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安徽省安慶二中碧桂園分校2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成,爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,則該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是()A. B. C. D.2.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.3.已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設(shè),則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b4.已知復(fù)數(shù)滿足,則的值為()A. B. C. D.25.為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù),使成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.7.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是()A.從2000年至2016年,該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加;B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;C.2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番;D.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為)建立了投資額y與時(shí)間變量t的線性回歸模型,根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.8.已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.9.已知集合,,若,則實(shí)數(shù)的值可以為()A. B. C. D.10.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.211.計(jì)算等于()A. B. C. D.12.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,拋物線上任意一點(diǎn)P,且PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q,則的最小值為()A. B. C.l D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在矩形中,為邊的中點(diǎn),,,分別以、為圓心,為半徑作圓弧、(在線段上).由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積為.14.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______.15.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)_________.16.曲線在處的切線方程是_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知橢圓,上頂點(diǎn)為,離心率為,直線交軸于點(diǎn),交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交軸于點(diǎn),.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求證:為定值.19.(12分)[選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線與曲線交于,兩點(diǎn),與曲線交于,兩點(diǎn),求取最大值時(shí)的值20.(12分)已知某種細(xì)菌的適宜生長(zhǎng)溫度為12℃~27℃,為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量(單位:個(gè))隨溫度(單位:℃)變化的規(guī)律,收集數(shù)據(jù)如下:溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個(gè)2530385066120218對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后,得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值,如表所示:20784.11123.8159020.5其中,.(1)請(qǐng)繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖,并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于溫度的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(結(jié)果精確到0.1);(3)當(dāng)溫度為27℃時(shí),該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為多少?參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計(jì)分別為,,參考數(shù)據(jù):.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,求的取值范圍;(2)若,對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知橢圓,過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且與軸相交于點(diǎn).(1)若,求直線的方程;(2)設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明:直線過(guò)軸上的定點(diǎn).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對(duì)立事件,即該重卦沒(méi)有陽(yáng)爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻的概率,再根據(jù)兩對(duì)立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”為事件.所有“重卦”共有種;“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”的對(duì)立事件是“該重卦沒(méi)有陽(yáng)爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻”,其中,沒(méi)有陽(yáng)爻(即6個(gè)全部是陰爻)的情況有1種,只有1個(gè)陽(yáng)爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由已知可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn),作出圖象,由圖可得:點(diǎn)(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(diǎn)(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當(dāng)直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則k==,∴m=.此時(shí),k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個(gè)交點(diǎn),不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力,屬于難題.3、B【解析】

先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.4、C【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求得其模.【詳解】因?yàn)?,所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】,故虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念,注意復(fù)數(shù)的虛部為,不是,本題為基礎(chǔ)題,也是易錯(cuò)題.6、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時(shí),y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時(shí),等號(hào)成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí),等號(hào)成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.7、D【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù),對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除,由此得到表述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng),由圖像可知,投資額逐年增加是正確的.對(duì)于選項(xiàng),投資總額為億元,小于年的億元,故描述正確.年的投資額為億,翻兩翻得到,故描述正確.對(duì)于選項(xiàng),令代入回歸直線方程得億元,故選項(xiàng)描述不正確.所以本題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析能力,考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,由題意可得實(shí)部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù),所以且,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】

由題意可得,根據(jù),即可得出,從而求出結(jié)果.【詳解】,且,,∴的值可以為.故選:D.【點(diǎn)睛】考查描述法表示集合的定義,以及并集的定義及運(yùn)算.10、C【解析】

推導(dǎo)出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.11、A【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算,求得所求表達(dá)式的值.【詳解】原式.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,,,當(dāng)時(shí),取最小值,最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意,可得所得到的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)半球而成;其中,圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2;體積為;兩個(gè)半球的半徑都為1,則兩個(gè)半球的體積為;則所求幾何體的體積為.考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)體的組合體.14、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】試題分析:根據(jù)題意,記白球?yàn)锳,紅球?yàn)锽,黃球?yàn)?,則一次取出2只球,基本事件為、、、、、共6種,其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種;所以所求的概率是.考點(diǎn):古典概型概率16、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得,所以,所以切線方程為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性,得到,再討論,,三種情況,計(jì)算得到答案.(2)計(jì)算得到,討論,兩種情況,分別計(jì)算單調(diào)性得到函數(shù)最值,得到答案.【詳解】(1),①當(dāng)時(shí)恒成立,所以單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以有唯一零點(diǎn),即符合題意;②當(dāng)時(shí),令,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,函數(shù)。(i)當(dāng)即,所以符合題意,(ii)當(dāng)即時(shí),因?yàn)椋蚀嬖?所以不符題意(iii)當(dāng)時(shí),因?yàn)?,設(shè),所以,單調(diào)遞增,即,故存在,使得,不符題意;綜上,的取值范圍為。(2)。①當(dāng)時(shí),恒成立,所以單調(diào)遞增,所以,即符合題意;②當(dāng)時(shí),恒成立,所以單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以存在,使得,且?dāng)時(shí),。即在上單調(diào)遞減,所以,不符題意。綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,恒成立問(wèn)題,意在考查學(xué)生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.18、(Ⅰ);(Ⅱ),證明見(jiàn)解析.【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,易求直線的方程為:,令得,,同理可得,所以,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入上式,化簡(jiǎn)即可得到.【詳解】(Ⅰ)解:由題意可知:,解得,橢圓的方程為:;(Ⅱ)證:設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,聯(lián)立方程,消去得:,,①,點(diǎn),,,直線的方程為:,令得,,,,同理可得,,,把①式代入上式得:,為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問(wèn)題的求解;關(guān)鍵是能夠通過(guò)直線與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)三角形面積得到定值;考查計(jì)算能力與推理能力,屬于中檔題.19、(1)的極坐標(biāo)方程為.曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)【解析】

(1)先得到的一般方程,再由極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式得到一般方程,將代入得,得到曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為,,將分別代入曲線、極坐標(biāo)方程得:,,,之后進(jìn)行化一,可得到最值,此時(shí),可求解.【詳解】(1)由得,將代入得:,故曲線的極坐標(biāo)方程為.由得,將代入得,故曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為,,將分別代入曲線、極坐標(biāo)方程得:,,則,其中為銳角,且滿足,,當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法,極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法,以及極坐標(biāo)中極徑的幾何意義,極徑代表的是曲線上的點(diǎn)到極點(diǎn)的距離,在參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程中,能表示距離的量一個(gè)是極徑,一個(gè)是t的幾何意義,其中極徑多數(shù)用于過(guò)極點(diǎn)的曲線,而t的應(yīng)用更廣泛一些.20、(1)作圖見(jiàn)解析;更適合(2)(3)預(yù)報(bào)值為245【解析】

(1)由散點(diǎn)圖即可得到答案;(2)把兩邊取自然對(duì)數(shù),得,由計(jì)算得到,再將代入可得,最終求得,即;(3)將代入中計(jì)算即可.【詳解】解:(1)繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖,如圖所示:由散點(diǎn)圖可知,更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于的回歸方程類型;(2)把兩邊取自然對(duì)數(shù),得,即,由.∴,則關(guān)于的回歸方程為;(3)當(dāng)時(shí),計(jì)算可得;即溫度為27℃時(shí),該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為2

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