2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合問(wèn)題（3易錯(cuò)7題型）（原卷版）

通關(guān)秘籍04一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合問(wèn)題

目錄

【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

■（中考預(yù)測(cè)

一次函數(shù)和反比例函數(shù)是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容.每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)

殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х?

I.從考點(diǎn)頻率看，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是考查的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以

對(duì)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)必須熟記.

2.從題型角度看，以解答題的第三題或第四題為主，分值8分左右，著實(shí)不少！

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)-----次函數(shù)與反比例函數(shù)中由面積求點(diǎn)坐標(biāo)

【例1】（2024?廣東珠海?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)圖象y=-x+5與了軸交于

點(diǎn)A,與反比例函數(shù)y=K的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為3（°,4）,過(guò)點(diǎn)B作N8的垂線/.

X

⑴求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)C在直線/上，且“3C的面積為5,求點(diǎn)。的坐標(biāo);

易錯(cuò)點(diǎn)撥

本題考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)綜合-幾

何問(wèn)題，三角形的面積公式，綜合性較強(qiáng)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題

的關(guān)鍵.

I________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024?甘肅隴南?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x-4與反比例函數(shù)＞=勺的

X

圖象交于4,2兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)3的坐標(biāo)分別為（5〃,和（〃55）.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵點(diǎn)P為反比例函數(shù)＞="圖象上任意一點(diǎn)，若SApoc=2SAAOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【例3】（2024?山東濟(jì)寧?一模）如圖，點(diǎn)4（3,6）,8（6,0）是反比例函數(shù)y=%的圖象上的兩點(diǎn)，連接04、

OB.

⑴求。的值；

⑵求&4O8的面積；

⑶若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（9,0）,點(diǎn)尸是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，若△尸。。的面積等于面積的3倍，求點(diǎn)尸

的坐標(biāo).

易錯(cuò)點(diǎn)二一次函數(shù)中平移問(wèn)題

【例1】（2024?河北邯鄲?二模）如圖，直線4：y=x+4與了軸，X軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)3,直線4與了軸，》軸

交于點(diǎn)A,點(diǎn)C,。。=204.

⑴求點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線4的解析式；

⑵點(diǎn)。卜■山+在直線4上.

①直接寫(xiě)出直線4的解析式；

②若點(diǎn)。在內(nèi)部（含邊界），求用的取值范圍；

③橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)，將直線4向上平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度（〃為整數(shù)），直線4在第二象限恰有4

個(gè)整點(diǎn)，直接寫(xiě)出"的值.

易錯(cuò)點(diǎn)撥

本題是一道一次函數(shù)綜合問(wèn)題，考查了求一次函數(shù)的解析式；一次函數(shù)的上加下減原則；已知點(diǎn)在直

線上的求點(diǎn)的坐標(biāo)等，需要有解決一次函數(shù)的綜合能力.

【例2】（2024?河北石家莊?一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，線段48的端點(diǎn)為4（2,2）,5（4,1）.直線/:y=x+2

與x軸，了軸分別交于C,。兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿了軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向下移動(dòng)，設(shè)移

動(dòng)時(shí)間為/秒.某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫(huà)：線段N8為藍(lán)色光帶，當(dāng)有動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線經(jīng)過(guò)線段時(shí)，藍(lán)色光帶

⑴求直線的解析式；

⑵①若直線/隨點(diǎn)尸向下平移，當(dāng)f=2時(shí)，藍(lán)色光帶是否變紅？

②點(diǎn)M是直線/上的一點(diǎn)，若點(diǎn)”向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度的過(guò)程中，能使藍(lán)色光帶變紅，求點(diǎn)”的橫坐標(biāo)

xM的取值范圍；

⑶當(dāng)點(diǎn)C,點(diǎn)P與藍(lán)色光帶上的點(diǎn)&，"，〃)三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出加與f的函數(shù)關(guān)系式.

易錯(cuò)點(diǎn)三一次函數(shù)與反比例函數(shù)中求線段和的最小值問(wèn)題

【例1】(2024?甘肅蘭州?模擬預(yù)測(cè))如圖，一次函數(shù)y=x+8的圖象與反比例函數(shù)y=：(x<0)的圖象交于

/(a,6),3兩點(diǎn).

⑴求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)8的坐標(biāo)；

⑵在y軸上存在點(diǎn)P,使得/P+AP的值最小，求/P+BP的最小值.

易錯(cuò)點(diǎn)撥

本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2023?遼寧盤(pán)錦?二模）如圖，一次函數(shù)>=尤+4的圖象與反比例函數(shù)y=￡（左為常數(shù)且左40）的

⑴求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)8的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍；

⑶在V軸上存在點(diǎn)尸，使得△/尸3的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)并直接寫(xiě)出41%的周長(zhǎng).

■搶分通關(guān)

題型——次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

［典例精講一

【例1】（2024,浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)/（叫,3（碎;，〃2）（加1〈加2）在1次函數(shù)y=h+方的圖像上.

⑴用含有四，％,加2，“2的代數(shù)式表示上的值.

⑵若叫+嗎=36,nt+n2=kb+4,6>2.試比較％和內(nèi)的大小，并說(shuō)明理由.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

I__________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024■浙江杭州?一模）設(shè)一次函數(shù)夕=依+3。+1（。是常數(shù)，。/0）.

⑴無(wú)論。取何值，該一次函數(shù)圖象始終過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，直接寫(xiě)出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)：

⑵若2VxV4時(shí)，該一次函數(shù)的最大值是6,求。的值.

［名校模擬

1.（2024?北京?一模）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，一次函數(shù)"辰+b（左H0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0［），（-2,2）,

與x軸交于點(diǎn)/.

⑴求該一次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)/的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)x>2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=2x+加的值大于一次函數(shù)y=h+Z>（k#0）的值，直接寫(xiě)出加

的取值范圍.

2.（2024?浙江寧波■模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)必=小+"（加”40）.

⑴已知關(guān)于x的一元二次方程/+加x-〃=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，試說(shuō)明一次函數(shù)%=/尤+"的圖象

過(guò)第一和第二象限.

⑵在（1）的條件下，已知另一函數(shù)%=〃尤+機(jī)的圖象與力圖象的交點(diǎn)在第四象限，求不等式必>%的解.

題型二反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

典例精講

3—m

【例1】（2024?陜西西安?一模）已知反比例函數(shù)>=二上.

x

⑴若該反比例函數(shù)圖象在每一個(gè)象限內(nèi)，y都隨著x的增大而減小，求機(jī)的取值范圍;

（2）若點(diǎn)/（2,3）在此反比例函數(shù)圖象上，求反比例函數(shù)的解析式.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).

“名校模擬

1.(2024?福建南平?一模)反比例函數(shù)>=勺圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(1,6),B(a,3).

X

⑴求。的值；

⑵若點(diǎn)C(%〃)在反比例函數(shù)y=&圖象上，其中〃<3,求冽的取值范圍.

題型三一次函數(shù)和反比例函數(shù)與不等式綜合問(wèn)題

典例精講

【例1】(2024?貴州畢節(jié)?一模)如圖，一次函數(shù)了="+6("0)與反比例函數(shù)》=m人0)的圖象在第一象

限交于2(2,3)和8(3皿)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C.

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵直接寫(xiě)出關(guān)于尤的不等式依+6>&(x>0)的解集.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用待定系

數(shù)法求出一次函數(shù)的關(guān)系式即可；根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得出一次函數(shù)

大于反比例函數(shù)的值的X的取值范圍.

L_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024?陜西寶雞?一模）如圖所示，一次函數(shù)必=f+:a圖象與反比例函數(shù)y,=上圖象相交于點(diǎn)4A3）

X

和點(diǎn)2（3,-1）.

⑴求反比例函數(shù)解析式；

⑵當(dāng)乃＞%時(shí)，求x的取值范圍.

I名校模擬

IId

1.（2024?山西朔州?一模）如圖，反比例函數(shù)%=占■（勺＞0,x＞0）與一次函數(shù)%=質(zhì)工+6（左23°）的圖象交于

4（2,3）,8卜,|）兩點(diǎn).

⑴求相的值及一次函數(shù)的表達(dá)式.

⑵直接寫(xiě)出當(dāng)必〉為時(shí)，x的取值范圍.

2.（2024?江西九江?一模）如圖一次函數(shù)y=^+b的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象相交于點(diǎn)/（-I,加）,

5（/7,-1）.

⑴求一次函數(shù)的解析式；

⑵結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出不等式丘+6>-色4的解集.

1z，

3.（2024?河南安陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)y=的圖象與反比例函數(shù)了=—（左片0）的圖象交于

2x

Z（a,l）,8（-2,6）兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵觀察圖象，直接寫(xiě)出不等式1x-l〈上的解集；

2x

⑶若尸（加,0）為X軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接）?，當(dāng)△NPC的面積為|?時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

題型四一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求三角形面積問(wèn)題

典例精講,

【例1】（2024?山西大同?一模）如圖,一次函數(shù)卜="+6的圖象與反比例函數(shù)y=勺左＞0）的圖象相交于點(diǎn)

^（6,-3-2?）,點(diǎn)8（”,-3）,與夕軸交于點(diǎn)C.

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

⑵點(diǎn)。是點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接BD,求的面積.

通關(guān)指導(dǎo)

此題是反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和

準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024■吉林白山?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=f+5的圖象與反比例函數(shù)

＞=口后＞0）的圖象相交于/（1,?。?、8（4））兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C,連接04、OB.

⑴求反比例函數(shù)的解析式;

⑵求“05的面積.

名校模擬

1.（2024?湖南長(zhǎng)沙三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)了=-^》+6與反比例函數(shù)》=：（上片°）交

于/（私6）,3（4,-3）兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C,連接。4。反

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;

⑵求。03的面積.

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=3x+b的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)/,B,

與反比例函數(shù)y=8（x>0）的圖象交于點(diǎn)C（l,a）,D是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。向V軸作垂線與

X

一次函數(shù)圖象交于點(diǎn)E,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3,0）.

備用圖

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵連接D8,Z）C,當(dāng)?shù)拿娣e等于△D8C面積的2倍時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶若P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接當(dāng)AZJPE與“03相似時(shí)，求點(diǎn)。的縱坐標(biāo).

題型五一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求證問(wèn)題

典例精講，

【例1】（新考法，拓視野）（2024?河南周口?一模）如圖，反比例函數(shù)＞=人與正比例函數(shù)y=/交于點(diǎn)/（3,2）

和點(diǎn)C,與正比例函數(shù)7=6無(wú)交于點(diǎn)8和點(diǎn)D

⑴求后與。的值，并求點(diǎn)3,C,。的坐標(biāo);

⑵求證：NCBD=NADB.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定，平行線的性

質(zhì)，根據(jù)函數(shù)交點(diǎn)求出求解析式是解題關(guān)鍵.

名校模擬,

1.（2024?湖南懷化?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).如圖，一次函數(shù)y="+6（a為常數(shù),

awO）與反比例函數(shù)＞=工（后為常數(shù)，左40）的圖象相交于點(diǎn)/（2,5）和點(diǎn)3（m,-4）.

X

⑴求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

⑵過(guò)點(diǎn)/作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)8作x軸的垂線，相交于點(diǎn)C；過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，過(guò)點(diǎn)8作y軸的垂線,

相交于點(diǎn)。.求證：C,O,D三點(diǎn)在同一條直線上.

2.（2024?河南平頂山?一模）如圖，一次函數(shù)了=辦+6的圖象與反比例函數(shù)y=&的圖象交于第一象限C（l,4）,

X

D（4,m）兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸交于4、5兩點(diǎn)，連接。C,OD（。是坐標(biāo)原點(diǎn)）.

⑴求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

⑵當(dāng)辦+6〈勺時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍；

⑶將直線向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度，直線與反比例函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)？

題型六一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求線段長(zhǎng)問(wèn)題

典例精講,

【例1】（2024?廣東珠海?一模）如圖1.直線y=2x+l與y軸交于點(diǎn)￡與反比例函數(shù)y=：（x>0）的圖象

交于點(diǎn)圖2將線段向右平移加個(gè)單位長(zhǎng)度（加>0）,得到對(duì)應(yīng)線段CD,連接/C,BD.當(dāng)點(diǎn)

。恰好落在反比例函數(shù)圖象上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作《廣，x軸于點(diǎn)凡交反比函數(shù)圖象于點(diǎn)E.

⑴求反比例函數(shù)表達(dá)式;

⑵求E尸的長(zhǎng)度.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查求反比例函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用.

j名校模擬

1.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)必=h+乂左/0）的圖象與反比例函數(shù)

%=§（切看0）的圖象相交于第二、四象限內(nèi)的/（-1,3）,3（a,-1）兩點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)C.

⑴求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

⑵在X軸上找一點(diǎn)尸，使尸/-PC最大，求尸/-PC的最大值及點(diǎn)尸的坐標(biāo).

題型七利用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)探究平移問(wèn)題

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）小明在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步

1

研究了函數(shù)了=一同的圖象與性質(zhì).其探究過(guò)程如下：

⑴繪制函數(shù)圖象，如圖，

列表：下表是x與了的幾組對(duì)應(yīng)值，其中〃?=；

1_

X-33

-2-1~212

m

y-3~2-1-2-1~2-3

描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值（xj）,在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)；

連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫(huà)出了部分圖象，請(qǐng)你把圖象補(bǔ)充完整;

⑵通過(guò)觀察函數(shù)圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)：.

⑶利用函數(shù)圖象，解不等式2》-3+j<0.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解一元二次方程.

2

【例2】（2024?陜西西安?一模）樂(lè)樂(lè)同學(xué)在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究函數(shù)了=二的性質(zhì).以

x-1

下是他的研究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

⑴如表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.

X-i-2-102345

_2j_