2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：特殊三角形（13類重點(diǎn)考向）（解析版）

專題15特殊三角形

目錄一覽

知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）

中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）

重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一等腰三角形的性質(zhì)與判定

A考向二三角形的內(nèi)角和

A考向三全等三角形的判定與性質(zhì)

A考向四含30。角的直角三角形

A考向五直角三角形斜邊上的中線

A考向六勾股定理

A考向七勾股定理的證明

A考向八勾股數(shù)

A考向九勾股定理的應(yīng)用

A考向十勾股定理一最短路徑問題

A考向十一等腰直角三角形

A考向十二三角形中位線定理

A考向十三三角形的綜合題

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）

H知識(shí)目標(biāo)

i,了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、

中線及頂角平分線互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；

2,探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60。，及等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的

三角形（或有一個(gè)角是60。的等腰三角形）是等邊三角形.

3,了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半；掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；

4.探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

中考解密

該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)

2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形和勾股定理與中位線性質(zhì)、三

角形全等、三角形內(nèi)外角性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考察，這部分知識(shí)需要學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，并且

會(huì)靈活運(yùn)用.在解答題中會(huì)出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定,這部分知識(shí)主要考查基礎(chǔ)。

生重點(diǎn)考向

A考向一等腰三角形的性質(zhì)與判定

1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸.

2.等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45。.

3.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

4.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a,底邊長(zhǎng)為b,則2<a.

2

]80°—//

5.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為NA,底角為NB、NC,則/A=180O-2/B,NB=/C=------------.

2

6.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等

關(guān)系的重要依據(jù).

7.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形.

河北5一西遺形7萬三的預(yù)正如囪廝示「對(duì)鬲分7萬的飛度施國(guó)造形布獲曲西奏而斐花廠ifim

為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線的長(zhǎng)為（）

【思路點(diǎn)撥】分兩種情況，由三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊的和大于第三邊，即可解決問題.

【規(guī)范解答】解：：△/BC為等腰三角形，

二AB=ZC或NC=5C,

當(dāng)NC=3C=4時(shí)，AD+CD=AC=4,此時(shí)不滿足三角形三邊關(guān)系定理，

當(dāng)4C=/5=3時(shí).滿足三角形三邊關(guān)系定理，

：.AC=3.

故選：B.

【真題點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理.

2.（2023?大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分A/BC是等腰三角形，AB^AC,AF：BF=3：4,點(diǎn)

G、H、尸分別是邊/2、AC.3c的中點(diǎn)；下半部分四邊形8cDE是矩形，BE//IJ//MN//CD,制造窗戶

框的材料總長(zhǎng)為16米（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和），設(shè)米，3E=y米.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計(jì)算窗戶的最大面積.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CF的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)，根據(jù)N尸：BF=3：4即可

求出//的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出N8的長(zhǎng)，NC的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半求出尸G、尸X的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出即=2C=2x米，BE=IJ=MN=CD=y米,最后根據(jù)制造

窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米列出方程即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)窗戶的面積等于A/BC的面積加上矩形8CDE的面積計(jì)算，再根據(jù)配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐

標(biāo)即可.

【規(guī)范解答】解：（1）：△NBC是等腰三角形，尸是3c的中點(diǎn)，

：.BF=CF,AFLBC,4B=AC,

■：BF=x（米），

ACF^x（米），BC=2BF=2x（米），

\'AF：BF=3：4,

AF^yx（米），

4

在RtMFB中，由勾股定理得AB=7AF2+BF2^（jx）2+x2=^x（米），

AC=AB=-T-X（米），

4

:點(diǎn)G、〃分別是邊/8、/C的中點(diǎn)，NAFB=NAFC=9Q°,

FG^ABJX（米），F(xiàn)HAAO^X（米），

z.oNN

;四邊形3C￡>E是矩形，

：.ED=BC=2x（米），BE=CD=y（米），

'：BE//IJ//MN//CD,

：.BE=IJ=MN=CD=y（米），

???制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米，

AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD=16（米），

\>0

由題意得|17

.丁x"

解得0<x<罷;

（2）72S^=BC'BE=2X-（^-X+4）=-^X2+8X-

SAABC-|BC'AF=y-2x-1x-|x'BCDE

設(shè)窗戶的面積為印平方米,

則沙=S"Bc+S矩形5cQE

萬7z吃8s）2亍32

少有最大值，

當(dāng)X總米時(shí)，少最大，最大值為絲平方米.

77

【真題點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)材料總長(zhǎng)用含X的式

子表示乃從而運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求最大值是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?濰坊）如圖，在A/BC中，CD平分/4C5,AELCD,垂足為點(diǎn)￡,過點(diǎn)、E作EF〃BC,交/C

于點(diǎn)RG為8C的中點(diǎn)，連接bG.求證：FG=^AB.

【思路點(diǎn)撥】由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得N/CD=/EEC,即可證明仍=CR再利用直角三

角形的性質(zhì)可證明/P=CF,即可得G尸是A/BC的中位線，進(jìn)而可證明結(jié)論.

【規(guī)范解答】證明：平分//C2,

/ACD=NBCD,

'：EF//BC,

：.AFEC=Z.BCD,

：.NACD=NFEC,

：.EF=CF,

'：AELCD,

：.ZAEC^9Q0,

：.ZEAC+ZACD=90°,ZAEF+ZFEC=90°,

：.NEAC=ZAEF,

:.AF=EF,

：.AF=CF,

：G是3C的中點(diǎn)，

；.G尸是△4BC的中位線，

:.FG=LAB.

2

【真題點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，

三角形的中位線等知識(shí)的綜合運(yùn)用，證明GF是A/BC的中位線是解題的關(guān)鍵.

A考向二三角形的內(nèi)角和

幡技可1錯(cuò)易港

1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).

2.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸.

3.等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合.

4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60。，無論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形.

5.等腰（等邊）三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底

邊上的高重合.

4.（2023面雨）血鹵,在尊揚(yáng)A/BC市,30是/C應(yīng)王鬲市殯,正塞舌E,便C￡=CD,若。E=4而,

貝()

【思路點(diǎn)撥】先由等邊三角形的性質(zhì)，^BDLAC,AD=CD=LC,NABD=NCBD=30°,再根據(jù)CE

2

=CD,得NE=NCDE,進(jìn)而得NC3D=NE=30。，則然后在R348D中，由勾股定

理求出48即可.

【規(guī)范解答】解：：△NBC為等邊三角形，

：.AC=AC=BC,ZABC=ZACB=60°,

是NC邊上的中線，

C.BDLAC,AD=CD=—AC,ZABD=ZCBD=30°,

2

；.AB=2AD,

,:CE=CD,

：./E=NCDE,

?；/ACB=/E+/CDE=2NE,

：.60°=2ZE,

：./E=30。，

NCBD=NE=30°,

：.BD=DE=4M，

在RtA/B。中，由勾股定理得：AB?-AD』BD2,

即(2AD)2-AD2=(473)2,

解得：AD=4,

.'.AB=2AD=S.

故選：C.

【真題點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握等

邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

5.(2023?涼山州)如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊A/BC的兩個(gè)頂點(diǎn)/、3分別在兩條射線。M、ON上滑動(dòng)，若

OMLON,則OC的最大值是1+6.

【思路點(diǎn)撥】取42的中點(diǎn)D,連接0D及。。，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到。。小于等于O0+DC,只

有當(dāng)。、。及C共線時(shí)，。。取得最大值，最大值為O0+CD,由等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,根據(jù)。為N8

中點(diǎn)，得到5。為1,根據(jù)三線合一得到CD垂直于在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理求出CD

的長(zhǎng)，在直角三角形4。8中，。。為斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

可得OD等于的一半，由的長(zhǎng)求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DC+OD,即為OC的最大值.

【規(guī)范解答】解：取中點(diǎn)連OD,DC,

當(dāng)。、D、C共線時(shí)，0C有最大值，最大值是。D+CD,

?.?△45C為等邊三角形，。為A3中點(diǎn)，

；.BD=l,BC=2,

'CD=VBC2-BD2=a，

:△/OB為直角三角形，。為斜邊的中點(diǎn)，

：.OD=—AB=\,

2

：.OD+CD^l+y/3,即0C的最大值為1+V3.

故答案為：1+J^.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理,

其中找出0C最大時(shí)的長(zhǎng)為CD+OD是解本題的關(guān)鍵.

6.（2023?雅安）如圖，四邊形/BCD中，AB=AD,BC=DC,ZC=60°,AE〃CD交BC于點(diǎn)、E,BC=8,

AE=6,則AB的長(zhǎng)為2yH.

A

【思路點(diǎn)撥】連接/C、AD交于點(diǎn)。，過點(diǎn)E作跳U/C,交4c于點(diǎn)F,先證明△BCD是等邊三角形，

AC垂直平分BD,求得/E/C=NACD=N4CB=30o,4E=EC=6,再解三角形求出40=4C-CO=2

最后運(yùn)用勾股定理求得42即可.

【規(guī)范解答】解：如圖：連接NC、AD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)E作即，4C,交AC于點(diǎn)、F,

又,：BC=DC,ZC=60°,

△BCD是等邊三角形，

:.BD=BC=CD=8,

；AB=AD,BC=DC,

：.ACLBD,BO=DO=—BD=4,

2

：.ZACD^ZACB^—ZBCD^30°,

2

又，：AE〃CD,

：.NEAC=ZACD=ZACB=30°.

：.AE=EC=6,

過點(diǎn)E作斯，/C,交/C于點(diǎn)凡

返

CF=CE.C0s300=6x=3我,

2

/尸=/E?COS300=6XK

2

CO=8C.cos30o=8x返

=4強(qiáng),

2

：.AC=CF+AF=6-/j,

：.AO=AC-CO=6V3-4a=2愿.

在Rt^BOA中，AB=7BO2+AO2=7（2V3）2+42=2VV-

故答案為：2曲.

A

C

【真題點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂直平分

線、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線成為解答本題的關(guān)鍵.

A考向三全等三角形的判定與性質(zhì)

7.（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Co"角/O的大小，需將N。轉(zhuǎn)化

為與它相等的角，則圖中與N。相等的角是（）

A.ZBEAB.ZDEBC.ZECAD.ZADO

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：與N/。?；ビ?，匹與N/DO互余，根據(jù)同角的余

角相等可得結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：由示意圖可知：和ADBE都是直角三角形，

：.ZO+ZADO^90°,NDEB+/ADO=90°,

：.ZDEB=ZO,

故選：B.

【真題點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?攀枝花）如圖，在A/BC中，ZA=40°,NC=90。，線段43的垂直平分線交于點(diǎn)。，交4c

于點(diǎn)E,則/￡3C=10。.

【思路點(diǎn)撥】由NC=90。，ZA=40°,求得N/3C=50。，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對(duì)等角和直角三

角形的兩銳角互余求得.

【規(guī)范解答】解：：/C=90。，4=40。,

/.ZABC=90°-ZA=50°,

是線段的垂直平分線，

:.AE=BE,

：./E8/=N/=40。，

/.ZEBC=ZABC-N￡2/=50°-40°=10°,

故答案為：10。.

【真題點(diǎn)撥】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線段垂直

平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A考向四含30。角的直角三角形

在直角三角形中，30。的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，這個(gè)性質(zhì)常常用于計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)，也是證明

一邊（30。角所對(duì)的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù).當(dāng)題目中已知的條件或結(jié)論傾向于該

性質(zhì)時(shí)，我們可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.

156天?賈麗）-二月一26一百「與6西甲國(guó)國(guó)際天雙搪聲亞甯寬薈”茬貫而弁落「茬■"百動(dòng)花豆標(biāo)庫;洋宥許塞

幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120。，腰長(zhǎng)為12m，則底邊上

的高是（）

C

A.4mB.6mC.10mD.12m

【思路點(diǎn)撥】作/DLBC于點(diǎn)D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得乙8=NC=*1（180。

2

-/BAC）=30°,再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【規(guī)范解答】解：如圖，作于點(diǎn)￡）,

AZ5=ZC=A(180°-/BAC)=30°,

2

5L'：AD.LBC,

.,.AD=—AB=—x12=6(m),

22

故選：B.

【真題點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題

關(guān)鍵是掌握30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.

10.（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形/BCD中，AB=AD,N3+ND=180。，點(diǎn)E,歹分別在8C,

CD上,若/B4D=2/EAF,則￡9=2￡+￡）尸.

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形/BCD.已知Cr）=C3=100w,

ZD=60°,ZABC=nQ°,ZBCD=150°,道路4D,N8上分別有景點(diǎn)M,N,且。M=100"?,BN=50

（愿-1）m,若在M,N之間修一條直路，則路線N的長(zhǎng)比路線M-必7N的長(zhǎng)少370m（結(jié)

果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：百M(fèi).7）.

分別計(jì)算CG,AG,3G的長(zhǎng)，由線段的和與差可得和NN的長(zhǎng)，最后由勾股定理可得的長(zhǎng),

計(jì)算AM+AN-MN可得答案.

解法二：構(gòu)建【閱讀材料】的圖形，根據(jù)結(jié)論可得的長(zhǎng)，從而得結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：解法一：如圖，延長(zhǎng)。C,AB交于點(diǎn)、G,過點(diǎn)N作。于

VZZ)=60°,ZABC=120°fZBCD=150°9

：.乙4=360。-60°-120°-150°=30°,

???NG=90。,

：.AD=2DGf

R3CG5中，Z5CG=180°-150°=30°,

.".BG=^BC=5Q,CG=50我，

/.DG=CD+CG=100+50百，

/.AD=2DG=200+10073>AG=43DG=150+100V3,

'：DM=100,

J.AM^AD-DM=200+100V3-100=I00+100?，

：8G=50,BN=5Q（禽-1）,

：.AN=AG-BG-8N=150+100百-50-50（%-1）=150+50日,

RtA/NH中，：N/=30°,

NH=75+2573-AH=MNH=75M+75,

由勾股定理得：MN=VNH2+MH2=V（75+25V3）2+（25V3+25）2=50（、后+1）,

W=100+100V3+l50+5073-50（百+1）=200+100我叼70（加.

答：路線M—N的長(zhǎng)比路線M—A—N的長(zhǎng)少370〃?.

解法二：如圖，延長(zhǎng)。C,N8交于點(diǎn)G,連接CMCM,則NG=90。,

,:CD=DM,ZZ）=60°,

**?叢DCM是等邊三角形，

???ZDCM=60°f

由解法一可知：CG=50?,GN=BG+BN=50+50（5/3-1）=50百,

.?.△CGN是等腰直角三角形，

：.ZGCN=45°,

：.ZBCN=45°-30°=15°,

ZMCN=150°-60°-15。=75。=上/BCD,

2

由【閱讀材料】的結(jié)論得：MN=DM+BN=100+50（?-1）=50愿+50,

W=100+100百+150+50我-50（強(qiáng)+1）=200+100V3-370（加）.

答：路線MTN的長(zhǎng)比路線MTATN的長(zhǎng)少310m.

故答案為：370.

【真題點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查了含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)與方

法，解題的關(guān)鍵是作出所需要的輔助線，構(gòu)造含30。的直角三角形，再利用線段的和與差進(jìn)行計(jì)算即可.

A考向五直角三角形斜邊上的中線

11.（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸.如圖所示，已知//CZ?=

90。，點(diǎn)。為邊Z5的中點(diǎn)，點(diǎn)4、8對(duì)應(yīng)的刻度為1、7,則CQ=()

b/D/\B

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計(jì)算出CD的長(zhǎng).

【規(guī)范解答】解：由圖可得，

N/C8=90。，AB=7-1=6(cm),點(diǎn)。為線段48的中點(diǎn)，

：.CD=^AB=3cm,

2

故選：B.

【真題點(diǎn)撥】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解

答.

12.(2022?杭州)如圖，在RtA/CB中，ZACB=90°,點(diǎn)"為邊48的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，EF±

/C于點(diǎn)R連接CM,CE.已知//=50。，ZACE=30°.

(1)求證：CE=CM.

(2)若4B=4,求線段FC的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得根據(jù)外角的性質(zhì)可得ZA+ZACE,

/EMC=/B+NMCB,根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；

(2)根據(jù)CE=CW先求出CE的長(zhǎng)，再解直角三角形即可求出PC的長(zhǎng).

【規(guī)范解答】(1)證明：?.?NZC2=90。，點(diǎn)”為邊43的中點(diǎn)，

：.MC=MA=MB,

：.ZMCA^ZA,/MCB=/B,

;ZA=50°,

：.ZMCA=50°,ZMCB=ZB=40°,

/./EMC=ZMCB+AB=^°,

'：N4CE=30。,

：.NMEC=ZA+ZACE=SO0,

：.ZMEC=NEMC,

：.CE=CM-,

(2)解：,：AB=4,

：.CE=CM=^-AB=2,

2

:EFLAC,/ACE=30。,

.-.FC=CE?cos30°=V3.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握并靈

活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A考向六勾股定理

解題技再易錯(cuò)易溫

1.應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時(shí)，斜邊只能是C.若b為斜邊，則關(guān)系

式是a2+c2=b2；若a為斜邊,則關(guān)系式是b2+c2=a2.

2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解

時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解.

13.(2023?苧夏5落一副直南三箱板和一把葡度為2c冽的直尺接如囪方式函版：先把60。而45。鬲的頂點(diǎn)及

它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜

邊分別交直尺上沿于4,5兩點(diǎn)，則45的長(zhǎng)是()

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：在R34C。中，ZACD=45°,

：.ZCAD=450=ZACDf

AD=CD=2cm,

在RtABCD中,/BCD=60°,

；?/CBD=30。,

：.BC=2CD=4cm,

?*-BD=gc-CD~yl4^-2^~V3(cm),

：.AB=BD-AD=(2V3-2)(cm).

【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

14.（2023?淮安）在四邊形/2C。中，4B=BC=2,NNBC=120。，AH■為內(nèi)部的任一條射線（N

C3”不等于60。），點(diǎn)C關(guān)于班/的對(duì)稱點(diǎn)為（7,直線4。與BH交于點(diǎn)、尸,連接CC、CF,則ACCE

面積的最大值是4\/?..

【思路點(diǎn)撥】連接8。，根據(jù)圓的定義可知/、。、。在以8點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，再判斷△CCF

是等邊三角形，則當(dāng)CO是圓的直徑時(shí)，ACC尸面積的最大，此時(shí)。。=4,由此可求解.

【規(guī)范解答】解：連接8。，

由軸對(duì)稱性可知，BC=BC,

:AB=BC=B。,

：.A.C、。在以2點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，

ZABC^120°,

：.N/CC=120°,

AZFCC=180°-120°=60°,

,:CF=CF,

...△CO廠是等邊三角形，

...要使ACCE面積的最大，只需co最大即可，

...當(dāng)CO是圓的直徑時(shí)，ACCF面積的最大，

：.CC=4,

△CCE面積的最大值為￡x4x4xsin60。=4百,

故答案為：

D

A

B‘C

【真題點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，能確定CC是圓

的直徑時(shí)，ACC廠面積的最大是解題的關(guān)鍵.

A考向七勾股定理的證明

15.（2023?湖北）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是

由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形.設(shè)圖中DF=b,連接NE,BE,

,22

若△/￡>￡與的面積相等，則旦-uJ—=3.

2,2

ab

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得出/=〃-仍，即日一且_1=0,解方程得到旦=逗包（負(fù)值舍去）代入進(jìn)

21ua2

aa

行計(jì)算即可得到結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：方法一：：圖中DF=b,

：.ED=AF=a,EH=EF=DF-DE=b-a,

?/LADE馬ABEH的面積相等，

?■?yDE-AF=yEH-BH>

a2=b2-ab,

/.1=（互）2-上

aa

解得電=小包（負(fù)值舍去），

a2

22

-ba_fV5+1x2,/2、2_q.

下審Y〒…印）一3’

方法二：'：a2^b2-ab,

??扶-。2=。6,

（.b2-（22）2=a2b2f

：.b4+a4=3a2b2,

,22

?ba—&

>?----4---....-3，

2,2

ab

故答案為：3.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的證明,一元二次方程的解法，根據(jù)題意得出關(guān)于少的方程是解題的

a

關(guān)鍵.

16.（2022?內(nèi)江）勾股定理被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股

定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全

等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形/BCD、正方形EFGH、正方形"W的面積分別為Si、S2>

S3.若正方形跖G8的邊長(zhǎng)為4,則S+Sz+S-48.

【思路點(diǎn)撥】由勾股定理和乘法公式完成計(jì)算即可.

【規(guī)范解答】解：設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為。，短直角邊是b,貝!1：

Si=（。+6）2,$2=42=16,$3=（a-b）2,

且：/+62=￡嚴(yán)=16,

S1+S2+S3—（。+6）2+16+（。-6）2=2（a2+b2）+16

=2x16+16

=48.

故答案為：48.

【真題點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用勾股定理和乘法公式表示三個(gè)正方形的面積是求解本題的

關(guān)鍵.

A考向八勾股數(shù)

17.（2023?南通）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的

22

是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》.現(xiàn)有勾股數(shù)。，b,c,其中a,6均小于c,a=lm-1,c=lm

222

m是大于1的奇數(shù)，則b—m（用含m的式子表示）.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股數(shù)的定義解答即可.

【規(guī)范解答】解：b,。是勾股數(shù)，其中a,6均小于c,a=^m2-1,

彳2$

22

b2=c2-a2

=(—m2+—)2-2

2222

=工冽4+工+工用2,（工優(yōu)4+工_L/）

442442

=—ZM4+—+—m2-—m4-—+—m2

442442

m是大于1的奇數(shù),

??b=rn.

故答案為：如

【真題點(diǎn)撥】本題考查的是勾股數(shù)，熟知滿足。2+62=/的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵.

18.（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”.觀察下列勾股

數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1.柏拉圖

研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17；若此類勾股數(shù)的勾為

2m（m>3,為正整數(shù)），則其弦是"於+i（結(jié)果用含加的式子表示）.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得2〃?為偶數(shù)，設(shè)其股是a,則弦為a+2,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：為正整數(shù)，

；,2m為偶數(shù),設(shè)其股是則弦為a+2,

根據(jù)勾股定理得，（2/77）2+層=（。+2）2,

解得a=m--1,

?,?弦是。+2=源-1+2=7712+],

故答案為：機(jī)2+1.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

A考向九勾股定理的應(yīng)用

19.（2023?恩施州）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”.書中記載：“今有戶不知高、

廣，竿不知長(zhǎng)短.橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出.問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，

不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門

對(duì)角線恰好相等.問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8,

6,10尺.

DC

J~7

A廣B

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對(duì)角線長(zhǎng)，可與門的寬和高構(gòu)成直角三

角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高、寬、對(duì)角線長(zhǎng).

【規(guī)范解答】解：設(shè)門對(duì)角線的長(zhǎng)為x尺，則門高為G-2）尺，門寬為G-4）尺，

根據(jù)勾股定理可得：

X2—（x-4）2+（%-2）2,即尤2=r-8x+16+N-4x+4,

解得：xi=2（不合題意舍去），》2=10,

10-2=8（尺），

10-4=6（尺）.

答：門高8尺，門寬6尺，對(duì)角線長(zhǎng)10尺.

故答案為：8,6,10.

【真題點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，正確運(yùn)用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問題中是解答本題

的關(guān)鍵，難度一般.

20.（2023?東營(yíng)）一艘船由/港沿北偏東60。方向航行303?至3港，然后再沿北偏西30。方向航行40袖

至C港，貝1J/,。兩港之間的距離為50km.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得：/DAB=60。,NFBC=30°,AD//EF,從而可得40/8=//2E=60。，然

后利用平角定義可得N/8C=90。，從而在RtA48。中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【規(guī)范解答】解：如圖：

AD//EF,

?.ZDAB=ZABE=60°,

：.ZABC=1SO°-ZABE-ZFBC=90°,

在RS/2C中，AB=30km,BC=40km,

^C=VAB2+BC2=V302+402=5°L,

???/,。兩港之間的距離為50初i,

故答案為：50.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

21.（2022?常州）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為20c〃?的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形/BCD,

對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長(zhǎng)度達(dá)到36c加時(shí)才會(huì)斷裂.若/8/。=60。，則橡皮筋/C不會(huì)斷裂

（填“會(huì)”或“不會(huì)”,參考數(shù)據(jù)：V3-1.732）.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)/C與8。相交于點(diǎn)O,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC=2AO,OD=^BD,AD

2

AB=20cm,從而可得△/次）是等邊三角形，進(jìn)而可得8D=20c機(jī),然后再在Rt/UZX?中，利用勾股定理

求出/。，從而求出NC的長(zhǎng)，即可解答.

【規(guī)范解答】解：設(shè)ZC與相交于點(diǎn)O,

???四邊形/BCD是菱形,

C.ACLBD,AC=1AO,OD=—BD,AD=AB=2(km,

2

:ZBAD=60°,

是等邊三角形,

BD=AB=20cm,

：.DO=—BD=1Q(cm),

2

在Rt^ADO中，AO=?AD2-DO2=20^-10^=1(cm),

.,./C=2/O=20百=34.64(cm),

34.64cm<36cm,

..?橡皮筋/c不會(huì)斷裂，

故答案為：不會(huì).

D-----------------”

【真題點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A考向十勾股定理一最短路徑問題

22.（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為/瓦高為NC,一只螞蟻在。處，沿圓柱的側(cè)面爬到8處，現(xiàn)

將圓柱側(cè)面沿NC“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）

【思路點(diǎn)撥】利用圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，而點(diǎn)8是展開圖的一邊的中點(diǎn)，再利用螞蟻爬行的最近路

線為線段可以得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：將圓柱側(cè)面沿NC“剪開”，側(cè)面展開圖為矩形，

:圓柱的底面直徑為/瓦

...點(diǎn)2是展開圖的一邊的中點(diǎn)，

???螞蟻爬行的最近路線為線段，

選項(xiàng)符合題意，

故選：C.

【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了圓柱的側(cè)面展開圖，最短路徑問題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵.

23.（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9c〃z,底面周長(zhǎng)為160”，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)/處

有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1”?,且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)3處，則螞蟻從

外壁2處到內(nèi)壁/處所走的最短路程為10cm.（杯壁厚度不計(jì)）

A

「一」

【思路點(diǎn)撥】將杯子側(cè)面展開，建立B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)夕，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知B'A的長(zhǎng)度即

為所求.

【規(guī)范解答】解：如圖：

將杯子側(cè)面展開，作3關(guān)于斯的對(duì)稱點(diǎn)夕，

連接用4則9/即為最短距離，

B'A=VB/D2+AD2=7S2+62=10（。加）?

故答案為：10.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)

行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

A考向H■一等腰直角三角形

24.（2023?麗水）如圖，在四邊形N8CD中，ZC=45°,以為腰作等腰直角三角形

頂點(diǎn)￡恰好落在CD邊上，若40=1,則CE的長(zhǎng)是（

【思路點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)4作4bLsc于R過點(diǎn)E作GHJ_5c于交40的延長(zhǎng)線于G,則N4必

=/CHE=90。,證明四邊形4WG是正方形，則4G=G7/,再證明花和△》否是等腰直角三角形，

則。G=EG,CH=EH,最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)4作4尸，5c于尸，過點(diǎn)E作G//，5c于X,交4。的延長(zhǎng)線于G,則N

：.AF//GHf

■:AD//BC,NAFH=90。,

???四邊形4廠"G是矩形，

工ZG=ZAFH=ZFHG=NE4G=90。,

???AABE是等腰直角三角形，

：.AB=AEfZBAE=90°,

'：NE4G=NBAE,

：.NBAF=NEAG,

ZAFB=ZG=90°,

:?△AFBm/\AGECAAS),

：.AF=AG,

???矩形4"ZG是正方形，

:?AG=GH,

,:AG〃BC,

：.ZC=ZEDG=45°,

：.ACHE和△QGE是等腰直角三角形，

:?DG=EG,CH=EH,

:?AD=EH=\,

???CH=1,

由勾股定理得：CE=+1=A/2?

解法二：如圖2,過點(diǎn)E作跖，CZ）,交BC于F,

圖2

VZC=45°,

???叢EFC是等腰直角三角形，

:,EF=CE,/CFE=45。,

：.NBFE=180。-45°=135°,

ZCFE=ZFBE+ZBEF=45°,ZAED+ZBEF=90°-45°=45°,

???NAED=NFBE,

???叢ABE是等腰直角三角形，

.AE_1

.?瓦—7T

9：AD//BC,

AZC+Z￡>=180°,

???/。=180。-45。=135。，

???ZD=ZBFE,

：.LADEsAEFB,

.AD=AE=1

?下BE7F

'：AD=lf

.*.￡F=V2，

：.CE=EF=42-

故選：A.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形和正方形的性質(zhì)和判

定等知識(shí)，正確作輔助線構(gòu)建△/必和ZUGE全等是解本題的關(guān)鍵.

25.（2023?蘇州）如圖，/BAC=90。,AB=AC=3如,過點(diǎn)。作CD_LBC,延長(zhǎng)C5到區(qū)使8E=5C。,

3

連接4B,ED.若ED=2AE,則BE=1+J7.（結(jié)果保留根號(hào)）

【思路點(diǎn)撥】如圖，過E作于點(diǎn)Q,設(shè)AE=y,可得CD=3x,DE=2y,證明BC=42AB

=6,CE=6+x,4CQE為等

腰直角三角形，Q￡=C0=*_C￡=隼(6+x)=3圾+冬x,AQ=^-x,由勾股定理可得:

（2y）2=（6+x）2+（3x）2

y2=（與,）2+（3收當(dāng)x）2再解方程組可得答案.

【規(guī)范解答】解：如圖，過E作E0LC4于點(diǎn)。,

?：BE^—CD,ED=2AE,

3

??CD--3x9Z）E=2y，

VZBAC=90°,AB=AC=3瓜

：.BC=42AB=6,CE=6+X,AC0E為等腰直角三角形,

：.QE-CQ-近CE-近（6+x）=3y[2+^-x,

：.AQ=^-X,

，（2y）2=（6+x）2+（3x）2

由勾股定理可得：。后DL赤啜

y2=（$）2+（3正專乂產(chǎn)

整理得：x2-2x-6=0,

解得：x=1iV7?

經(jīng)檢驗(yàn)X=1-正不符合題意；

.,.BE=x=l+y/7;

故答案為：

【真題點(diǎn)撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適

的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

A考向十二三角形中位線定理

26.(2023?陜西)如圖，是A/BC的中位線，點(diǎn)尸在。3上，DF=2BF.連接環(huán)并延長(zhǎng)，與C8的延

長(zhǎng)線相交于點(diǎn)若BC=6,則線段CM的長(zhǎng)為()

22

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中中位線定理證得求出。E,進(jìn)而證得△DEFSBMF,根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)求出8”,即可求出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：是2U2C的中位線，

C.DE//BC,￡>￡,=—5C=—x6=3,

22

△DEFs^BMF,

.DE_DF_2BF_2

"BMBF-BF-，

:.BM=3,

2

15

CM=BC+BM=—.

2

故選：C.

【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定

理和相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

27.（2023?湖州）如圖，在A/BC中，AB=AC,4D_L3c于點(diǎn)。，點(diǎn)￡為48的中點(diǎn)，連結(jié)DE.已知3c

=10,40=12,求BD,的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD-|BC，根據(jù)勾股定理求出/8=13,

【規(guī)范解答】解4DL2C于點(diǎn)。，

BD=1BC>

：2C=10,

:,BD=5,

,?ZQ_L5C于點(diǎn)。，

???N4DB=90。,

在RtAABD中，AB2=AD2+BD2,

U：AD=12,

AB=VAD2+BD2=V122+52=13'

為48的中點(diǎn)，