高考數(shù)學解答題提高一輪復習：概率與數(shù)列、導數(shù)交匯問題（典型題型歸類訓練）（學生版+解析）

專題05概率與數(shù)列、導數(shù)交匯問題(典型題型歸類訓練)

題型一：概率與數(shù)列

1.(2023?全國?統(tǒng)考模擬預測)遺傳學在培育作物新品種中有著重要的應用.已知某種農(nóng)作物植株有A4,

Aa,三種基因型，根據(jù)遺傳學定律可知，A4個體自交產(chǎn)生的子代全部為A4個體，加個體自交產(chǎn)生的

子代全部為用個體，4?個體自交產(chǎn)生的子代中，A4,Aa,aa,個體均有，且其數(shù)量比為1：2：1.假設每

個植株自交產(chǎn)生的子代數(shù)量相等，且所有個體均能正常存活.

(1)現(xiàn)取個數(shù)比為2：4：1的A4,Aa,加植株個體進行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基

因型為山，求該植株是由加個體自交得到的概率；

(2)己知基因型為AA的植株具備某種優(yōu)良性狀且能保持該優(yōu)良性狀的穩(wěn)定遺傳，是理想的作物新品種.農(nóng)科

院研究人員為了獲得更多的A4植株用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，將通過誘變育種獲得的植株進行第一次自交，根據(jù)

植株表現(xiàn)型的差異將其子代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第二次自交，再將第二

次自交后代中的⑶個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第三次自交……此類推，不斷地重復此操

作，從第"次自交產(chǎn)生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為A4的概率記為匕(“22且〃eN*)

①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

②求',并根據(jù)4的值解釋該育種方案的可行性.

2.(2024上?山東威海?高三統(tǒng)考期末)甲、乙、丙3人做傳球練習，球首先由甲傳出，每個人得到球后都

等可能地傳給其余2人之一，設匕，表示經(jīng)過?次傳遞后球傳到乙手中的概率.

(1)求片，尸2；

(2)證明：｛q是等比數(shù)列，并求匕；

⑶已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且尸(X,=1)=1-P(X,=0)=G，1=1,2,則E(￡xj)=￡%.記前"次

<=1i=\

(即從第1次到第〃次傳球)中球傳到乙手中的次數(shù)為y,求E(y).

3.(2024上?山東淄博?高三統(tǒng)考期末)第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘

揚奧林匹克和亞運精神，增強鍛煉身體意識，某學校舉辦一場羽毛球比賽.已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：

若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合

發(fā)球方.現(xiàn)甲、乙二人進行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往甲、乙兩名運動員對陣的比賽數(shù)據(jù)可知，若甲發(fā)球，

3241

甲得分的概率為乙得分的概率為二；若乙發(fā)球，乙得分的概率為二，甲得分的概率為二.規(guī)定第1回

合是甲先發(fā)球.

(1)求第3回合由甲發(fā)球的概率；

(2)①設第，回合是甲發(fā)球的概率為P，，證明：是等比數(shù)列；

②已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且Pg=1)=1-P(X,.=0)=①，i=1,2,…,小則E忖X,]=，.若

1i=l)i=l

第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進行”個回合比賽后，甲的總得分的期望.

4.(2024上?浙江溫州?高三統(tǒng)考期末)現(xiàn)有標號依次為1,2,....w的w個盒子，標號為1號的盒子里有2

個紅球和2個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球.現(xiàn)從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再

從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進行到從n-1號盒子里取出2個球放入〃號盒子為止.

⑴當〃=2時，求2號盒子里有2個紅球的概率；

(2)當〃=3時，求3號盒子里的紅球的個數(shù)&的分布列；

⑶記n號盒子中紅球的個數(shù)為X,,,求X”的期望E(X“).

題型二：概率與導數(shù)

1.（2024上?湖南常德?高三統(tǒng)考期末）某企業(yè)對500個產(chǎn)品逐一進行檢驗，檢驗"合格”方能出廠.產(chǎn)品檢

驗需要進行三項工序A、8、C,三項檢驗全部通過則被確定為“合格"，若其中至少2項檢驗不通過的產(chǎn)品

確定為“不合格"，有且只有1項檢驗不通過的產(chǎn)品將其進行改良后再檢驗A、8兩項工序，如果這兩項全部

通過則被確定為“合格"，否則確定為"不合格”.每個產(chǎn)品檢驗A、B、C三項工序工作相互獨立，每一項檢

驗不通過的概率均為p.

⑴記某產(chǎn)品被確定為"不合格"的概率為了（P）,求/（；）的值；

（2）若不需要重新檢驗的每個產(chǎn)品的檢驗費用為120元，需要重新檢驗的每個產(chǎn)品兩次檢驗費用為200元.除

檢驗費用外，其他費用為2萬元，且這500個產(chǎn)品全部檢驗，該企業(yè)預算檢驗總費用（包含檢驗費用與其

他費用）為10萬元.試預測該企業(yè)檢驗總費用是否會超過預算？并說明理由.

2.（2023?新疆?校聯(lián)考一模）某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機會獲得5分，10分或20分的積分，且每

次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為2p,p,l-3p,，<p<￡|,三次游

戲為一輪，一輪游戲結束后，計算本輪游戲總積分.

（1）求某人在一輪游戲中，累計積分不超過25分的概率（用含"的代數(shù)式表示）；

（2）當某人在一輪游戲中累計積分在區(qū)間（40,55）內(nèi)的概率取得最大值時，求一輪游戲累計積分的數(shù)學期望.

3.（2023上?湖北?高三校聯(lián)考階段練習）有一位老師叫他的學生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，

期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結果，他的學生兩手空空走出麥田，因為他不知前面是否

有更好的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設該學生在麥田中

一共會遇到〃顆麥穗（假設"顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為

了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥糖，現(xiàn)有如下策略：不摘前-IV左<〃）顆麥穗，自第k+1顆開始，

只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設％=勿，該學生摘到那顆最大的

k4-11k幾

麥穗的概率為尸.（取一Z二二一卜7）

nj=kJnk

⑴若〃=4,k=2,求尸；

⑵若幾取無窮大，從理論的角度，求月的最大值及P取最大值時看的值.

三、專項訓練

1.（2023上?廣西柳州?高三柳州高級中學?？茧A段練習）假設L市四月的天氣情況有晴天，雨天，陰天三

種，第二天的天氣情況只取決于前一天的天氣情況，與再之前的天氣無關.若前一天為晴天，則第二天下雨

的概率為了，陰天的概率為了；若前一天為下雨，則第二天晴天的概率為了，陰天的概率為。若前一天為

4448

陰天，則第二天晴天的概率為:，下雨的概率為g;已知L市4月第1天的天氣情況為下雨.

（1）求入市4月第3天的天氣情況為晴天的概率；

（2）記凡為乙市四月第九（“eN+，”430）天的天氣情況為晴天的概率，

（D求出的通項公式；

（"）乙市某花卉種植基地計劃在四月根據(jù)天氣情況種植向日葵，為了更好地促進向日葵種子的發(fā)芽和生長,

要求提前3天對種子進行特殊處理，并盡可能地選擇在晴天種植.如果你是該花卉種植基地的氣象顧問，根

據(jù)上述計算結果，請你對該基地的種植計劃提出建議.

2.（2024上?河北?高三雄縣第一高級中學校聯(lián)考期末）在信息論中，嫡（entropy）是接收的每條消息中包

含的信息的平均量，又被稱為信息燧、信源崎、平均自信息量.這里，"消息"代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件、

樣本或特征.（嫡最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的燧越大）來自信源

的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當它發(fā)生了，會提供更多的信息.

由于一些其他的原因，把信息（嫡）定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個事

件的信息量構成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值（即期望）就是這個分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即

崎）.燧的單位通常為比特，但也用Sh、nat、Hart計量，取決于定義用到對數(shù)的底.采用概率分布的對數(shù)作

為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了ISh的信息，而擲機次就為機位.更一般地，你

需要用log?”位來表示一個可以取〃個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學的嫡，引入到

信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滴.而正是信息焙的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國物理學家詹姆斯?麥克斯韋為了

說明違反熱力學第二定律的可能性而設想的麥克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量&所有取值為1,2,,〃，定義

4的信息焙坦9=一￡4log?4，（￡月=1,.

z=l1=1

⑴若〃=2,試探索J的信息燧關于《的解析式，并求其最大值；

⑵若［=6=9，Pz=2Pk（k=2,3,,求此時的信息麻

3.（2023上?江蘇鹽城?高三鹽城中學校聯(lián)考階段練習）某公司為激勵員工，在年會活動中，該公司的"（"23）

位員工通過摸球游戲抽獎，其游戲規(guī)則為：每位員工前面都有1個暗盒，第1個暗盒里有3個紅球與1個

白球.其余暗盒里都恰有2個紅球與1個白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個暗盒里取

出1個球，并將這個球放入第2個暗盒里，第2位員工再從第2個暗盒里面取出1個球并放入第3個暗盒

里，依次類推，第n-1位員工再從第n-1個暗盒里面取出1個球并放入第"個暗盒里.第〃位員工從第"個暗

盒中取出1個球，游戲結束.若某員工取出的球為紅球，則該員工獲得獎金1000元，否則該員工獲得獎金

500元.設第《14區(qū)小位員工獲得獎金為X,元.

（1）求X2=1000的概率；

⑵求X,的數(shù)學期望￡（%,.）,并指出第幾位員工獲得獎金額的數(shù)學期望最大.

4.（2023上?重慶?高三西南大學附中?？计谥校┩趵蠋熋刻煸缟?：00準時從家里出發(fā)去學校，他每天只

會從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個乘坐.王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明，他到達學校的時間在兩種

交通工具下的概率分布如下表所示：

到校時間7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后

乘地鐵0.10.150.350.20.150.05

乘汽車0.250.30.20.10.10.05

（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當天乘地鐵去學校，則他到校時間在7：35-7：40的概率為0.35.）

⑴某天早上王老師通過拋一枚質地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學校，若正面向上則坐地鐵，

反面向上則坐汽車.求他當天7：40-7：45到校的概率；

⑵已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學校，從第二天開始，若前一天到校時間早于7：40,則當天

他會乘坐地鐵去學校，否則當天他將乘坐汽車去學校.且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時

間是否早于7：40,第11天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學校前坐地

鐵的次數(shù)為X,求E（X）；

⑶已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學校且到校時間早

于7：40,則當天他會乘坐地鐵去學校；若他前一天坐地鐵去學校且到校時間晚于7：40,則當天他會乘坐

汽車去學校；若他前一天乘坐汽車去學校，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40,當天他都會乘坐地

鐵去學校.記P,、為王老師第?天坐地鐵去學校的概率，求｛￡｝的通項公式.

5.(2023上,廣東佛山?高三?？茧A段練習)中國國家統(tǒng)計局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月

中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)為49.8%,反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快.以新能源汽車、機器人、

增材制造、醫(yī)療設備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進，則進一步體現(xiàn)了

中國制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質量差服從正態(tài)

分布并把質量差在(〃-b,〃+b)內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質量差在(〃+G〃+2b)內(nèi)的產(chǎn)品稱為一

等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取

1000件，測得產(chǎn)品質量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

頻率

麗

0.010

0.005

465666768696質量差（單位：mg）

⑴根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的標準差s近似值為10,用樣本平均數(shù)［作為〃的近似值，用

樣本標準差S作為b的估計值，記質量差服從正態(tài)分布xN(〃Q2),求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率尸;

(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布N3b2),貝UP(M-。<JW〃+。卜0.6827，尸(〃-2b<JW〃+2b卜0.9545,

P(〃-3cr<"〃+3<7)。0.9973.

(2)假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和〃(?>2,且”eN*)件一等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱

子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為A,否則該箱產(chǎn)品記為5.

①試用含”的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為3的概率。；

②設抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為5的概率為7?(〃)，求當"為何值時，"0取得最大值.

8.(2024上?廣東廣州?高三華南師大附中?？奸_學考試)記數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，且滿足

a\=L2S”-=n12.

⑴求數(shù)列%的通項公式；

]〃

⑵數(shù)列也｝滿足力=7，證明對任意“eN*,In("+1)+2(〃+])＜4+%+4+…+2WInw+1；

⑶某鐵道線上共有84列列車運行，且每次乘坐到任意一列列車的概率相等，設隨機變量X為恰好乘坐一次

全部列車所乘坐的次數(shù)，試估算旦到的值(結果保留整數(shù)).

84

參考數(shù)據(jù)：In2yo.6931,In3^1.0986,ln7?1.9459

9.(2023下?云南昆明?高二統(tǒng)考期末)某研究所研究某一型號疫苗的有效性，研究人員隨機選取50只小白

鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組，每組10只，觀察每組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)用隨機變量X,f=1,2,,5)表示

第i組被感染的白鼠數(shù)，并將隨機變量X,的觀測值％(，=1,2,-,5)繪制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖.若接種

疫苗后每只白鼠被感染的概率為P(Pe(0,1)),假設每只白鼠是否被感染是相互獨立的.記4為事件

"X,=%(z-=l,2,,5)”.

十感染只數(shù)

3-------------------r-1-i-

2一口

1-------|-r-|-|

12345%顛

⑴寫出尸(A)(用。表示，組合數(shù)不必計算)；

1s19

(2)研究團隊發(fā)現(xiàn)概率0與參數(shù)。(0＜。＜1)之間的關系為0=在統(tǒng)計學中，若參數(shù)。=%時的P

2645

值使得概率P(A4A4A)最大，稱。。是。的最大似然估計，求4.

10.（2023下?湖南邵陽?高二統(tǒng)考期末）新寧邕山景區(qū)是世界自然遺產(chǎn)、國家54級景區(qū)，其中"八角寨"景區(qū)

和“天下第一巷”景區(qū)是新寧度山景區(qū)的兩張名片.為了合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽“八角寨"景區(qū)且尚未

游覽"天下第一巷"景區(qū)的游客進行隨機調(diào)查，若不游覽"天下第一巷”景區(qū)記2分，若繼續(xù)游覽"天下第一巷”

景區(qū)記4分，假設每位游客選擇游覽"天下第一巷”景區(qū)的概率均為：，游客之間選擇意愿相互獨立.

⑴從游客中隨機抽取2人，記總得分為隨機變量X,求X的數(shù)學期望；

⑵（i）記A9eN*）表示“從游客中隨機抽取女人，總分恰為2左分”的概率，求｛"｝的前4項和；

（ii）在對游客進行隨機問卷調(diào)查中，記q,（"eN*）表示"已調(diào)查過的累計得分恰為2"分”的概率，探求為與

%5>2）的關系，并求數(shù)列｛4｝的通項公式.

專題05概率與數(shù)列、導數(shù)交匯問題（典型題型歸類訓練）

題型一：概率與數(shù)列

1.（2023?全國?統(tǒng)考模擬預測）遺傳學在培育作物新品種中有著重要的應用.已知某種農(nóng)作物植株有A4,

Aa,加三種基因型，根據(jù)遺傳學定律可知，A4個體自交產(chǎn)生的子代全部為A4個體，個體自交產(chǎn)生的

子代全部為用個體，4?個體自交產(chǎn)生的子代中，A4,Aa,aa,個體均有，且其數(shù)量比為1：2：1.假設每

個植株自交產(chǎn)生的子代數(shù)量相等，且所有個體均能正常存活.

（1）現(xiàn)取個數(shù)比為241的A4,Aa,加植株個體進行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基

因型為山，求該植株是由加個體自交得到的概率；

（2）己知基因型為A4的植株具備某種優(yōu)良性狀且能保持該優(yōu)良性狀的穩(wěn)定遺傳，是理想的作物新品種.農(nóng)科

院研究人員為了獲得更多的A4植株用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，將通過誘變育種獲得的植株進行第一次自交，根據(jù)

植株表現(xiàn)型的差異將其子代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第二次自交，再將第二

次自交后代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第三次自交……此類推，不斷地重復此操

作，從第"次自交產(chǎn)生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為A4的概率記為匕（“22且〃eN*）

①證明：數(shù)列］三多｝為等比數(shù)列；

②求/，并根據(jù)/的值解釋該育種方案的可行性.

【答案】（嗚

（2）①證明見解析；②證明見解析

【分析】（1）分析遺傳特性，求概率即可.

（2）①找到易求的紇，再利用遞推關系求解即可.②發(fā)現(xiàn)當實驗次數(shù)夠多時，概率趨近于1即可.

【詳解】（1）由題意得若對植株進行自交，產(chǎn)生A4,Aa,叫的概率比為121,

故在個數(shù)比為2：4：1的A4,Aa,或?植株個體進行自交時，

241

其親代A4,Aa,四的概率比為丁三：三，

777

121

而親代崗進行自交，產(chǎn)生A4,Aa,姐的概率比為三：三：三，

777

］_

故概率為4；］=；，

-X-+-2

747

（2）①記第"代A4的概率為紇，

子一代進行自交時=

子二代進行自交時為=71乂17+173=/

22Zo

QK_1o_1

故可遞推出紇=冒，易得《=匚/=否工，

而令S.=詈g=2"，而S"M=2"M,則有姿=2，

一M3〃

故數(shù)列為等比數(shù)列得證.

②由上問知6。=黑二=電空，且當〃—時，e-1,故該方案可行.

2.（2024上?山東威海?高三統(tǒng)考期末）甲、乙、丙3人做傳球練習，球首先由甲傳出，每個人得到球后都

等可能地傳給其余2人之一，設Pn表示經(jīng)過?次傳遞后球傳到乙手中的概率.

（1）求片，尸2；

（2）證明：⑶-白是等比數(shù)列，并求匕；

⑶已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且尸（Xj=l）=l_p（X,=0）=%,1=1,2,,〃，則E（￡x,）=￡a.記前"次

1=1i=l

（即從第1次到第〃次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為y,求E（y）.

11

【答案】（1）4=5,6=1

⑵證明見解析，p“

【分析】（1）分析已知計算即可得出結果；

（2）記4表示事件"經(jīng)過〃次傳遞后球傳到乙手中”，若4+1發(fā)生，則4一定不發(fā)生，貝|「與+1=（1-《）1,

變形可得即數(shù)列[匕是以，為首項，為公比的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的通

35J[3J62

項公式求解即可；

（3）結合第（2）問結論和題設條件，運用等比數(shù)列求和公式分組求和即可求解.

【詳解】（1）因為A表示經(jīng)過"次傳遞后球傳到乙手中的概率，

所以，第一次傳到乙手中的概率為：4=；,

第二次傳到乙手中的概率為：=

（2）記4表示事件"經(jīng)過n次傳遞后球傳到乙手中”,

若發(fā)生，則4一定不發(fā)生，

所以治=（1-用],即&=一卜,+：,

即又《十%

所以數(shù)列[工-!]是以，為首項，為公比的等比數(shù)歹U,

IJj62

所以只十O’即匕中總4-

（3）由題意，i次傳球后球在乙手中的次數(shù)匕，工服從兩點分布，且尸（X=1）=1-P（X=O）=￡,所以

住“=?”QN*.

E(Y)=E

i-1

由(2)可知，+-,

'2}3

n

+—

3

3.（2024上?山東淄博?高三統(tǒng)考期末）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘

揚奧林匹克和亞運精神，增強鍛煉身體意識，某學校舉辦一場羽毛球比賽.已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：

若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合

發(fā)球方.現(xiàn)甲、乙二人進行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往甲、乙兩名運動員對陣的比賽數(shù)據(jù)可知，若甲發(fā)球，

3241

甲得分的概率為g,乙得分的概率為二；若乙發(fā)球，乙得分的概率為二，甲得分的概率為規(guī)定第1回

合是甲先發(fā)球.

⑴求第3回合由甲發(fā)球的概率；

⑵①設第，回合是甲發(fā)球的概率為P，，證明：是等比數(shù)列；

②己知：若隨機變量X,服從兩點分布，且P（X,=1）=1—P（X：=0）=①，i=1,2,，則小才X）=，.若

\i=lJi=l

第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進行“個回合比賽后，甲的總得分的期望.

【答案】（唬

⑵①證明見解析；②;+[1-[g]

【分析】（1）通過設出事件，結合事件獨立的概率乘法公式計算即可;

31

(2)①通過題意得到0=初7+點1-0-)，進而構造等比數(shù)列進行證明即可;

②根據(jù)題意得到記第i回合甲得分為X，，顯然X,服從兩點分布，結合題目中的期望公式計算即可.

【詳解】(1)設"第3回合由甲發(fā)球"為事件A,

…332111

貝ljP（A）=_x_+_x_=——，

''555525

所以第3回合由甲發(fā)球的概率為￡

(2)①第也整2)回合是甲發(fā)球分兩種情況：

第一種情況為第回合是甲發(fā)球且甲得分，

第二種情況為第回合是乙發(fā)球且甲得分，

31

貝1JPt=~Pi-x+-(1-Pi-1)，

2112，

即Pt=~Pi+-，所以Pi-4:三Pji—鼻，，N2,

\1?1

又因為R-g=l-§=所以P,「§力。，

所以——\=-,i>2,

Pi-i

即是首項為g,公比為|的等比數(shù)列

②因為,是首項為g，公比為|■的等比數(shù)列，

同、112/2丫t2(2V11

所以。廠§=，即Bn仁J+§，

記第i回合甲得分為X,,顯然X,服從兩點分布，

且事件X,=1等價于第7+1回合是甲發(fā)球，故P(X,=1)=pM,

又因為求甲、乙連續(xù)進行w個回合比賽后，甲的得分為x=x+x?++X”,

所以E（X）=E[4xj=|>m=4

nn4

+—=—+—1

339

n4

故甲的總得分的期望為

31

【點睛】關鍵點點睛：本題考查數(shù)列與概率的綜合問題.關鍵點在于通過閱讀題目得到p,=|p,-i+-(I-A-1)

這一遞推式，進而構造等比數(shù)列進行求解.本題考查轉化與化歸能力、計算能力和閱讀與分析能力，屬于中

檔題.

4.(2024上?浙江溫州?高三統(tǒng)考期末)現(xiàn)有標號依次為1,2,〃的〃個盒子，標號為1號的盒子里有2

個紅球和2個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球.現(xiàn)從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再

從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進行到從n-1號盒子里取出2個球放入〃號盒子為止.

(1)當〃=2時，求2號盒子里有2個紅球的概率；

(2)當〃=3時，求3號盒子里的紅球的個數(shù)自的分布列；

⑶記〃號盒子中紅球的個數(shù)為X,,求X”的期望磯X“).

7

【答案】⑴石

⑵分布列見解析

⑶磯X")=2

【分析】(1)由古典概率模型進行求解；

(2)J可取1,2,3,求出對應的概率，再列出分布列即可；

⑶記為第〃("22)號盒子有三個紅球和一個白球的概率，則/=1,

O

2

或T為第22)號盒子有兩個紅球和兩個白球的概率，則可=],

則第”("22)號盒子有一個紅球和三個白球的概率為1-。恒-%,且

bn-X='履2+；。"-2+：(1-?！耙?-履2)(〃23),化解得或-=4履2+[即可求解.

522o2

C1C12

【詳解】(1)由題可知2號盒子里有2個紅球的概率為尸=言=3；

^-4°

(2)由題可知自可取1,2,3,

「2「2「21-J

c[cf-cfcf-36

C2

P（43）幸

J

尸g=2）=1-尸（4=1）一尸K=3）=4

lo

所以3號盒子里的紅球的個數(shù)月的分布列為

4123

7117

P

361836

(3)記為第號盒子有三個紅球和一個白球的概率，則％=：,

6

o11

或T為第〃(〃22)號盒子有兩個紅球和兩個白球的概率，則4=丁，b2=—,

3io

則第”("22)號盒子有一個紅球和三個白球的概率為1--2一，

211

且這一1=§么-2+?！ā?+萬(1-an-2~4-2)(〃23),

化解得%=白.一2+)

62

得%一|=。*一I]，偽一》

而4-±=貝U數(shù)歹為等比數(shù)歹力首項為4一3=二，公比為。，

56V5JI5J5156

n—1

1

所以a=2

51516

又由%=]??-2求得：

62"55(6_J

因此E(X“)=lx%_]+2X〃T+3x(1—a,-—2_])=3—2q=2.

【點睛】關鍵點點睛：記為第〃(〃上2)號盒子有三個紅球和一個白球的概率，則q=：,2T為第”(心2)

6

o11

號盒子有兩個紅球和兩個白球的概率，則4=丁，b2=—,則第〃(“22)號盒子有一個紅球和三個白球的概

318

711

率為1一%--膜1，且6,7=]限2+54,2+5。一%一2-履2)(〃^3),即可求解.

題型二：概率與導數(shù)

1.(2024上?湖南常德?高三統(tǒng)考期末)某企業(yè)對500個產(chǎn)品逐一進行檢驗，檢驗"合格”方能出廠.產(chǎn)品檢

驗需要進行三項工序A、8、C,三項檢驗全部通過則被確定為“合格"，若其中至少2項檢驗不通過的產(chǎn)品

確定為“不合格"，有且只有1項檢驗不通過的產(chǎn)品將其進行改良后再檢驗A、8兩項工序，如果這兩項全部

通過則被確定為“合格"，否則確定為"不合格".每個產(chǎn)品檢驗A、B、C三項工序工作相互獨立，每一項檢

驗不通過的概率均為p(0<P<1).

⑴記某產(chǎn)品被確定為"不合格"的概率為/(P),求/(：)的值；

(2)若不需要重新檢驗的每個產(chǎn)品的檢驗費用為120元，需要重新檢驗的每個產(chǎn)品兩次檢驗費用為200元.除

檢驗費用外，其他費用為2萬元，且這500個產(chǎn)品全部檢驗，該企業(yè)預算檢驗總費用(包含檢驗費用與其

他費用)為10萬元.試預測該企業(yè)檢驗總費用是否會超過預算？并說明理由.

【答案】⑴/(]1)=￡25

⑵預測不會超過預算，理由見解析.

【分析】(1)利用互斥事件的概率加法計算公式及獨立重復實驗的概率計算公式進行求解即可.

(2)根據(jù)給定條件，求出每個產(chǎn)品檢驗費用的數(shù)學期望表達式，通過構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)

性求最值即可.

【詳解】(1)依題意，每個產(chǎn)品首次檢驗被確定為"不合格〃的概率為C；p2(l-p)+C；p3,

首次檢驗有且只有1項檢驗不通過的產(chǎn)品再次檢驗被確定為"不合格"的概率為C；p(l-p)2[l-(l-p)2],

因此f(P)=C；p2(l-p)+C?3+c；p(l-p)2[l-(l-p)2]=-3p5+12/-17^+9^,

I95

所以=ff.

(2)設每個產(chǎn)品檢驗的費用為X元，則X的可能取值為120,200,

依題意，尸(X=2OO)=C；0(l—p)2,尸(X=120)=l-C；p(l-p)2,

則E(X)=200C；p(l-pl+120[l-C；p(l-]=120+240p(l-p)2,pe(0,1),

令函數(shù)g(x)=120+240Ml-x)2,xe(0,l),求導得g'(x)=240(3x—,

當0<x<g時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當g<x<l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

因此g(x)4gg)=T，即E(X)4等,

則該企業(yè)檢驗總費用的期望最大值為2+500x粵/10-4=年<10(萬元)，

所以預測不會超過預算.

【點睛】關鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，

相互獨立事件的積是解題的關鍵.

2.(2023,新疆?校聯(lián)考一模)某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機會獲得5分，10分或20分的積分，且每

次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為2p,p,l-3p[o<p<￡|,三次游

戲為一輪，一輪游戲結束后，計算本輪游戲總積分.

(1)求某人在一輪游戲中，累計積分不超過25分的概率(用含。的代數(shù)式表示)；

⑵當某人在一輪游戲中累計積分在區(qū)間(40,55)內(nèi)的概率取得最大值時，求一輪游戲累計積分的數(shù)學期望.

【答案】⑴26P3

,140

⑵§

【分析】（1）分析某人在一輪游戲中，累計積分不超過25分的情況，利用獨立事件與互斥事件的概率公

式，結合組合的思想即可得解.

（2）依題意得到累計積分在區(qū)間（40,55）內(nèi)的概率，構造函數(shù)/（。）=9（9/-6。2+。），利用導數(shù)求得當

P=g時滿足題意，進而得到X的所有可能取值，求得對應的概率，從而得解.

【詳解】（1）某人在一輪游戲中，累計積分不超過25分的情況為：

①三次游戲都獲得5分；②兩次游戲獲得5分，一次游戲獲得10分；③一次游戲獲得5分，兩次游戲獲

得10分；

所以其概率為：（20y+C；x（2p）2xp+C；x2pxp2=26p3.

（2）依題意，記一輪游戲累計積分為X,

而某人在一輪游戲中累計積分在區(qū)間（40,55）內(nèi)的情況有45分和50分兩種情況，

貝i」p（X=45）=C；x2px（l-3p）2,尸（X=50）=C；xpx（l-3p）2,

記某人在一輪游戲中累計積分在區(qū)間（40,55）內(nèi)的概率為/（p）,

貝廳（。）=《*3。*（1-3。）2=9（9加一602+。），0＜p＜1,

則廣（P）=9（27p2_i2p+l）=9（3p_l）（9p_l）,

令得。＜p＜）令f'（p）＜。，得

所以“P）在［。，J上單調(diào)遞增，在［，［上單調(diào)減；

所以當p=：時，/（P）取得最大值；

9

212

此時每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為

由題意可知X的所有可能取值為15,20,25,30,35,40,45,50,60,

P(X=20)=C；x(Z]x2=士,

'73(9)9243

p(X=30)=C；x

唳=4。)=《><4?

7黑()；4

p(X=45)=C；x§xPX=50=Cxgx

27

2

p(X=60)=IW

則X的數(shù)學期望為

84273Q2R48

15x—+20x——+25x—+30x—+35x—+40x—+45x—+50x—+60x—

7292432437298181272727

140

【點睛】關鍵點睛：本題解決的難點是分析得各個累計積分時的概率，從而得解.

3.（2023上?湖北?高三校聯(lián)考階段練習）有一位老師叫他的學生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，

期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結果，他的學生兩手空空走出麥田，因為他不知前面是否

有更好的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設該學生在麥田中

一共會遇到幾顆麥穗（假設〃顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為

了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥穗，現(xiàn)有如下策略：不摘前-IV左<〃）顆麥穗，自第％+1顆開始，

只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設左=例，該學生摘到那顆最大的

k]k幾

麥穗的概率為p.（取一Z二=一此7）

〃j=kJnk

（1）若〃=4,k=2,求尸；

⑵若及取無窮大，從理論的角度，求尸的最大值及尸取最大值時看的值.

【答案】⑴1

⑵尸的最大值為工，此時f的值為

ee

【分析】（1）由題意可知，要摘到那顆最大的麥穗，有兩種情況，最大的麥穗是第3顆和最大的麥穗是最

后1顆，分情況分析兩種情況的可能性，結合古典概型即可求出結果；

（2）記事件A表示最大的麥穗被摘到，根據(jù)條件概率和全概率公式求出尸（A）,再利用導數(shù)求出最值即可.

【詳解】（1）這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序，有A：=24種情況.

要摘到那顆最大的麥穗，有以下兩種情況：

①最大的麥穗是第3顆，其他的麥穗隨意在哪個位置，有A：=6種情況.

②最大的麥穗是最后1顆，第二大的麥穗是第1顆或第2顆，其他的麥穗隨意在哪個位置，有2A；=4種情

況.

故所求概率為等=3.

（2）記事件A表示最大的麥穗被摘到，事件約表示最大的麥穗在麥穗中排在第/顆.

因為最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，所以尸（功）=：

以給定所在位置的序號作為條件，P（A）=Jp（A|Bz.）P（B.）=l^P（A|B.）.

>1nj=l

當1W/W上時，最大的麥穗在前上顆麥穗之中，不會被摘到，此時尸(A[%)=0.

當上+1W/W”時，最大的麥穗被摘到，當且僅當前顆麥穗中的最大的一顆在前上顆麥穗中時,

此時P⑷鳥)=1丁

由全概率公式知尸(A)=—1￡?—k—=-”￡g-1=-kln-n.

〃六女+iJ-lnj=kJnk

令函數(shù)g(x)=2ln"(x>0),(gCx)=-ln---.

nxnxn

令g[x)=O,則x=，，

e

當時，g'(x)>0,當時;g'(x)<0,

所以g(x)在[o,[上單調(diào)遞增，在B，f上單調(diào)遞減.

所以gOOmax=gH]=]

所以當G=C,aA)=AIn/時取得最大值，最大值為工，止匕時r=L,

enkee

即產(chǎn)的最大值為此時t的值為J.

ee

三、專項訓練

1.(2023上?廣西柳州?高三柳州高級中學?？茧A段練習)假設L市四月的天氣情況有晴天，雨天，陰天三

種，第二天的天氣情況只取決于前一天的天氣情況，與再之前的天氣無關.若前一天為晴天，則第二天下雨

的概率為了，陰天的概率為了；若前一天為下雨，則第二天晴天的概率為了，陰天的概率為白若前一天為

4448

陰天，則第二天晴天的概率為;，下雨的概率為:；已知心市4月第1天的天氣情況為下雨.

(1)求心市4月第3天的天氣情況為晴天的概率；

⑵記凡為入市四月第九(〃eN+，”430)天的天氣情況為晴天的概率，

(i)求出的通項公式；

(ii)乙市某花卉種植基地計劃在四月根據(jù)天氣情況種植向日葵，為了更好地促進向日葵種子的發(fā)芽和生長,

要求提前3天對種子進行特殊處理，并盡可能地選擇在晴天種植.如果你是該花卉種植基地的氣象顧問，根

據(jù)上述計算結果，請你對該基地的種植計劃提出建議.

【答案】⑴凸

10

(2)(i)+1,MGN+,n<30;(ii)建議在四月第27天對種子進行特殊處理

【分析】(1)由題意可確定前一天天氣為晴，第二天為晴或宇或陰的概率以及前一天天氣為雨，第二天為

晴或雨或陰的概率以及前一天天氣為陰，第二天為晴或雨或陰的概率，由此根據(jù)第一天的天氣情況，即可

求出第二天每種情況的概率，即可求出第3天晴天的概率；

(2)(i)記分別為入市四月第〃(〃eN+，〃W30)天的天氣情況為晴天，雨天，陰天的概率，依題意

可求出遞推關系式為=：%_2,構造等比數(shù)列，即可求得。”的通項公式；

(ii)結合數(shù)列的單調(diào)性，可確定四月份天氣為晴的最大概率是第幾天嗎，由此可提出合理建議.

【詳解】(1)依題意，可列舉如下概率：前一天晴，第二天為晴!，雨:，陰

244

前一天為雨，第二天為晴I1,3雨(，陰3前一天為陰，第二天為晴I1,雨了1陰不5，

記4也,％分別為乙市四月第〃(〃eN+，〃V30)天的天氣情況為晴天，雨天，陰天的概率，則

111,1,311,35

=a,——\-7b,G?一劣--G?一，

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2121414241813