高考數(shù)學二輪復(fù)習：函數(shù)與導數(shù)

專題二函數(shù)與導數(shù)(練基礎(chǔ))——高考數(shù)學二輪復(fù)習全程專題訓練

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.函數(shù)y=、2x-3+'的定義域為()

x-3

A.T，+s]B.(—S,3)U(3,+8)C.|,3]U(3,+S)D.(3,+S)

1.答案：C

解析：由題意知-"―3,0，解得且x/3.

x—3w0,2

03

2.設(shè)a=log2().3,&=logl0.4,c=0.4,則a,b,c的大小關(guān)系為()

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

2.答案：D

解析：因為a=log2().3<log21=0,6=log]0.4>log]工=1,0<c=0.4°3<0.4°=1,所

252

以a<c<b.

3.設(shè)函數(shù)/COnFrX'XV。'若/(/(a))<2,則實數(shù)。的取值范圍是()

-x,x>0,

A.[-2,+oo)B.(-oo,-2]C.(-oo,V2]D.(V2,+oo)

3.答案：C

解析：函數(shù)/(x)的大致圖象如圖所示，因為/(/(a))<2,所以/(a)2-2.當xNO時，

4.已知募函數(shù)/(x)=(疝-3m+3)x""i為偶函數(shù)，若函數(shù)8(%)=/(%)-2晨在［2,4］上單

調(diào)，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(2,+co)B.(-OO,2]U[3,+CO)

C.(9l)U(2,y)D.(l,3)

4.答案：B

解析：依題意有“-3機+3=1,解得m=1或m=2.又函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，故加+1為

偶數(shù)，則m=1,所以/(%)=必，g(x)=x2_*x,若單調(diào)遞增，則日三2,若單調(diào)遞

減，則故2"<4或2"28,解得aW2或。23.

2

故選：B.

5.[2023春?高一?湖北孝感?開學考試]已知定義在R上的奇函數(shù)/(x),當％之0

10gl(x+l),xe[0,1),

時，/(%)=J5則函數(shù)/⑺=/(x)-a(0<a<l)的所有零點之和為()

1-1x-3|,xe[1,+oo),

A.2"-1B.Ta-lC.l-2flD.l-2a

5.答案：D

解析：畫出函數(shù)y=/(x)和y=a(0<a<l)的大致圖象，如圖所示.由圖可知兩函數(shù)的圖

X

象共有5個交點.設(shè)其交點的橫坐標從左至右分別為國，*3，4>尤5，則

號=一3,^^=3,所以藥+々+%+毛=0?又”TO)，fe(0」)，且/⑴

是奇函數(shù),所以/(毛)=-/(-與)=-logi(-演+1)=。，所以％3=1-2",所以

2

為+*2+*3+*4+%5=1—2"，故選D.

%

為W惇i基薄)

6.已知/(x)=d-3x,過點A(l,〃z)(〃zw-2)可作曲線y=/(x)的三條切線，則實數(shù)機

的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(-2,3)C.(-1,2)D.(-3,-2)

6.答案：D

解析：設(shè)切點為(b-3/).>(尤)=3]一3,則切線方程為y=(3/—3/3/,整

理得y=（3r—3）x—2r.把A（l,M代入整理，得2/—3/+〃?+3=0①.因為過點A可作三

條切線，所以①有三個解.記g⑺=2/一3/+根+3,則g，⑺=6產(chǎn)—6/=6^—1）.當

0</<1時,g'⑺<0,g⑺單調(diào)遞減；當/<0或/>1時,g'⑺>0,g⑺單調(diào)遞增.所

以g⑺在f=0處取得極大值g（0）=m+3,在/=1處取得極小值g⑴=m+2.要使g⑺有

三個零點，只需加+3〉。且帆+2<0,BP-3<m<-2.

7.為了貫徹落實《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》，某造紙企

業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減

少.已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/m3,首次改良工藝后排放

的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/m3,第附次改良工藝后排放的廢水中含有的污染

物數(shù)量/滿足函數(shù)模型/="+億—其中4為改良工藝前所排

放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)

量，〃為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過0.25g/m3時符合廢水

排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要（）（參考數(shù)

據(jù)：1g2ao.30,1g3ao.48）

A.15次B.16次C.17次D.18次

7.答案：B

解析：由題意知石=2.25g/n?在=2.21g/n?,

25

當〃=1時，4=“+在―/卜？。”,故30-25+「=1,/=—0.25,

故12.25-0.04X3°25（"T）,

由/<0.25得3°-25（n-1）>50,即0.25（〃一1）>詈，

則“2~^^-+1?15.17,而“eN*,故〃216,

坨3

故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要16次，

故選：B.

8.已知函數(shù)/（%）=2x+sinx,若+20對xe（0,2］恒成立，則實數(shù)a

的取值范圍為（）

A.[l,+8)B.[2,+00)C.[l,2]D.(1,+OO)

8.答案：A

解析：由題意，函數(shù)/00=2%+5m》的定義域為區(qū)，且滿足/(-x)=-/(x),所以函數(shù)

/(%)為奇函數(shù)，且/'(x)=2+cosx>0,所以函數(shù)/(x)為R上的增函數(shù).

若/[lnx+￡|+/(—1)20對xe(0,2]恒成立，則f^lnx+1^>/⑴對xe(0,2]恒成立，

即lnx+q21對xe(0,2]恒成立，即對xe(0,2]恒成立.

設(shè)〃(x)=x-xlnx,xe(0,2],可得〃(x)=-lnx,當0<%<1時，h'(x)>0；當1<XW2

時，〃(x)<0,所以力(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2]上單調(diào)遞減，所以

“(X)max=3)=1，所以a21,即實數(shù)a的取值范圍為工內(nèi)).故選A.

二、多項選擇題

9.將正數(shù)x用科學記數(shù)法表示為x=axlCT,ae[1,10),meZ,則lgx=〃z+lga,我

們把如Iga分別稱為Igx的首數(shù)和尾數(shù).若將Igx的首數(shù)記為S(x),尾數(shù)記為W(x),

則下列說法正確的是()

A.W)e[0,l)B.W(x)(x>0)是周期函數(shù)

C.若x,y>0,貝US(移)2S(x)+S(y)D.若x>y>0,貝—=W(x)-W(y)

9.答案：AC

解析：對于A,因為ae[l/。)，所以W(x)=lgae[0,l),故A正確.

對于B,若y〉0且W(y)=W(x),必有y=x40氣左eZ),不可能存在非零常數(shù)T,使

得x+T=x40*恒成立，不符合周期函數(shù)的定義，故B錯誤.設(shè)x=axl(F,y=bxlOn

(a,be[1,10),m,zieZ).

對于C,有S(x)=根，S(y)=〃，xy-abx10m+,!1<aZ?<10,則S(孫)=wi+”；若

/1K)

10<?/?<100,則肛=號10"1,此時S(孫)=m+〃+1,所以S3)2s(x)+S(y),故

C正確.

對于D,有W(x)=lga,W(y)=lg有-=-xlOm-"；^1<-<10,則

ybb

W(^]=lg-=lga-\gb；若工<@<1,則二=物義10，"-1,止匕時

⑴h10byb

10a

W二=lg——=\ga-\gb+l,所以W->W(x)-W(y),故D錯誤.

⑴bUJ

10.已知函數(shù)/(x)=e'-ax2(。為常數(shù))，則下列說法正確的是()

2

e

A.若/(x)有3個零點，則a〉]

B.當a=|時，]=1是/(x)的極值點

C.當a=1■時，/(x)有唯一零點飛,且-l<x0<-g

D.當a=l時，/(x)20恒成立

10.答案：AC

解析：令/(x)=e*-?？=0,貝U==a(xw0).記g(x)=^,則g'(x)=^~,所以

XXX

g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，且

2「e?、，

g(2)=—e，所以當xe(—oo,0)時，g(x)G(0,-H?),當xe(0,+oo)時，g(x)e一,+oo.若

4[4J

2e

/(x)有3個零點，則a〉一e，故A正確.當a=—時，/'(x)=e*-ex,令

42

h(x)-ex-ex,則〃(x)=e*-e,所以力(x),即尸(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,在(-8,1)上

單調(diào)遞減，所以當x=l時，r(x)取得最小值0,即r(x)20,所以/(x)在R上單調(diào)

遞增，無極值點，故B錯誤.當a=1■時，/(x)=ex-^x2,f\x)=cx-x,令

m(x)-ex-x,則加(x)=e"-1,所以m(x),即/'(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，在(-8,0)

上單調(diào)遞減，所以當x=0時，/'(x)取得最小值1,即廣⑴>0,所以/⑴在R上單

調(diào)遞增，又/(—1)=?！?==<0,且在>0,所以由零點存在

22eI2)8

定理可知C正確.當a=l時，/(x)=e-Y,y(_i)=e-i_i=lz￡<0,故D錯誤.

e

三、填空題

11.已知定義在R上的函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞增，若函數(shù)/(X+1)為偶函數(shù)，且

/(3)=0,則不等式獷'(x)>0的解集為.

11.答案：(7,-1)U(O,3)

解析：由函數(shù)/(X+1)為偶函數(shù)，知函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線X=1對稱.又函數(shù)/(X)在

(Y0』］上單調(diào)遞增,知函數(shù)/(x)在(1,4W)上單調(diào)遞減,由/⑶=0,知/(-1)=0,作

x>0,_p,fx<0,

出函數(shù)的大致圖象如圖所示.因為對'(x)>0o所以結(jié)合圖象可知

/(%)>0?l/(x)<0,

#(%)>0的解集為(f),-1)u(0,3)?

12.若關(guān)于x的不等式a(x-有且只有3個正整數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍

解析：由a(x-l)e=/<0,不等式可化為—.設(shè)/(x)=：,則

ee

r(x)=x(2-X),當0<%<2時，/(幻>0,/(x)單調(diào)遞增，當x<0或x>2時，

ex

f'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，當xf+oo時，/(x)-0,xf—s時，

/(x)f+8.y=a(x-l)為過定點(1,0)的動直線，在同一平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)的

大致圖象，如圖.

不等式a(x-1)<乂有且只有3個正整數(shù)解，結(jié)合圖像可知，只需滿足［"">"?-I)，

ex［/(4)<a(4-l),

解得/即當白時,

?(x-l)el-x2<0有且只有3個正整數(shù)解

1,2,3.

13.已知集合”是具有以下性質(zhì)的函數(shù)/(x)的全體：對于任意s,r〉0都有

f(s)>0,/⑺>0,且f(s)+于3</(s+/).給出下列四個結(jié)論：

①函數(shù)g(x)=k>g2(x+l)屬于M；

②函數(shù)丸0)=2-1屬于M；

③若于(X)eM,則/(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增；

④若/(x)eAf,則對任意給定的正數(shù)s,一定存在某個正數(shù)/,使得當xe(0j］時，恒

有/(x)<s.其中所有正確結(jié)論的序號是.

13.答案：②③④

解析:對于①，g(x)=log2(x+l),則

g(S)+g⑺=log2(5+l)+log2(r+l)=log2(5+l)(r+l)

=log2(s/+s+t+l)>log2(s+/+l)=g(s+t),所以g(x)=log2(x+l)不屬于M,所以①錯

誤，

對于②,h(x)=2x-l,則當s>0,/>0時,丸(s)=2,—1〉0,帕)=2'—1〉0,

h(s)+h(t)一/z(s+。=2、—1+2’—1—2s+,+1=(2、—1)(1—2’)，

因為s>0,t>0,所以2、—1>0,1—2'<0,

所以丸⑸+h(t)—h(s+/)<0,所以f(s)+f(f)<f(s+1),

所以/2(x)=2*-l屬于M,所以②正確，

對于③，因為/(x)eAf,所以對于任意s,f>0都有/(s)>0,/⑺>0,且

所以/(s+t)-/(”/(s)>。，

因為s+/>/>0,所以/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，所以③正確，

對于④，對給定的正數(shù)s,若/⑴<s,貝I取，=1,使得當xe(0用時，由③單調(diào)性恒有

f(x)</(I)<s.^/(I)>s,因為對于任意s,『>0都有/(5)>0,f(t)>0,且

/(6)+/?)</(6+。.所以2/(；)<〃1),/(；)<與，同理可得/(*)<手，

/(《)〈與，…，/(：)<與D，所以存在4eN+，曙<s,則取"小，使得當

乙乙乙乙乙乙

xe(Oj］時，由③單調(diào)性恒有/(%)</?)<s.綜上可得④正確，

故答案為：②③④

四、解答題

14.已知函數(shù)/(x)=(2-a)lnx+L+2ax.

X

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)當ae(-8,-2)時，若存在不當e口2］,使得

|/(^)-/(^2)|>(m+In2)a-2In2+ln(-a)成立,求實數(shù)m的取值范圍.

14.答案：⑴若。之0,則/(x)在上單調(diào)遞減，在，,+s］上單調(diào)遞增；

若a=-2,則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

若-2<a<0,則/(%)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在:+oo］上單

調(diào)遞減；

若2,則/(幻在,,-￡|上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在、,+s］上單調(diào)

遞減

⑵&2收］

解析：(1)函數(shù)/(X)的定義域為(0,+8).

廣(X)=+2a=Qx-iy+l).

XXX

若「20,貝I依+1>0,令/'(x)=0,得x=g，

當時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當xe［g,+oo)時，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

若a<0,令/(x)=0,得％=工或犬=-工，

2a

若a=-2,則/(?WO對xe(O,+s)恒成立，且僅有廣出=0,

所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

若-2<a<0,則一<—,

2a

所以當xe,,；,寸，/'(x)<0,/(幻單調(diào)遞減,

尸(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

當時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

若a<—2,則,〉—L所以當xe(0,-工］時，尸(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

2a<a)

當時'/'(幻>°，/CO單調(diào)遞增，

當xe［g,+oo］時，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

綜上，若?！?,則/(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

若a=-2,則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

若-2<a<0,則/(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在+00上單

調(diào)遞減；

若a<-2,則/⑴在/,-￡|上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在心,+s

上單調(diào)

遞減.

(2)因為ae(-8,-2),所以-工/!」］,即/(%)在［1,2］上單調(diào)遞減，

a\82;

所以當xe[l,2]時，/(x)1mx="1)=1+2a，/(%焉=/⑵=(2—a)ln2+g+4a

所以|/(%)-/(々)|,皿=/⑴—八2)=g+(”2)ln2—2a,

所以L+(a-2)In2-2a>m(2+^ln2—21n2+—ln(—4z),

即m>I"-。)—2對ae(—8,—2)恒成立.

2a

設(shè)9(a)JTn(_a)_2,ae(-8,-2),

2a

則(p\a)=1"2_2,令=0,得a=-e2,

2。

當a￡(-8,-匕2)時，0(a)>0,0(a)單調(diào)遞增,

當aw(-e2,-2)時，(p\a)<0,9(a)單調(diào)遞減,

所以。⑷皿=9(-e?)=，-2,

所以實數(shù)機的取值范圍為

e

15.已知函數(shù)/(x)=---Vax+x-a.

x

(1)若/(x)20,求a的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個零點七，4，則%％<1.

15.答案：(1)(-oo,e+l]

(2)證明見解析

解析：(1)由題意知函數(shù)/(幻的定義域為(0,+8).

由廣⑴?(xT)1門e*(x-l)r+f(e'+x)(x-1)

X2XX2X2

可得函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+oo)上單調(diào)遞增,

所以/(x)mm=〃l)=e+l—a-

又/(x)20,所以e+1—a?0,解得aWe+1,

所以a的取值范圍為(-oo,e+l].

(2)方法一：不妨設(shè)石<々，則由(1)知0<%<1<々，—>1.

令F(x)=f(x)—f

—J—l]

貝IJF\x