天津市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)檢測試題

天津市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)檢測試題第I卷（選擇題）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)軸表示出兩集合的范圍，進(jìn)而得到.【詳解】在數(shù)軸上分別表示出集合與集合，如圖所示：.故選：B.2.已知x∈R，則“成立”是“成立”的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】先證充分性，由求出x的取值范圍，再依據(jù)x的取值范圍化簡即可，再證必要性，若，即，再依據(jù)肯定值的性質(zhì)可知．【詳解】充分性：若，則2≤x≤3，，必要性：若，又，，由肯定值的性質(zhì)：若ab≤0，則，∴，所以“成立”是“成立”的充要條件，故選：C．3.已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)得到，依據(jù)奇偶性解除BD，特別值計算解除A得到答案.【詳解】，則，則函數(shù)為奇函數(shù)，解除BD；，解除A；故選：C.4.某中學(xué)全體學(xué)生參與了數(shù)學(xué)競賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成果統(tǒng)計，發(fā)覺抽取的學(xué)生的成果都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）

A.直方圖中x的值為0.035B.在被抽取的學(xué)生中，成果在區(qū)間的學(xué)生數(shù)為30人C.估計全校學(xué)生的平均成果為83分D.估計全校學(xué)生成果的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為95分【答案】D【解析】【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解.【詳解】對于A：依據(jù)學(xué)生的成果都在50分到100分之間的頻率和為1，可得10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A錯誤；對于B：在被抽取的學(xué)生中，成果在區(qū)間的學(xué)生數(shù)為100.015400=60人，故B錯誤；對于C：估計全校學(xué)生的平均成果為550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；故C錯誤.對于D：全校學(xué)生成果的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為分.故D正確.故選：D.5.已知三個數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：因為，所以，故選：D6.在三棱錐中，平面，，且，則三棱錐外接球的體積等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將三棱錐放入一個長方體中，求出長方體的體對角線即為長方體外接球的直徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】因為三棱錐中，平面，不妨將三棱錐放入一個長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，因為長方體的體對角線即為其外接球的直徑，因為，則長方體的長寬高分別為所以三棱外接球的半徑為.所以三棱錐外接球的體積為.故選：C.

7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指對數(shù)互化得，，通過化簡得出結(jié)論.【詳解】，，，，故選：B.8.已知第一象限內(nèi)的點既在雙曲線的漸近線上，又在拋物線上，設(shè)的左、右焦點分別為、，若的焦點為，且是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.C D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為：，過M作MA垂直準(zhǔn)線，利用拋物線的定義得到，則四邊形是正方形，從而是等腰直角三角形，然后結(jié)合圖形和離心率公式即可求解.【詳解】因為的左、右焦點分別為、，的焦點為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，又因為是以為底邊等腰三角形，過M作MA垂直準(zhǔn)線，如圖所示：則，所以四邊形是正方形，則是等腰直角三角形，所以，，，.故選：B9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到D.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】C【解析】【分析】A選項，利用三角恒等變換得到，從而求出最小正周期；B選項，整體代入檢驗是否是單調(diào)遞減區(qū)間；C選項，利用函數(shù)平移左加右減，上加下減進(jìn)行平移，求出平移后的解析式；D選項，代入檢驗是否是對稱中心.【詳解】，所以函數(shù)的最小正周期是，A正確；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，故B正確；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到，故C錯誤；當(dāng)時，，所以，所以的圖象關(guān)于中心對稱，D正確.故選：C第II卷（非選擇題）10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)________．【答案】##i+2【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的商的運算化簡可得答案.【詳解】,故答案為：11.在的綻開式中，的系數(shù)為______用數(shù)字作答【答案】【解析】【分析】求得二項綻開式的通項，結(jié)合通項確定，代入即可求解.【詳解】由題意，二項式綻開式的通項為，令，可得，所以的系數(shù)為.故答案為：.12.已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長_________．【答案】【解析】【分析】將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后依據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得，接著計算到直線的距離，最終依據(jù)圓的弦長公式計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即且由兩圓向外切可知，解得所以到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為則直線被圓所截弦長為故答案為：13.已知函數(shù)（a>0且a）在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是__________，若關(guān)于x的方程|f（x）|=x+3恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是____________.【答案】①.②.【解析】【分析】(1)分段函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則在x＝0左右兩側(cè)均遞增，且在分界線x＝0處，左邊函數(shù)值小于或等于右邊函數(shù)值；(2)將方程的根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)進(jìn)行求解．【詳解】①當(dāng)時，，因為該函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，若要在上單調(diào)遞增，還需滿意，即，所以②作出圖像：當(dāng)時，易知直線與曲線肯定只有一個公共點，故只需直線與曲線只有一個公共點即可；由，得，令，得，代入，得，由，得，此時直線與曲線相切，有且只有一個公共點；當(dāng)，即時，直線與曲線有且只有一個公共點．又1，所以綜上可知，的取值范圍是故答案為：﹒14.饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現(xiàn)在距今五千年前長江下游地區(qū)的良渚文化玉器上.有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為1，有一點P從A點動身每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經(jīng)過3次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路途到達(dá)點B的概率為___________.【答案】##0.125【解析】【分析】本題先通過列舉法寫出8種總跳法，再依據(jù)古典概型進(jìn)行概率計算.【詳解】點P從A點動身，每次向右或向下跳一個單位長度，則有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8種不同的跳法（線路），符合題意的只有（下，下，右）這1種，所以3次跳動后，恰好是沿著餐餮紋的路途到達(dá)點B的概率為.故答案為：.15.如圖，在中，，D為中點，P為上一點，且滿意，的面積為，則___________；的最小值為___________.

【答案】①.；②..【解析】【分析】依據(jù)平面對量加法的幾何意義、共線向量的性質(zhì)，結(jié)合平面對量的運算性質(zhì)、基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，由而，所以有，即；因為的面積為，，所以有，因為，所以有，當(dāng)有僅當(dāng)時取等號，故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點睛：運用基本不等式是解題的關(guān)鍵.16.已知，，分別為銳角三角形三個內(nèi)角，，的對邊，且．（1）求；（2）若，，求；（3）若，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理可求解答案；（2）由余弦定理可求解答案；（3）由正弦的兩角差公式再結(jié)合二倍角公式可求得答案.【小問1詳解】由于，所以，由得，所以，且三角形為銳角三角形，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理有，解得或（舍），故.【小問3詳解】由，可得，，.所以.17.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯形，，，平面平面ABCD，且.（1）求證：平面PDC；（2）求平面CPB與平面PBQ所成角的正弦值；（3）已知點H在棱PD上，且異面直線AH與PB所成角的余弦值為，求線段DH長.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）只需證明平面ABQ平面PDC即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用數(shù)量積求角；（3）依據(jù)條件，用數(shù)量積計算即可.【小問1詳解】由已知可知：，平面ADPQ平面ABCD，平面ADPQ，平面ABCD，∵平面ABQ，平面ABQ，平面PDC，平面PDC，平面ABQ平面PDC，平面PDC；【小問2詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖：以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，D為原點，則有，，設(shè)平面CPB的一個法向量為，則，得，令b=1，則有，設(shè)平面PQB的一個法向量為，則有，得，令z=2，則x=1，y=1，，設(shè)平面PQB與平面CPB所成二面角的平面角為，則，；【小問3詳解】∵點H在PD上，∴設(shè)H（0,0，t），則有，，依題意有，解得，由于H點PD上，PD=2，，∴；；綜上，平面PQB與平面CPB所成二面角的平面角的正弦值為，.18.已知點是離心率為的橢圓上的一點，斜率為的直線交橢圓于、兩點，且、、三點不重合.（1）求橢圓的方程；（2）直線、的斜率之和是否為定值：若是求出定值，不是則說明理由.【答案】（1）（2）是定值，且定值為【解析】【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式與韋達(dá)定理可求得直線、的斜率之和.【小問1詳解】解：由已知可得，解得，因此，橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，可得且，由韋達(dá)定理可得，，.因此，直線、的斜率之和為.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特別入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）干脆推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19.已知為等差數(shù)列，前n項和為是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．（1）和的通項公式；（2）求數(shù)列的前8項和；（3）證明：．【答案】（1）的通項公式為，的通項公式為；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和求和公式建立方程組，求解即可；（2）運用錯位相減法可求得答案；（3）由（1）得，證明當(dāng)時，當(dāng)時，不等式成立；當(dāng)時，，運用不等式放縮法和裂項求和法可得證.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由已知，得，而，所以．又因為，解得．所以．由，可得①．由，得②，聯(lián)立①②，解得，由此可得．所以，的通項公式為的通項公式為．【小問2詳解】解：設(shè)數(shù)列的前n項和為，由，得，所以，，上述兩式相減，得．得．所以，數(shù)列的前n項和為

當(dāng)時，．小問3詳解】解：由（1）得，所以：當(dāng)時，，不等式成立；當(dāng)時，，所以，不等式成立；當(dāng)時，，所以，，所以，得證．20.已知函數(shù)，（），其中e是自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，（?。┣笤邳c處的切線方程；（ⅱ）求的最小值；（2）探討函數(shù)的零點個數(shù)；（3）若存在，使得成立，求a的取值范圍【答案】（1）（?。唬áⅲ?）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程；由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性進(jìn)而得出最值；（2）構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性并結(jié)合零點存在性定理進(jìn)行求解；（3）由得出，令，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)【小問1詳解】當(dāng)時，，.（?。?，，∴切線方程為.（ⅱ），令，得，∴當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴.小問2詳解】∵（），令得，，當(dāng)時，，無零點，當(dāng)時，令