導(dǎo)數(shù)的概念與切線方程（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第11講導(dǎo)數(shù)的概念與切線方程

（6類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第20題,16利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題由導(dǎo)數(shù)求求在曲

分線上一點處的切線方程（斜率）函數(shù)的最值（含參）

2023年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究

分不等式恒成立問題

2022年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利

分用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零

2021年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

分利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題函數(shù)極值點的辨析

2020年天津卷，第20題,16

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為16分

【備考策略】L理解、掌握導(dǎo)數(shù)的定義，能夠運用導(dǎo)數(shù)求解基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2.能掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線的性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會求在一點與過一點的切線方程

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的切線方程。

12.考點梳理*

知識講解

知識點一.導(dǎo)數(shù)的定義

1.函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)：

稱函數(shù)y=/(%)在％=%0處的瞬時變化率A?叱“久°+￡-/(⑹=A照言為函數(shù)y=/(%)在X=%0處的

導(dǎo)數(shù)，記作/(&)或：T|久=為即/(%。)=lim絲=lim"x2-f(x。)

△x-8△%Ax—>00△%

2.函數(shù)y=/(%)的導(dǎo)數(shù):

f(%+△%)-/(x)

G)==lim

fy△%T8△x'

3.利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟:

①求函數(shù)的增量:Ay=/(x0+△%)-/(%o)；

②求平均變化率："=回竺匕3

△%△%

③取極限得導(dǎo)數(shù)：fGo)=lim?

Ax^ooAx

知識點二.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/U)在點尤=xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=/(x)在點P(xo,兀⑹)處的切線的斜率.也就是說，曲線

y=/(x)在點尸(沏，的))處的切線的斜率是"總.即k=Jim"工藝-"-=?匕)相應(yīng)地，切線方程為匚

AK—TH

/ko)=〃xo)(x-Xo).

曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多.

與曲線只有一個公共點的直線也不一定是曲線的切線.

知識點三.導(dǎo)數(shù)的運算

1.導(dǎo)數(shù)公式表(其中三角函數(shù)的自變量單位是弧度)

函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

y=c(c是常數(shù))y,=Qy=sinxy'=cosx

y=xa(a為實數(shù))y'=axL2y=cosxy'=—sinx

片十

yr=axlnaJxlna

x

y=a(a>0,a?l)y=logax(a>0,a#l)

特別地(ex)，=ex特別地(Inx)，=:

2.導(dǎo)數(shù)的運算法則

(1)[f(x)±g(x)](x)士g，(x)；

(2)[f(x)-g(x)]'=?(x)g(x)+f(x)gr(x)；

(3)‘，戈"Y"(了)(g⑴關(guān)o).

Lg〈町」Lg⑴」

3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yJux-

即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

規(guī)律：從內(nèi)到外層層求導(dǎo)，乘法鏈接

考點一、導(dǎo)數(shù)的定義

典例引領(lǐng)

1.(2025高三?全國?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(久)可導(dǎo)，尸⑴01則忠/(':7⑴=.

2.(2024?湖北黃石?三模)已知函數(shù)/(x)=log2*,則lim，⑴,⑵=

即時檢測

1.(2025?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=+則由⑴的值為()

J2Ax^O△%

A.eB.-2C.--D.0

2

2.(23-24高三上?上海青浦?期中)已知a￡R,曲線y=/(久)經(jīng)過點(1,2)且在該點處的切線方程為a久+y-5=

0,則lim/(1+ft)~2^

九TOh

3.(2024.全國?模擬預(yù)測)已知符號“l(fā)im”代表極限的意思，現(xiàn)給出兩個重要極限公式：①lim酗=1；②

%T0X

1.1

lim(l+x)x=e,則依據(jù)兩個公式，類比求lim”維匹=_____；lim(l+sin2%)sinxcosx=_______.

、TOXx-?0

4.(20-21高三上?北京?期中)為了評估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物

濃度進行測量.設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關(guān)系為c=f(t),甲、乙兩人服用該藥物后，血

管中藥物濃度隨時間t變化的關(guān)系如下圖所示.

①在tl時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；

②在t2時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同；

③在山/3］這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同;

④在兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率不相同.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

考點二、導(dǎo)數(shù)的運算與求值

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國?高考真題)當(dāng)x=l時，函數(shù)f(x)=aln久+(取得最大值一2,則f(2)=()

A.一1B.-jC.1D.1

2.(2020?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)〃久)=高.若尸(1)=3，則2=.

即幽性測I

1.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=2/(3)x—/2+inx(r(x)是/(切的導(dǎo)函數(shù))，則f(l)=_

2.(2024.西藏林芝.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=用，若尸(1)=2,則a=—.

3.(2025高三?全國?專題練習(xí))在等比數(shù)列｛即｝中，％,013=2,若函數(shù)/(x)=|x(x-ct1)(x-a2)???(x-a2025)?

則/'(0)=()

2025

A.—22024B.22024C.~2D.22025

4.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知三次函數(shù)/(%)=%3+2%-1,若％1+&=0，則/(%i)+

/(%2)=?

考點三、在一點處的切線方程

典例司也

1.(2023?全國?高考真題)曲線y=W在點(1,|)處的切線方程為()

A.y=-xB.y=-xC.y=-x+-D.y=-%+—

y4）2z44z24

2.（2020.全國.高考真題）函數(shù)/O）=%4—2/的圖像在點（1,/（D）處的切線方程為（）

A.y=—2%—1B.y=—2%+1

C.y=2%—3D.y=2%+1

1.（22-23高三上?天津紅橋?期中）已知/（久）=/+/—x+2,則曲線y=/（久）在點處的切線方程

為（）

A.y=x+2B.y=—4x+1C.y=—x+4D.y=4%—1

2.（21-22高三上?天津?期中）曲線y=W在點（1,，處的切線方程為（）

1

A.y=x—1B.y=xC.y=0D.y=-

3.（23-24高三下?天津?階段練習(xí)）已知f（%）=/一］口%在汽=1處的切線與圓C:（%-a/+y2=4相切，則

a=.

4.（23-24高三上?天津濱海新?期中）函數(shù)y=Inx-|的導(dǎo)數(shù)為二曲線y=Inx-|在x=1處的切線

方程為-

考點四、過一點的切線方程

典例引領(lǐng)

1.（2024高三.全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=x2.

⑴求f（x）在區(qū)間［2023,2024］上的平均變化率；

（2）求曲線y=f（x）在點（2/（2））處的切線方程；

（3）求曲線y=f（x）過點（2,0）的切線方程.

2.（2021?全國.高考真題）若過點（a,b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

即時檢測

1.（2025?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測）若過點0n,n）（zn>0）可以作兩條直線與曲線y=［lnx相切，則下列選項正確

的是（）

A.2n<InmB.2n>Inm

C.2m>Inn>0D.2m<Inn<0

2.（2024?貴州六盤水?三模）已知曲線y=M—31n%的一條切線方程為y=—%+zn,則實數(shù)m=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）過點（3,0）作曲線f（%）=的兩條切線，切點分別為（//6））,但廳（%2）），

則久1+型=（）

A.-3B.-V3C.V3D.3

考點五、切線的傾斜角與斜率

典例引領(lǐng)

1.（全國?高考真題）曲線丫=短—2x+4在點（1,3）處的切線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.（重慶?高考真題）曲線丫=2-之久2與丫=；/一2在交點處切線的夾角是.（用弧度數(shù)作答）

即時性測I

1.（23-24高三上?云南?階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=/一/（1）/+3的導(dǎo)數(shù)為尸（乃，則/（久）的圖象在點

（1,/（1））處的切線的斜率為-

2.（23-24高三上.天津?階段練習(xí)）曲線y=|-lnx在x=1處的切線的傾斜角為a,貝服0$卜戊一（）=.

3.（2024高三下?全國?專題練習(xí)）已知三次函數(shù)/（%）有三個零點的，式2,右，且在點（%,/（%））處切線的斜率

為此（2=1,2,3）,則;+；+；=___________1

K，2k3

4.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）動點P在函數(shù)y=-例x+1）的圖象上，以P為切點的切線的傾斜角取值范

圍是（）

A.MB.[o,；]ug,K）C.（消D.加

5.（23-24高三下?山東青島?開學(xué)考試）已知直線y=a與函數(shù)/（久）=ex,g（x）=Inx的圖象分別相交于A,B

兩點.設(shè)備為曲線y=/（久）在點A處切線的斜率,B為曲線y=g（x）在點B處切線的斜率，則七伍最大值為（）

A.1B.eC.eaD.-

e

考點六、公切線

典例引領(lǐng)

1.（2024?全國?高考真題）若曲線y=e*+x在點（0,1）處的切線也是曲線y=lnQ+l）+a的切線，則

a=.

2.（2022.全國.高考真題）已知函數(shù)/'（%）=/-%,〃（%）="+。，曲線y=f（%）在點處的切線也

是曲線y=g（%）的切線.

(1)若％i=—1,求a；

⑵求a的取值范圍.

即時便測

1.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=百的圖象與函數(shù)y=/(a>0且。力1)的圖象在公共點處有

相同的切線，則公共點坐標(biāo)為.

2.(2024?遼寧大連?一模)斜率為1的直線Z與曲線y=ln(x+a)和圓/+/=[都相切，則實數(shù)a的值為()

A.0或2B.-2或0C.-1或0D.0或1

___AaX-2___

3.(2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=-2x(%>0),函數(shù)g(x)=-%2+3ax-a2-3a(aG

R).若過點。(0,0)的直線1與曲線y=/(%)相切于點P,與曲線y=g(%)相切于點Q,當(dāng)P、Q兩點不重合時，

線段PQ的長為-

4.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=e*T,g(、)=^ex2,若直線1是曲線y=/(、)與曲線y=g(%)的公

切線，則/的方程為()

A.ex—y=0B.ex—y—e=0

C.x—y=0D.%—y—1=0

IN.好題沖關(guān).

基礎(chǔ)過關(guān)

1.(22-23高三上?天津?期中)若f⑺=--2久-41nx,則尸(%)>0的解集為()

A.(0,+8)B.(—8,—1)U(2,+8)C.(2,+oo)D.(—8,—1)

2.(21-22高三上?天津南開?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=挎：一品+1°，”若f(x)2保一刈恒成立,

(ezx+x—1,x<2

則實數(shù)小的取值范圍為()

A.[|,5-21n2]B.(-00,4-21n2]

C.[[,4—21回D.[1,5-21n2]

3.(22-23高三上?天津?期中)函數(shù)/。)=log了的導(dǎo)數(shù)為.

2

4.(22-23高三上?河南鄭州?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，滿足"%)=2久尸(1)+爐，則f(l)等

于.

5.(20-21高三上?天津?期中)設(shè)曲線y=a久-ln(x+l)在點(0,0)處的切線方程為3x-y=0,則

a=.

6.(22-23高三上?天津河北?期末)函數(shù)f(%)=%(lnx—=ax+b(a,bGR),若a=1時，直線y=g(%)

是曲線/（X）的一條切線，則b的值為

7.（20-21高三上?天津南開?期中）已知函數(shù)f（x）=金+&,則/"（X）在x=2處的導(dǎo)數(shù)尸（2）=

能力提升

1.（22-23高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）若曲線y=/+ain%在點（1,1）處的切線方程為、=-4,則@=

（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2021.天津?qū)幒?一模）設(shè)曲線y=a%—ln（%2+i）在點（0,1）處的切線方程為y=2%+1,則

a=.

3.（22-23高;上?天津武清?階段練習(xí)）已知函數(shù)人幻的圖象在點（2,/（2））處的切線方程是x-2y+l=0,若h（x）=",

〃（2）的值為.

4.（23-24高三下?天津?開學(xué)考試）函數(shù)/⑺=1嗝％+2「蠢的圖象在x=1處切線的斜率為.

5.（21-22高三上?天津南開?期中）曲線y