由矩形的休閑區(qū)（陰影部分）和環(huán)公園人行道組成，已知休閑區(qū)的面積為1000平方米，人行道的寬分別為5米和8米，設休閑區(qū)的長為米．（1）求矩形所占面積（單位：平方米）關于的函數解析式；（2）要使公園所占面積最小，問休閑區(qū)的長和寬應分別為多少米？【答案】（1）；（2）休閑區(qū)的長和寬應分別為40米，25米.【解析】【分析】（1）由休閑區(qū)的長為米，得出休閑區(qū)的寬以及矩形的長與寬，利用矩形面積公式求解即可；（2）利用基本不等式可得所占面積的最小值．【詳解】（1）因為休閑區(qū)的長為米，休閑區(qū)的面積為1000平方米，所以休閑區(qū)的寬為；從而矩形的長與寬分別為米，米，因此矩形所占面積；（2）；當且僅當，即時取等號，此時．因此要使公園所占面積最小1960平方米，休閑區(qū)的長和寬應分別為40米，25米．18.已知函數，在處切線的斜率為-2.（1）求的值及的微小值；（2）探討方程的實數解的個數.【答案】（1），微小值；（2）答案見解析．【解析】【分析】（1）由函數在處切線的斜率為-2，可得，解方程得出的值；對函數求導，列表格推斷出單調性，進而可得函數的微小值；（2）由（1）單調性以及極限趨勢，分類探討的范圍，可得實數解的個數．【詳解】解：（1），因為在處切線的斜率為-2，所以，則.，令，解得或，當x改變時，，改變狀況如下：x-2100單調遞增單調遞減單調遞增故的微小值為.（2）由（1）知，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增.當時，；當時，.當或時，方程有1個實數解；當或時，方程有2個實數解當時，方程有3個實數解.19.已知是等差數列的前項和，，，公差，且___________.從①為與等比中項，②等比數列的公比為，，這兩個條件中，選擇一個補充在上面問題的橫線上，使得符合條件的數列存在并作答.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，求證：.注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）依據等差等比數列的性質求解，即可做出推斷；（2）利用裂項求和化簡后即可證明.【詳解】（1）若選①，為與的等比中項，則，由為等差數列，，得，∴，把代入上式，可得，解得或（舍）.∴，；若選②，等比數列的公比，，，可得，即，即有，即;又，可得，即，解得，不符題意，故選①，此時；（2）∵，∴；∴.20.對于數列、，把和叫做數列與的前項泛和，記作為.已知數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）數列與數列的前項的泛和為，且恒成立，求實數的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令可求得的值，當時，由可得出，兩式作差可推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求得數列的通項公式；（2）分為偶數和奇數兩種狀況探討，求出的表達式，結合參變量分別法可求得實數的取值范圍，綜合即可得解.【小問1詳解】解：當時，，當時，由①，可得②，①②得，，數列是以為首項，為公比的等比數列，.【小問2詳解】解：對隨意的時，，，當為偶數時，即當時，，故對隨意的，都成立，即對隨意的恒成立，易知，當時，，故；當為奇數時，即當時，，故對隨意的，恒成立，即對隨意的恒成立.易知，當時，，故.綜上所述，實數的取值范圍是.21.已知函數.（1）當時，求函數的極值；（2）若關于x的方程在無實數解，求實數a的取值范圍.【答案】（1）微小值為，無極大值（2）【解析】【分析】（1）代入，求導，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間及極值狀況；（2）構造函數，二次求導，確定導函數的單調性，結合端點值，對進行分類探討，確定實數a的取值范圍.【小問1詳解】當時，，定義域為R，，令，解得：，當時，，單增，當時，，單減所以在處取得微小值，微小值為，無極大值.【小問2詳解】即在無實數解，令，則，令，則，因為，所以，所以，，即在上單調遞增，其中，當，即時，時，，在上單調遞增，又，故當時，沒有零點；②當，即時，令，在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，故，，所以，又，故存在，使得，當時，，單調遞減，又，故當時，，所以在內沒有零點，當時，，單調遞增，因為，所以，且令，，，，令，，，所以在上單調遞增，又，故時，，在上單調遞增，所以，故，又，由零點存在性定理可知，存在，，故在內，函數有且僅有一個零點，綜上：時滿意題意即的取值范圍是【點睛】導函數求解參數取值范圍問題，通常須要構造函數，求出構造函數的導函數，確定其單調性，極值和最值狀況，本題中要留意到特別點的