2025年中考數(shù)學大題與幾何壓軸題：圓壓軸（原卷版）

專題12圓壓軸

目錄

題型特訓-精準提分

型

題

01與圓有關的多結論問題（選/填）

型

題

02與圓有關的平移問題

型

題

03與圓有關的翻折問題

型

題

04與圓有關的旋轉(zhuǎn)問題

型

題

05與圓有關的最值問題

型

題

06與圓有關的動點問題

型

題

07與圓有關的新定義問題

型

題

08阿氏圓

型

題

09圓、幾何圖形、銳角三角函數(shù)綜合

型

題

型與圓有關的閱讀理解問題

題10

型

題11與圓有關的存在性問題

12與圓有關的定值問題.

中考逆襲-高效集訓

（時間：60分鐘）

題型特訓-精準提分

題型01與圓有關的多結論問題（選/填）

I.（2023?河北保定?模擬預測）如圖，在aaBC中，BC=10,點。為48上一點，以5為半徑作。。分別與

BC,4;相切于D,E兩點，OB與。。交于點M,連接。C交。。于點F,連接ME,FE,若點D為BC的中點,

給出下列結論：①CO平分乙4CB；②點E為4C的中點；@^AME=22.5°；④標的長度為京.其中正確結

論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2024?山東濟寧?一模）如圖，在扇形04B中，^AOB=90°,半徑。4=2.將扇形0aB沿過點B的直線折

疊，點。恰好落在而上點。處，折痕交。4于點C,點E為0B的中點，點P為線段CB上一個動點，連接。P,

PE,DP,過點。作DF1BC于點尸，下列說法：①當點P運動到C8的中點時，四邊形COPD為菱形，②輯f

=g,③OP+PE的最小值為遙，④陰影部分面積為p—竽，正確的是（填序號）.

3.（2023?廣東廣州?二模）如圖，四邊形ZBCD內(nèi)接于。。，AC為。。的直徑，乙4CD+ABCD=180。，連

接。D,過點。作DEL4C,DFLBC,垂足分別為點E、點F,則下列結論正確的

是.①4A0D=24BAD；（2）ADAC=Z.BAC；③DF與。。相切；④若4E=4,EC=1,則BC=3.

D

題型02與圓有關的平移問題

4.（2023?廣東深圳?一模）如圖1,平行四邊形48CD中，AD=2V3,DC=4通,/。=60。，點M在BC延

長線上且CM=CD,EF為半圓。的直徑且FE1BM,FE=6,如圖2,點￡從點M處沿MB方向運動，帶動

半圓。向左平移，每秒遙個單位長度，當點尸與點。重合時停止平移，如圖3,停止平移后半圓。立即繞

點E逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動5。，點廠落在直線BC上時，停止運動，運動時間為/秒.

（1）如圖1,BF=；

（2）如圖2,當半圓。與。C邊相切于點尸，求EM的長；

⑶如圖3,當半圓。過點C,EF與DC邊交于點Q,

①求EF平移和旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積；

②求CQ的長；

（4）直接寫出半圓O與平行四邊形ABCD的邊相切時，的值.（參考數(shù)據(jù)：5也35。=苧，tan35°^^）

5.（2023?江蘇南京?二模）在平面內(nèi)，將小棒4B經(jīng)過適當?shù)倪\動，使它調(diào)轉(zhuǎn)方向（調(diào)轉(zhuǎn)前后的小棒不一定在

同一條直線上），那么小棒掃過區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？

已知小棒長度為4,寬度不計.

方案1：將小棒繞AB中點。旋轉(zhuǎn)180。到B7T,設小棒掃過區(qū)域的面積為Si（即圖中灰色區(qū)域的面積，下同）；

方案2：將小棒先繞/逆時針旋轉(zhuǎn)60。到4C,再繞C逆時針旋轉(zhuǎn)60。到CB,最后繞2逆時針旋轉(zhuǎn)60。到房4,

設小棒掃過區(qū)域的面積為S2.

cc

/⑼n於/N

A，---------------------

方案1方案2方案3(未完成)

(1)①S1=，$2=;(結果保留兀)

②比較S1與S2的大小.(參考數(shù)據(jù)：7T?3.14,V3?1.73.)

(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉(zhuǎn)后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進行第2、3次旋轉(zhuǎn)，三

次旋轉(zhuǎn)掃過的面積會重疊更多，最終小棒掃過的區(qū)域是一個等邊三角形.

①補全方案3的示意圖；

②設方案3中小棒掃過區(qū)域的面積為S3,求S3.

(3)設計方案4,使小棒掃過區(qū)域的面積S,小于S3,畫出示意圖并說明理由.

6.(2023?福建廈門?一模)點。是直線MN上的定點，等邊△4BC的邊長為遮，頂點力在直線MALL,AABC

從。點出發(fā)沿著射線。M方向平移，BC的延長線與射線ON交于點D,且在平移過程中始終有NBD。=30。，連

接。B,OC,OB交AC于點、P,如圖所示.

(1)以。為圓心，。。為半徑作圓，交射線OM于點E.

①當點B在。。上時，求麗的長；

②。。的半徑為r,當△力8C平移距離為2r時，判斷點C與的位置關系，并說明理由；

(2)在平移過程中，是否存在OC=OP的情形？若存在，請求出此時點。到直線BC的距離；若不存在，請說明

理由.

題型03與圓有關的翻折問題

7.(2023?安徽淮南?一模)如圖，已知，4B是O。的直徑，點C為圓上一點.

(1)如圖①，將前沿弦力C翻折，交力B于。，若點。與圓心。重合，AC=2V3,則。。的半徑為'

(2)如圖②，將前沿弦BC翻折，交AB于D,把麗沿直徑翻折，交BC于點E.

(I)若點E恰好是翻折后的血的中點，貝的度數(shù)為

(II)如圖③，連接DE,若4B=10,OD=1,求線段DE的長.

4

8.(2022?河北保定?一模)RtAABC,z_C=90。，BC=6,tanB=E,尸分別在AC,BC邊上，且￡T=5,

將△EFC沿EF翻折至△EF。位置.以EF為直經(jīng)作半。0；

(1)CF=3時，CC'=,。至IJAB的距離=；

(2)若以RC,￡為頂點的三角形與aABC相似，求CF的長；

⑶在(2)的條件下，求點。至的距離；

(4)△EFC的面積最大是.

(5)直接寫出半圓。過△4BC的外心時，CF的值.

9.(2021?貴州黔西?模擬預測)如圖，已知4B為O。的直徑，CD為弦.CD=4?2B與CD交于點E,將麗

沿CD翻折后，點/與圓心O重合，延長84至P,使4P=Q4,連接PC.

⑴求。。的半徑；

(2)求證：PC是O。的切線；

(3)點N為乖的中點，在PC延長線上有一動點連接MN交力B于點G.交前于點尸(尸與2、C不重

合).求NG-NF的值.

題型04與圓有關的旋轉(zhuǎn)問題

10.(2023?江蘇常州?一模)如圖1,將一個三角形紙板△力BC繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)。到達△ABC的位置，那么

可以得到：AB=AB',AC=AC,BC=B'C,ABAC=AB'AC,乙ABC=^AB'C,AACB=/.AC

B'.()圖形的旋轉(zhuǎn)蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖

形旋轉(zhuǎn)的關鍵.故數(shù)學就是一門哲學.

(1)上述問題情境中“()”處應填理由：；

(2)如圖2,將一個半徑為4cm,圓心角為60。的扇形紙板力BC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。到達扇形紙板48c的位

置.

①請在圖中作出點。；

②如果BB=6cm,則在旋轉(zhuǎn)過程中，點B經(jīng)過的路徑長為cm；

(3)如果將與(2)中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置.另一個在弧

的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止.此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少(如圖

3)?

11.(2023?廣東云浮?二模)如圖，A,B,C是O。上的三點，且=BC=8,點。為優(yōu)弧BDC上的

,4

動點，5.COSZ.ABC=

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若乙BCD=LACB,延長DC到尸，使得CF=C4連接2F,求證：4F是。。的切線；

(2)如圖2,若NBCD的角平分線與4。相交于￡,求O。的半徑與4E的長；

(3)如圖3,將△ABC的BC邊所在的直線八繞點/旋轉(zhuǎn)得到以直線與。。相交于跖N,連接AM,AN.12

在運動的過程中，2MSN的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，說明變化規(guī)律.

12.如圖1,已知448。=60。，點。在射線3。上，且0B=4.以點。為圓心，＞0)為半徑作O。，交

直線BC于點D,E.

(1)當O。與N4BC只有兩個交點時，r的取值范圍是.

(2)當r=2魚時，將射線B2繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)a(0。＜a＜180°).

①若比4與。。相切，求a的度數(shù)為多少；

②如圖2,射線B力與。。交于M,N兩點，若MN=OB,求陰影部分的面積.

題型05與圓有關的最值問題

13.(23-24九年級上?浙江寧波?期中)如圖1,E點為x軸正半軸上一點，OE交x軸于/、3兩點，P點為

(1)BC的度數(shù)為一。；

(2)如圖2,連結PC,取PC中點G,則。G的最大值為一

(3)如圖3,連接ZC、AP,CP、CB.若CQ平分NPCD交P4于Q點，求2Q的長;

（4）如圖4,連接P4PD,當P點運動時（不與8、C兩點重合），求證：二彳為定值，并求出這個定值.

14.（2024?湖南懷化?一模）已知正方形A8CD和正方形EFGH按圖1所示疊放在一起，其中48=4,EF=2,

點。為4B和EF的中點.

⑴圖2中正方形EFUO為圖1中正方形EFGH關于直線4B的軸對稱圖形，求點。和點。的連結線段DU的長

度；

（2）將圖1中的正方形EFG”繞點O旋轉(zhuǎn)，如圖3所示，求運動過程中點D和點G之間距離的最大值和最小

值.

15.Q023?云南昭通?二模）如圖1,在四邊形4BCD中，AD=CD=6^3,乙B=60。,以4B為直徑所作的O。

經(jīng)過點c,且與2。相切于a點，連接力c.

⑵OE是△4CD的外接圓，不與力、D重合的點尸在OE的劣弧4D上運動（如圖2所示）.若點P、Q分別為

線段AC、CD上的動點（不與端點重合），當點尸運動到每一個確定的位置時，△FPQ的周長有最小值稅，隨

著點尸的運動，小的值也隨之變化，求小的最大值.

16.（2024?陜西西安?二模）（1）如圖1,在aAOB中，。4=。8,AAOB=120°,AB=12,若。。的半徑

為2,點P在。。上，M是線段48上一動點，連接PM,求線段PM的最小值，并說明理由.

新定義：在平面直角坐標系中，已知點M為定點，對點/給出如下定義，在射線上，若MN=k-MA

（fc>0,且人為整數(shù)），則稱N是點/是關于點/的“左倍點”.

（2）如圖2,點/是半徑為1的。。上一點，且M（3,l）,N是點/關于點M的“二倍點”，P為直線丁=四

久上一點，是否存在點尸，使得線段PN最??；若存在，請求出PN的最小值，并直接寫出此時N點的坐標;

若不存在，請說明理由.

圖1

題型06與圓有關的動點問題

17.（2024?遼寧大連?一模）如圖1,在RtaABC中，ABAC=90°,點。為BC邊中點，點E為線段DC上一動

點，過點D,E作。。分別交力B,AC于點凡G,連接FG,DG.

⑴求證：ZB=Z.DGF；

（2）已知：BC=24,ZB=30°,當四邊形BOGF為平行四邊形時，請補全圖2,并求出DE的長.

18.（2024?云南昭通?模擬預測）如圖，在。。中，4B是。。的直徑，點M是直徑力B上的一個動點，過點M

的弦CD148,交。。于點C、D,連接BC,點尸為BC的中點，連接DF并延長，交于點E,交。。于點

G.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,連接CG,過點G的直線交DC的延長線于點尸.當點〃與圓心。重合時，若乙PGC=4MDE,求

證：PG是。。的切線；

⑵在點〃運動的過程中，DE=kDF"為常數(shù))，求左的值；

(3)如圖2,連接BG、OF、MF,當△M。尸是等腰三角形時，求ABGD的正切值.

19.(2023?山東煙臺?模擬預測)直角三角板4BC的斜邊AB的兩個端點在。。上，已知484。=30。，直角邊

4C與。。相交于點D,且點D是劣弧的中點.

⑴如圖1,判斷直角邊BC所在直線與。。的位置關系，并說明理由；

(2)如圖2,點P是斜邊4B上的一個動點(與4、B不重合)，DP的延長線交。。于點Q,連接Q4QB.

@AD=3,PD=1,貝!MB=；PQ=；

②當點P在斜邊力B上運動時，求證：QA+QB=^QD.

題型07與圓有關的新定義問題

20.(2024?上海楊浦?一模)定義：我們把平面內(nèi)經(jīng)過已知直線外一點并且與這條直線相切的圓叫做這個點

與己知直線的點切圓.如圖1,已知直線/外有一點〃，圓0經(jīng)過點X且與直線/相切，則稱圓。是點X

與直線/的點切圓.閱讀以上材料，解決問題：

己知直線。4外有一點P,PALOA,OA=4,AP=2,圓〃是點尸與直線02的點切圓.

圖1圖2

⑴如果圓心M在線段OP上，那么圓M的半徑長是(直接寫出答案).

(2)如圖2,以。為坐標原點、。力為x軸的正半軸建立平面直角坐標系xOy,點尸在第一象限，設圓心M的

坐標是(x,y).

①求y關于尤的函數(shù)解析式；

②點8是①中所求函數(shù)圖象上的一點，連接BP并延長交此函數(shù)圖象于另一點C.如果CP:BP=1:4,求點3

的坐標.

21.(2024?湖南長沙?一模)定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”.

⑴若CJABCD是圓的“奇妙四邊形”，則口/lBCD是(填序號)：

①矩形；②菱形；③正方形

⑵如圖1,已知O。的半徑為R,四邊形力BCD是O。的“奇妙四邊形”.求證：AB2+CD2^4R2；

(3)如圖2,四邊形4BCD是“奇妙四邊形”，尸為圓內(nèi)一點，〃PD=NBPC=90。，AADP=APBC,BD=4,

且48=技兀.當DC的長度最小時，求器的值.

22.(2024?江蘇淮安?一模)在平面直角坐標系久Oy中，。。的半徑為1.對于O。的弦48和點C給出如下定

義：若直線C4CB都是。。的切線，則稱點C是弦2B的“關聯(lián)點”.

G%

|---「一力----1

i___i..~2_____」______I

(1)如圖，點4(—1,0),Bi、&分別為過4。點的線段與O。的交點.

①在點的(—1,1),C2(-l,2),C3(0,2)中，弦的“關聯(lián)點”是「

②若點C是弦的“關聯(lián)點”，貝以。的長為」

(2)已知點M在y正半軸上，N在x正半軸上，若對于線段MN上任一點S,都存在。。的弦PQ,使得點S是弦PQ

的“關聯(lián)點”.記PQ的長為t,當點S在線段MN上運動時，t的取值范圍為遮WtW苧，求出此時MN所在直

線表達式.

23.(2024?北京?模擬預測)在平面直角坐標系％0y中，。。的半徑為1,對于直線/和線段4B,給出如下定

義：若將線段4B關于直線/對稱，可以得到。。的弦4/(4,用分別為/,8的對應點)，則稱線段4B是。。

的關于直線/對稱的“關聯(lián)線段”.例如：在圖1中，線段是。。的關于直線/對稱的“關聯(lián)線段”.

⑴如圖2,點陽Bi，A2,B2,A3,。的橫、縱坐標都是整數(shù).

①在線段4/1，A2B2,A3B3中，。。的關于直線丫=工+2對稱的“關聯(lián)線段”是；

②若線段4/1，A2B2,小氏中，存在。。的關于直線y=—x+爪對稱的“關聯(lián)線段”，則爪=

(2)已知y=—遮％+6(b〉0)交x軸于點C,在△?ABC中，AC—3,AB=V2.若線段4B是。。的關于直線

y=—b％+6(6＞0)對稱的“關聯(lián)線段”，直接寫出6的最大值和最小值，以及相應的BC長.

題型08阿氏圓

24.(2023?山東濟南?一模)拋物線y=—32+(?！?)久+2a與x軸交于2色0),B(4,0)兩點，與y軸交于點

C(0,c),點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點，且在對稱軸右側(cè).

(2)如圖1,連接BC、AP,交點為M,連接PB,若衿邈=；,求點P的坐標；

(3)如圖2,在(2)的條件下，過點P作x軸的垂線交工軸于點E,將線段0E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到。E',旋轉(zhuǎn)

角為磯0。＜。＜90。),連接E'B,E'C,求EE+.C的最小值.

123

-

-2

25.（2024?浙江?模擬預測）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y-X4-X一4與久軸父于/、8兩點,

與y軸交于點C.

y

圖1圖2

（1）求點/、B、C的坐標;

⑵如圖2,若點尸在以點O為圓心，。2長為半徑作的圓上，連接BP、CP,請你直接寫出戈P+BP的最小

值.

（?廣東珠海?一模）如圖,拋物線片與2—梟—2遍分別交》軸于點4B（點4在點B的左側(cè)）,

26.20244Z

交y軸于點C.

y八

Q,

D

圖1圖2圖3

（I）求點4和點8的坐標；

（2）以B為圓心，3為半徑作圓.

①如圖1,連接AC,P是線段4C上的動點，過點P作OB的一條切線PM（點M為切點），求線段PM的最

小值；

②如圖2,點。為拋物線的頂點，點Q在圓B上，連接CQ,DQ,求。Q—的最大值.

（?浙江?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線久+的對稱軸是直線％=

27.2023y=24+b32,

與X軸相交于4B兩點（點力在點B的左側(cè)），與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；

(2)M為第一象限內(nèi)拋物線上的一個點，過點M作MNlx軸于點N,交BC于點D,連接CM,當線段CM=CD

時，求點M的坐標；

(3)以原點。為圓心，4。長為半徑作O。，點P為。。上的一點，連接BP,CP,求2PC+3PB的最小值.

題型09圓、幾何圖形、銳角三角函數(shù)綜合

28.(2024?湖南長沙?一模)如圖1,點AB,C在圓。上運動，滿足AB?=+4;2,過點4的切線交BC延長

圖2

⑵記△/^^△^2△48。的面積為51525若遮=2店一店，求tan。；

(3)如圖2,點Q是線段BC上一動點(Q不與B,C重合)，QPLAD^P,交AC于點M.若tan。=VL設器=久,

且丫二。。.J康+康，試求V關于”的函數(shù)解析式’并寫出自變量》的取值范圍.

29.(2023?浙江杭州?模擬預測)如圖，在矩形4BCD中，48=6,AD=9,點E是邊4。上一點，且4E=3,

點F在邊上，過點B、F、E作圓0,交邊BC或其延長線于G,連接BE,GE,GF,設BF=x(0＜久＜6).

AD

BC

備用圖1備用圖3

⑴求tanzlFGE的值；

(2)若BG=EG,求久的值;

(3)若％=2,求弧EF的長;

111

(4)若圓。經(jīng)過矩形的兩個頂點時，直接寫出x的值.(注：5皿19。=§,cos75°=-,tan27°=-)

30.(2023?廣東深圳?模擬預測)(1)如圖1,已知點4(2,4),B是y軸上的動點,過點4作2B14C交支軸

于點&M是BC中點，求證4M=0M.

圖1

(2)在(1)的條件下，可知M在線段的垂直平分線上，若點P(1,0),貝IJPM是否有最小值？最小值為

多少？

(3)如圖2,在RtaABC中，NaC8=90o/C=6,BC=8,D為48中點，圓。過C、D,兩點且分別交4C,BC于

點E,F,連接CO,EF,當圓。從過點力變化到過B時，。點的運動軌跡為多長?

圖2

題型10與圓有關的閱讀理解問題

31.（2023?江蘇徐州?模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

我們學習過利用尺規(guī)作圖平分一個任意角，而'利用尺規(guī)作圖三等分任意一個角”曾是數(shù)學史上一大難題，之

后被數(shù)學家證明是不可能完成的，在'三等分角”整個充滿艱辛的探索道路上，許多人獲得了意外的發(fā)現(xiàn)，如:

用其他輔助工具三等分角和尺規(guī)作圖三等分90。和45。角.任務:

（1）如圖①，在Rt^ABC中，^ACB=90°,zB=60°,在圖中作出乙4cB的三等分線CD,CE；

（要求：尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）

⑵由（1）知，我們可以用尺規(guī)作出直角的三等分線，但是僅僅使用尺規(guī)卻不能把任意一個角分成三等分,

為此，人們發(fā)明了許多等分角的機械器具，如圖②是用三張硬紙片自制的一個最簡單的三分角器，與半圓。

相接的48帶的長度與半圓的半徑相等；BD帶的長度任意，它的一邊與直線AC形成一個直角，且與半圓相切

于點2;假設需要將NKSM三等分，如圖③，首先將角的頂點S置于BD上，角的一邊SK經(jīng)過點另一邊SM

與半圓相切，連接S。，貝USB,S。為NKSM的三等分線，請你證明.

圖①圖②

32.（2024?山西晉中?一模）閱讀與思考

在學習《直線與圓的位置關系》時，老師布置了一道課后探究題:

已知。。外一點P（圖1）,你能用尺規(guī)過點P作O。的切線嗎？你有幾種方法?

小聰同學積極探索作圖方法，并且進行了原理說明和總結反思，以下是他的探索過程，請你仔細閱讀，并

完成相應的任務:

p'o

圖1

【題目分析】

先畫草圖，發(fā)現(xiàn)若PE是。。的切線，貝比PEO=90。，所以解決此問題的關鍵是構造一個直角，即在。。上

找一點E使NPE。=90°.

【作法展示】

①連接P。并延長，交。。于4B兩點，（如圖2）

②以點P為圓心，PO長為半徑畫弧，再以點。為圓心，力B長為半徑畫弧，兩弧交于點C.

③連接OC,交。。于點E.

④作直線PE.直線PE就是所求作的O。的切線.

證明：如圖2,連接PC,

由作法可得，PO=PC,CO=AB,

.?.△OPC為等腰三角形，

又?.?OE=CM=3B,

：.OE=^CO.

■.PE1CO（_）（填寫依據(jù)）

又???點E在。。上，.直線PE是。。的切線.

【總結反思】

對于較復雜的尺規(guī)作圖可以按照如下步驟解決：

①先畫草圖；②借助草圖，從結論出發(fā)，逆向探究，聯(lián)想相關知識，思考作法；③利用尺規(guī)，按照作法,

畫出正確圖形；④寫出結論.

我們不僅要會作圖還要知道為什么要這樣作圖，即實施這些步驟的理由是什么.并且從不同的知識出發(fā)可

以得到不同的作法，例如本題還可以利用“直徑所對的圓周角是直角”得到另一種作法.

任務：

（1）上述材料【原理說明】中的依據(jù)是;

（2）如圖3,在圖2的基礎上，在。。上取一點M（不與點4E重合），連接力M,EM,若NCPE=35。，求“ME

的度數(shù)；

（3）請同學們根據(jù)小聰?shù)摹究偨Y反思】嘗試在圖1中用尺規(guī)過點P作出。。的一條切線.（要求：不寫作法,

保留作圖痕跡）

33.（2023?山西呂梁?模擬預測）請閱讀下面材料，并完成相應的任務.

阿基米德（Arehimedes,公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、

高斯并稱為三大數(shù)學王子.

阿基米德折弦定理：如圖1,4B和BC是。。的兩條弦（即折線2BC是圓的一條折弦），BOAB.M是ABC

的中點，則從點M向BC所作垂線的垂足。是折弦ABC的中點，即=+

圖1圖2圖3

這個定理有很多證明方法，下面是運用“垂線法”證明CD=AB+BD的部分證明過程.

證明：如圖2,過點M作射線垂足為點〃，連接M2,MB,MC.

?■M是ABC的中點，

.-.MA=MC.

任務：

(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

(2)如圖3,已知等邊三角形ABC內(nèi)接于。0,。為4C上一點，Z.ABD=15°.。石，8。于點￡,CE=3,連接

AD,求△D4B的周長.

34.(2023?河南新鄉(xiāng)?三模)閱讀下列材料，并完成相應學習任務：

我們知道，圓內(nèi)接四邊形的對角互補，那么過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？學習小組經(jīng)過

探究發(fā)現(xiàn)：過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓.下面是學習小組的證明過程：

已知：在四邊形2BCD中，Z/1+ZC=180°

求證：過點4B、C、?？勺饕粋€圓.

證明：假設過點4、B、C、。四點不能作一個圓，設過點4、B、。三點作出的圓為。。.分兩種情況討

論.

①如圖(1),若點C在O。內(nèi).延長DC交。。于點E,連接BE.

???NBCD是△BCE的夕卜角，

???/.BCD>Z.E.

■：Z71+NE=180°,ZX+^BCD=180°,

Z.E=/.BCD,與/BCD>矛盾，

②如圖(2),若點C在O。外.設CD交。。于點E,連接BE.

???NBED是aBCE的外角,

乙BED>Z.C.

■：乙4+“=180°,ZX+ZBED=180°,

???/.BED=Z.C,與NBED>NC矛盾.

綜上可知，假設不成立，故過點4B、C、。可作一個圓.

D

C

B

圖1圖2圖3

學習任務:

(1)在以上應用反證法的證明過程中主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是.

(2)應用上述結論，解決以下問題：

如圖(3),在四邊形ABCD中，乙+180。，對角線AC,8。交于點E.

①若乙4cB=25。，求乙4DB的度數(shù)；

②若BE=5,AD=CD^6,求DE的長.

題型11與圓有關的存在性問題

35.(2024?山東淄博?一模)如圖1,在矩形4BCD中，AB=6,BC=8,點。在邊BC上，以。為圓心B。為

半徑作。。，。。與射線BD的另一個交點為E,直線CE與射線4D交于點尸.

(1)設BO=x,BE=y,求〉與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出x的取值范圍；

(2)如圖2,連接40,當40IICE時，請求出。。的半徑；

(3)如果射線EC與。。的另一個交點為。，連接OQ,問是否存在aCOQ為直角三角形，若存在，請直接寫

出RtZkCOQ的面積；若不存在，請說明理由.

36.(2023?四川達州?模擬預測)如圖,拋物線y=(x+l)(x—a)(其中a>1)與久軸交于43兩點,交y軸

于點C.

⑴直接寫出線段4B的長(用a表示);

⑵若。。為△ABC的外接圓，且△BCD與△4C。的面積之比為5:8,求此拋物線的解析式，并求出點。的坐

標;

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)O：—a)上是否存在一點P,使得NC4P=NDBa?若存在，求

出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

37.(2023?浙江紹興?模擬預測)已知平面上有兩個定點/、B,則平面上滿足M=k"是不為1的常數(shù))

的動點尸形成一個圓，我們把這樣的圓叫做定比圓，如圖點4(—2,0)、8(6,0),且滿足S=，設動點P形

成的定比圓為圓

(1)求圓M的圓心坐標和半徑；

(2)圓M上是否存在P,使△P4B為直角三角形，若存在求出點P坐標；

⑶若點。的坐標為(2,3),求3PQ+PB的最小值.

38.(2024?陜西西安?二模)(1)如圖1,在aAOB中，。4=。8,^AOB=120°,AB=12,若。。的半徑

為2,點P在O。上，M是線段2B上一動點，連接PM,求線段PM的最小值，并說明理由.

圖1

新定義：在平面直角坐標系中，已知點M為定點，對點4給出如下定義，在射線力M上，若MN=k-MA

（fc>o,且k為整數(shù)），則稱N是點力的“倍點”.

（2）如圖2,點4是半徑為1的。。上一點，且M（3,l）,N是點4的“二倍點”，點P為直線y=上一點,

是否存在點P,使得線段PN最?。蝗舸嬖?，請求出PN的最小值，并直接寫出此時N點的坐標；若不存在，

請說明理由.

題型12與圓有關的定值問題.

39.（2023?浙江杭州?二模）如圖，AB,CD是。。的兩條直徑，ABLCD,點￡是麗上一動點（點￡不與

B,。重合），CE,分別交。D,G,連接4C.設O。的半徑為r,〃MF=a.

DE

（1）ZOCG=_（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）當a=30。時，求證：AF=2F￡；

⑶判斷AG-CF是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

40.（2023?四川達州?模擬預測）在平面直角坐標系，拋物線y=a/+6%+c與x軸分別交于N,8兩點（A

在8左側(cè)），與y軸交于點C（0,3）,已知頂點加■的坐標為（1,4）.

(1)求拋物線的解析式并求出點4,2的坐標；

(2)如圖1,P,。是拋物線對稱軸上兩點(點P在點。上方)，且PQ=1,當4Q+QP+PC取最小值時，求

點P的坐標；

⑶如圖2,點。是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，過點。作DF1x軸于尸，△4BD的外接圓與DF相交于點

￡.問：線段￡尸的長是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由.

41.Q023?江蘇鹽城三模)已知OC的圓心C(0,3),半徑為2,一次函數(shù)y=依+b經(jīng)過點4(—1,0)且與OC

交于P、Q兩點，M是PQ的中點，且直線PQ與直線zn:y=—白一2相交于點N.

(1)當直線PQ經(jīng)過點C時，求點N的坐標；

(2)當PQ=2通時，求一次函數(shù)的表達式；

(3)4M-4V是定值嗎，若為定值，求出該值；若不為定值，請說明理由.

中考逆襲-高效集訓

(時間：60分鐘)

一、單選題

1.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預測)如圖，O。的半徑為1,48是。。的直徑，CD是弦，E是劣弧CD上一點,

將。。沿CD折疊，使得點E的對應點是點廳，且弧CE7）與AB相切于點尻，設線段的長度為％,弦CD的長

A.(x—I)2+y?=3B.(x-1)2+(y—2⑨2=3

C.(x-l)2+(y-y)=gD.久2+(y—竽)2=9

2.（2023?廣東深圳?二模）如圖，直線/：y=—3+4分別與X軸、了軸交于點/、B.點尸為直線/在第一

象限的點.作aPOB的外接圓OC,延長。C交于點。，當△P。。的面積最小時，則。。的半徑長為

A.V5B.2C.V3D.3

3.（2023?河北保定?二模）嘉嘉與淇淇在討論下面的問題：

如圖，RtAABCdp,48=60,AC=45,^BAC=90°.D,E分別是AC,AB邊上的動點，DE=52,以DE

為直徑的。。交BC于點P,。兩點，求線段PQ的最大值.

嘉嘉：當點。，E分別在AC,4B上移動時，點。到點/的距離為定值;

淇淇：當PQ為圓。的直徑時，線段PQ的長最大.

關于上述問題及兩人的討論，下列說法正確的是（）

A.兩人的說法都正確，線段PQ的最大值為52

B.嘉嘉的說法正確，淇淇的說法有問題，線段PQ長度的最大值為48

C.淇淇的說法有問題，當DEIIBC時，線段PQ的長度最大

D.這道題目有問題，PQ的長度只有最小值，沒有最大值

4.（2023?河北衡水?二模）如圖1,某校學生禮堂的平面示意圖為矩形4BCD,其寬48=20米，長8c=24

米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求

能觀測到禮堂前端墻面48區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發(fā)的觀測角N4MB=45。.甲、

乙二人給出了找點M的思路，以及MC的值，下面判斷正確的是（）

甲：如圖2,在矩形48CD中取一點0,使得04=08=0M,M即為所求，此時CM=10米；

乙：如圖3,在矩形4BCD中取一點。，使得。A=OB,且NAOB=90。，以。為圓心，。力長為半徑畫弧，交CD

于點Mi，M2,則MI，M2均滿足題意，此時MC=8或12.

A.甲的思路不對，但是MC的值對B.乙的思路對，MC的值都對且完整

C.甲、乙求出的MC的值合在一起才完整D.甲的思路對，但是MC的值不對

二、填空題

5.（2023?浙江溫州?三模）杭州奧體網(wǎng)球中心以極度對稱的“蓮花”造型驚艷眾人.該建筑底部是由24片全

等“花瓣”組成的“固定花環(huán)”，上方穹頂由8片全等“旋轉(zhuǎn)花瓣”均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展

開.小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識，模擬“小蓮花”變化狀態(tài).穹頂合攏時，如圖①，正二十四邊形頂

點21，正八邊形頂點當與圓心。共線，正二十四邊形頂點Ai，Ai。與正八邊形頂點“1，M3共線，則缺的

值為;穹頂開啟時，如圖②，所有“旋轉(zhuǎn)花瓣”同時繞著固定點Mi，M2,用8逆時針同速旋轉(zhuǎn).圓

心。繞孫旋轉(zhuǎn)后的對應點為。1，以此類推，當。1落在Mig上時，若。41=67.5米，則。1。5的值為

米.

（圖①）

（圖②）

6.（2023?河北保定?二模）定義：P,Q分別為兩個圖形GI,G2上任意一點，當線段PQ的長度存在最小值時，就

稱該最小值為圖形Gi和G2的，近距離”；當線段PQ的長度存在最大值時，就稱該最大值為圖形Gi和GZKT'遠距

離”.請你在理解上述定義的基礎上，解決下面問題：

如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，點4（一2,3）同一2,—4）,。（2,—4）刀（2,3）.

（1）線段2B與線段CD的“近距離”為.

（2）的圓心在x軸正半軸上，半徑為1,若OM與CD相切于點E,則OM與線段A8的“近距離”

為，此時OM與四邊形力BCD的“遠距離”為.

7.（2023?福建廈門?模擬預測）早在10世紀，阿拉伯著名數(shù)學家阿爾?庫希（al—Kuhi）設計出一種方案，

通過兩個觀測者異地同時觀測同一顆流星來測定其發(fā)射點的高度.如圖，假設有兩名觀測者在43兩地觀

察同一顆流星S（流星與地球中心。，A,2在同一個平面內(nèi)），AC,BC均為當?shù)氐仄骄€（與圓。相切），兩

人觀測的仰角分別為15。，30。.若地球半徑為尺，臉號R,則裝=.

8.（2023?江蘇無錫?三模）如圖，在直角坐標系中，4（—4,0）,。是04上一點，8是y正半軸上一點，且

OB=AD,DELAB,垂足為￡,

（1）當。是。力的中點時，DE=；

9.（2023?福建三明?二模）如圖，為。。的直徑，點〃為。。內(nèi)一個定點，AMAB=30°,OM=\OA,

經(jīng)過點M的弦PQ交2B于點C,連接24,PB,QA,QB.在下列結論中:

①4AOM為直角三角形；

②△MOC與△BPC相似；

③若4M平分NP48,則四邊形4P8Q為矩形；

④若4BPQ=2乙APQ,則4Q=2OM.

其中正確的是（填寫所有正確結論的序號）.

p

A

三、解答題

10.（2023?云南昆明?模擬預測）【問題引入】

如圖1,在Rt△力中，Z.C=90°,過點B作直線MN,過點4作2E1MN于點E,判斷：點E一定_RtZi2BC

外接圓。。上（填“在”或“不在”）.

【問題探索】

如圖2,以線段48上一點。為圓心，。8為半徑畫圓，交2B于點C,點。是異于點B,C的。。上一點，E為BD

的延長線上一點.當2E有最小值/時，止匕時DE=9，且乙D4E=NB.

（1）求證：4。是O。的切線；

（2）若f=8；以4為圓心，4D為半徑畫弧交射線BD于點F（與D不重合），G為BD的中點，判斷點40,

G,尸是否在一個圓上？如果在，請求出這個圓的面積；如果不在，請說明理由.

11.（2023?江蘇淮安?二模）某數(shù)學興趣小組同學遇到這樣一個問題：如圖1,點力是一只探照燈，距離地面

高度=照射角度NM4V=a,在地平線/上的照射范圍是線段MN,此燈的光照區(qū)域△AMN的面積最

小值是多少？