等差數(shù)列性質(zhì)歸類（16題型提分練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單

專題14等差數(shù)列性質(zhì)歸類

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目錄

題型一：定義法判斷等差數(shù)列......................................................................1

題型二：定義法求通項...........................................................................4

題型三：等差中項................................................................................6

題型四：等差數(shù)列的“中點”性質(zhì)..................................................................8

題型五：an與sn的關(guān)系’........................................................................10

題型六：雙等差數(shù)列sn比值型....................................................................12

題型七：等差數(shù)列型函數(shù)和.......................................................................14

題型八：奇數(shù)項與偶數(shù)項和型.....................................................................16

題型九：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：單調(diào)性.............................................................18

題型十：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：sn最值............................................................20

題型十一：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：正負不等式型.....................................................22

題型十二：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：恒成立型求參.....................................................26

題型十三：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：范圍型...........................................................28

題型十四：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：sn與n比值型....................................................31

題型十五：等差數(shù)列與三角函數(shù)...................................................................33

題型十六：等差數(shù)列思維第19題型綜合............................................................35

^突圍?錯;住蝗分

題型一：定義法判斷等差數(shù)列

指I點I迷I津

等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差

數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為%（常數(shù)）（〃eN*,〃22）.

1.（2024?北京西城?三模）中國古代科學(xué)家發(fā)明了一種三級漏壺記錄時間，壺形都為正四棱臺，自上而下，

三個漏壺的上底寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸.設(shè)三個漏壺的側(cè)面與底面所

成的銳二面角依次為4，%，%，貝I（）

A.4+。3=2。2B.sin6}+sin0^=2sin(92

C.cos0；+cos=2cos02D.tan0x+tan&=2tan02

【答案】D

【分析】連接OP,過邊4片的中點E作垂足為G,則NGEE就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二

面角的一個平面角，記為8,設(shè)漏壺上口寬為下底寬為b,高為/?,在RtAEFG中，根據(jù)等差數(shù)列即可

求解.

【詳解】三級漏壺，壺形都為正四棱臺，自上而下，三個漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底

寬和深度也依次遞減1寸，

如圖，在正四棱臺ABC。-A,B|G2中，。為正方形A3C￡＞的中心，尸是邊的中點,

連結(jié)OF,過邊4月的中點E作EGLOF,垂足為G,

則NGFE就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個平面角，記為6,

設(shè)漏壺上口寬為。，下底寬為6,高為h,

在RtAEFG中，GF=^—tan6=2L,

2a-b

因為自上而下三個漏壺的上口寬成等差數(shù)列，下底寬也成等差數(shù)列，且公差相等，

所以為定值，

又因為三個漏壺的高h成等差數(shù)列,所以tan仇+tan"=2tan02.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于情境類問題首先要閱讀理解題意，其次找尋數(shù)學(xué)本質(zhì)問題，本題在新情境的基

礎(chǔ)上考查等差數(shù)列的相關(guān)知識.

2.(23-24高三下?上海浦東新期中)設(shè)為(x)=a"j'"+%iX"T+.+產(chǎn)0,m210,meZ),記

力(X)=AG)S=1,2,L,%—1),令有窮數(shù)列6,為力(x)零點的個數(shù)(〃=1,2,則有以下兩個結(jié)論:

①存在用(“，使得切為常數(shù)列；②存在力(x),使得a為公差不為零的等差數(shù)列.那么()

A.①正確，②錯誤B.①錯誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯誤

【答案】C

【分析】對于①，列舉析(力=已驗證,對于②,列舉力(尤)=(x-1)@-2)(x-m)驗證.

【詳解】當(dāng)加“黃7"時，

■A(x)=%'(x)=,此時4=1,

2

于2(x)=fi(尤)=m(m-l)^,此時b2=l,

。4(耳=禽2@)=加(祖-1)(所2)-x2xx,此時B_i=l,

故存在力(x)，使勿為常數(shù)列；①正確；

設(shè)力(無)=(%-1)卜一2)(x-m),則為(x)有加個零點L2,3,,m,

則于、⑺在(1,2),(2,3),?,(〃?-1,帆)的每個區(qū)間內(nèi)各至少一個零點，故工(x)至少有加一1個零點，

因為是一個小-1次函數(shù)，故最多有〃2-1個零點，因此工(x)有且僅有〃一1個零點，

同理，力(x)有且僅有帆-2個零點，L,力⑺有且僅有m-左個零點，

故bn=m-n，所以｛%｝是公差為T的等差數(shù)列，故②正確.

故選：C.

3.(23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí))斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有

應(yīng)用.斐波那契數(shù)列&｝滿足4=%=1，冊=%+%一2523/￡N*).給出下列四個結(jié)論：

①存在加￡N*，使得，am+l，am+2成等差數(shù)列；

②存在meN\使得a(n，"m+1，am+2成等比數(shù)列；

③存在常數(shù)/,使得對任意〃eN*,都有冊，Sm，%+4成等差數(shù)列；

④存在正整數(shù)4%,??/,”，且h<i2<<im，使得氣+?,++%=2023.

其中所有正確的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】c

【分析】由遞推公式得｛%｝性質(zhì)后判斷，

【詳解】對于①，由題意得。2=1,4=2,&=3,故4,%成等差數(shù)列，故①正確,

對于②，由遞推公式可知冊，am+l,4+2中有兩個奇數(shù)，1個偶數(shù)，不可能成等比數(shù)列，故②錯誤,

對于③，*=4+3+”“+2=2。“+2+%=3”“+2q，

33

成等差數(shù)列；故③正確,

故當(dāng)f=5時，對任意a?,-a?+2,??+4

對于④，依次寫出數(shù)列中的項為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,,

可得2023=1597+377+34+13+2,故④正確，

故選：C

4.（21-22浙江金華?階段練習(xí)）已知各項均不為零的數(shù)列｛an｝,定義向量c“=（?！?。用）也=（w,"+D,〃eN*.

下列命題中正確的是

A.若任意n!3N*總有cnHbn成立,則數(shù)列｛67｝是等比數(shù)列

B.若任意nEIN*總有cnHbn成立,則數(shù)列｛Q"｝是等比數(shù)列

C.若任意"I3N*總有cnfflbn成立,則數(shù)列｛。。｝是等差數(shù)列

D.若任意"EIN*總有cnHbn成立,則數(shù)列｛。。｝是等差數(shù)列

【答案】D

【詳解】分析：利用平面向量垂直或平行的判定條件得到數(shù)列的遞推公式，再利用累乘法求出通項，進而

利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進行判定.

詳解：若任意〃eN*總有c”成立,

則”+(“+1)4+1=0,

a,』n

BP-=——7,

ann+1

aa.a

刀一12口

即紇=I,,-----?a.

aa0

?-in—24

n—1(寧i?(-n—3

----…?a1

nn-1n-2

(一1)"T

=-----------a],

n

則伍“｝不是等比數(shù)列，也不是等差數(shù)歹U;

若任意"WN*總有的1優(yōu)成立，

貝1-5+1）。“=°，

即二n+1

n

即％=且紇.1——芻

an-l紇一24

nn—12

…丁

n—1n—2

=na{,

即｛%｝是等差數(shù)列.故選D.

點睛：（1）熟記平面向量垂直和平行的判定條件：

已知a=（%,%）/=（N，%），

則?！ㄈ薿玉%-%另=0,a_LZ?。%9+%%=。

（2）已知數(shù)列｛%｝的遞推公式%1=/⑺）求通項時，往往采用累乘法;

an

已知數(shù)列｛%｝的遞推公式。用-4=/（"）求通項時，往往采用累加法.

5.（浙江?高考真題）如圖，點列｛An｝,｛Bn｝分別在某銳角的兩邊上，且

\BnBn+^\Bn+｝Bn+l8產(chǎn)用+2,〃eN*.（尸/。表示點尸與。不重合）

若d”=|A“s,為紇+的面積，則

C.｛4｝是等差數(shù)列D.｛力｝是等差數(shù)列

【答案】A

【詳解】S"表示點4到對面直線的距離（設(shè)為兒）乘以忸“用」長度的一半,

即Sn=^hn\BnBn+l\,由題目中條件可知同5局的長度為定值，

那么我們需要知道4的關(guān)系式，

由于4,4和兩個垂足構(gòu)成了直角梯形，

那么4=4+|4A/sine,

其中。為兩條線的夾角，即為定值，

那么S,=?4+HA』sin，LM，

%=g（4+HA/sin。）回紇

作差后：S“+「S”=J|AA"+』sin，）B/“M，都為定值，所以S用-S“為定值.故選A.

題型定義法求通項

指11點1迷1津

方法解讀適合題型

定義法an-an_x（n>2,weN*）為同一常數(shù)0｛?！埃堑炔顢?shù)列

等差中項法2Q〃T=。〃+a〃—2（n23，neN*）成立=｛2｝是等差數(shù)列解答題中的證明問題

a,=pn+q（p,q為常數(shù)）對任意的正整數(shù)〃都成立

通項公式法

=｛%｝是等差數(shù)列

選擇、填空題中的判

2

驗證Sn=An+Bn｛A,2為常數(shù)）對任意的正整數(shù)n都成立=定問題

前〃項和公式法

｛%｝是等差數(shù)列

L____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.（23-24高二下?貴州?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足%=3,。用+1=%的3,數(shù)列也｝滿足

b”=ata2an—a：，貝他o=（）

A.-13B.-14C.-15D.-16

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件求解判斷｛2｝為等差數(shù)列，求出通項或，得解.

【詳解】由b”=at-a2Lan—(a：+L+a：),

a

,,^n+i=i-/La“,a”+i—(4+a2+L+an+an+t,

則%-=qL4(%-,又an+l+1=%L%，

2

???々+i_2=(a"+i+l)(a"+iT)—a：+i=T，=at-a^=3-3=-6,

所以數(shù)列低｝為等差數(shù)列，則2='+(〃T)x(T)=f-5,

??a。=一15.

故選：C.

2.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）己知數(shù)列包｝各項為正數(shù)，低｝滿足a；=6也…an+an+1=2bn+l,若4=2,

111

〃=1,則一+一++—二()

“2024

1012101120242023

A.B.----C.-----D.-----

1013101220252024

【答案】C

【分析】由得??=7^7，再結(jié)合%+=2b用，可得亞+師=2H，進而可得數(shù)列網(wǎng)

是等差數(shù)列，即可求出出n｝的通項，從而可求出數(shù)列｛%J的通項，再利用裂項相消法求解即可.

【詳解】因為才=她,+1，所以%=施瓦二，

因為a“+4,+i=2%1，所以2>0,仿a+i+JH+也+2=22+1，

即+業(yè)"+2=2業(yè)“+],

所以數(shù)列卜歷｝是等差數(shù)列，

又％=2,4=1,所以4二4,

所以數(shù)列｛匹｝的公差為兩-屈=1,首項為班=1,

所以應(yīng)'=〃，所以么=/，

所以=業(yè)"%=般

1)n〃+1'

111?1111________________1_2024

所以一+—++——=1-T+---++2024—2025―—2025—2025.

CL?^^2024乙乙J

故選：C.

3.（2024?山西?三模）已知數(shù)列｛q｝,｛》.｝對任意〃cN*均有。,+1=見+2也+i=2+2.若％=4=3,貝1]出4=（）

A.530B.531C.578D.579

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列可得a=2〃+1,再利用累加法求生4.

【詳解】因為%=2+2,可知數(shù)列出｝是以首項4=3,公差d=2的等差數(shù)列,

所以％=3+2（〃-1）=2〃+1,

又因為4+1=見+么，即4+1-4="，

可得—q=4,。3—〃2二人2，〃4—〃3=4，…，〃24—〃23="23，

累加可得。24—%=4+4+%+…+，23，

則%-3=230；47）=575,所以％=578.

故選：C.

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知根,"，4eN*,數(shù)列｛〃“｝中，4=2,am+n=am+an,S“為數(shù)列｛a“｝的前〃項和，

Sk+2-Sk=26,貝心=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)4+“=（+”“，令相=1,根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式可得見=2”,再由等差數(shù)列前〃項

和與通項關(guān)系即可得結(jié)論.

【詳解】在%,+■=%,+%中，令機=1,可得所以又4=2,

所以數(shù)列｛%｝是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則=2〃，

所以&+2—&=%+1+。為+2=2（左+1）+2（左+2）=4左+6=26,所以左=5.

故選：C.

qq

5.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，且滿足卬=2,3+-字=2,則品,=（）

n+1n

A.110B.200C.65D.155

［答案］B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式求解即可.

【詳解】因為鳥當(dāng)-曳=2,

H+1n

所以是以2為公差的等差數(shù)列，

又一-=cfj=2,所以—=2+2（〃-1）=2〃,

1n

故S"=2/,所以黑=200,

故選：B

題型三：等差中項

;指I點I迷I津

.等差中項的概念

若三個數(shù)a,A,6成等差數(shù)列，則A叫做。與b的等差中項，且有A=*.

1.（19-20高一下?黑龍江齊齊哈爾?期中）S“是公比不為1的等比數(shù)列｛〃“｝的前”項和，Sg是S3和$6的等差

中項，兀“是兒,和彳兒”的等比中項，則2的最大值為（）

488025

A.-B.-C.—D.—

376321

【答案】D

【分析】由Sg是S3和臬的等差中項，可得43=-g，又由?！笆切暮?九"的等比中項，同時令

t=±（o</。），w2=1+-r-（0<z-4）,由此即可得到本題答案.

44H—F1

t

【詳解】設(shè)｛%｝的公比為4，由于#1,所以$3=絆二?,$6=畔山，$9="',一.），

1-q1-q1-q

又￡是凡和S6的等差中項，所以2s9=S3+$6,即2"―、）="切+”-力,

1-q1-q1-q

化簡得q3（q3-i）（2q3+i）=o,由于所以2/+1=0,^=-1,

所以_?1（1-^）一十）_4（1_，2“）_4（1一：），_%（>:），

°6n-：-—：°12n一；-；018n--：

l-qY-q1-q1—q1-q1-q

因為S⑵，是Sen和力幾“的等比中項，

所以S⑵2=幾,/幾“，

即［工上上修^存立所以（1”）-由，令，$（。<總）,

1-q1-q1-q

?二（1-嚀_產(chǎn)+2/+1-1

（0</<-）

則（1一/）（1一/）t2+t+lt2+t+l.,1,4

lH----r1

125

當(dāng)匕，即I時，彳取得最大值，最大值為萬故選：D

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化求解能力和運算能力，屬中檔題.

2.（2022?黑龍江哈爾濱?一模）已知/+^=4,在這兩個實數(shù)蒼V之間插入三個實數(shù)，使這五個數(shù)構(gòu)成等差

數(shù)列，那么這個等差數(shù)列后三項和的最大值為

]__3__

A.-VioB.710C.-5/10D.2M

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，用羽V表示這個等差數(shù)列后三項和為主力，進而設(shè)x=2cos6,y=2sin9,利用三角

4

函數(shù)的性質(zhì)能求最大值.

【詳解】設(shè)中間三項為瓦c,則26=尤+y,所以6=?,。="）=±士￥，

224

所以后三項的和為6+。+>=三+^^+y=^^，

又因為—+V=4,所以可令％=2cos9,y=2sin6,

所以q（cose+3sinsin（0+夕）4

故選c

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì).

3.（23-24高二下?四川成都?期末）若等比數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，且3%，1%，2。6成等差數(shù)列，則題譽

CXQI

（）

A.3B.6C.9D.18

［答案］c

【彳析】先根據(jù)等比數(shù)列部分項成等差得出公比，再結(jié)合等比數(shù)列通項求值即可.

【詳解】若等比數(shù)列｛g｝的各項均為正數(shù)，所以公比9>0,

且Msg%,24成等差數(shù)列，可得2x；%=2%+3%。7=2。6+3。5，%/=2〃］/+3%/,

即得，=24+3,^2-2^-3=0,（^-3）（9+1）=0,

可得4=3,

93

4。+%_44+4-_2_Q

―71-4—>?

/+/+%q

故選：C.

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知等差數(shù)歹!]｛%｝滿足“1%+%%+/%+%必=10。，則%=()

A.-B.5C.5或一5D.』或

222

【答案】C

【分析】根據(jù)式子4%+%%+/%+%/=10。的結(jié)構(gòu)特征可進行組合與提取公因式，再利用等差數(shù)列性質(zhì)

和等差中項公式不斷簡化式子即可得解.

【詳解】由題q/+々2%+/%+%/=%(q+%)+%(%+%)=2%/+2%%=2%(%+%)=4〃；=100,解得

%=±5,

故選：C.

_21

5.(2022?全國?模擬預(yù)測)設(shè)〃>0,b>0,若InG是In3a與ln9"的等差中項，則一十丁的最小值為()

ab

A.6B.8C.9D.12

【答案】B

【分析】先由等差中項的概念得到。+2》=1,然后由基本不等式求解最小值即可.

【詳解】因為In省是ln3"與ln9〃的等差中項，

所以21n宕=ln3o+ln9J即ln3=ln(3?；鹆?ln3-2,=(a+26)ln3,

團a+2Z?=l,又〃>0,b>0,

「21(21YQa4bla4b

[?]—+-=—+-(〃+2b)=4A+—+——>4A+2/-----=8o,

ab\ab)ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)]=竺，即a=!，b=J時等號成立.

ba24

故選：B.

題型四：等差數(shù)列的“中點”性質(zhì)

;指I點I迷I津

;等差數(shù)列“中點”性質(zhì)

+=a+a

若｛a?｝為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則一，”%P.

ak,ak+m,%+2m1…仍是等差數(shù)列，公差為md(k,meN*).

4.S〃，S2n—S”,5—S2“，…也成等差數(shù)列，公差為"d.

1.(2024?新疆?二模)已知等差數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾"，若生=T,則耳。=()

%

A.54B.S5C.S6D.S1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可，或根據(jù)題意利用等差數(shù)列的通項公式化簡，再化簡幾即

可.

【詳解】因為%=T,所以%+。8=。，所以4+%=%+。10=。.

“8

因為§10一邑二。5+。6+%+〃8+。9+〃10=0，所以S1o=S4.

另解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

由2=T,得%+〃8=°,

〃8

13

所以q+6d+q+7d=0,即2q+l3d=0,^ax=~d,

1f)xQ{V45d=-20d,

所以A。=10%+^—d=10x

4x3/1

因為S4=4qH——J=4xl--:d)+61=-2(W,

5x4(45

S=5q+—-—d-5x1+10d=——d,

52

6x5|

S6=6q+———d—6xJ+15d=—24d,

7x6「

S=7。］+---dJ=1x|+21t/=-yi/,

72

所以S[（）=S4

故選：A.

2.（23-24高二下?河南信陽?期末）數(shù)列也｝滿足4,+2+4「2%+|=0己知%+%]=%，則｛4｝的前19項和

凡9=（）

A.0B.8C.10D.19

【答案】A

【分析】由等差中項得到數(shù)列｛““｝為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的性質(zhì)%+%=%+須得到旬=。，由等差

數(shù)列前〃項和公式結(jié)合等差中項得到幾

【詳解】因為氏+2+??-2。用=0即2??+1=a?+2+??,所以數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

因為%+%i=%+%（）且%+41=%，所以1+%0=%，得％0=0，

所以九二N+:"、=""=19陽=0.

故選：A.

3.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習(xí)）設(shè)Sn為等差數(shù)列｛q｝的前〃項和，若為+%。-3%=g-2,則4=（）

25

A.5B.10C.——D.15

2

【答案】B

【分析】利用等差中項性質(zhì)得為+4。=2%,再利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)求解即可.

【詳解】若出+%0-3a9=/-2,由等差中項性質(zhì)得為+%0=2%,

故—%=%-2,即02+%=2,易知S]o=-y（q+%。）=5（%+）—10.

故選：B

4.（2024?全國,模擬預(yù)測）已知S“為等差數(shù)列｛%｝的前"項和，％+出。+46=3。，則邑$=（）

A.100B.250C.500D.750

【答案】B

【分析】本題考查等差數(shù)列通項公式、求和公式，直接利用通項公式和求和公式計算即可；也可利用等差

數(shù)列的性質(zhì)公式簡化運算.

【詳解】解法一：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為4,貝U4+2d+q+19d+q+l5d=3。，即3（q+12d）=30,所

以q=10,故邑$=（"+?*25=25%=250,

故選：B.

解法二：因為%+%。+46=30,所以3&=30,得q=10,故$25=（'+?*2Is陽=250,

故選：B.

5.（2021全國模擬）等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，若的的值為常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的

是（）.

A.S21B.S22C.S23D.SM

【答案】A

【分析】求出生+%+%=3勺，故&的值是常數(shù)，進而利用等差下標(biāo)性質(zhì)可知％+%=2%代入前21項的

和的公式中求得%=21%,進而推斷出為為常數(shù)，有此可判斷A,同理可判斷BCD.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%」的首項和公差分別為弓,d,

因為/+%+%]=4+2d+4+8d+4+20d=3（4+101）=3%,

所以%的值是常數(shù)，

對于A,=21（"；%）=21x；%=2]4也是常數(shù),故A正確；

對于B,%=辿廣1=11（%+%）=11@+牝）=11&+限〃）=22%+11〃,故無不為定值，故B

錯誤；

對于C,Su=23"％）=23x；%=23%=23孫+234,

故S23不為定值，故C錯誤；

一十24（?./X/、

對于D,524=——------=12（%+%3）=12（%+d+an+2J）=24an+36J,

故邑4不為定值，故D錯誤.故選：A.

題型五：an與sn的關(guān)系'

指I點I迷I津

〃，

Sn,S2n-Sn,顯“一$2…也成等差數(shù)列，公差為/△?

等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即S.S.-5.5,-S,成等差數(shù)列

L（2021?云南昆明?三模）已知數(shù)歹（J,“｝的前w項和為S“，％=1,S'+S'_Ld/HNZ/eNDjIJqooMl）

A.414B.406C.403D.393

【答案】B

【分析】利用兩式相減得%+%=8〃+4,再利用兩式相減可得%+2-%=8（〃上2）,由此可得%,=8"+6,

進一步可得答案.

2

S+S-1=4n

【詳解】由廣"/、2,兩式相減得Sx-S,i=8"+4,即。用+4,=8〃+4.

瓦+S“=4（〃+1）

8〃+4/、

再由。7兩式相減得，2-4=8（心2）,由邑+1=16,得。2=14,

〔4+2+%+1=8"+12

故｛%｝為以14為首項，8為公差的等差數(shù)列，故%=14+（〃-l）x8=8〃+6,

故6oo=8x50+6=406.

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列｛?！埃呐紨?shù)項構(gòu)成以14為首項，8為公差的等差數(shù)列，是解

題的關(guān)鍵，屬于較難題目.

2.（22-23高三上海金山?模擬）對于實數(shù)X,國表示不超過x的最大整數(shù).已知正數(shù)數(shù)列｛%｝滿足

5"=4肉+1J，nwN*，其中S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，則國+…+53=

2323524126035171

A.------B.------C.------D.------

140280140280

【答案】B

【分析】由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列｛5層｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，求得S,=M.由此可求

J-+-L++'

國電]…風(fēng)]

【詳解】由3〃=4%^，令九=1，得％—團%>°，得％=1.

212(a.)

當(dāng)”22時，S.=；(S“_S,i+1),即s；-S3=l.

因此，數(shù)列｛S〃2｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

回5；=〃，即可尸公.

111111

貝周+西+…+廂=司+國+…+麗

=1X3+-X5+-X7+-X9+-X11+-X13+-X15+-X17

2345678

_5241

-280.

故選B.

【點睛】本題考查等差關(guān)系的確定，考查數(shù)列求和，屬難題.

3.(23-24高三上?安徽?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前〃項和Sn=prT+qn+r^p,q,r為常數(shù),且pw0,weN*),

則”｛%｝是等差數(shù)列"是"廠=0"的()

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及充分條件與必要條件定義判斷即可.

【詳解】若｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d(dwO),則S〃=嗎+與=一

所以r=0,

若r=0,則片0),

當(dāng)〃=1時,al=S1=p+q,當(dāng)〃22時，an=Sn-Sn_x=2pn+q-p,此時”=1也滿足，

所以=2pw+q-p,于是有q,+「%=2p,｛??｝是等差數(shù)列，

所以“｛叫是等差數(shù)列"是"廠=0"的充要條件.

故選：A

4.(2023高三?全國?專題練習(xí))設(shè)S,是數(shù)列｛%｝的前幾項和，且4=-l，4+]=S"S"+1,則下列選項錯誤的是

()

C.數(shù)列]為等差數(shù)列D.[+p+..+——=—5050

M?2^100

【答案】A

11[111

【分析】由%“=5,5用可得『一不=—1,即數(shù)列『是以不=—1為首項，―1為公差的等差數(shù)列可

>"+1%J

判斷C由S,求出a“可判斷A,B；由等差數(shù)列的前"項和公式可判斷D.

【詳解】S“是數(shù)列｛4｝的前〃項和，且q=-1U%+1

則S”=S"S〃M，整理得一—一J=一1（常數(shù)）,

品+13”

是以（=一I為首項，一I為公差的等差數(shù)列，故C正確;

所以數(shù)列

dl

1=-l-(n-l)=-n,故s“=」

所以工

n

所以當(dāng)“22時，a=S-S_――——,4=-1不適合上式,

nnnxn-1n

—l,n=1

1-故B正確,人錯誤;

、〃一1n

111

所以三+不+不+…+——=-(1+2+3+...+100)=-5050,故D正確.

J]d2*Moo

故選：A.

311

5.（22-23高三重慶沙坪壩模擬）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和。小萬/-弓〃，設(shè)勿=工為數(shù)列色｝的

44+1

前〃項和.若對任意的〃wN*,不等式12〃+4恒成立，則實數(shù)力的取值范圍為（）

A.(-a?,64)B.C.(』32)D.(16,+a?)

【答案】A

【分析】根據(jù)的關(guān)系求出數(shù)列｛%｝的通項公式，再根據(jù)裂項相消法求得從而根據(jù)不等式恒成立求

實數(shù)X的取值范圍.

3131

【詳解】當(dāng)“22時，a“=S?-S“T=]"2-5"--(n-l)2--(n-l)=3n-2,

當(dāng)〃=1時q=H=1滿足上式,

所以％=3〃-2,〃￡N*,

所以6=」_=______1______=511-

〃anan+\(3n—2)(3n+l)3(3〃-23n+lJ

所以(=4+4++2=；1_1+411

T+I473l3n-23〃+l

Wrj

所以,由幾，<12幾+4可,得丸-----<12n+4,

3n+l----------------------3n+l

即“4(3〃+1)2=4X9〃+工1+6〉亙成立，因為對勾函數(shù)y=4（9x+,+6）在[1,+8）單調(diào)遞增,

nn

所以當(dāng)”=1時4x卜w+/+6）有最小值為64,所以幾＜64,故選:A.

題型六：雙等差數(shù)列sn比值型

指I點I迷I津

若｛%,｝與｛么｝為等差數(shù)列,且前〃項和分別為S“與SJ,則?=興包.

"m32m-l

I______________________________________________________________________________________________________________________________________

1.（23-24高三?甘肅定西?階段練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列｛%｝和也,｝的前〃項和分別為4和且

A.5B.6C.9D.11

［答案］c

【4析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列求和公式計算可得.

「、「、A,7九+45

【詳解】因為等差數(shù)列｛4｝和｛2｝的前〃項和分別為4和紇，且,=二千，

所以％_；（1+%）；（《+%）47x9+45

仇；伯+4）|（VM紜9+3

故選：C

3.（23-24高三?江西撫州模擬）已知等差數(shù)列｛%｝與也｝的前〃項和分別為S“Z，=—則之廣

〃十1’1十"19

的值為（）

13211321

A.—B.—C.—D.—

11102220

【答案】D

【舞析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】因為等差數(shù)列｛?！埃c也｝的前〃項和分別為S”,。，且■=—^，

〃十1

所以設(shè)=kn（2n+3）=2kn2+3kn,T〃=kn（n+1）=kn2+kn,

q+%_2a5_a5

加入+九一五一嘉

Io-4

_（50左+15%）-（32%+12%）

一（100N+10N）-（81Z+9Q

65-44_21

-110-90-201

故選：D