高考數(shù)學(xué)22道壓軸題：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（練習(xí)及參考答案）

【高考數(shù)學(xué)】22道壓軸題

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(練習(xí)及參考答案)

1.已知函數(shù)/(%)=1口%+色.

x

(1)若函數(shù)/(%)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

2

(2)證明:當(dāng)—時(shí)，f(x)>e~x.

2.已知函數(shù)/(X)=/-Mnx(awE),F(x)=bx(Z?e7?).

(1)討論了(九)的單調(diào)性；

(2)設(shè)Q=2,g(x)=/(x)+F(x),若％(。<%<%2)是g(九)的兩個(gè)零點(diǎn)，且

%=出上三，試問(wèn)曲線y=g(x)在點(diǎn)/處的切線能否與x軸平行？請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.已知函數(shù)/(x)=d+加；2+依(.m,neR)

(1)若/'(X)在x=l處取得極大值，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)若/(1)=0,且過(guò)點(diǎn)P(0,l)有且只有兩條直線與曲線y=/(x)相切，求實(shí)數(shù)機(jī)的

值.

1

4.已知函數(shù)/(%)=x2ex,g(x)=2x3.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：Vxe7?,/(%)>g(x)

x

5.已知函數(shù)/(x)=--Qx+b在點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程為產(chǎn)-”x+2e.

Inx

(I)求實(shí)數(shù)人的值；

(II)若存在xG[e,e2],滿足/(x)<-+e,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4

111

6.已知函數(shù)/(乃=111%—5依92+云+1的圖像在％=1處的切線/過(guò)點(diǎn)(5,5).

(1)若函數(shù)g(x)=/(x)-(a—l)x(a>0),求g(x)的最大值(用。表示)；

(2)若〃=7,/(玉)+/(無(wú)2)+工1+%2+3%1%2=2，證明：%1+%22g.

2

7.已知函數(shù)/(%)=%ln%+3,g(x)=x3-x2-3,aeR.

x

(1)當(dāng)〃=—1時(shí)，求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)若對(duì)任意的4/eg,2],都有;'(石))g(%)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

8.設(shè)函數(shù)/(x)=ex-ax-2

(1)求)(元)的單調(diào)區(qū)間；

k—x

(2)若”=1,左為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，恒成立，其中/'(%)為/(x)的導(dǎo)

X+1

函數(shù)，求左的最大值.

9.設(shè)函數(shù)/(%)=x2+Z?ln(x+1).

(1)若對(duì)定義域內(nèi)的任意了,都有/(x)2/(I)成立，求實(shí)數(shù)b的值；

(2)若函數(shù)/(x)的定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)匕的取值范圍；

〃1111

(3)若匕=—1,證明對(duì)任意的正整數(shù)〃，y/(-)<i+—+—+.

k2333萬(wàn)

3

10.已知函數(shù)/(x)=罐-e(x+l)lna—,(a>0且a/1),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

a

(I)當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間xe[0,2]上的最大值；

(II)若函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，求。的值.

11.已知函數(shù)/(x)=x—4，g(x)=2alnx.

x

(1)當(dāng)—1時(shí)，求2x)=/(x)—g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)/z(x)=/(x)+g(x),且/z(x)有兩個(gè)極值玉,工2，其中七€(0,，，求

〃(花)-〃(％)的最小值.

12.已知函數(shù)/(x)=lwc+x-2ax+](a為常數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若存在沏6(0,1],使得對(duì)任意的ad(-2,0],不等式2〃e"(a+1)+f(x0)>

a+2a+4(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

4

13.己知函數(shù)無(wú))="+尤2-xlna(a>0,(#1).

(1)求函數(shù)/(無(wú))在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(X)單調(diào)增區(qū)間；

(3)若存在卬&引T，1］，使得，5)-于5)Re-1(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求

實(shí)數(shù)。的取值范圍.

14.己知函數(shù)/(x)=Inx——，g(x)=ax+b.

x

(1)若函數(shù)/i(x)=/(x)-g(x)在(0,”)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若直線g(x)=ax+人是函數(shù)/(x)=lnx-工圖像的切線，求a+h的最小值;

X

(3)當(dāng)Z?=0時(shí)，若/(%)與g(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)4%1，%),5(%2，%)，求證：

xxx2>2/

5

15.某工藝品廠要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖1所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號(hào)的長(zhǎng)方形材料如圖2所示，

其周長(zhǎng)為4m,這種材料沿其對(duì)角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況.如圖，ABCD(AB>AD)

為長(zhǎng)方形的材料，沿AC折疊后交DC于點(diǎn)P,設(shè)AADP的面積為S2,折疊后重合部

，分、ACP的面積為3.

(I)設(shè)A3=xm,用了表示圖中。尸的長(zhǎng)度，并寫出了的取值范圍；

(II)求面積§2最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？

(III)求面積(H+2s2)最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？

16.己知f(x)=e2x+ln(x+a).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/'(x)在(0,1)處的切線方程；

(2)若存在/e[0,+oo),使得〃X0)<2111(尤0+4)+無(wú)；成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

6

17.已知函數(shù)/(%)=0￥(1!1%-1)一%2(々￡尺)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)％,無(wú)2，且看

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若不等式In玉+力111%2>1+幾恒成立，求實(shí)數(shù)幾的取值范圍.

18.已知函數(shù)，(x)=(lnx-)t-1)x(kdR)

(1)當(dāng)%>1時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

(2)若對(duì)于任意工￡[e,e2],都有/(x)V41nx成立，求女的取值范圍.

2k

(3)若入田2，且/(修)=f(x2),證明：XiX2<e.

19.已知函數(shù)=ae"—%(a^R).

(I)若曲線y=在點(diǎn)(0"(0))處的切線與y軸垂直，求〃的值;

(II)若函數(shù)/(九)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍；

(III)證明：當(dāng)x>l時(shí)，elnx〉％-'.

x

7

20.已知函數(shù)無(wú))=1x3-2尤2+3X+6(6?R).

⑴當(dāng)6=0時(shí)，求/⑶在［1,4］上的值域;

⑵若函數(shù)/(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求6的取值范圍.

1,

21.已知函數(shù)/(x)=—ox--Inx-2.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線”X)在點(diǎn)處的切線方程;

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

22.已知函數(shù)/(%)=—1—+Inx在口,+8］上為增函數(shù)，且6>w(0,%).

%sin。

(I)求函數(shù)/(x)在其定義域內(nèi)的極值；

(II)若在［l,e］上至少存在一個(gè)》,使得近o-7(%)>至成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

8

參考答案

1.(1)函數(shù)/(%)=ln%+3的定義域?yàn)?0,+8).

x

a、1。e夕/、1ax—a

由/(%)=In%+—,付/(1)=-----2=?

xxxx

①當(dāng)〃<0時(shí)，/'(%)>0恒成立，函數(shù)了(九)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/(I)=lnl+a=avO,xf+oo,/(x)-+oo,

所以函數(shù)/(x)在定義域(0,+oo)上有1個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)〃>0時(shí)，則無(wú)￡(0,〃)時(shí),/'(%)v0;x「(a,+8)時(shí),f\x)>0.

所以函數(shù)/(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(〃,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)％=〃[/(%)].=ln〃+l.當(dāng)Ina+lKO,即0<a?,時(shí)，又/(I)=lnl+a=〃>0,

e

所以函數(shù)/(九)在定義域(0,+oo)上有2個(gè)零點(diǎn).

綜上所述實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-00,-].

e

另解：函數(shù)/(%)=ln%+@的定義域?yàn)?0,+8).

x

由/(%)=In%+—,得a=—%ln尤.

x

令g(x)=—九1nx,則g'(x)=-(lnx+l).

當(dāng)無(wú)￡(0,工)時(shí)，g'(%)>0；當(dāng)無(wú)￡(」,+8)時(shí)，g'(%)<0.

ee

所以函數(shù)g(%)在(o,1)上單調(diào)遞增，在d,+oo)上單調(diào)遞減.

ee

故％=工時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值gd)=In—.

eeeee

因xf+oo,/(x)f+oo,兩圖像有交點(diǎn)得a<—,

e

綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-00,—].

e

2

(2)要證明當(dāng)〃2—時(shí)，/(%)>"",

e

即證明當(dāng)%>0,a2—2時(shí)，ln%+a4>6一'，即xlnx+a>xe~x.

ex

9

令/z(x)=xlnx+〃,則"(x)=lnx+l.

當(dāng)0<x<工時(shí)，/(%)<0；當(dāng)x〉工時(shí)，/(%)>0.

ee

所以函數(shù)h(x)在(0,工)上單調(diào)遞減，在(工,+oo)上單調(diào)遞增.

ee

當(dāng)％=一時(shí)，=----Q?

ee

211

于是，當(dāng)—時(shí)，h(x)>-----—

eee

令(p(x)=xe~x,貝U0(x)=e~x-xe~x=e~x(l-x).

當(dāng)Ovxvl時(shí)，/r(x)>0；當(dāng)X>1時(shí)，

所以函數(shù)(p(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)遞減.

當(dāng)％=1時(shí)，［夕(初1mhi=L

e

于是，當(dāng)%>0時(shí)，9(%)V」.②

e

顯然，不等式①、②中的等號(hào)不能同時(shí)成立.

2

故當(dāng)〃2—時(shí)，/(x)>e~x.

,2

2.(I)f\x)=2x--=~,x>0

XX

(1)當(dāng)aWO時(shí)，/'(x)>0,/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

假設(shè)y=g(x)在5處的切線能平行于x軸.

10

2

*.*g'(x)=2x-----1-Z?,(x>0)

x

由假設(shè)及題意得：

2

g(%[)=xl-21nXj+bxx=0

g%)=々-21nx2+bx2=0

M+x9

2

g'Qo)：2/bZ?=0④

玉)

X22ln

由.得，(1-^2)-2(^i-lnx2)+Z?(x1-x2)=0

否、

2OI1n——

即Z?=-------2x0

%1-X2

2、2%-2

石_（當(dāng)一々）_九

ln22

由④⑤得，--%i+%2

x2

x.八41-i2t—2

令；~=’，；"I<九2，二°</<1一則上式可化為皿.=：^-,

42/十

2.—2

設(shè)函數(shù)Mr）=ln『一；ii（0<f<l）,則

h'（A=1___=（i）2>o

t0+l『t[t+1）2'

所以函數(shù)M。=Mf~由-在（°，1）上單調(diào)遞增

2t—2

于是，當(dāng)°<，<1時(shí)，有砧）<MD=°,即1型一~萬(wàn)?。?。與⑥矛盾.

所以y=，（x）在/處的切線不能平行于％軸.

3.(I)f'(x)-3x2+2mx+n

由=0得3+2m+〃=0

A=4m2—12〃>0.

???(m+3)2>0,得到機(jī)w—3①

ii

,/f\x)-3x2+2mx-(2m+3)=(%-l)(3x+2m+3)

/'(x)=。，得X=1或X=-1+——

I3J

.(.2m

由題一1H------>1,解得加<-3②

I3

由①②得m<—3

(II)由廣⑴=0得3+2根+〃=0

所以/'(%)=31+2mx-(3+2m)

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(0,1)且與曲線y=/(%)相切的直線有且僅有兩條，

令切點(diǎn)是尸(％0，兒)

則切線方程為y-=尸(%X%-%)

由切線過(guò)點(diǎn)(0,1),所以有

1—V。=/(九oX—九。)

322

1-x0-mx0+(3+2m)x0=[3x0+2mx。-(3+2m)](-x0)

2

整理得2/3+mx0+1=0

所以，關(guān)于%°的方程辦4+^^2+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根.

令M%)=2d+的2+1,貝颯工濡有兩個(gè)零點(diǎn)

"(%)=6x2+2mx

所以加w0,且/=0得x=0或%=—"—

由題,從0)=0,或彳一=0

又因?yàn)镸o)=i,所以彳―；)=o

所以*夕+(*+i=o

解得加=—3,即為所求

4.(I)f'(x)=2xex+x2ex=ex(x2+2x)

一2<x<0時(shí),f'(x)<0,庵(-2,0)上單調(diào)遞減;

12

x<-2或x>0時(shí)，/Q)>0,/(x應(yīng)(-00,—2)和(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以/'(幻的單調(diào)遞減區(qū)間是(—2,0>單調(diào)遞增區(qū)間是(-oo,-2)和(0,,+8)

(II)

顯然xWO時(shí)有/(x)2g(x),只需證x>0時(shí)/(x)2g(x),由于必？。

只需證x>0時(shí)，>2x

令/z(x)=e"-2x,xe(0,+8)

,/hf(x)=ex-2

h'(x)=0,得尤=In2

/.xG(O,ln2),/zr(x)<0,xG(in2,+oo),h\x)>0

M%庭(。，In2)上單調(diào)遞減，在(in2,+8)上單調(diào)遞增

???以%)小=碓12)=犬-21n2=2-21n2=2(lne-ln2)>0

/.xG(0,+oo),h(x)>0恒成立

所以當(dāng)x>0時(shí)，于(x)>g(x)

綜上DXEH,/(x)>g(x)

5.解：(I)f(x)=x-ax+b,x￡(0,1)U(1,+oo),

Inx

求導(dǎo)，f(x)=2-一2,

Inx

則函數(shù)f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處切線方程y-(e-ex+b)=-a(x-e),

即y=-ax+e+b,

由函數(shù)f(x)在(e,f(e))處的切線方程為產(chǎn)-ax+2e,比較可得6=。，

實(shí)數(shù)b的值e；

(II)由f(x)即-----ax+e<^-+e,

4Inx4

貝laN—--g-在5e2],上有解，

inx4x

設(shè)h(x)=—^----xe[e,e2],

inx4x

]ln2x-4x(lnx+2?)Qnx-2?)

求導(dǎo)h，(x)=—

4xxln2x4x2ln2x4x2ln2x

令p(x)=lnx-2?,

13

則函數(shù)p(X)在［e,黃|上單調(diào)遞減,

.*.p(x)<p(e)=lne-2^^<0,

則h，(x)<0,及h(x)在區(qū)間［e,e：?jiǎn)握{(diào)遞減,

2J^_l_J_

h(x)>h(e)=-----2

Ine4e^r4e

實(shí)數(shù)a的取值范圍色+°°］.

24e

6.(1)由/(%)=!一以+b,得/(1)=1-〃+人，

x

l的方程為y_(_ga+b+l)=(l-6z+Z?)(x-l),又/過(guò)點(diǎn)(g,g),

???g—(—g〃+Z?+l)=(l—a+Z?)(g—1),解得人=0.

12

g(x)=f(x)-(a-l)x=Inx--ax+(l-tz)x+l,

-Q(X---)(X+1)

—tZX?+(1—CI)X+1

g\x)=--ca+\-a=a(a>0),

XXx

當(dāng)無(wú)￡(0,工)時(shí)，g(x)>0,g(%)單調(diào)遞增；

a

當(dāng)％w(L,+oo)時(shí)，g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

a

故gOOmax+(1—ci)—F1—-----Ina.

a2a

(2)證明：???〃=-4,

/(x1)+/(x2)+x1+%2+3%1々+2%；+l+ln%2+2%；+1+玉+x2+3xxx2,

xx2

=ln(%%2)+2(玉+%2『+玉+/~\i+2=2,xx+x2+2(項(xiàng)+x2)=xxx2-ln(x1x2)

令x/2=機(jī)(根>0)，^(m)=rn—]nm,cp(m)=------,令夕(加)<0得Ov根vl；令

一m

(p(m)>0得相>1.「?(p(jn)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，

91

(p(m)>(p(y)=1,二%+%2+2(芯+%2)21，玉+工2>°，解得：%1+x2>—.

14

11

7.(1)當(dāng)〃二一1時(shí)，f(x)=xlnx——,/(I)=-1,f(%)=lnx+l+—,

XX

/(1)=2,從而曲線y=/(%)在％=1處的切線為y=2(X—1)一1,即y=2%—3.

(2)對(duì)任意的玉，％,都有了(xjNgC%)成立，從而/(冷血)g(X)max

,i2

對(duì)g(x)=丁一12_3,g(%)=3x2-2x=x(3x—2),從而y=g(x)在［］與］遞減，

21

1,2］遞增，^(%)max=max{g(-),g(2)}-l.

又/(I)=a,則QN1.

下面證明當(dāng)時(shí)，xlnx+—>Idix￡［L2］恒成立.

x2

f(x)=xlnx+—>xln%+—,即證冗Inx+^Nl.

xxx

令/z(x)=%1口%+工，則h(%)=In%+1--y,"(1)=0.

xx

當(dāng)時(shí)，/z(x)<0,當(dāng)xw［l,2］時(shí)，/z(x)>0,從而y=〃(％)在九￡［；/］遞減,

%￡工2］遞增,h(x)^=h(I)=l,

從而〃21時(shí)，%ln%+@21在％e己,2］恒成立.

%2

8.(1)函數(shù)/(x)=eZzx-2的定義域是R,f(x)=ex-a,

若無(wú)0,則f(x)=ex-d>0,所以函數(shù)/(x)=e“-ox-2在(-oo,+oo)上單調(diào)遞增

若〃>0,則當(dāng)(-oo,ln〃)時(shí)，f(x)=ex-a<0;

當(dāng)(Ina,+oo)時(shí)，f(x)=ex-a>0;

所以，于(x)在(-oo,Ina)單調(diào)遞減，在(Ina,+oo)上單調(diào)遞增

k—X,

(2)由于a=l,-----/(x)<1<?(^-x)(ex-1)<x+1

x+1

CX1M7X+l

?「x>0,:.e-l>0./.k<-----+x

ex-l

人x+1j、(、—xex—Iex(ex-x—2)

令g(X)=^T_r+X，二左<g(X)nin'g(X)=/r八2+l=-/x八?！?/p>

e-I(e-I)(e-I)

xx

令/z(x)=e-x-2,h(x)=e-1>0f/./z(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

15

且/z(l)v0/(2)>0,「.人(％)在(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為Jr。，則與G(1,2)

當(dāng)％o￡(O,%o)時(shí)，g(x)<0,當(dāng)％0￡(%0，+8)時(shí)，g(X)>0

?■-gOOnun=g(X0)=^^+X。，

e0—1

由g'(%)=。=>"。=/+2,，g(。)=%+le(2,3),又?.?左<g(%o)

所以上的最大值為2

9.(1)由x+1〉0,得光>—1./(x)的定義域?yàn)?一L+°o).

因?yàn)閷?duì)Xd(—1,+8),都有/(%)之/'(I),/■⑴是函數(shù)/(%)的最小值，故有［(1)=0.

AA

//(x)=2x+-^-,.12+上=0,解得b=T.

x+12

經(jīng)檢驗(yàn)，匕=一4時(shí)，/(X)在(一1,1)上單調(diào)減，在(1,+8)上單調(diào)增./⑴為最小值.

(2)//(%)=2x+-^-^2x~+2x+b,又函數(shù)/(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，

X+1X+1

/'(%)N?；?'(%)〈。在(一L+00)上恒成立.

若''(x)N0,則2%H-----20在(-1,+00)上恒成立，

X+1

01O11

即人之一2/-2x=—2(犬+］)2+］恒成立，由此得625；

若/'(%)<0,則2x-\———<0在(-1,+8)上恒成立，

%+1

即b<-2x2_2x=—2(尤+工產(chǎn)+L叵成立.

22

因一2(犬+g)2+；在(-1,+8)上沒有最小值，，不存在實(shí)數(shù)Z?使/'(%)W0恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)Z?的取值范圍是^-,+ooj.

(3)當(dāng)6=—1時(shí)，函數(shù)/(%)=-—in(x+i).令

h{x}=/(x)-x3=-x3+x2-ln(x+1),

則〃(-1+2——七”

當(dāng)%￡(0,+oo)時(shí)，hr(x)<0,所以函數(shù)力⑴在(0,+oo)上單調(diào)遞減.

16

又/z(0)=0,當(dāng)工￡[0,+oo)時(shí)，恒有Mx)</z(0)=0,即+<X3恒成立.

故當(dāng)X￡(0,+8)時(shí)，有/(%)<X3.

而左￡N*,￡(0,+oo).取1=工，則有二.

kkyk)k

???tf\<1+J+*++所以結(jié)論成立.

k=\I

10.解：(I)當(dāng)〃時(shí)，/(%)=ex-e(x+l)--,f!(x)=ex-e,令/(x)=0,解得

e

x=l,

%￡(0,l)時(shí),f\x)<0；%￡(1,2)時(shí),f\x)>0,

??./(了)皿=111歐{/(0),，2)},而/(0)=l—e—L/(2)=e2-3e--,

ee

1

即/。)3=/(2)=/9—3—?

e

(II)/(%)=ax-e(x+l)lna~—,f\x)=o'lna-elna=lna(a"-e),

a

令/'(r)=0,得元=log。e,則

①當(dāng)。>1時(shí)，ln〃>0,

X(-00,log.e)log/(log。e,-H?)

f\x)—0+

/(x)極小值z(mì)

所以當(dāng)％=log。e時(shí)，/(%)有最小值/(x)*=/Oogae)=-癡a—L

a

因?yàn)楹瘮?shù)了(九)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)XfY0和％f+8時(shí)，都有/(x)f+oo,則

f(%)——eInCL—=0,即elnaH—=0,

1naa

因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí)，lna>0,所以此方程無(wú)解.

②當(dāng)Ovavl時(shí)，InavO,

X

(-oo,logae)log—(log“e,-Ko)

f\x)—0+

/(x)極小值/

17

所以當(dāng)x=log“e時(shí)，/(x)有最小值/(x^n=/(log")=-elna--,

a

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)XfY0和Xf+8時(shí)，都有/(%)f+00,

所以/(%)min=-elna-L=O,即elna+'=O(0<〃<1)(*)

aa

|P1HP—1

設(shè)g(a)=elna+_(O<〃<l),則g\d)=-----y=-T—,

aaaa

令g\d)=0,得。=1,

e

當(dāng)0<〃時(shí)，g\a)<0；當(dāng)時(shí)，g\a)>0；

所以當(dāng)〃二,時(shí)，^（公而門=g（』）=eln,+e=O,所以方程（*）有且只有一解〃=’.

綜上，a=工時(shí)函數(shù)/（%）只有一個(gè)零點(diǎn).

1xJ2a*+l

11.⑴由題意得b(X)FX—*—2HDXx>0,P(X)=x2,

令m(x)=x2—2ax+l,3=4iM-1)

①當(dāng)T$1時(shí)F(x)N0,F(X)在(0,+8)單調(diào)遞增;

②當(dāng)a>i時(shí)，令F，(x)=0,得xi，一—1，X2=a+VcP—1

x(。,a-VQ2_)(a-VM-l,a+vM-)(a+Ja2-1.+o)

Fz(x)++

5(x)的單增區(qū)間為(0,④-v東-j),(34v'n?—1,?oc)

綜上所述，當(dāng)一1三4三［時(shí)~x)的單增區(qū)間為(0,+8)

當(dāng)a>l時(shí)，F(xiàn)(x)的單增區(qū)間為(0，a、京一［),Qw-i,.8)

(2)h(x)=x--^-2alwc,hz(x)="一？"x+L(x>0),由題意知x1,X2是x、+2ax+l=0的兩才艮,

1xl

.,.xix2=l,xi+x2=-2a,x2=—,2a=-rj-

h(?i)-h(X2)=h(X|)-h(^)=2(xi-^--(xi+^)l?ui)

令H(x)=2(x-l-(x+j)&U)，Wa)=2(g-l)lnx=%

18

20ln3-16

當(dāng)xw(叫時(shí)，4。)<0,"(%)在(01上單調(diào)遞減，"(X)的最小值為H(3=

3

即h(xj—MM)的最小值為23n3

12.解：⑴f(x)=lnx+x2-2ax+l,

f(x)=^2x-2a=lA!z2ax+l；

XX

令g(x)=2x2-2ax+l,

(i)當(dāng)aSO時(shí)，因?yàn)閤>0,所以g(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增；

(ii)當(dāng)OVa《加時(shí)，因?yàn)椤?)，所以g(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞

增；

(iii)當(dāng)a>時(shí)，x在(-2,a~2)時(shí)，g(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞

22

減；

在區(qū)間(0,式近-2.)和(尹』/二2,+8)時(shí)，g(X)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

22

(II)由⑴知當(dāng)ae(-2,0],時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)XG(0,1]時(shí)，函數(shù)f(X)的最大值是f(1)=2-2a,對(duì)任意的ae(-2,0],

a

都存在x()￡(0,1],使得不等式a￡(-2,0],2me(a+1)+f(x0)>a?+2a+4成立，

等價(jià)于對(duì)任意的2￡(-2,0],不等式2mea(a+1)-a?+-4a-2>0都成立，

記h(a)=2mea(a+1)-a2+-4a-2,由h(0)>0得m>l,且h(-2)K)得mge?,

h*(a)=2(a+2)(mea-1)=0,

a=-2或a=-Inm,

Vae(-2,0],

A2(a+2)>0,

①當(dāng)IVmVe?時(shí)，-lnm￡(-2,0),且2￡(-2,-Inm)時(shí)，h*(a)<0,

(-Inm,0)時(shí)，h'(a)>0,所以h(a)最小值為h(-Inm)=lnm-(2-Inm)>

0,

所以(-2,-Inm)時(shí)，h(a)>0恒成立；

②當(dāng)m=e?時(shí)，h'(a)=2(a+2)(ea+2-1),因?yàn)閍￡(-2,0],所以h'(a)>0,

此時(shí)單調(diào)遞增，且h(-2)=0,

所以a￡(-2,0],時(shí)，h(a)>0恒成立；

綜上，m的取值范圍是(1,e2].

19

13.解：(1)Vf(x)=ax+x2-xlna,

f(x)=axlna+2x-Ina,

Af(0)=0,f(0)=1

即函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為0,

???圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=l；(3分)

(2)由于f(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna>0

①當(dāng)a>l,y=2x單調(diào)遞增，lna>0,所以y=(ax-1)Ina單調(diào)遞增，

故y=2x+(ax-1)Ina單調(diào)遞增，

2x+(ax-1)Ina>2x0+(a0-1)lna=0,即f(x)>f(0),所以x>0

故函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)OVaVl,y=2x單調(diào)遞增，InaVO,所以y=(ax-1)Ina單調(diào)遞增，

故y=2x+(ax-1)Ina單調(diào)遞增，

2x+(ax-1)Ina>2x0+(a0-1)lna=O,即f(x)>f(0),所以x>0

故函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

綜上，函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間(0,+oo)；(8分)

(3)因?yàn)榇嬖趚i,x2e[-1,1],使得|f(xi)-f(x2)|>e-1,

所以當(dāng)x￡[-1,1]時(shí)，|(f(x))max-(f(x))1nlM

二(f(X))max-(f(X))min>e-1,(12分)

由(2)知，f(x)在[-1,0]上遞減，在[0,1]上遞增，

所以當(dāng)X￡[T,1]時(shí)，(f(X))min=f(0)=1,

(f(x))max二max{f(-1),f(1)},

而f(l)-f(-1)=(a+1-Ina)-(-^Fl+lna)=a---21na,

aa

記g(t)=t---21nt(t>0)，因?yàn)間'(t)=1+冬-1)2>0

ttt

所以g(t)=t---21nt^(0,+8)上單調(diào)遞增，而g(1)=0,

所以當(dāng)t>l時(shí)，g(t)>0；當(dāng)OVtVl時(shí)，g(t)<0,

也就是當(dāng)a>l時(shí)，f(1)>f(-1)；

當(dāng)OVaVl時(shí)，f(1)<f(-1)(14分)

①當(dāng)a>1時(shí)，由f(l)-f(0)>e-l=>a-lna>e-l=>a>e,

②當(dāng)OVaVl時(shí)，由f(-l)-f(0)>e-l=U^-+lna>e-l=X)<a<—,

ae

綜上知，所求a的取值范圍為(0,—]U[e,+oo).(16分)

e

20

14.(1)解：h(x)=f(x)-g(x)=lnx------ax-b,則/z'(x)=工+3—。，

xxx

Vh(x)=f(x)-g(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增，

???對(duì)Vx>0,都有/(%)=—I--—即對(duì)VX>0,都有Q<—I——,...............2分

XXXX

?1—7>0,

XX

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,0]；........3分

1)

(2)解：設(shè)切點(diǎn)為x0,ln^0-----,則切線方程為

(11)(11)

即,=—+—尤——~+~xo+Mx?！筣亦即

卜玉)X。Jx0J

(11)

y二「了天+lnx0---1,

I%0-^o7%

公----t>09由題意得〃=---1—五=t+[,b=]HXQ--------1=—In。一2%—1,

%0%0%0%)

令Q+Z?=0。)=-ln，+/-t-1,則(pr(t)=」+2/_]=(2f+1)(，__11,................6分

當(dāng)/￡（0,1）時(shí)，在（0,1）上單調(diào)遞減；當(dāng)1w（l,+oo）時(shí)，o'"）,。,?！保┰?/p>

(1,+8)上單調(diào)遞增，

a+b=(p(t^>^?(1)=-1,

故〃+b的最小值為-1;...............7分

[1?1

(3)證明：由題意知Inx——二。玉，lnx2-----=ax2f

%]x2

兩式相加得1nxi工2一步+%=〃（%]+九2）

二a

=a

21

、

In中.9分

菁工2

不妨令0<再<%,記/=—>1,

X\

令F(?)=ln?-2(I)Q>1),則F'(t)=”>0，

f+1t(t+1)

F(?)=Inf—2(1)在0,+8)上單調(diào)遞增，則F?)=也/—丑二11>F(l)=0,

t+1t+1

衛(wèi)，則In迤?玉X2-人…)/心岸＞2,

t+1X1玉+冗2%九2(工2一九"項(xiàng)

()

又Inx{x2-2*+*2<jnx%2--]n尤也——~^==21nJ%%——7==,

X1X2X1X2\IX1X2-\JX1X2

...............10分

2i9

令G(x)=ln%——,則元〉0時(shí)，Gr(x)=—+—>0,「?G(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

XXX

又ln0e—-^=-ln2+l-—?0.85<1,

42e2e

G(J再/)=In八—/>1>Iny/2e-

、，石工2，2e

2

則“I/>42e,即xxx2>2e...................12分

15.(I)由題意，AB=xBC=2-xfQx>2-x,:,l<x<2.................1分

設(shè)。尸=y,則PC=x—y,由^ADP四△CB'P,故PA二PC二x-y,

由PA2=AD2+Dp2,得(x—y)2=(2—+即：=211--|,1<X<2.................3分

22

(II)記AADP的面積為$2，則52=11-工)(2-x)=3-2

X~\—<3-2yf25

X

分

當(dāng)且僅當(dāng)％=立武1,2）時(shí)，S2取得最大值.

故當(dāng)材料長(zhǎng)為圓,寬為（2-機(jī)時(shí)，S2最大.7分

(III)S]+2s2=1x(2—x)+(l—J(2—x)=3—g1

x2+-,l<x<2

2X

于是令⑸+2S?）'=-；2-

*=0,二x=次9分

X

二關(guān)于%的函數(shù)4+2S2在（1,碼上遞增，在（有2）上遞減,

當(dāng)尤=次時(shí)，S]+2s2取得最大值.

故當(dāng)材料長(zhǎng)為瓶加，寬為（2-g'）加時(shí)，S|+2s2最大......12分

16.(1)a=l時(shí)，/(x)=e2l+ln(x+l),f'(x)=2e2x+-^—

/(o)=l,r⑼=2+：=3,

所以/(%)在(0』)處的切線方程為y=3x+l

(2)存在與w[0,+oo),/(%0)<2In(x0+tz)+XQ,

即：e2x°—In(a。+〃)_%；vO在/0?0,+oo)時(shí)有解;

設(shè)=e2x-ln(x+4i)-x2,》，(x)=2e2x-------2x

JC+Cl

^m(x\=2/，---i---2x,mr(x)=4e2x+-----2>0

x+a(x+6z)

所以沅'(力在[0,+oo)上單調(diào)遞增，所以/(%)>/(0)=2--

1。當(dāng)a2；時(shí)，M⑼=2-—>0,w(x)在[0,+oo)單調(diào)增，

所以"(x)max=〃(0)=1一皿〃<0，所以

iL】/、Jn

2。當(dāng)ta<5時(shí)，ln(x+Q)<ln[x+/J