高考數(shù)學(xué)解答題提高第一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）（典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練）（學(xué)生版+解析）

專(zhuān)題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）（典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：倒序相加法...............................................2

題型二：通項(xiàng)為c,=4土a型求和....................................3

a〃為奇數(shù)

題型三：通項(xiàng)為為偶數(shù)型求和..............................

三、專(zhuān)題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練..............6

一、必備秘籍

1、倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之

和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

2、分組求和法

2.1如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成g=4土〃的形式，而數(shù)列也｝,也｝是等差數(shù)列或等比

數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.

a〃為奇數(shù)

2.2如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成為俾物的形式，在求和時(shí)可以使用分組求和法.

bn”為偶數(shù)

二、典型題型

題型一：倒序相加法

3

例題L（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=9上.

（1）求證：函數(shù)〃元）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

⑵求5=”—2022）+4—2021）+.+/（0）++〃2022）+“2023）的值.

例題2.（2023秋?江蘇,高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃元）=l+ln——，設(shè)q=l,

X

%=N*,〃詞.

⑴計(jì)算+X）的值.

（2）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

（2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)Aa，%）,*%,%）是函數(shù)/（同=；+1嗚X

例題3.的圖象上任意兩點(diǎn),

i-x

S.OM=^（OA+OB）,已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

⑴求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值;

(2)若+…eN",且"22求S“；

例題4.(2023秋?山東青島?高二山東省青島第五十八中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)”元)滿足/(尤)+〃1-%)=2,

若數(shù)列｛凡｝滿足：??=/(0)+/^++/]—J+AA

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2

例題5.(2023?全國(guó),高二專(zhuān)題練習(xí))已知｛%｝為等比數(shù)列，且叱2(m=l，若“無(wú))=津/，求

/(?1)+/(?2)+/(?3)++/(g021)的值.

題型二：通項(xiàng)為%土〃型求和

例題1.(2023?貴州六盤(pán)水?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，等比數(shù)列他,｝的各項(xiàng)均為

正數(shù)，且滿足4=4=1,Ss=35,4=仇.

⑴求數(shù)列｛4｝與｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)記cn=an+2bn,求數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和T?.

例題2.(2023春?黑龍江齊齊哈爾?高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)

列｛%｝的首項(xiàng)4=1,電，為，%+2成等比數(shù)歹!J；

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a=3?！?3%,求數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和

例題3.(2023春?吉林長(zhǎng)春?高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥?已知等比數(shù)列｛%｝中，/=2,%=驍

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵若〃=練+2"+1,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S”.

例題4.(2023秋?江蘇無(wú)錫?高二江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知等差數(shù)列｛%｝,S,,為其前九項(xiàng)和,

%=10,S7=56.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若。=4+34T,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

例題5.(2023秋,山東濟(jì)南,高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)等差數(shù)列｛%｝滿足。$=5,弓+%=8,正項(xiàng)等比數(shù)列出｝

滿足62=。2，”是和。64的等比中項(xiàng).

(1)求｛4｝和｛6“｝的通項(xiàng)公式；

(2)記cn=an+b?,求數(shù)列｛g｝的前”項(xiàng)和S,,.

［an”為奇數(shù)

題型三：通項(xiàng)為"”為偶數(shù)型求和

例題1.(2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在①。2，%，%成等比數(shù)列，且4S.=匕②2%=q+%,數(shù)

列｛鄧］是公差為1的等差數(shù)列這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答.

問(wèn)題：已知各項(xiàng)均是正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且__________.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勿=(-1)"%,求數(shù)列｛二｝的前“項(xiàng)和T?.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

例題2.(2023秋?浙江?高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,,,已知

S?=|(3??-l)(?eN*).

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

伍+凡，幾為奇數(shù),,/、

(2)設(shè)"=小便將，求數(shù)列也｝的刖2”的項(xiàng)和凡.

［幾?4,"為偶數(shù)

n—\

例題3.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足%=2""為奇數(shù)，求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S,,.

n,n為偶數(shù).

n1t

例題4.（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足：q=3,a?=a?_1+2-（n>2,neN）.

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）令6“=an-1+（-1）"log2（a?-l）,求數(shù)列｛bn）的前”項(xiàng)和7”.

4（見(jiàn)+2）

例題5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,,,且S“=九wN*）,數(shù)列也｝

4

為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，4+4+4=13,b、b2b3=27.

⑴求數(shù)歹！J｛6｝,｛2｝的通項(xiàng)公式;

為奇數(shù)■

(2)設(shè)%=%及為偶數(shù)'求…+C-

三、專(zhuān)題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.(2023秋?山東濰坊?高三山東省安丘市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-ir+2,數(shù)列｛4｝為等

比數(shù)列，4>0,且4oo9=e,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的公式的方法，則

/(Inq)+/(In4)+…+/(ln?2017)=()

2017

A.----B.2017C.4034D.8068

2

2.(2023秋?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí))已知正數(shù)數(shù)列｛4｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且44。23=1，試用推導(dǎo)

等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的方法探求：若"X)=￡r，貝廳(6)+/(。2)+…+/(%023)=()

A.2022B.4044C.2023D.4046

二、填空題

3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知正數(shù)數(shù)列｛凡｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且％/。|9=1，試用推導(dǎo)等

差數(shù)列前w項(xiàng)和的方法探求：若貝lJ/(q)+〃％)++f(?2019)=.

4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)

1+2+3+L+10。的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定

的規(guī)律生成.因此，此方法也稱(chēng)為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)/(元)=黃工，則

1.”2、3、?2017,?,2018.,,

f(-----)+f(-------)+f(------)++f(z------)+f(-------)的.

20192019201920192019------

三、解答題

5.(2023春?江西萍鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃力=1+1占關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其中。為實(shí)數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)滿足為=/［忘)，其前〃項(xiàng)和為S",求邑期.

6.(2023秋?廣東廣州?高三廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝為非零數(shù)列，且滿足

1+邛+4(1+-

aiAIa?)

⑴求數(shù)列｛見(jiàn)｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”.

a?

7.（2023春?云南曲靖?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝,其前"項(xiàng)和為S”.滿足S3=9,且6是出+1

和火的等比中項(xiàng).

⑴求｛?！埃耐?xiàng)公式；

（2）設(shè)%=2%+4的前”項(xiàng)和為7；,求卻

8.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛叫的前“項(xiàng)和為加且滿足S“=2a"T6“=30-log2（S“+l）.

⑴求數(shù)列｛4｝,｛"｝的通項(xiàng)公式；

\a,a>b,、

（2）定義4*6=記％=。"*么，求數(shù)列｛%｝的前20項(xiàng)和乙.

9.（2023秋?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的

前九項(xiàng)和為S",已知2（S“+l）=d+a”.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

()%(〃為奇數(shù))

(2)若數(shù)列也｝滿足a=［為偶數(shù)j'求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Sa?

13.(2023春?安徽阜陽(yáng)?高二安徽省潁上第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛七｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前"項(xiàng)和

2

為S"，S”制馬.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)2=2°?+(-1)"a：,求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和7“.

專(zhuān)題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）（典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：倒序相加法...............................................2

題型二：通項(xiàng)為c,=4土a型求和....................................3

a〃為奇數(shù)

題型三：通項(xiàng)為為偶數(shù)型求和..............................

三、專(zhuān)題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練..............6

一、必備秘籍

1、倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之

和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

2、分組求和法

2.1如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成g=4土〃的形式，而數(shù)列也｝,也｝是等差數(shù)列或等比

數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.

a〃為奇數(shù)

2.2如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成為俾物的形式，在求和時(shí)可以使用分組求和法.

bn”為偶數(shù)

二、典型題型

題型一：倒序相加法

3

例題L(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=9上.

(1)求證：函數(shù)〃元)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

⑵求5=〃-2022)+4-2021)+,+/(0)++〃2022)+“2023)的值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)5=2023

【詳解】(1)因?yàn)?(尤)=1二，所以〃l-x)=Y—=*二=3，

所以/(X)+〃17)=1,即函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

(2)由(1)知與首尾兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等，使用倒序相加求和.

因?yàn)镾=/(-2022)+/(-2021)+...+/(0)+/(1)++”2022)+/(2023),

所以S="2023)+〃2022)++/(1)+/(0)++/(-2021)+/(-2022)(倒序)，

又由(1)得〃力+

所以2s=4046,所以5=2023.

例題2.(2023秋?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)"xHl+lnp,設(shè)q=1,

%=7mm+4-人N*,讓2).

⑴計(jì)算+X)的值.

⑵求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)2

l,n=1

⑵

%=n-l,n>2

1—Xx

【詳解】(1)f(-^)+/(I—x)=1+In------F1+In-----=2；

X1-x

(2)由題知，當(dāng)〃N2時(shí)，

又氏=/(與口+/1_]++/1)]，兩式相加得

所以=〃T,

又q=1不符合%1,

fl,n=l

所以I-

In-l,H>92

例題3.(2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))設(shè)是函數(shù)〃》)=4+1。82戶的圖象上任意兩點(diǎn)，

S.OM=]-(OA+OB),已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為J.

(1)求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；

⑵若S“=/(5+/W…+eN",且2求S.；

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)Sn=-^(?>2,HeN*).

【詳解】(1)證明：設(shè)M(x,y),因?yàn)镺M=g(Q4+OB),故可得尤=土產(chǎn),y=當(dāng)比，

由芯=工知尤1+%=1,故玉=1-彳2，々=1一再，

故、，%+%㈤1+至=+晦之l+log,^-+log2-

x2Xj_1

'2222-2

故拉點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值J.

(2)由(1)知芯+%=1,/(&)+/(>2)=1

s?=/(-)+/(-)++/(——)

nnn

〃一1n—21

S?=/(—)+/(-)+...+/(-),

nnn

兩式相加得:

2S“=f=n-l,

故=^—(〃22,〃wN*).

例題4.(2023秋?山東青島?高二山東省青島第五十八中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(%)滿足〃x)+/(l-x)=2,

若數(shù)列｛%｝滿足：氏=/(0)+[￡|++/11■J+/6

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

【答案】⑴?！?〃+1,〃EN*;

【詳解】(1)因?yàn)椤?)+/(1-%)=2,

由%=/(0)+4+⑴①,

則氏=")+/(—)++/[￡|+/(o)②,

所以①+②可得:2??-[/(0)+/(1)]++L+[/(1)+/(0)]=2(?+1),

故?！?〃+1,“eN*.

?

例題5.(2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))已知｛%｝為等比數(shù)列，且4％⑼=1，若〃x)=V求

/(01)+/(?2)+/(?3)++/(g021)的值.

【答案】2021

【詳解】因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，?1?2021=1>所以%%020=%/019==?101iai011=1>

0\\22222(1+叫

因?yàn)?x)=C^，所以〃2+““誣)_訕+1^烹—a*+二^一下于一，

Q；

同理可得J(H)+J(a2020)=/(H)+19)=…=J(4OU)+“4OU)=2,

所以〃4)+〃“2)+/3)++/(%021)

=1[/(?,)+/(?2021)+/(?2)+/(?2020)++"a*)+"4)]=；x2x2021=2021

題型二：通項(xiàng)為°"=""土"型求和

例題1.(2023?貴州六盤(pán)水?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“，等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為

正數(shù)，且滿足4=4=1,§5=35,a6=b5.

⑴求數(shù)列｛%｝與也｝的通項(xiàng)公式；

(2)記c“=an+2bn,求數(shù)列｛c“｝的前”項(xiàng)和T?.

【答案】⑴4=3〃-2,b—T

321

(2)Tn^n--n+2^-2

【詳解】(1)記等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列｛2｝的公比為q,

S5=5q+lOd=35

4

則由題可得，-al+5d=biq,

“1=4=1

解得1=3,才=4,

又等比數(shù)歹式a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q＞。，所以4=2,

1

所以q=1+3(〃-1)=3〃—2,bn=2"-.

(2)由(1)可得，c“=3〃-2+2",

所以北=(1+2)+(4+22)+(7+23)+…+(3〃-2+2")

=[l+4+7+---+(3M-2)]+(2+22+23+---+2n)

=-n2--n+2n+1-2

22

例題2.(2023春?黑龍江齊齊哈爾?高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)

列｛凡｝的首項(xiàng)％=1,%,%，4+2成等比數(shù)列；

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若bn=3冊(cè)-3%,求數(shù)列也｝的前九項(xiàng)和北.

【答案】(1)4="；

CT3"+1-3M2-3H-3

(2)Tn=---------------------

【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛見(jiàn)｝的公差為d(d>0),

又因?yàn)?，為，&+2成等比數(shù)列，

所以a；=a2(a6+2),即(q+3d)。=(6+d)(%+5d+2),

整理得：2建-d-q=0,

又因?yàn)椋?1,

解得d=l或d=_；(舍)

貝I］有an=4+("-l)d=n,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為??=";

(2)解：因?yàn)椤啊?〃，

所以優(yōu)=3%-34=3”-3w,

所以北=3+3?2++3"-3(1+2++n)

n

3(1-3)3x(l+n>

1-3—-*2

3〃+1-3/一3〃一3

2

3向-3〃2_3〃-3

所以為=

2

例題3.(2023春?吉林長(zhǎng)春?高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥?已知等比數(shù)列｛4｝中，出=2,%=16

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)若“=為+2及+1,求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和Sn.

【答案】⑴%=2"也

(2電=2"-1+/+2”

【詳解】(1)設(shè)公比是4,則/=%=；=8,4=2,因此％=a=1,

〃22q

所以。"=2"T；

(2)由(1)￡=2"T+(2〃+l),

S“=(l+2+.+2"T)+[3+5+..+(2H+1)]=l^+W(3+2，?+1)=2n-l+n2+2?.

1-22

例題4.(2023秋?江蘇無(wú)錫?高二江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知等差數(shù)列｛4｝,S“為其前〃項(xiàng)和,

%=10,S7=56.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=an+3。戶,求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和.

【答案】⑴4=2”

3(9"-1)

(2)n2+〃+

8

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,

%+4<i=10%+46?=10

，解得a1=d=2,

則74+21d=56'[4+3d=8

所以％=2〃.

(2)2=4+3-=2〃+32i=2〃+3.9i,

數(shù)列｛3-9"T｝是首項(xiàng)為3,公比為9的等比數(shù)列，

所以數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為2+2〃.用+3°-9")=*+“+3(9”-1).

21-98

例題5.(2023秋?山東濟(jì)南?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)等差數(shù)列｛%｝滿足%=5,%+%=8,正項(xiàng)等比數(shù)列也｝

滿足4=%,%是生和。64的等比中項(xiàng).

(1)求｛%｝和｛0｝的通項(xiàng)公式；

⑵記c“=an+bn,求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S,,.

【答案】⑴4="，b,=2"T；

172+rj

⑵s'=笠累2”一1

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列包｝的公差為小等比數(shù)列低｝的公比為4g>o),

[etc—CL+4d—5

由題意可得：ccQ，

[a[+%=26+6a=8

解得，al=d=\,

所以，q=q+(〃—l)d="；

又2>0且勿=%=2,1=J4a64=8,

所以q$=2,

所以￡=%q7=2"T.

(2)因?yàn)镃,=4+2=〃+2"T,

所以S“=(l+2°)+(2+21)+(3+22)++(〃+2”T)

=(1+2+3++Z?)+(2°+21+22++2”T)

?(1+?)12°(i-r)n2+n

+2n-l-

F1-2-2

\an〃為奇數(shù)

題型三：通項(xiàng)為"”為偶數(shù)型求和

例題1.(2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在①“2,%,%成等比數(shù)列，且4s②2%=q+%，數(shù)

列｛#]是公差為1的等差數(shù)列這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答.

問(wèn)題：已知各項(xiàng)均是正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",且__________.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)由=(-1)"%,求數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和Tn.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴4=21

_f"，”為偶數(shù)，

⑵”[f,〃為奇數(shù).

【詳解】（1）若選擇條件①：

根據(jù)題意，由4S"囁-4"-1,得

當(dāng)〃22時(shí)，4s=片一4（九一1）-1.

兩式相減得，4an=a']-aj-4,

化簡(jiǎn)得a.+i=a”+2或-a,+i=a“+2（:舍），

所以當(dāng)“22時(shí)，數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，

則an=a-,+2（〃一2）=%+2〃-4.

又由抬=/，。14，得（％+6）2=的（％+24）,解得。2=3,

所以=2〃-1（〃22）.

當(dāng)”=1時(shí)，4S]=a；-4-1,解得q=l,滿足上式，

故?！?2〃->

若選擇條件②：

由題設(shè)知腐+（〃一1）、1=苑+〃一1,

則當(dāng)心2時(shí)，a“=S「Sz=（E-瓦）.

（向+7^7）=26-3+2”,

由22=%+生，得2（2^^"+1）=4++3,

解得q=1,

故當(dāng)〃22時(shí)，an=2n-l,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1也滿足上式，

故氏=2〃-1.

（2）2=（-1）&=（-1）〃（2幾-1）,

VI

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，T=-1+2-3+4+..+2〃一l=2x—=〃，

n2

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=I-+(-2?+1)=(-2n+1)+2x早=一〃,

..T\耳〃為偶數(shù)，

故"一1-〃,〃為奇數(shù)

例題2.（2023秋?浙江?高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和為S“，己知

S?=i(3a?-l)(neN*).

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

喘般求數(shù)列間的前2“的項(xiàng)和1

(2)設(shè)4=

【答案】⑴％=3'T

二島(24〃+032〃—1

(2%

32

【詳解】(1)由2s得2s1=3%-1(〃22),兩式相減得%=3%(〃22).

令〃=1,4=1,.?.數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

〃+為奇數(shù)

(2)由題意可得"=

九?a〃，幾為偶數(shù)'

川+吐1

S奇數(shù)項(xiàng)=0+3+5++2n-l)+(3°+32+34++32,!-2)=

8

S偶數(shù)項(xiàng)=2-31+4-33+6-35++2”?321①，

貝IJ9s偶數(shù)項(xiàng)=2々3+4.35+6?37++2^32用②，

3?(1—9〃)

①一②得：偶數(shù)項(xiàng)儼+〃2n+1

-85=233++321)-23；2〃+i=2.一--1-2n-3

1-9

(24"-3)-32"+3

一S偶數(shù)項(xiàng)二

32

9"-1(24?-3)-32"+3_^(24?+1)-32,,-1

:工"=n'++2+

83232

n-1

"為奇數(shù),求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和

例題3.(2023,全國(guó),高三專(zhuān)題練習(xí))己知數(shù)列｛q｝滿足(=.22,S,,.

n,幾為偶數(shù).

〃+12v

2^+—w為奇數(shù),

44

【答案】S“=,

22+—+--1,"為偶數(shù).

42

【詳解】當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),Sn=(%+/++凡)+(%+&++)

(i-i3-1“-1、

2T+2V++2V+[2+4++(77-1)]

7

n+l

M+12C

>2h5-1)(2+"-1)二2三+土二

-KF+2^244

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S〃=(4+%++/_])+(%+。4+-+?！?

1-13-1(i)T

2T+2v++22+(2+4++〃)

71+12v

2k+---,“為奇數(shù)，

44

綜上所述，S?=

n2

23+±+烏一1,〃為偶數(shù).

42

例題4.（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛凡｝滿足：q=3,4=0,-+2"T（"N2,〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵令2=an-1+(-1)"log2(an-1),求數(shù)列也｝的前L項(xiàng)和看.

【答案】①見(jiàn)=2"+1("eN*)

17-I-1

2"+,-2--,n=2k-l

?2

⑵方=且壯N*

2n+1-2+-,n=2k

L2

1

【詳解】(1)??-??-1=2"-(n>2),

當(dāng)“22時(shí)=4]+(a2—q)+(%—a2)+...+(an,—an_2)+(?！耙粦?yīng)—)

=3+2+22+...+2'-2+2"-1=2+^^=2"+1,檢驗(yàn)知：當(dāng)”=1時(shí)上式也成立,

1-2

故%=2"+l(〃eN*).

(2)b?=2n+(-l)nn.

2()+|

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，7；=2+2?++2"+(-1)+2+(-3)+4++(-1)"w=^~+1=2"~2+^;

nnnn+

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，Tn=Tn_l+2+(-iyn=2-2+^+2-n=2'-2-^S.n>3,

又”=1時(shí)7；=4=2—1=1滿足上式，止匕時(shí)（=2角一2一號(hào);

2n+'-2--,n=2k-1

2

且AeN*.

2n+l-2+-,n=2k

2

例題5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S,,,且s,=%，（：+2）

(〃eN*),數(shù)列也｝

為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，bl+b2+b3=13,624=27.

⑴求數(shù)歹（］｛%｝,｛優(yōu)｝的通項(xiàng)公式;

凡，〃為奇數(shù)4

⑵設(shè)c.=%"為偶數(shù)'求q+q+%+

【答案】（1）見(jiàn)=2",bn=3''-'

5+1)1、+g(3"T_l),〃為奇數(shù)

2

(2)

n23

為偶數(shù)

I28

a

【詳解】（1）由"="〃（"〃上9可知,Sn-X

〃4H-1

4(4+2)4|%+2)

則(=S-S,T

4-4

化簡(jiǎn)可得：（%+%1）（%-q_1-2）=0

?〃〃〉°，??an+an-l>0，即4一?！ā?一2二0,

%一%-1=2("N2)

?二數(shù)列｛q｝是以2為公差的等差數(shù)列,

=%+(n-l)x2,

由H=q=4（?+2）可知。=2,

%=2〃，

t\b2b3=27b=3

又由出｝為遞增的等比數(shù)列，且,即2

4+"2+0=134+4=10'

b=1.

解得片}…=尸

2n,〃為奇數(shù)

（2）依題意可知q二

為偶數(shù)'

因此G+Q+。3++%=2+31+6+3^+10+3,+

=(2+6+10+)+(3'+33+35+

n^-1

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，原式〃。E3(1-3")3/、

=—x2+—x4+」…d=±+±(3”_1)

2-21-3228、)

n+\(n+1]

((

當(dāng)，為奇數(shù)時(shí)，原式=3x2+二231-37)"+1)23

x4++-

221-3228

8苴+3(3"T_1),W為奇數(shù)

28V'

綜上，Cj+c2+c3++cn

2o

巴+彳3"T，”為偶數(shù)

,28V7

三、專(zhuān)題05數(shù)列求和(倒序相加法、分組求和法)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.(2023秋?山東濰坊?高三山東省安丘市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))己知函數(shù)/(X)=(X-1)3+2,數(shù)列｛〃“｝為等

比數(shù)列，??>0,且即>?9=e,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的公式的方法，貝U

/(Infl,)+/(ln?2)+...+/(lno2017)=()

2017

A.----B.2017C.4034D.8068

2

【答案】C

【詳解】用倒序相加法：令)+/(Ina,)+...+/(lna2017)=S①

則也有/(lno20i7)+/(lna2016)+-??+/(ln?2)+/(Inq)=S②

i/W+/(2-%)=(x-l)3+2+(l-x)3+2=4,

2

=a,&oi6=-,=廉09=合,即有Ina,+lna2017=Ina,+ln?2016=?■=Ine=2,

可得：)+/(Ino,)=f(lna210l6)+/(Ina,)=...=4,

于是由①②兩式相加得2s=2017x4,所以S=4034.

故選：D

2.(2023秋?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí))已知正數(shù)數(shù)列｛2｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且%%。23=1，試用推導(dǎo)

等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的方法探求：若"外=金，貝廳(《)+/?(%)++/(%)23)=()

A.2022B.4044C.2023D.4046

【答案】D

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)數(shù)列｛%｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且q9。23=1，

所以4,。2023=%,,“2022=03.02021=L=^1012=1，

4

文:函數(shù)/(%)=;―

4+4x2

=4

1+x2

令T=令q)+f(a2)+???+f(a2023),則T=f(a2023)+令。2018)+…+令％)，

27=/(2+/(%023)+/3)+/(%018)+…+"%023)+/(4)=4X2023,

T=4046.

故選：D.

二、填空題

3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知正數(shù)數(shù)列｛%｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且4生89=1，試用推導(dǎo)等

差數(shù)列前〃項(xiàng)和的方法探求：若"x)=士，則"％)+/3)++"%89)=_____.

1+X

【答案】4038

【詳解】正數(shù)數(shù)列｛見(jiàn)｝是公比不等于1的等比數(shù)列，^019=1.則。"電。2。一“=l，"eN*,”42019,

144

由7a)=修，當(dāng)時(shí)，/w+/y=i7^+^i7=4.

X

于是/(%)+/(。2020.“)="%)+■/■—K4-令與109=/(%)+/■(出)++/(?2019)-

\an)

則弓19=/(a2019)+/(。2018)++/(4)

因此2。9=[/(4)+八的“9)]+"(出)+"%“8)]++"(的”9)+〃4)]=4X2019,

所以盤(pán)19=4038.

故答案為：4038

4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)

1+2+3+L+100的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定

Ax

的規(guī)律生成.因此，此方法也稱(chēng)為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)=則

?,1.23,?,2O17.?,2O18,,,

f(------)+f(-------)+f(------)++f(------)+f(-------)的.

20192019201920192019-----

【答案】1009

AxAx41-x4X44X9

【詳施軍】由函數(shù)=---，得/(%)+/(l—%)=-^---F—j---=----1-------=----1----=1,

v74"+24x+241+24尤+24+2x4"4%+22+4、

八「j1、2、-3、-2017、//2018、

令S=于(----)+f(-----)+f(-------)++f(-------)+f(------),

20192019201920192019

e。//2018、//2017、//2016、-2、-1、

貝1]S=/(---)+f(------)+f(-------)++f(-------)+f(------)，

20192019201920192019

兩式相加得2s=1x2018,解得S=1得9,

所以所求值為1009.

故答案為：1009

三、解答題

5.（2023春?江西萍鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃力=1+了七關(guān)于點(diǎn)&,曰對(duì)稱(chēng)，其中。為實(shí)數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)。的值；

（2）若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)滿足4=（矗）其前〃項(xiàng)和為S,,,求S2g.

【答案】（1）。=—2

⑵S2022=1011

【詳解】⑴由題知小）+〃一）=1,即1+/+I+-4

整理得，一+441=24+小4：=_],解得“=-2；

4l+24+2-414+24

（2）由題知，且〃X）+〃17）=1,

則sgU+d'+dj-”—

一022，（2023j（2023）（2023）（2023）

-。/2022）/2021）/2020、/1）

2022_/12023卜^^6^+”2023）+…+，

故2sZ加UZZ=1+1+1+…+1=2022,

即S2022=1°1L

6.（2023秋?廣東廣州?高三廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知數(shù)列｛%｝為非零數(shù)列，且滿足

『卻+』ITU）

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列|1]的前〃項(xiàng)和S,「

【答案】（工）?！?\

1-4

⑵邑=$1母+^F

,114

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，1+-=7,解得％=一，

443

當(dāng)〃22時(shí)，由（1+1]]+^-]…（1+，]=（工）"（"包，

（q八a0）aJ2

(1V1)

得1+—1+一

I4八a2j

兩式相除得：1+4=（1產(chǎn)=（5"，即4=三，當(dāng)”=1時(shí),也滿足,

d21,13

所“匕4〃

11-4"111

(2)由(1)可知，—=——=--1,所以一