2025年中考數(shù)學(xué)大題專(zhuān)練：一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)綜合（7大題型）（原卷版）

大題02一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)綜合

?考情分析?直擊中考

一次函數(shù)和反比例函數(shù)、二次函數(shù)綜合問(wèn)題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容,每年都

有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟等原因?qū)е率Х?從考點(diǎn)頻率看，一次函數(shù)、反比例函數(shù)、

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是考查的基礎(chǔ)也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn).從題型角度看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次

函數(shù)常結(jié)合特殊四邊形綜合，難度較高，解題時(shí)要全面考慮，避免遺漏可能出現(xiàn)的情況.

?琢題突破?保分必拿_________

—一比較大小（取值問(wèn)題）

最值問(wèn)題一~

r------求三角形的面積

特殊四邊形存在性問(wèn)題—H

L------動(dòng)點(diǎn)與三角形面積問(wèn)題

特殊角存在性問(wèn)題—

、■—與線(xiàn)段關(guān)系問(wèn)題

題型一：比較大小（取值問(wèn)題）

龍麓》內(nèi)題粵網(wǎng)

1.2020?湖南衡陽(yáng)?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y=%2+px+q的圖象過(guò)點(diǎn)（-1,0）,

（2,0）.

K

1

-i0ix

-1-

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)求當(dāng)一2<%<1時(shí)，y的最大值與最小值的差；

(3)一次函數(shù)y=(2—租)％+2—血的圖象與二次函數(shù)y=/+p%+q的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是。和力，且

a<3<h,求TH的取值范圍.

2.(2023?貴州?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形O4BC是矩形，反比例函數(shù)y=*%>0)的圖

象分別與48,8。交于點(diǎn)。(4,1)和點(diǎn)￡且點(diǎn)。為力B的中點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑵若一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=.(x>0)的圖象相交于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上之間的

部分時(shí)(點(diǎn)M可與點(diǎn)重合),直接寫(xiě)出小的取值范圍.

莪塞》期黃揖號(hào).

比較一次函數(shù)與反比例函數(shù)值大小一般解題步驟：

①求交點(diǎn):聯(lián)立方程求出方程組的解；

②分區(qū)間:將一次函數(shù)和反比例函數(shù)兩個(gè)交點(diǎn)以及y軸左右兩側(cè)分層4個(gè)區(qū)間;

③比大小:圖像誰(shuí)在上方誰(shuí)就大；

④寫(xiě)出對(duì)應(yīng)區(qū)間自變量的取值范圍。

蘢A笠式訓(xùn)級(jí)

1.(2023?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè))已知：一次函數(shù)月=久的圖象與拋物線(xiàn)>2=#+bx(b為常數(shù))的一個(gè)交點(diǎn)

為(3,p).

(1)求「，6的值.

(2)直接寫(xiě)出當(dāng)yi>y2時(shí)，X的取值范圍.

⑶若將拋物線(xiàn)段=*2+"(b為常數(shù))的圖象向右平移小個(gè)單位，再向上平移幾個(gè)單位，且平移后的拋物線(xiàn)

的頂點(diǎn)落在直線(xiàn)％=x上，求機(jī)關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式.

2.（2023■浙江杭州?一模）已知：一次函數(shù)月=X—2—k與反比例函數(shù)＞2=?。ㄉ?0）.

⑴若一次函數(shù)yi的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,一4）,

①求函數(shù)月、及的表達(dá)式，并求出兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②當(dāng)月＜＞2時(shí)，寫(xiě)出X的取值范圍.

⑵試證明：當(dāng)左取任何不為0的值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象總有交點(diǎn).

題型二：求三角形的面積

龍麓》大題典例

1.（2023?黑龍江大慶?中考真題）一次函數(shù)y=—x+a與反比例函數(shù)y=§的圖象交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)4的坐

標(biāo)為（1,2）.

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;

⑵求△。48的面積；

⑶過(guò)動(dòng)點(diǎn)T（t,0）作x軸的垂線(xiàn)Z,I與一次函數(shù)y=—%+m和反比例函數(shù)y=§的圖象分別交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)

M在N的上方時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍.

2.（2022?河南安陽(yáng)?一模）二次函數(shù)y=N—2久+5和一次函數(shù)y=2久+k（左是常數(shù)）相交于點(diǎn)4

⑴證明：交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)孫必是方程久2-4x+（5-k）=0的根.

（2）二次函數(shù)y=x2-2x+5和一次函數(shù)y=2%+k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)B和C,其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,13）.求

點(diǎn)C的坐標(biāo).

⑶在（2）的條件下求點(diǎn)8、。與y=必―2x+5頂點(diǎn)所構(gòu)成三角形的面積.

蘢血鼻黃揖導(dǎo).

1）當(dāng)三角形的一邊在x軸或y軸上時(shí)，可直接利用面積公式求面積.

【方法技巧】在求幾何圖形面積時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度往往通過(guò)計(jì)算某些點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，或縱坐標(biāo)之差

的絕對(duì)值去實(shí)現(xiàn).（橫坐標(biāo)相減時(shí)最好用右邊的數(shù)減左邊的數(shù)，縱坐標(biāo)相減時(shí)用上邊的數(shù)減下邊的數(shù)，這樣所

得結(jié)果就是邊或高的長(zhǎng)度，就不用絕對(duì)值符號(hào)了）.

2）利用割補(bǔ)法求面積，即將不規(guī)則圖形分割為規(guī)則圖形計(jì)算面積，可根據(jù)題的特點(diǎn)靈活選擇解法.

3）利用鉛垂高計(jì)算三角形面積

情況一：鉛垂高在三角形內(nèi)部

A

=l/2AE?(al+a2)=l/2AD*(a4-a3)

=l/2|yA-yE|*|xc-XB|=l/2|yA-yD|*|xc-XB|

其中點(diǎn)B,點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)

結(jié)論：1）一般過(guò)動(dòng)點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn)來(lái)確定鉛垂高.

2）無(wú)論鉛垂高在三角形內(nèi)部還是外部，，S=（?水平寬?鉛垂高.

3）若P為二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)x=4/時(shí)SZkABC最大.

蘢A笠式訓(xùn)綣

1.（2022?浙江寧波?一模）如圖所示，已知二次函數(shù)%=—*2+2%+爪的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為/

（3,0）,另一個(gè)交點(diǎn)為2,與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C.

⑴求小的值；

(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)3的一次函數(shù)y2=kx+b平分△ABC的面積.求晨6的值.

2.(2024?甘肅武威?二模)已知一次函數(shù)為=—x+7的圖象與反比例函數(shù)及=§圖象交于4B兩點(diǎn)，且/

點(diǎn)的橫坐標(biāo)一1,求：

⑴反比例函數(shù)的解析式.

(2)△力。B的面積.

題型三：動(dòng)點(diǎn)與三角形面積問(wèn)題

1.(2023?遼寧鞍山,中考真題)如圖，直線(xiàn)力B與反比例函數(shù)y=*x<0)的圖象交于點(diǎn)4(—2,峭，B(n,2),

過(guò)點(diǎn)/作ACIIy軸交X軸于點(diǎn)C,在X軸正半軸上取一點(diǎn)。，使。C=2。。，連接BC,AD.若△4CD的面積

是6.

⑴求反比例函數(shù)的解析式.

(2)點(diǎn)P為第一象限內(nèi)直線(xiàn)4B上一點(diǎn)，且△P4C的面積等于△B4C面積的2倍，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2.(2023,四川雅安?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形02BC是邊長(zhǎng)為2的正方形.點(diǎn)4C在

坐標(biāo)軸上.反比例函數(shù)y=-(%>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。在反比例函數(shù)圖象上，且橫坐標(biāo)大于2,S&OBD=3.求直線(xiàn)BD的函數(shù)表達(dá)式.

蘢龍》舞黃揖號(hào).

動(dòng)點(diǎn)P的一般解題思路：

①根據(jù)情況設(shè)P的坐標(biāo)，如在x軸上則設(shè)(m,0),若在直線(xiàn)y-kx+b上，則設(shè)(m,km+b);

②根據(jù)題意列式，注意距離要加絕對(duì)值；

③分類(lèi)討論，寫(xiě)出正確結(jié)果。

蔻能》要其訓(xùn)級(jí)

1.(2023?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè))如圖，正比例函數(shù)y=%與反比例函數(shù)y=g(%>0)的圖象相交于點(diǎn)A

(2企,租)，點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=!(%>0)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸“1%軸于“，線(xiàn)段P”與直線(xiàn)y=%相

(1)求k與m的值；

(2)若aOPG的面積是2,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.(2023?河南濮陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))如圖，反比例函數(shù)y=g(%>0)和〃=外>0)的圖象如圖所示，點(diǎn)CQ0)是汽

軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作久軸的垂線(xiàn)，分別與y=5(久>。)和y=?(%>0)的圖象交于點(diǎn)4B.

y

O\—k'x

/p尸T

Q

(1)當(dāng)a=2時(shí)，線(xiàn)段4B=],求4,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及k值.

⑵小明同學(xué)提出了一個(gè)猜想：“當(dāng)k值一定時(shí)，△04B的面積隨a值的增大而減小."你認(rèn)為他的猜想對(duì)嗎？

請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型四：與線(xiàn)段關(guān)系問(wèn)題

龍麓》大題典例

1.(2023?江蘇常州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在△A8C中，AC=BC,ABlx軸，垂足為2.反比例函數(shù)y=§x>0)

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D.已知力B=8,BC=5.

(2)連接OC,若BD=BC,求k的值.

2.(2023?山東聊城?中考真題)如圖，一次函數(shù)'=/￡%+6的圖像與反比例函數(shù)丫=?的圖像相交于2

(—1,4),B(a,—1)兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)P(n,O)在x軸負(fù)半軸上，連接AP,過(guò)點(diǎn)8作8QIIAP,交、=:的圖像于點(diǎn)。，連接PQ.當(dāng)BQ=4P時(shí),

若四邊形4PQB的面積為36,求?1的值.

蘢龍》解黃揖號(hào).

等量關(guān)系一般解題思路：

利用反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)并用含同一字母的代數(shù)式表示，再利

用線(xiàn)段等量關(guān)系得到關(guān)于該字母的方程，然后解方程即可得到這兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)：

【補(bǔ)充】：①根據(jù)全等，求線(xiàn)段等量關(guān)系：

②根據(jù)特殊角(30。，45。，60。)，求線(xiàn)段等量關(guān)系：

③根據(jù)相似，求線(xiàn)段等量關(guān)系；

④)根據(jù)三角函數(shù)，求線(xiàn)段等量關(guān)系；

1.(2023?浙江金華?一模)如圖，點(diǎn)4是反比例函數(shù)y=|(%V0)上一點(diǎn)，點(diǎn)5是反比例函數(shù)y=g(%>0)上

一點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且4、。、5三點(diǎn)共線(xiàn).

(1)若4。=8。，求左的值.

(2)若4C=2B。,求左的值.

題型五：最值問(wèn)題

龍麓》大題典例

1.(2023?四川宜賓?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形4BC的直角頂點(diǎn)43,0),

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線(xiàn)48所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵在x軸上是否存在一點(diǎn)尸，使△斗鳥(niǎo)。周長(zhǎng)的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.Q023?湖北黃石?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=aK2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)力(一3,0)

,5(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4).

(1)求此拋物線(xiàn)的解析式；

⑵已知拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)PQo,%),其中y0<0,若NC4。+NABP=90。，求久o的值；

(3)若點(diǎn)D,E分別是線(xiàn)段AC,AB上的動(dòng)點(diǎn)，S.AE=2CD,求CE+2BD的最小值.

3.(2023?寧夏,中考真題)如圖，拋物線(xiàn)y=aN+版+3(a大0)與x軸交于4,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.已

知點(diǎn)a的坐標(biāo)是(一1,0),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)％=1.

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P,使PA+PC的值最小.求點(diǎn)P的坐標(biāo)和P4+PC的最小值；

⑶第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作MNlx軸，垂足為N,連接BC交MN于點(diǎn)Q.依題意補(bǔ)全圖

形，當(dāng)MQ+&CQ的值最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

4.(2023,湖南婁底,中考真題)如圖，拋物線(xiàn)y=N+bx+c過(guò)點(diǎn)4(一1,0)、點(diǎn)B(5,0),交y軸于點(diǎn)C.

⑵點(diǎn)P(Xo,yo)(0<XO<5)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)

①當(dāng)久0取何值時(shí)，APBC的面積最大？并求出aPBC面積的最大值；

②過(guò)點(diǎn)尸作PE1X軸，交BC于點(diǎn)E,再過(guò)點(diǎn)尸作PFII久軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)凡連接EF,問(wèn)：是否存在點(diǎn)尸,

使APEF為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

蘢龍》解黃揖號(hào).

一、面積最值問(wèn)題

題目要求：在拋物線(xiàn)上的第一象限找一點(diǎn)P,使SZ\PBC面積最大

方法簡(jiǎn)介：

方法一：S等水平寬?鉛垂高

方法二：作l〃BC,I與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)P,此時(shí)h最大，S4PBC面積最大，聯(lián)立I與拋物線(xiàn)，△=（）

、線(xiàn)段最值問(wèn)題

將軍飲馬模型

將軍飲馬問(wèn)題概述：將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地軍營(yíng)巡視，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

原理問(wèn)題模型最值原理問(wèn)題模型最值

基

線(xiàn)段垂直平

本

分線(xiàn)上的點(diǎn)在直線(xiàn)L上求一點(diǎn)P,

模0

到線(xiàn)段兩端求PA-PB的最小值

型

距離相等...-------L

P\

在直線(xiàn)L上求一點(diǎn)M,求

AM+BM的最小值

變A

式

求

一AB

線(xiàn)

段L

P

點(diǎn)

兩

和三角形兩邊在直線(xiàn)L上求一點(diǎn)P,

間

之

的之差小于第求PA-PB的最大值

段

線(xiàn)

最三邊

短

最A(yù)

變

小在直線(xiàn)AB和BC上分別

式

值取一點(diǎn)M、N,求4

二AB'

PMN周長(zhǎng)的最小值

p

（一動(dòng)兩定）"”??????i

線(xiàn)段在直線(xiàn)可

變MNL

在直線(xiàn)AB和BC上分別

移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到

式MN

取一點(diǎn)M、N,求四邊A'B'+

什么位置時(shí)，求

三形PQNM周長(zhǎng)的最小MN

AM+MN+NB最小

值（兩動(dòng)兩定）

平行四邊形值

的性質(zhì)+兩

點(diǎn)之間線(xiàn)段

最短

變

求在直線(xiàn)AB和BC上分別A,B是河兩側(cè)的定

式A'B+

線(xiàn)取一點(diǎn)M、N,求點(diǎn)，怎樣造橋，可

四

段MN

PM+PN的最小值以讓總路程最短

和

線(xiàn)

垂

的

段

最

矩

最?

小

變?cè)谥本€(xiàn)和上分別

值A(chǔ)BBC

式取一點(diǎn)M、N,求

五PM+PN的最小值（一

定兩動(dòng)）

對(duì)于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k<l的時(shí)候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造.

當(dāng)系數(shù)k>l的時(shí)候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造.

【注意事項(xiàng)】針對(duì)求PA+kPB的最小值問(wèn)題時(shí)，當(dāng)軌跡為直線(xiàn)時(shí)，運(yùn)用“胡不歸模型”求解；

當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用“阿氏圓模型”求解.

蔻塞〉至式訓(xùn)級(jí)

1.（2023?山東濟(jì)南?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)丫=勺%>0）經(jīng)過(guò)8、C兩點(diǎn)，△4BC為直

角三角形，ACIIx軸,ABIIy軸,4（8,4）,AC=3.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo);

（2）點(diǎn)M是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接M8、MC；

①求MB+MC的最小值；

②點(diǎn)N是反比例函數(shù)y=&x>0）的圖像上的一個(gè)點(diǎn)，若△CMN是以CN為直角邊的等腰直角三角形，求所

有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

2.（2023?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=%—3與無(wú)軸交于4,3兩

點(diǎn)，點(diǎn)C為y軸正半軸上一點(diǎn)，JLOC=OB,。是線(xiàn)段4C上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)/,C重合）.

（2）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)剛好落在拋物線(xiàn)上時(shí)，求此時(shí)。點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶如圖2,若點(diǎn)￡是線(xiàn)段4B上的動(dòng)點(diǎn)，連接B。、CE,當(dāng)CD=AE時(shí)，求BD+CE的最小值.

3.（2023?遼寧丹東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線(xiàn)y=%+3與%軸交于點(diǎn)力，與y軸交于C,拋物線(xiàn)y=-/+6久+c

經(jīng)過(guò)4C兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B,M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接BC.

⑴求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）如圖（1）,P點(diǎn)為直線(xiàn)4C上方的拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接P4PC、PO,P。交AC于點(diǎn)Q,若P。將△力PC的

面積分為1：2兩部分，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）如圖（2）,若點(diǎn)N是第三象限的拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接NM,交直線(xiàn)4C于E,當(dāng)NNEC=NBCM時(shí)，求點(diǎn)N

的坐標(biāo)；

⑷在（3）的條件下，若尸是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出NF+嚕CF的最小值.

4.Q023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)y=nN+b%+c與無(wú)軸交于/（一1,0）,8（5,0）兩點(diǎn)，C為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)。，連接AC,BC,且tanzCBD=*如圖所示.

⑴求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）設(shè)P是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①過(guò)點(diǎn)P作久軸的平行線(xiàn)交線(xiàn)段BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF1PE交拋物線(xiàn)于點(diǎn)尸，連接FB、FC,求△8CF的面積

的最大值；

②連接PB,求（PC+P8的最小值.

5.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)丫=一52+法+3的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)久=2,

與x軸相交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵M為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN1無(wú)軸于點(diǎn)N,交BC于點(diǎn)、D,連接CM,當(dāng)線(xiàn)段CM=CD

時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶以原點(diǎn)。為圓心，4。長(zhǎng)為半徑作。。，點(diǎn)P為。。上的一點(diǎn)，連接BP,CP,求2PC+3PB的最小值.

題型六：特殊四邊形存在性問(wèn)題

龍龍》大題典例

1.（2023?四川瀘州,中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系萬(wàn)。了中，直線(xiàn)=kx+2與x,y軸分別相交于點(diǎn)

A,B,與反比例函數(shù)y=?O>0）的圖象相交于點(diǎn)C,已知。4=1,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2.

（2）平行于y軸的動(dòng)直線(xiàn)與/和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)。，E,若以2,D,E,。為頂點(diǎn)的四邊形為平行

四邊形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

2.（2021?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，直線(xiàn)y=|x與雙曲線(xiàn)y=：（kH0）交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為

（他一3）,點(diǎn)C是雙曲線(xiàn)第一象限分支上的一點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D,且BC=2CD.

(1)求k的值并直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)G是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接GB,GC,求GB+GC的最小值；

(3)P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,Q,使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請(qǐng)求出所

有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

蘢龍》犀黃揖號(hào).

類(lèi)型一：平行四邊形存在性問(wèn)題

平行四邊形存在性問(wèn)題通?？煞譃椤叭ㄒ粍?dòng)”和“兩定兩動(dòng)”兩大類(lèi)問(wèn)題.而且“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)

和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個(gè)

字母表示，這樣的我們姑且稱(chēng)為“全動(dòng)點(diǎn)”，而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸、直線(xiàn)或者拋物線(xiàn)上，用一個(gè)字母即

可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱(chēng)為“半動(dòng)點(diǎn)”.找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平

行四邊形，只能有2個(gè)未知量.究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì):(1)對(duì)邊平行且相等:(2)對(duì)角線(xiàn)互相平分.

但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式:{秘J：；,：兩個(gè)等式，只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛

剛所講的平行四邊形存在性問(wèn)題最多只能存在2個(gè)未知量.由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)

計(jì)，由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問(wèn)題.

類(lèi)型二：菱形存在性問(wèn)題

和平行四邊形相比，菱形多一個(gè)“對(duì)角線(xiàn)互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若

四邊形ABCD是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿(mǎn)足：

{xA+xC=xB+xD

y—+yC=yB+yD___________________

J(xA—xB)2+(yX—yB)2=J(xC—xB)2+(yC-yB)2

解決問(wèn)題的方法也可有如下兩種：

思路1:先平四，再菱形.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“4+C-B+D"（AC、BD為對(duì)角線(xiàn)），再結(jié)合組鄰

邊相等，得到方程組，

思路2:先等腰，再菱形.在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確

定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn).

類(lèi)型三：矩形存在性問(wèn)題

矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線(xiàn)相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起行四邊

xA+xC=xB+xD

I-----------：-------yA+yQ^yB+yD--------------,

{I（xA—xC）2+（yA—yC）2=J（xB—xD）2+（yB—yD）

（AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)）.因此在矩形存在性問(wèn)題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解確定

了有3個(gè)未知量，則可判斷常見(jiàn)矩形存在性問(wèn)題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè).

類(lèi)型四：正方形存在性問(wèn)題

思路1：從判定出發(fā)

1）若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€(xiàn)相等：

2）若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直：

3）若已知對(duì)角線(xiàn)互相垂直或平分或相等，則加上其他條件.

思路2:構(gòu)造三乖直全等

若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線(xiàn)的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，必是等腰直角

三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過(guò)構(gòu)造三垂直全等來(lái)求得第3個(gè)點(diǎn)，再求第4點(diǎn).

總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點(diǎn)的情形，若題目給了4個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則考慮矩形的判定出發(fā)，

觀察該四邊形是否己為某特殊四邊形，考證還需滿(mǎn)足的其他關(guān)系.（正方形的存在性問(wèn)題在中考中出現(xiàn)得并

不多，正方形多以小題壓軸為主）

蔻麓》要式訓(xùn)級(jí)

1.（2024?山東濟(jì)南?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=zn%+九與反比例函數(shù)y=嚏的圖象在

第一象限內(nèi)交于4Q4）和8（4,2）兩點(diǎn)，直線(xiàn)48與%軸相交于點(diǎn)C,連接。氏

⑴求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)久＞0時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式+的解集；

⑶過(guò)點(diǎn)B作8。平行于久軸，交。4于點(diǎn)。，在%軸上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)。、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形？若存在請(qǐng)求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（23-24九年級(jí)上?四川成都?期末）如圖1,反比例函數(shù)y=?與一次函數(shù)y=%+6的圖象交于4B兩點(diǎn),

已知8(2,3).

⑵一次函數(shù)y=x+b的圖象與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。（未在圖中畫(huà)出）是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若

S&OCD=3,求點(diǎn)。的坐標(biāo)：

⑶若點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M,N,使得四邊形4BMN是矩形？若存在，請(qǐng)

求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（2023?山東濟(jì)南,模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y=/+2與無(wú)軸交于C點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線(xiàn)BC與反比例函數(shù)

y=9交于點(diǎn)4(2,a).

(2)M為線(xiàn)段BC上的點(diǎn)，將點(diǎn)M向右平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)N,點(diǎn)N恰巧在反比例函數(shù)y=§

上，求出點(diǎn)N坐標(biāo)；

⑶在(2)的條件下，若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)P,

Q,使得四邊形M4PQ為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型七：特殊角存在性問(wèn)題

蘢麓》大題典例

1.(2024,四川成都,模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)圖象y=2x+b與y軸交于點(diǎn)4

(0,6),與反比例函數(shù)y=?的圖象的交點(diǎn)為BQ,2),C兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵求△BC。的面積；

(3)當(dāng)久＜0時(shí)，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)Q,使得NBOQ=N。4B?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

蘢能＞筋去揖導(dǎo).

【常見(jiàn)的構(gòu)角方法】

1）平行線(xiàn)的同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；

2）等腰三角形的等邊對(duì)等角：

3）角平分線(xiàn)分的兩個(gè)角相等；

4）全等（相似）三角形對(duì)應(yīng)角相等；

5）若兩角的三角函數(shù)值相等，則兩角相等；

6）同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

探究角度問(wèn)題的一般步驟如下：

1）讀題、理解題意，畫(huà)圖；

2）分析動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、找不變特征（如角有兩邊，其中一條邊是確定的）；

3）確定分類(lèi)特征，進(jìn)行分類(lèi)討論；

4）將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

角度轉(zhuǎn)化的一般方法為：

通過(guò)銳角三角形函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形或等腰三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的類(lèi)型,

然后利用解直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系作為計(jì)算工具去計(jì)算求解，難度相對(duì)較大.

蘢龍》要其訓(xùn)綣

1.（2024,四川成都?一模）如圖，一次函數(shù)丫=卜一1的圖象與反比例函數(shù)y=3的圖象交于4（a,l）,B（—2/）

兩點(diǎn)，M為反比例函數(shù)圖像第一象限上的一動(dòng)點(diǎn).

⑴求反比例函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)NM84=45。時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形稱(chēng)為“垂等四邊形設(shè)點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的MM兩

點(diǎn)，使四邊形ABNM是"垂等四邊形"，且=川V?若存在，求出M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

2.(23-24九年級(jí)上?四川成都?期末)如圖1,直線(xiàn)y=ax+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(2,0),交反比例函數(shù)y=t<0)的

圖象于點(diǎn)點(diǎn)P為第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求反比例函數(shù)表達(dá)式；

(2)過(guò)點(diǎn)P作PC||x軸交直線(xiàn)A8于點(diǎn)C,連接AP,BP若的面積是ABPC面積的2倍，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐

標(biāo).

⑶在反比例函數(shù)y=：(久<0)圖象上是否存在點(diǎn)P,使NBAP=45。，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)，若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

S)???

蘢卷》則模擬一

1.(2024?河南周口?一模)如圖，一次函數(shù)丫=kx+l(kH0)的圖象與反比例函數(shù)y=?(a40,x>0)的圖象

交于點(diǎn)4(1即)，與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C(-2,0).

(2)P是K軸正半軸上一點(diǎn)，若BP=BC,求△P4B的面積.

2.(2023?山東青島?模擬預(yù)測(cè))一次函數(shù)%=—x+4圖像與反比例函數(shù))/2=5圖像在第一象限內(nèi)交于兩點(diǎn)

A,B,與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)C,D,且。4=OB=VT5.

①求反比例函數(shù)關(guān)系式和4與B兩點(diǎn)坐標(biāo).

⑵若點(diǎn)尸在反比例函數(shù)圖像上，SAP0D=2SAOAB,求點(diǎn)P坐標(biāo).

3.（2024?四川達(dá)州?二模）如圖，一次函數(shù)y=5+1的圖象與久軸交于點(diǎn)4與〉軸交于點(diǎn)C,與反比例函

數(shù)）/=式左70）的圖象交于3,。兩點(diǎn)，且4C=BC.

⑴求k的值；

（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式§＞夫+1的解集；

⑶若尸是x軸上一點(diǎn)，「用1支軸交一次函數(shù)丫=/+1的圖象于點(diǎn)跖交反比例函數(shù)y=依70）的圖象于

點(diǎn)、N,當(dāng)以。、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

.1、

4.（2023?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y=/+2與％軸交于C點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線(xiàn)與反比例函數(shù)

y=:交于點(diǎn)A（2以）?

（1）求出a,k的值；

（2）M為線(xiàn)段BC上的點(diǎn)，將點(diǎn)M向右平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)N,點(diǎn)N恰巧在反比例函數(shù)y=g

上，求出點(diǎn)N坐標(biāo)；

⑶在（2）的條件下，若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)P,

Q,使得四邊形M4PQ為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.（2024,山東濟(jì)寧?一模）如圖，一次函數(shù).yi=+力0）與反比例函數(shù)丫2=￡（%>0）的圖象交于力

（2）點(diǎn)P在線(xiàn)段4B上，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線(xiàn)，垂足為交函數(shù)段的圖象于點(diǎn)。，若△POQ面積為3,求點(diǎn)

P的坐標(biāo).

6.（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2式的圖象/與函數(shù)y=§

（k>0,x>0）的圖象（記為「）交于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)/作481y軸于點(diǎn)3,且ZB=1,點(diǎn)C在線(xiàn)段。8上（不

含端點(diǎn)），且oc=t,過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)AllX軸，交/于點(diǎn)。，交圖象「于點(diǎn)￡

⑴求人的值，并且用含f的式子表示點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；

(2)連接OE、BE、AE,記△OBE、△4DE的面積分別為S2,設(shè)［/=51—S2，求。的最大值.

7.(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)丫=久+6的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(一2,0),且

與二次函數(shù)y=kx2+x-1的圖象交于點(diǎn)B(3,a).

⑴求一次函數(shù)與二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)設(shè)M是直線(xiàn)2B上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)“作“可||y軸，交二次函數(shù)y=k#+x—1的圖象于點(diǎn)N,若以點(diǎn)。、C、M、

N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

8.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè))如圖