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文檔簡介
2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圓最新模擬題專題訓(xùn)練
2024年最新模擬題一圓專題訓(xùn)練
1.如圖,為口。的直徑,半徑口。的切線CE交A8的延長線于點(diǎn)E,口。的弦CD與A8相交于點(diǎn)
F.(1)求證:EB=EC;(2)若OE=10,且3為EE的中點(diǎn),求□O的半徑長.
BE
2.如圖,AACO內(nèi)接于口O,C。為直徑,射線OE_LAC于點(diǎn)E,交口。于點(diǎn)尸,過點(diǎn)A作口O的切線交射線。石
于點(diǎn)2.(1)當(dāng)/8=25。時,求ZD的度數(shù);(2)當(dāng)AD=2,——=■!■時,求3尸的長.
EF2
3.如圖,是口。的直徑,C,。是口。上異于A,8的兩點(diǎn),S.ZABD=2ZBAC,過點(diǎn)C作CEJ.3。交。B的
延長線于點(diǎn)尸,交的延長線于點(diǎn)E,連接BC.
(1)求證:CE是口。的切線;(2)若AB=1。,BF=2,求BE的長.
D
4.已知48為□。的直徑,C為口。上一點(diǎn),A。和過點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為O,AO交口。于點(diǎn)E.
(1)如圖①,求證:AC平分ND4B;
(2)如圖②,過8作8尸//A£>交口0于點(diǎn)F,連接CF,若AC=4括,DC=4,求CE的長.
5.如圖,A8是口。的直徑,C,。都是□。上的點(diǎn),AO平分NCAB,過點(diǎn)。作AC的垂線交AC的延長線于點(diǎn)
E,交AB的延長線于點(diǎn)尸.
(1)求證:EF是口。的切線;(2)若AB=10,AC=6,求CE的值.
6.如圖,□。是AA8C的外接圓,直徑AB的長為6,過點(diǎn)C的切線交A3的延長線于點(diǎn)。,連接。C.
(1)若/。=30。,求AO的長;(2)若NA=30。,求證:AC=DC.
7.如圖,AB為口。的直徑,弦CA與A8交于點(diǎn)E,連接AC、BD,ZC=75°,ZD=45。.
(1)求/AEC的度數(shù);(2)若AC=2娓,求CD的長.
D\/E
8.如圖,點(diǎn)8為圓O外一點(diǎn),過點(diǎn)8作圓。的切線,切點(diǎn)為A,點(diǎn)P為OB上一點(diǎn),連接AP并延長交圓。于點(diǎn)C,
連接0C,若08與。C垂直.
(1)求證:=;(2)若03=10,圓O的半徑為8,求AP的長.
9.如圖,AABC為口。的內(nèi)接三角形,且48為□。的直徑,OE與口。相切于點(diǎn)。,交A2的延長線于點(diǎn)連
接。。交3c于點(diǎn)f,連接A。、CD,NE=NADC.
(1)求證:AD平分N8AC;⑵若CF=2DF,AC=8,求口。的半徑r.
E
10.如圖,已知□。是RtAABC的外接圓,點(diǎn)。是RtAABC的內(nèi)心,8。的延長線與□O相交于點(diǎn)E,過E作直線
1//AC.(1)求證:/是口。的切線;(2)連接CE,若AB=3,AC=4,求CEr的長.
11.如圖,A4BC是□O內(nèi)接三角形,AC是口。的直徑,點(diǎn)E是弦。8上一點(diǎn),連接CE,CD.
(1)若NDCA=NECB,求證:CELDB-,(2)在(1)的條件下,若AB=6,DE=5,求sin/DBC.
12.如圖,A8為口。的直徑,點(diǎn)C是口。上一點(diǎn),過點(diǎn)C的直線交48的延長線于點(diǎn)M.作ADLMC,垂足為點(diǎn)
D,已知AC平分NMAD.(1)求證:MC是口。的切線;(2)若=,MC=4,求口。的半徑.
D
13.如圖,等腰A4BC內(nèi)接于口0,AC=BC,直徑AB=2血,。是圓上一動點(diǎn),連接A。,CD,BD,CD交AB
于點(diǎn)G.(1)求證:ADAC=ZAGC;(2)若AD=C。,求AACD的面積.
14.如圖,RtAABC的直角頂點(diǎn)C在口。上,口。與斜邊AB相切于點(diǎn)E,口。交邊AC于點(diǎn)。、交BC于點(diǎn)F,
連接EF,ED,且EF//AC.
(1)求證:四邊形CDE尸為矩形;(2)若CD=2,ABAC=30°,求AE的長.
15.如圖,已知四邊形ABC。內(nèi)接于口O,直徑AC與8。交于E點(diǎn),8。平分NADC.
(1)若AD=8O,求證:DC=DE;(2)若處=*,求處的值.
CD2AC
16.如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C在半圓上,點(diǎn)。在AB上,且AC=A£>,0c=8,弧8C的度數(shù)是60。.
(1)求線段OD的長;(2)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留根號和萬).
17.如圖,0A和02是口。的半徑,OA_LOB,點(diǎn)尸在OA上,連接8尸并延長交口O于點(diǎn)C,過C作NOCP=NDPC
交。4的延長線于點(diǎn)
(1)求證:DC是口。的切線;(2)若OP=PC,口。的半徑。4=6,求的長.
C
18.如圖,四邊形ABC。內(nèi)接于□O,AC是□。的直徑,AB=BC,延長到點(diǎn)E,使得BE=BD.
(1)若AF平分NC4。,求證:8A=8尸;(2)試探究線段4。,C。與8。之間的數(shù)量關(guān)系.
19.如圖1,4?為口。的直徑,BC為弦,過圓心。作OD1.BC于。,點(diǎn)E為A8延長線上一點(diǎn),CE1是口。的切
線.(1)求證:ZBCE=ZBOD;
(2)如圖2,取弧AC的中點(diǎn)尸,連接OP,AP,若AB=13,BC=5,求弦PA的長.
圖2
20.如圖,在口O中,直徑為,正方形A8CD的四個頂點(diǎn)分別在半徑OM、OP以及口。上,并且NPOM=45。.
(1)若AB=2,求的長度;(2)若半徑是5,求正方形ABCO的邊長.
22.如圖,AB為口。的直徑,E為的延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)E作口。的切線,切點(diǎn)為點(diǎn)C,連接AC、BC,過
點(diǎn)A作A。_!EC交EC延長線于點(diǎn)D.
(1)求證:ZBCE=ZDAC.(2)若BE=2,CE=4,求的長.
21.【問題提出】如圖1,為口0的一條弦,點(diǎn)C在弦A3所對的優(yōu)弧上運(yùn)動時,根據(jù)圓周角性質(zhì),我們知道NACB
的度數(shù)不變.愛動腦筋的小芳猜想,如果平面內(nèi)線段A8的長度已知,NACB的大小確定,那么點(diǎn)C是不是在某個
確定的圓上運(yùn)動呢?
【問題探究】為了解決這個問題,小芳先從一個特殊的例子開始研究.如圖2,若AB=4,線段A8上方一點(diǎn)C滿
足NAC8=45。,為了畫出點(diǎn)C所在的圓,小芳以AB為底邊構(gòu)造了一個RtAAOB,再以點(diǎn)。為圓心,04為半徑畫
圓,則點(diǎn)C在口。上.后來小芳通過逆向思維及合情推理,得出一個一般性的結(jié)論.即:若線段A8的長度已知,NACB
的大小確定,則點(diǎn)C一定在某一個確定的圓上,即定弦定角必定圓,我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型.
【模型應(yīng)用】
(1)若AB=6,平面內(nèi)一點(diǎn)C滿足/AC8=60。,若點(diǎn)C所在圓的圓心為。,則NAO8=_120。劣弧AB的長
為.
(2)如圖3,已知正方形A8C。以為腰向正方形內(nèi)部作等腰AA8E,其中=,過點(diǎn)E作EF_LAB于點(diǎn)尸,
若點(diǎn)P是AAEP的內(nèi)心.
①求/BPE的度數(shù);②連接CP,若正方形ABCZ>的邊長為4,求C尸的最小值.
c
DC
FB
圖1圖2圖3
23.如圖1,已知A3是半圓。的直徑,BC是半圓。的切線,0C平行于弦AO.
(1)連接8。,若BD=BC,求NC的度數(shù);
(2)如圖2,過。作于E,連接AC與DE交于點(diǎn)尸,求證:PD=PE.
0
81
24.如圖,四邊形ABC。內(nèi)接于口。,對角線AC是口。的直徑,CE與口。相切于點(diǎn)C,連接交AC于點(diǎn)尸.
(1)求證:ZDCE=ZDBC;(2)若CE=#,AD=4,求tan/ABZ>的值.
25.如圖,AABC中,NAC2=90。,點(diǎn)O在邊BC上,以點(diǎn)。為圓心,為半徑的口。交AB于。,交BC于E,
若Cr>=CA.(1)求證:CD為口。的切線;(2)若AC=3,BC=6V2,求2。的長.
26.如圖,在AABC中,ZB=60°,以為直徑的圓與8c邊交于點(diǎn)。,過點(diǎn)。作。E_LAC,垂足為點(diǎn)E,且。E
是口。的切線.
(1)求證:AA8C為等邊三角形;(2)過點(diǎn)E作垂足為點(diǎn)F,連接.若48=2,求EF的長.
27.如圖,AA8C內(nèi)接于半圓O,A8為直徑,NA2C的平分線交AC于點(diǎn)/,交半圓。于點(diǎn)。,?!?,48于點(diǎn)£,
且交AC于點(diǎn)P,連接A。,求證:(1)NCAD=NAB。;(2)點(diǎn)尸是線段A尸的中點(diǎn).
D
A
EOB
28.如圖,已知AB為□。的直徑,過□O上點(diǎn)C的切線交A8的延長線于點(diǎn)E,A3J_EC于點(diǎn)。.且交口O于點(diǎn)
F,連接8C,CF,AC.(1)求證:BC=CF■,(2)若AO=3,DE=4,求BE的長.
29.如圖,在A4BC中,AB=AC,以AB為直徑作□。交2C于點(diǎn)。.過點(diǎn)。作DE_LAC,垂足為E,延長C4
交口。于點(diǎn)尸.(1)求證:DE是□。的切線;(2)若tanB=,,□。的半徑為5,求線段CB的長.
2
30.如圖,A8是口。的直徑,C是耳。的中點(diǎn),?!阓148于點(diǎn)£,BD交CE于點(diǎn)F.
(1)求證:CF=BF;⑵若BE=OE=2,求弧AO的長度.
31.如圖,在口。中,點(diǎn)C是直徑AB延長線上的一點(diǎn),點(diǎn)D是直徑AB上方圓上的一點(diǎn),連接CD,使得ZA=NBDC.
(1)求證:CD是口。的切線;
(2)若CE平分,且分別交A。,BD于點(diǎn)、E,F,當(dāng)。E=2時,求所的長;
(3)若BD=2,AD=4,求8c的長.
33.如圖,點(diǎn)。在的平分線上,口O與尸4相切于點(diǎn)C.
(1)判斷尸8與口。的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)尸。的延長線與□O交于點(diǎn)E.若口。的半徑為3,PC=4.求弦CE的長.
34.如圖,□。的直徑AB垂直于弦C。,垂足為E,AE=2,CD=8.
(1)求口。的半徑長;(2)連接BC,作。P_LBC于點(diǎn)B,求。尸的長.
D
35.已知口O中,AB是直徑,AC是弦,ABAC=32°.
(1)如圖1,連接BC,求NABC的度數(shù);(2)如圖2,過點(diǎn)C作弦CD_LAB,X為垂足,求480。的度數(shù).
36.如圖,點(diǎn)。在□O的直徑A8的延長線上,點(diǎn)C在□O上,AC平分ND4E,4片_18于點(diǎn)£:.
(1)求證:C。是口。的切線.(2)是口。的切線,尸為切點(diǎn),若80=2,ZADE=30°,求以尸的長.
37.如圖,AB是圓。的直徑,C,。是圓上的點(diǎn)(在A3同側(cè)),過點(diǎn)D的圓的切線交直線A2于點(diǎn)E.
(1)若A8=2,BC=1,求AC的長;(2)若四邊形ACDE是平行四邊形,證明:8。平分/A8C.
38.如圖,在口。中,點(diǎn)C是直徑AB延長線上的一點(diǎn),點(diǎn)D是直徑AB上方圓上的一點(diǎn),連接CD,使得ZA=NBDC.
(1)求證:C£>是口。的切線;(2)若CE平分ZACD,且分別交AD,8。于點(diǎn)E,F,當(dāng)。E=2時,求EF的
長.
39.如圖,為口。的直徑,AC是口。的一條弦,。為弧8c的中點(diǎn),過點(diǎn)。作。ELAC,垂足為AC的延長
線上的點(diǎn)E.連接ZM、DB.
(/)求證:OE是口。的切線;(2)延長即交的延長線于尸,若=DE=6,求口。的半徑.
40.如圖,AB是□O的直徑,點(diǎn)C為口。上一點(diǎn),連接AC,CN與口。相切,OM±AB,分別交AC,CN于
點(diǎn)。,M.(1)試猜想線段與MC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)連接8C,若AC=6,ZB=60°,求弧AC
的長.
41.如圖,AABC內(nèi)接于口。,AB,C£>是口。的直徑,E是。3延長線上一點(diǎn),1.ZDEC=ZABC.
(1)求證:CE是口。的切線;(2)若OE=4括,AC=2BC,求線段CE的長.
42.如圖,以BC為底的等腰AA8C的三個頂點(diǎn)都在口。上,過點(diǎn)A作AO//8C交20的反向延長線于點(diǎn)。.
(1)求證:AO是口。的切線.(2)若四邊形ADBC是平行四邊形,且BC=12,求□。的半徑.
43.如圖,點(diǎn)E是AA8C的內(nèi)心,AE的延長線和AA2C的外接圓口。相交于點(diǎn)。,與弦BC交于點(diǎn)尸.
(1)求證:DB=DE.⑵若DF=3,AF=5,求AE的長.
A
0-
'B
44.RtAABC中,ZC=90°,。為AB上一點(diǎn),以O(shè)為□心,OA為半徑的口與8c相切于點(diǎn)。.
(1)求證:AD平分/BAC;(2)連接。E,若AB=2BD,求cos/CDE的值.
45.如圖,AB是口。的直徑.四邊形ABCO內(nèi)接于□。,AD=CD,對角線AC與8。交于點(diǎn)E,在BD的延長
線上取一點(diǎn)F,使DF=DE,連接AF.
(1)求證:AF是口。的切線.(2)若AD=5,AC=8,求口。的半徑.
46.如圖,AB為口。的直徑,C為BA延長線上一點(diǎn),C。是口。的切線,。為切點(diǎn),。尸,A。于點(diǎn)E,交CD于
點(diǎn)尸.(1)求證:ZADC=ZAOF;(2)若sin。=一,BD=8,求EF的長.
3
CA\~0JB
47.如圖,在AABC中,。是內(nèi)心,點(diǎn)E,歹都在大邊上,已知3/=氏4,CE=CA.
(1)求證:。是AAEF的外心;(2)若NB=40。,ZC=30°,求:NEOE的大小.
BEr。
48.問題提出:如圖1,在RtAABC中,ZACB=90°,CB=4,CA=6,口C半徑為2,尸為圓上一動點(diǎn),連接AP、
BP,求的最小值.
2
(1)嘗試解決:為了解決這個問題,下面給出一種解題思路:如圖2,,連接CP,在C8上取點(diǎn)。,使CD=1,則
CDCP1PD1
有——=——二—,又/PCD=/BCP,APCD^ABCP.——=—,:.PD=-BP,AP+-BP=AP+PD.
CPCB2BP222
請你完成余下的思考,并直接寫出答案:尸的最小值為百
AP+1B7_.
2一
(2)自主探索:在“問題提出”的條件不變的情況下,—AP+B尸的最小值為.
3
(3)拓展延伸:已知扇形CO。中,ZCOD=90°,OC=6,OA=3,03=5,點(diǎn)尸是加上一點(diǎn),求2PA+P5的
最小值.
餐基捻
圖1圖2圖3
2024年最新模擬題一圓專題訓(xùn)練
1.如圖,A8為口。的直徑,半徑OD_LAB,□O的切線CE1交AB的延長線于點(diǎn)E,口O的弦。與A8相交于點(diǎn)
F.(1)求證:£F=EC;(2)若OE=10,且2為斯的中點(diǎn),求口。的半徑長.
【解答】(1)證明:連接。C,^.?口O的切線CE交A8的延長線于點(diǎn)E,.^.OCJ.CE,.^.N。CE=90。,即
NOCF+ZECF=90°,OC=OD,ZOCF=ZODF,OD±AB,ZDOF=90°,ZODF+ZOFD=90°,
ZECF=ZOFD,???ZOFD=ZEFC,ZECF=ZEFC,EF=EC;(2)解:設(shè)□O的半徑為r,貝!JOB=OC=r,
OE=10,2為E尸的中點(diǎn),:.BE=BF=lQ-r,EC=EF=2Q-2r,在RtAOCE中,OC2+CE2=OE2,
:.r2+(20-2r)2-102,解得r=6或r=10(舍去),.①。的半徑長為6.
2.如圖,AACD內(nèi)接于口0,C。為直徑,射線OELAC于點(diǎn)E,交口0于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作口O的切線交射線OE
CF1
于點(diǎn)3.(1)當(dāng)48=25。時,求/D的度數(shù);(2)當(dāng)A0=2,——=—時,求8廠的長.
EF2
【解答】解:(1)連接。A,如圖,?.?。。為直徑,「./。4。=90。..?./。+/。=90。,:A5為口O的切線,。4_LA5,
...ZAOB+N5=90°,???ZB=25°,.二ZAOB=65°.丁OE1AC,ZOAC+ZAOB=90°,/.ZOAC=25°,OA=OC,
OF1
ZC=ZOAC=25°.ZD=90°-ZC=65°;(2)?.-—=-,.?.設(shè)OE=a,貝ijE尸=2a,OF=OE+EF=3a.
EF2
?.?OE_LOC,—EC.?.?OD=OC,.1OE為ACZM的中位線,.?.A£)=2OE=2a,AD=2,:.a=l.OE=1,
OA=OF=3.OALAB,AELOB,/.AOAE^AOBA,,/.-=—,
OEOA13
OB=9.BF=OB-OF=9-3=6.
3.如圖,AB是口。的直徑,C,。是口。上異于A,2的兩點(diǎn),MZABD=2ZBAC,過點(diǎn)C作CE_L8D交DB的
延長線于點(diǎn)/,交A8的延長線于點(diǎn)E,連接3c.
(1)求證:CE是口O的切線;(2)若AB=10,BF=2,求BE的長.
F
[解答](1W:連接OC,如圖,???OA=OC,ZOAC=ZOCA,ZBOC=ZA+ZOCA=2ZOAC,:ZABD=2.ZBAC,
ZABD=ZBOC,OC//BD,"CE1BD,OC±CE,CE■為□O的切線;(2)解:vAB=10,BF=2,
.-.OB=OC=5,■:BE//OC,A-=BE,:.BE=—,故BE的長為W.
OCOE5BE+533
4.已知AB為口。的直徑,C為口。上一點(diǎn),AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為。,AO交口。于點(diǎn)E.
(1)如圖①,求證:AC平分ND4B;
(2)如圖②,過3作B尸//AD交口。于點(diǎn)尸,連接C尸,若AC=4百,DC=4,求CE的長.
【解答】(1)證明:連接。C,如圖①,?.?(?£)是口O的切線,.?.OCLCD,AD±CD,:.OC//AD,ZDAC=ZACO,
■:OA=OC,ZOAC=ZOCA,ZDAC=ZCAO,ACZDAB;(2)解:連接CE,CB,如圖②,在RtAACD
中,AC=445,DC=4,:.AD-sjAC2-CD2=8,?.?四邊形ABCE1是口。的內(nèi)接四邊形,NABC+NAEC=180。,
又/DEC+NAEC=180。,ZDEC=ZABC,「AB為口。的直徑,ZACB=90°,ZCAB+ZABC=90°,
5LAD1CD,NADC=90°,ZDAC+ZACD=90。,又ZDAC=ZCAO,ZACD=ZABC,ZDEC=ZACD,
ACAD4,/52—
XZADC=ZCDE,\ACD^\CED,—=—,即^-=一,解得CE=2遙.
CECDCE4
5.如圖,AB是□。的直徑,C,。都是口。上的點(diǎn),平分NCA8,過點(diǎn)。作AC的垂線交AC的延長線于點(diǎn)
E,交的延長線于點(diǎn)
【解答】(1)證明:如圖1,連接。D,?.,AD平分NCAB,ZOAD=ZEAD,/OD=OA,ZODA=ZOAD,
.?.NODA=NEAD,OO//AE,=/=90。且。在□O上,.IEF是□O的切線;(2)連接BC,交OD
于H,?.?AB是口。的直徑,:.ZACB=90°,-:AB=IQ,AC=6,BC^ylAB2-AC2=A/102-62-8,
???ZE=ZACB=90°,BC//EF,ZOHB=ZODF=90°,:.OD1BC,:.CH=-BC=4,CH=BH,OA=OB,
2
:.OH=-AC=3,:.DH=5-3=2,?.-ZE=ZHCE=ZEDH=90°,,四邊形ECffl)是矩形,:.ED=CH=4,
2
CE=DH=2.
6.如圖,□。是AABC的外接圓,直徑A8的長為6,過點(diǎn)C的切線交A8的延長線于點(diǎn)。,連接OC.
(1)若/D=30。,求的長;(2)若/A=30。,求證:AC=DC.
【解答】(1)解::直徑AB的長為6,。4=OC=3,C£>為□O的切線,OCVCD,ZOCD=90°,:ND=30°,
OD=2OC=6,r.AO=OA+OD=3+6=9;(2)證明::OA=OC,ZOCA=ZA=30°,
ZACD=ZOCA+ZOCD=120°,-.?ZD=1800-ZA-ZACD=180°-30°-120°=30°,ZA=Z£>,AC=DC.
1.如圖,AB為口。的直徑,弦CD與AB交于點(diǎn)E,連接AC、BD,ZC=75°,40=45。.
(1)求NAEC的度數(shù);(2)若AC=2a,求CO的長.
【解答】解:(1)???ZD=45°,ZA=ZD=45°,?rNC=75。,在\AEC中,
ZAEC=180°-ZA-ZC=180°-45°-75°=60°.(2)過點(diǎn)O作。尸_LCD于點(diǎn)B,連接OC,?.?44=45。,
ZBOC=2ZA=90°,ZAEC=60°,.?.在AOEC中,ZOCE=180°-ZBOC-ZAEC=30°,;NACE=75°,
r.NACO=75。-30。=45。,-.OA=OC,ZAOC=90°,-.-AC=2屈,/.在RtAAOC中
OC=AC-cosZACO=276COS45°=273,.?.在RtAOFC中,CF=OC-cosZOCF=273cos30°=3,/OFLCD,
:.CD=2CF=6.
8.如圖,點(diǎn)8為圓O外一點(diǎn),過點(diǎn)8作圓。的切線,切點(diǎn)為A,點(diǎn)P為OB上一點(diǎn),連接AP并延長交圓。于點(diǎn)C,
連接OC,若與。C垂直.
(1)求證:=;(2)若08=10,圓。的半徑為8,求AP的長.
【解答】(1)證明:-:OBX.OC,ZPOC=90°,AZC+NCPO=90°,-.?OC=OA,ZC=ZOAC,
:.ZOAC+ZCPO=9Q0,ZBPA=ZCPO,ZOAC+ZBPA=9Q°,:BA與圓切于A,r.半徑OA_LAB,
ZOAC+ZBAP=90°,ZBAP=ZBPA,AB=PB;(2)解:作尸于H,/AB=PB,AP=2PH,
?.?08=10,圓O的半徑為8,AB=yiOB--O^=A/102-82=6,/.BP=AB=6,OP=OB-PB=10-6=4,
PC=yJOP2+CO2=V42+82=475,vZBHP=ZCOP,ZBPH=ZCPO,NBPH^\CPO,PH:PO=BP:CP,
PH:4=6:475,PH=—,:.AP=2.PH=^^,尸的長是05.
555
9.如圖,AABC為口。的內(nèi)接三角形,且為口。的直徑,OE與口O相切于點(diǎn)。,交A8的延長線于點(diǎn)E,連
接。。交BC于點(diǎn)/,連接A。、CD,NE=NADC.
(1)求證:AD平分/BAC;⑵若CF=2DF,AC=8,求口。的半徑r.
【解答】(1)證明:由圓周角定理得:ZABC=ZADC,:NE=NADC,ZABC=ZADC,BC//DE,
■:OE與口O相切于點(diǎn)D,ODLDE,ODVBC,耳。=①,/.ABAD=ACAD,AD平分ABAC;
(2)解:ODA.BC,BF=FC,-:BO=OA,OF=1AC=4,:.DF=r-4,BF=CF=2DF=2(r-4),
在RtABOF中,OB?=OF?+BF?,即/=4?+(2廠_8>,解得:r{=y,r2=4(舍去),答:口。的半徑r為弓.
10.如圖,已知□。是RtAABC的外接圓,點(diǎn)。是RtAABC的內(nèi)心,2。的延長線與口。相交于點(diǎn)E,過E作直線
1//AC.
(1)求證:/是口。的切線;(2)連接CE,若AB=3,AC=4,求CE的長.
【解答】(1)證明:連接。E,?.?點(diǎn)。是RtAABC的內(nèi)心,ZABE=NCBE,OB=OE,NEBC=ZOEB,
:.NABE=NOEB,AB//OE,ABAC=ZOGC=90°,-:l//AC,OE11,為半徑,是口0的切線;
(2)解:在RtAABC中,由勾股定理得,BC=732+42=5,OC=-,-.-OGLAC,:.CG=-AC=2,OG=-AB=~,
2222
:.EG=---=1,在RtACEG中,由勾股定理得,CE=〈EG,+CG,=正+2?=后.
22
11.如圖,AABC是□O內(nèi)接三角形,AC是□O的直徑,點(diǎn)E是弦。2上一點(diǎn),連接CE,CD.
(1)若NDCA=NECB,求證:CEX.DB-,(2)在(1)的條件下,若AB=6,DE=5,求sinNDBC.
【解答】(1)證明:連接A。,TAC是口。的直徑,ZADC=90°,ZDAC+ZACD=90°,:/DCA=NECB,
NC4O=NC2。,.?.NBCE+NCBE=90°,.?.NBEC=90。,.?.CEJ.BDNZ)解:?.?AC是口。的直徑,.?.NA3C=90。,
DFCF
???CE工BD,NCED=90。,:.NCED=/ABC,=:.\ABC^\DEC,——=——,?/AB=6,DE=5,
ABBC
sinZDBC=—DE5
BCAB6
12.如圖,A2為口。的直徑,點(diǎn)C是口。上一點(diǎn),過點(diǎn)C的直線交A8的延長線于點(diǎn)作ADLMC,垂足為點(diǎn)
D,已知AC平分NK4O.
(1)求證:A/C是口O的切線;(2)若A8=8M,MC=4,求口。的半徑.
【解答】(1)證明::AD1MC,ZD=90°,???OA=OC,/OCA=ZOAC,丁AC平分NMAD,.二ZDAC=ZOAC,
AZOCA=ZDAC,/.OC//DA,ZD=ZOCM=90°,TOC是□。的半徑,廠.MC是□。的切線;(2)解:設(shè)
OA=OB=OC=r.-:BM=AB=2r,OM=3r,■:ZMCO=90°,CM2+OC2=OM2,:A6+r2=9r2,
:.r=41(負(fù)根已經(jīng)舍去),二口。的半徑為力.
13.如圖,等腰AABC內(nèi)接于口0,AC=BC,直徑AB=2&,。是圓上一動點(diǎn),連接A。,CD,BD,CD交AB
于點(diǎn)G.(1)求證:ZDAC=ZAGC;(2)若AD=C。,求AACO的面積.
【解答】(1)證明:由圖可得:ZAGC=ZABC+ZBCD,ZDAC=ZCAB+ZBAD,-:AC=BC,ZCAB=ZABC,
ZBCD=ZBAD,ZDAC=ZAGC.(2)解:如圖,連接OD并延長交AC于點(diǎn)E,直徑AB=272,在RtAACB
中由勾股定理得:AC'+BC1=(2V2)2,AC=2,AD=CD,Ho=fe,z.DE1AC,AE^l,vAC=BC,
AACB是等腰直角三角形,ZCAB=45°,OE=AE=1,-.?OD=OA=42,DE=OE+OD=1+41,
s=-xACxD£=-x2x(l+V2)=l+V2,即AACD的面積是1+0.
22',
14.如圖,RtAABC的直角頂點(diǎn)C在口。上,口O與斜邊AB相切于點(diǎn)E,口。交邊AC于點(diǎn)。、交BC于點(diǎn)F,
連接所,ED,且斯//AC.
(1)求證:四邊形CDEF為矩形;(2)若CO=2,ABAC=30°,求AE的長.
【解答】(1)證明:如圖,連接CE,???NAC8=90。,EF//AC,ZCFE=90°,:.CE^UO/.ZCDE=90°,
四邊形C£>EP為矩形.(2)解:;AB是口O的切線,CE是口O的直徑,;.CEJ.AB,即NAEC=90。,又;NA=30。,
rr\CD
NACE=90°-NA=6?!?在RtACDE中,ZACE=6?!?CO=2,:cosNACE=—,:.CE=---------=4,在RtAAEC
CEcos60°
中,vtanZACE=—,AE=CE-tan60°=4V3.
CE
15.如圖,已知四邊形A8CD內(nèi)接于□O,直徑AC與3。交于E點(diǎn),8。平分NADC.
(1)若AD=BD,求證:DC=DE;(2)若迎=3,求四的值.
CD2AC
BB
/DAE=ZDBC
【解答】(1)證明:???3。平分ZADCZADB=ZCDB,在MED和\BCD中,\AD=BD
/ADE=ZBDC
\AEDABCD(ASA),:.DE=DC;(2)解:過5點(diǎn)作5尸_L30交D4的延長線于點(diǎn)尸.如圖,:AC為口。的
直徑,:.ZADC=ZBAC=90°,?/BDZADC,ZADB=ZACB=45°,AA5C和AB/Z)都為等腰直角三角
BF=BD
形,BD=BF,AB=BC,?/ZFBD=ZABC=90°,/.ZFBA=ZDBC,在AA8尸和AC3。中,JZFBA=ZDBC,
BA=BC
4ns
AABF=ACBD(SAS),CD=AF,v—=—,設(shè)CD=2k,AD=5k,DF=Ik,在RtAADC中,
CD2
772
AC=Jen?+AD?=J(2女尸+(5%)2=犧k,在RtABDF中,BD=—DF=,...處=_^=拽1.
、22AC區(qū)k58
16.如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C在半圓上,點(diǎn)。在AB上,且AC=AZ>,0c=8,弧8C的度數(shù)是60。.
(1)求線段OD的長;(2)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留根號和萬).
【解答】解:(1)過C作CE_LAD于E,?.?弧BC的度數(shù)是60。,ZBOC=60°,XOA=OC,/.ZOAC=ZOCA=30°,
OC=8,OE=4CE=782-42=4A/3,AC=86,-:AD=AC=873,OA=OC=8,
60
OD=AD-OA=S43-S;(2)=S^BOC-SWCD=-1x(873-8)x473=^-48+1673.
17.如圖,OA和OB是口。的半徑,OALOB,點(diǎn)尸在OA上,連接8尸并延長交口O于點(diǎn)C,過C作NOCP=NDPC
交OA的延長線于點(diǎn)D.
(1)求證:DC是口。的切線;(2)若。尸=PC,口。的半徑。4=6,求8P的長.
[解答](1)證明:連接0C,貝1JOC=OB,ZOCB=ZB,vZDCP=ZDPC,ZBPO=ZDPC,ZDCP=ZBPO,
OA1OB,ZBOA=90°,ZOCD=ZOCB+ZDCP=ZB+ZBPO=90°,;OC是口O的半徑,且DC_LOC,
.1?DC是口。的切線.(2)解::OP=PC,:.NPOC=NOCB=NB,ZBPO=ZPOC+ZOCB=2ZB,
■:ZBPO+ZB=90°,2NB+ZB=90°,,ZB=30°,—=cosB=cos30°=—,:.OB=OA=yf3,
BP2BP2
.-.BP=2,.1B尸的長是2.
18.如圖,四邊形ABC。內(nèi)接于口。,AC是口。的直徑,AB=BC,延長ZM到點(diǎn)E,使得BE=2。.
(1)若AF平分NCAO,求證:8A=8
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