2025年中考數(shù)學(xué)技巧專項(xiàng)突破：相似三角形12個(gè)模型（共14類題型）原卷版

專題1-2一文吃透相似三角形12個(gè)模型?共14類題型

目錄

模型梳理.......................................................................................3

題型一A字模型..............................................................................12

2023?四川成都?真題....................................................................12

2022宜賓.................................................................................12

2023?山東濰坊?真題....................................................................13

2022?浙江杭州?真題....................................................................13

2023?浙江溫州?真題....................................................................14

2022安徽...............................................................................14

2023.廣東.真題.........................................................................15

2023?山東泰安?真題....................................................................15

2023?四川眉山?真題....................................................................16

2022?江蘇淮安?真題....................................................................16

題昌自"8”字型........................................................................17

2022?遼寧?真題.........................................................................17

2023?四川樂山?真題....................................................................17

2023?湖北武漢?真題....................................................................18

2023?四川瀘州?真題....................................................................18

2023?浙江杭州?真題....................................................................19

2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題............................................................19

2022深圳.................................................................................20

題園巨三角形內(nèi)接矩形...................................................................20

2022?山東東營?真題....................................................................20

題園畫I倒數(shù)型（三平行結(jié)構(gòu)）.............................................................22

湖南株洲?統(tǒng)考中考真題..................................................................22

2023?四川內(nèi)江?真題....................................................................22

2024屆?深圳中學(xué)九年級(jí)期中.............................................................22

題圓門A字型及8字型相結(jié)合.............................................................23

2023?黑龍江哈爾濱?真題................................................................23

2023?安徽?真題.........................................................................23

2023?陜西?真題.........................................................................23

題色質(zhì)射影定理.........................................................................24

2023?湖南郴州?真題....................................................................24

2022湘潭.................................................................................24

題園電子母模型（公共邊公共角）.........................................................26

2022?湖北鄂州?真題....................................................................26

2023?四川涼山?真題....................................................................26

題包加一線三等角模型...................................................................28

2023?黑龍江大慶?真題..................................................................28

2023?山東東營?真題....................................................................29

浙江中考真題.............................................................................30

2023?浙江麗水?統(tǒng)考中考真題.......................................................31

徐州中考..................................................................................33

2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題...........................................................35

題色先旋轉(zhuǎn)相似模型（手拉手）...........................................................35

2023?湖南常德?真題....................................................................35

2022煙臺(tái)...............................................................................36

2021天門.................................................................................36

2022河池...............................................................................36

2023?遼寧營口?真題....................................................................37

2022鞍山.................................................................................39

題園。作輔助線構(gòu)造A字和8字型相似....................................................40

2023?湖北十堰?真題....................................................................40

2023?浙江?真題.........................................................................40

2023?江蘇?中考真題....................................................................41

2022?湖南常德?真題....................................................................41

2022?四川綿陽?真題....................................................................42

2022襄陽.................................................................................42

2023?山東煙臺(tái)?真題....................................................................43

2022?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題...........................................................45

題色。o反"8"字型相似（兩組相似，四點(diǎn)共圓）.........................................46

2022?新疆?統(tǒng)考中考真題................................................................46

2023?浙江麗水?統(tǒng)考中考真題...........................................................46

重慶中考.................................................................................46

題園。昌十字架模型.....................................................................47

2023?遼寧丹東?真題....................................................................47

2023?山東荷澤?中考真題................................................................48

2021?四川達(dá)州?統(tǒng)考中考真題...........................................................49

題圖令且對(duì)角互補(bǔ)模型...................................................................51

深圳中考..................................................................................51

雙高型.........................................................................52

滿分?技巧/

模型梳理

一、A字模型

已知：在AABC中，點(diǎn)D,E分別在AB,AC上，且DE〃BC.

加~\E

jnApJ~）F

結(jié)論：AADE^AABC,—=—=—.（共線的邊之比相等）

ABACBC

反A字型

,,“ADAEDE..,,?.

結(jié)7侖：=——=.（共線的邊N■積相等）

ACABBC

構(gòu)造A字模型：遇到線段上的比例端點(diǎn)可以考慮作平行線構(gòu)造構(gòu)造A字模型

iy--\E

二、8字模型

已知：AC與BD相交于點(diǎn)O,AB〃CD.

結(jié)論：AOAB^AOCD,——=——=—（共線的邊之比相等）.

OCODCD

構(gòu)造8字模型：遇到三角形或平行四邊形邊上的比例端點(diǎn)時(shí)可以考慮作平行線構(gòu)造構(gòu)造8字模型

ADA,________DF

乏「

BcB匕-----------------'C

三、反8字模型（兩組相似，四點(diǎn)共圓）

“一團(tuán)"AB0A0」8

性質(zhì)一：如左圖，NA=NDOAAOBS^DOCO==一

CD0D0（

AAOD=ABOC

性質(zhì)二：如右圖，（由第一組相似推出第二組相似）

\OA____—OB___O>A___—OD___4AoDsABOC

VD~OCOB~OC

性質(zhì)三：四點(diǎn)共圓（圓周角定理）

ADD

—一

BCBC

四、三角形內(nèi)接矩形型

三角形的內(nèi)接矩形：四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊上的矩形.

41EF

若四邊形DEFG為矩形，則：小AEFfABCn二

AH~BC

特別地,

AI_EFAH-a_aAHBC

(1)當(dāng)四邊形DEFG為正方形時(shí)，若假設(shè)其邊長為Q,貝ha--------------

AH~~BCAH+BC

當(dāng)為三角形的中位線時(shí)，矩形的面積最大,

(2)EFDEFG最大值為SDEFG=1S&ABC

2

AE

（曉飛~BE

3BDET3CGF

2

AE

證明：把△FGC向左平移至△￡0C',貝跖?△助C',???------應(yīng)——

~BE

Q&BDE丁3CGF

五、倒數(shù)模型(三平行結(jié)構(gòu))

示意圖結(jié)論

111

A------1--

倒數(shù)型相似EFABCD

AB〃EF〃CD111

-----1-----=----

S^ABCSABCD---S叢BCF

BFC

六、射影定理模型（直角三角形和斜邊上的高）

如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即常見的

結(jié)論有：CA?=AD-AB,BC^^BDBA,CD^DADB（均滿足：（公共邊）2=共線的邊之積）

補(bǔ)充：（1）正方形、長方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)射影定理模型（十字架模型），如圖，A,B,E,G四點(diǎn)組成射影

定理模型.

（2）在圓中也會(huì)出現(xiàn)射影定理模型.

七、母子相似模型

（-）基本模型

已知：在4ABC中，點(diǎn)D在AB上，NAC,D=NB或NADC=NACB.

結(jié)論：AACD^AABC,

BC

/D/CCD

—=——=——，AC2=AD-AB.（公共邊）z=共線的邊之積

4cABBC

（二）結(jié)論推導(dǎo)

“ADACCD

結(jié)論：AACD^AABC,——=—=—,AC2=AD-AB.

ACABBC

■i正明：：NACD=NB或NADC=NACB,NCAD=NBAC,

A“ADACCD

.".△ACD^AABC,—=—=—,.\AC2=AD?AB.

ACABBC

母子相似模型也叫共邊共角相似模型.

（三）解題技巧

如果在三角形中有一個(gè)公共角和一條公共邊，則考慮使用母子相似模型，得到公共邊的平方等于兩條線段

的乘積.

八、一線三等角模型

（一）基本模型

己知：點(diǎn)尸在線段48上，/1=N2=N3.

C

APB結(jié)論1：/\CAP^/\PBD.

V已知：點(diǎn)P在的延長線上，Z1=Z2=Z3.

結(jié)論2：AAPCsARDP.

（二）結(jié)論推導(dǎo)

結(jié)論1:/^CAP^^PBD.

證明：VZ1+ZC+ZAPC=18O°,Z2+ZBPD+ZAPC=18Q°,Z1=Z2,:.NC=NBPD.

VZ1=Z3,：./\CAP^/\PBD.

結(jié)論2:/\APC^/\BDP.

證明：VZ1=ZC+ZAPC,Z2=ZBPD+ZD,Z3=ZBPD+ZAPC,N1=N2=N3,：.ZC=NBPD,

NAPC=ND,:.△APCS^BDP.

（三）解題技巧

在一條線段上出現(xiàn)三個(gè)相等的角時(shí)，則考慮使用一線三等角相似模型.找準(zhǔn)三個(gè)等角，再根據(jù)平角性質(zhì)、

三角形內(nèi)角和證三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)解題.一線三等角模型常以一線三垂直（即Nl=

N2=N3=90。，也稱為K型）的形式出現(xiàn)在矩形或正方形中，在幾何綜合題中考查

九、旋轉(zhuǎn)相似模型（手拉手）

（一）基本模型

（二）結(jié)論推導(dǎo)

結(jié)論：AABDsLACE.

1正明：'JDE//BC,:.NADE=NABC,4ED=NACB,

/./\ADE^/\ABC,AD=4B-

~AE~AC

'：NBAD=NCAE,：./\ABD^/\ACE.

（三）解題技巧

如果圖形中出現(xiàn)共頂點(diǎn)、頂角相等、有旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以考慮用旋轉(zhuǎn)相似模型；如果圖形中沒有出現(xiàn)共頂點(diǎn)、

頂角相等，也沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以通過作輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似.在旋轉(zhuǎn)相似模型中，有一對(duì)三角形相似，可

以推出另一對(duì)三角形相似，再結(jié)合已知條件求解.

十、十字架模型

【正方形內(nèi)的十字架結(jié)構(gòu)】垂直相等，相等垂直

【十字結(jié)構(gòu)在矩形中】

CECDm

如圖，在矩形ABCD中，AB=m,AD=n,在AD上有一點(diǎn)E,若CE_LBD,則——=——=—,即CE

BDBCn

和BD之比等于矩形鄰邊之比

一般情況時(shí)，也滿足（注意E,F,G,H四點(diǎn)的位置不能在同一條邊上）

【十字結(jié)構(gòu)在直角三角形中】

我們知道直角三角形是可以看成是連接矩形對(duì)角線后分成的圖形，如圖，補(bǔ)成矩形ACBH,延長CE交AH

于點(diǎn)G

【十字結(jié)構(gòu)在其他四邊形中】：補(bǔ)成長方形即可

如圖，把邊長為/2=20,8C=4且/8=45。的平行四邊形/BCD對(duì)折，使點(diǎn)8和。重合，求折痕

的長

如圖，若B4=BC=6,。/=。。=8,ZBAD^90°.DELCF,請(qǐng)求出DE：CF的值

十一、對(duì)角互補(bǔ)模型

【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向

兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似。

△FDCs/\GEC

/\DOC^/\EFC

十二、雙高模型

雙高模型：可謂“相似成災(zāi)”

N

O

F

BC

共有8組相似！

①RtZkB0MsRt2\BFNsRtZ^CFMsRtZ^C0N;

②△BCMS2\OFM（蝴蝶相似必成隊(duì)）

\③△NOFs^NCB（反A型）

r］核心?題型/

03i

QA字模型

2023?四川成都?真題

1.如圖，在AABC中，。是邊上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分

別交48,/C于點(diǎn)N；②以點(diǎn)。為圓心，以40長為半徑作弧，交DB于點(diǎn)、M'；③以點(diǎn)兒T為

圓心，以MV長為半徑作弧，在二胡C內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N，：④過點(diǎn)V作射線DN'交8C于點(diǎn)E.若

RF

△8。5與四邊形/皿）的面積比為4:21,則筆的值為.

CE

2.如圖，△48C中，點(diǎn)￡,尸分別在邊/5,/C上，Nl=/2.若2C=4,N尸=2,CF=3,則EF

2023?山東濰坊?真題

3.在《數(shù)書九章》(宋?秦九韶)中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問題：如圖所示，表示塔的高度，8表示竹

竿頂端到地面的高度，E戶表示人眼到地面的高度，48、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)/、C、￡在一

條水平直線上.已知/C=20米，CE=10米，CD=7米，斯=1.4米，人從點(diǎn)尸遠(yuǎn)眺塔頂8,視線恰

好經(jīng)過竹竿的頂端。，可求出塔的高度.根據(jù)以上信息，塔的高度為米.

2022?浙江杭州?真題

4.如圖，在A48C中，點(diǎn)。，E,尸分別在邊48,AC,BC上,連接。E,EF,已知四邊形3FED是平行

(1)若48=8,求線段4D的長.

(2)若V4DE的面積為1,求平行四邊形3FED的面積.

2023?浙江溫州?真題

5.如圖，已知矩形4BC。，點(diǎn)￡在C8延長線上，點(diǎn)尸在8c延長線上，過點(diǎn)/作萬H1.斯交ED的延長

線于點(diǎn)X,連結(jié)4尸交EW于點(diǎn)G,GE=GH.

JR5

(1)求證：BE=CF,(2)當(dāng)一=一，刈＞=4時(shí)，求EF的長.

FH6

6.小言家窗外有一個(gè)路燈，每天晚上燈光都會(huì)透過窗戶照進(jìn)房間里，小言一直想知道這個(gè)路燈的準(zhǔn)確高度,

當(dāng)學(xué)了相似三角形的知識(shí)后，她意識(shí)到自己可以解決這個(gè)問題了！如圖，路燈頂部A處發(fā)光，光線透

過窗子照亮地面的長度為DE,小言測(cè)得窗戶距離地面高度AF=0.7m,窗高2c=1.4m,某一時(shí)刻,

2022安徽

7.如圖，四邊形/BCD是正方形，點(diǎn)￡在邊ND上，是以￡為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF,

BF分別交CD于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)G,連接DF,若DE=T,DF=，

則MN=.

8.(2023?深圳?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在RM/5C中，ZABC=90°,AB=6,5C=8,NBAC,NACB

的平分線相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF//BC交AC于點(diǎn)、F,則跖的長為()

A

710

D.

T

2023-T東?真題

9.邊長分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的

面積為.

10.如圖，在中，/C=8C=16,點(diǎn)。在48上，點(diǎn)E在8c上，點(diǎn)8關(guān)于直線DE的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

B',連接。9，EB',分別與/C相交于下點(diǎn)，G點(diǎn)，若/尸=8,DF=7,B，F(xiàn)=4,則CG的長度

為.

11.如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,棱長為1的立方體的表面展開圖有兩條邊分別在/C,BC上,有

兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上則圖中陰影部分的面積為

B

2023?四川眉山?真題

12.如圖，/3C中，是中線，分別以點(diǎn)/，點(diǎn)2為圓心，大于;48長為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)",N.直

線MN交AB于點(diǎn)、E.連接CE交于點(diǎn)足過點(diǎn)。作。G〃CE,交N2于點(diǎn)G.若DG=2,則CF的

長為.

2022?江蘇淮安?真題

13.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,3C=4,點(diǎn)。是/C邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。尸〃/B,

DF

交.BC于點(diǎn)、F,作/胡C的平分線交D9于點(diǎn)￡,連接5E.若的面積是2,則一的值是

EF

14.（2023上?廣東深圳?九年級(jí)統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，至今仍有

借鑒意義.如圖1，身高L5m的小王晚上在路燈燈柱/〃下散步，他想通過測(cè)量自己的影長來估計(jì)路燈

的高度，具體做法如下：先從路燈底部N向東走20步到〃處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點(diǎn)落在點(diǎn)尸處，作

好記號(hào)后，繼續(xù)沿剛才自己的影子走4步恰好到達(dá)點(diǎn)尸處，此時(shí)影子的端點(diǎn)在點(diǎn)。處，已知小王和燈

柱的底端在同一水平線上，小王的步間距保持一致.

圖1

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出路燈。和影子端點(diǎn)Q的位置.

(2)估計(jì)路燈/O的高，并求影長尸。的步數(shù).

(3)無論點(diǎn)光源還是視線，其本質(zhì)是相同的，日常生活中我們也可以直接利用視線解決問題.如圖2,小明同

學(xué)用自制的直角三角形紙板時(shí)測(cè)量樹的高度他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊D尸保持水平，并且

邊DE與點(diǎn)8在同一直線上.測(cè)得。尸=0.5m,EF=0.3m,CD=10m,小明眼睛到地面的距離為1.5m,則

樹IWJAB為m.

題七"8"字型

2022?遼寧?真題

15.如圖，在正方形N3CD中，￡為/。的中點(diǎn)，連接3E交4C于點(diǎn)尸.若AB=6,則ANE尸的面積

2023?四川樂山?真題

16.如圖，在平行四邊形N8CD中，E是線段上一點(diǎn)，連結(jié)NC、DE交于點(diǎn)足若言=則

EB3

2023?湖北武漢?真題

17.如圖，平分等邊A/IBC的面積，折疊得到△陽及NC分別與。尸,￡尸相交于G,“兩點(diǎn).若

DG=m,EH=n,用含九"的式子表示GH的長是.

2023上?廣東深圳?九年級(jí)南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)南海中學(xué)?？计谥?/p>

18.如圖，在DNBCD中，E為40邊上的點(diǎn)，AE=2DE,連接BE交/C于點(diǎn)廠，的面積為4cm?,

則"C的面積為

2023?四川瀘州?真題

19.如圖，E,/是正方形/BCD的邊NB的三等分點(diǎn)，戶是對(duì)角線/C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+尸尸取得最小值

Ap

時(shí)，言的值是.

2023?浙江杭州?真題

20.在邊長為1的正方形4BCD中，點(diǎn)E在邊皿上(不與點(diǎn)A,。重合)，射線5E與射線C0交于點(diǎn)廠.

(1)若求DR的長.

⑵求證：AE-CF^l.

(3)以點(diǎn)3為圓心，8c長為半徑畫弧，交線段8E于點(diǎn)G.若EG=ED,求磯)的長.

2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題

21.如圖，Y4BCD中，點(diǎn)E是40的中點(diǎn)，連接CE并延長交A4的延長線于點(diǎn)

(2)點(diǎn)G是線段/尸上一點(diǎn)，滿足ZFCG=ZFCD,CG交AD于點(diǎn)、H,若/G=2,尸G=6,求G”的長.

22.如圖，矩形N5C。中，點(diǎn)E在DC上，DE=BE,/C與5。相交于點(diǎn)。.班與/C相交于點(diǎn)尸.

DEC

(1)證明：△OBFs^ECF；

⑵若。尸=3,EF=2,求職的長度.

2022深圳

23.在RtZ\4BC中，ZABC^90°,AB=3,BC=5,AE=2Y5,連接CE,以CE為底作等腰Rt/XCDE,

C￡>=DE,點(diǎn)尸是線段/￡上一點(diǎn)，連接8D,BF,NFBD=45°,則N尸的長為.

題園且三角形內(nèi)接矩形

2022?山東東營?真題

24.如圖，在"BC中，點(diǎn)RG在3c上，點(diǎn)￡、〃分別在48、AC±.,四邊形EFG〃是矩形，EH=2EF,AD

是。3C的高.BC=8,AD=6,那么即的長為.

25.如圖，是A/IBC的高，點(diǎn)E、尸在3C邊上，點(diǎn)G在/C邊上，點(diǎn)〃在8c邊上，BC=2lcm,高

4D=15cm,四邊形ERG〃是AA8C內(nèi)接正方形，

(1)A/〃G與AABC相似嗎？為什么？

(2)求內(nèi)接正方形EFGH邊長EF.

26.如圖，△48C是一塊銳角三角形余料，邊BC=120min,高4D=80min,要把它加工成矩形零件尸QWN,

使一邊在8C上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊/2、AC±.若這個(gè)矩形的邊PN：尸0=1：2,則這個(gè)矩形的

長、寬各是多少？

27.如圖，已知A/BC中，8c=10,8c邊上的高/〃=8,四邊形DEFG為內(nèi)接矩形.

(1)當(dāng)矩形DEFG是正方形時(shí)，求正方形的邊長.

(2)設(shè)斯=x,矩形DEFG的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)S有最大值，并求出最

大值.

BDHEC

題園因倒數(shù)型（三平行結(jié)構(gòu)）

湖南株洲?統(tǒng)考中考真題

28.如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的長是（）

4

D.-

cI5

2023?四川內(nèi)江?真題

29.如圖，在443c中，點(diǎn)。、E為邊N5的三等分點(diǎn)，點(diǎn)RG在邊3C上，AC〃DG〃EF,苴H為AF與

DG的交點(diǎn).若ZC=12,則。H的長為（）

2024屆?深圳中學(xué)九年級(jí)期中

30.如圖，在AABC中，點(diǎn)。、E為邊43三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸、G在邊3C上，AC//DG//EF,點(diǎn)H為AF

與DG的交點(diǎn).若HD=3,則ZC的長為.

題四理A字型及8字型相結(jié)合

2023?黑龍江哈爾濱?真題

31.如圖，AC,3D相交于點(diǎn)0,AB//DC,M是的中點(diǎn)，MN//AC,交BD于點(diǎn)、N.若

DO:OB=1:2,AC=12,則MV的長為（）

A.2B.4C.6D.8

32.如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)8的直線分別與NC,及C￡＞的延長線相交于點(diǎn)E,F,G,若

BE=6,EF=4,則FG的長為.

2023?安徽?真題

33.如圖，點(diǎn)E在正方形/3CD的對(duì)角線/C上，EF工于點(diǎn)F,連接DE并延長，交邊5c于點(diǎn)W,

交邊A8的延長線于點(diǎn)G.若AF=2,FB=\,則MG=（）

C.V5+1D.Vio

34.如圖，DE是“BC的中位線，點(diǎn)廠在。3上，DF=2BF.連接E廳并延長，與C8的延長線相交于點(diǎn)

M.若5c=6,則線段CM的長為（）

A

35.如圖，在Y4BCD中，延長40至點(diǎn)E,使4D=2DE,連接班■交CD于點(diǎn)F,交/C于點(diǎn)G,則下的

值是（）

題園病射影定理

2023?湖南郴州?真題

36.在Rt△力3c中，ABAC=90°,是斜邊3C上的高.

⑴證明：△ABDsACB4;

(2)若/8=6,BC=IQ,求的長.

2022湘潭

37.如圖，在△NBC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)/,過點(diǎn)瓦。分別作/的垂線，垂足分別

為點(diǎn)、D,E,延長8。交NC于點(diǎn)尸，若CE=3,DE=\,求△8FC的面積.

==則

38.如圖，在四邊形中，NC與8。相交于點(diǎn)。，/48C=4D/C=90。，AB\'BO4S^ABD

^BC2~OD3SIXCBD

39.如圖，將矩形ABCD沿線段AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EG〃CD交AF于點(diǎn)G,

連接DG.

(1)求證：AAGE之ZkAGD

(2)探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)若AG=6,EG=26，求BE的長.

題四比子母模型（公共邊公共角）

2022?湖北鄂州?真題

40.如圖，在邊長為6的等邊△4BC中，。、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，/。與BE相交于點(diǎn)P,若BD=CE=2,

貝必/AP的周長為.

2023?四川涼山?真題

41.如圖，在Y/3CD中，對(duì)角線/C與8。相交于點(diǎn)0,ZCAB=ZACB,過點(diǎn)B作交ZC于點(diǎn)E.

⑴求證：AC1BD-,(2)若/3=10,AC=16,求OE的長.

42.如圖，和ANGF是等腰直角三角形，ABAC=ZG=90°,AZGE的邊/尸，NG交邊8c于點(diǎn)D,

RF

E.若3=4,AE=3,則差的值是

43.（2023上?廣東深圳?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示的一張矩形紙片N8CD（AD>AB）,將紙片折疊一次,

使點(diǎn)/與C重合，再展開，折痕斯交4D邊于點(diǎn)E,交8C邊于點(diǎn)R交/C于點(diǎn)。，分別連接/尸和

CE.

(1)求證：四邊形/PCE是菱形；

(2)過￡點(diǎn)作的垂線￡尸交/C于點(diǎn)P,求證：2AE2=AC-AP；

44.如圖，在中，點(diǎn)。在邊AB上，NA4C的平分線交CD于點(diǎn)E,交于點(diǎn)尸，已知/。=9,BD

=7,AC^12.

(1)求證：AC2=AD-AB；(2)若4&=8,求斯的長.

45.如圖，在菱形/BCD中，NB=60。，點(diǎn)、E為AB上一點(diǎn)、,將△4DE沿翻折，點(diǎn)N落在，處，連接

并延長交?！暧邳c(diǎn)R若，C=2,A'F=3,求跖的長.

46.(2023上泗川成都?九年級(jí)統(tǒng)考期末)在中，點(diǎn)D,E分別在邊N3,3c上，連接4E,CD交

于點(diǎn)0,S.ZADC=ZAEC,

A

⑴求證：BDAB^BEBC：

(2)當(dāng)。為邊48的中點(diǎn)時(shí)，且CE=4,

①若2/。=3?！?求NB；

②若△NEC為等腰直角三角形，且NE4C=90。，求四邊形如?！甑拿娣e.

47.如圖1，在△48C中，4D為中線，點(diǎn)E在/C的延長線上，NE=/ABC,4D的延長線交BE于點(diǎn)?

(1)求證：AABC^/XAEB；

(2)若/C=C￡,BC=6,求昉的長；

(3)如圖2,若BF=BC=4,求即的長.

48.如圖，在△NBC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D,￡在邊3c上，ZDAE=45°,過點(diǎn)3作8F_L8C,

交4D的延長線于點(diǎn)尸，連接EF

(1)求證：AE2=BE-DE；

(2)求證：

(3)若tan/B￡尸=3，CE=2,求/尸的長.

題園式一線三等角模型

2023?黑龍江大慶?真題

49.在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).有一張矩形紙片/BCD如圖

所示，點(diǎn)N在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為8N,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M,若點(diǎn)M恰好落在邊。C

上，則圖中與AWM一定相似的三角形是.

2023?山東東營?真題

50.如圖，A48C為等邊三角形，點(diǎn)Z）,E分別在邊3C,48上，44?！?60。，若BD=4DC,DE=2A,

則/D的長為（）

51.如圖，△/BC和△EDC都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°,頂點(diǎn)N在邊?！晟?，4B與CD

相交于點(diǎn)尸，若/E=2,AD=4,則△/尸。的面積為.

52.如圖，在等邊△/2C中，48=6,點(diǎn)D是邊上一點(diǎn),BD=2,點(diǎn)、F是邊AC上一點(diǎn),若在邊3c上

只有一點(diǎn)E,使/。即=60。，則CF的長為.

53.如圖，將等邊△NBC折疊，使點(diǎn)3落在NC邊上的點(diǎn)尸處，折痕為若N尸=4,CF=8,則C￡的

長為

A

54.如圖，點(diǎn)P是等邊的一邊8c上的任意一點(diǎn)，且C尸=38P,連接/P,作/P的垂直平分線交

AB./C于M、N兩點(diǎn),則的值為.

55.如圖，點(diǎn)凡G分別在正方形/BCD的邊2C,CD±,E為N5中點(diǎn)，連接ED,正方形尸G0尸的邊尸。

恰好在DE上，若正方形N8C。邊長為7,則正方形EPQG面積為

浙江中考真題

56.如圖，矩形/BCD中，由8個(gè)面積均為1的小正方形組成的工型模板如圖放置，則矩形/BCD的周長

57.如圖，菱形48CD與菱形/所G相似，4EPG的頂點(diǎn)G在/BCD的3c邊上運(yùn)動(dòng)，GF與相交于點(diǎn)

H,ZE=60°.若CG=3,AH=1,則菱形/BCD的邊長為

E

C

2023?浙江麗水?統(tǒng)考中考真題

58.如圖，在四邊形N8CA中，NO〃5C,NC=45。，以為腰作等腰直角三角形胡￡,頂點(diǎn)￡恰好落在CD

邊上，若40=1,則CE的長是（）

C.2D.1

59.如圖，將8個(gè)邊長為1的小正方形疊放，