高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：計(jì)數(shù)原理及概率相關(guān)4種?？碱}型歸類（解析版）

專題05計(jì)數(shù)原理及概率相關(guān)4種?？碱}型歸類

題型歸納

排列組合相關(guān)問題

1.（21-22高二下.北京順義?期末）A；的值為（）

A.20B.10C.5D.2

【答案】A

【分析】由排列數(shù)定義計(jì)算.

【詳解】Af=5x4=20

故選：A.

2.（21-22高二下?北京順義?期末）已知某居民小區(qū)附近設(shè)有A,B,C,。4個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，居民可

以選擇任意一個(gè)點(diǎn)位去做核酸檢測(cè),現(xiàn)該小區(qū)的3位居民要去做核酸檢測(cè),則檢測(cè)點(diǎn)的選擇共有（）

A.64種B.81種C.7種D.12種

【答案】A

【分析】由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算.

【詳解】3位居民依次選擇檢測(cè)點(diǎn)，方法數(shù)為43=64.

故選：A.

3.（22-23高二下?北京?期末）某班級(jí)要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果

要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為

A.14B.24C.28D.48

【答案】A

【詳解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男兩種情況，

故不同的選派方案種數(shù)為=14.故選A.

法二：從4男2女中選4人共有C：種選法，4名都是男生的選法有（?：種，

故至少有1名女生的選派方案種數(shù)為=15-1=14.故選A

4.（22-23高二下?北京豐臺(tái)?期末）某人需要先從A地到8地，再同站轉(zhuǎn)車趕到C地，他能夠選擇

的高鐵車次的列車時(shí)刻表如下表所示，那么此人這天乘坐高鐵列車從A地到C地不同的乘車方案種

數(shù)為（）

A地至8地高鐵列車時(shí)刻表8地至C地高鐵列車時(shí)刻表

車次發(fā)車時(shí)間到站時(shí)間車次發(fā)車時(shí)間到站時(shí)間

G8707：0008：01G281108：2510：31

G9107：5508：56G65309：2411：13

G9309：0010：01G50110：2612：30

A.9B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)車次時(shí)間安排的合理性和分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.

【詳解】若從A地到2地選車次G87,則2地到C地可選車次G2811,G653,G501,共3種方

案；

若從A地到2地選車次G9L則B地到C地可選車次G653,G501,共2種方案；

若從A地到8地選車次G93,則8地到C地可選車次G501,共1種方案；

按照分類加法計(jì)數(shù)原理可得，此人這天乘坐高鐵列車從A地到C地不同的乘車方案種數(shù)為

3+2+1=6（種）.

5.（22-23高二下?北京大興?期末）從7本不同的書中選3本送給3個(gè)人，每人1本，不同方法的種

數(shù)是（）

A.C；B.A；

C.37D.73

【答案】B

【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)排列數(shù)的定義，

可得從7本不同的書中選3本送給3個(gè)人，每人1本，不同方法的種數(shù)是A；.

故選：B

6.（22-23高二下?北京朝陽(yáng)?期末）某學(xué)校4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)

只能去1個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.6B.12C.24D.36

【答案】D

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，先從4人中選出2人作為一組，有C：種方法，再與另外2人一起

進(jìn)行排列，有A；種方法，相乘即可得到答案.

【詳解】4名學(xué)生分到3個(gè)小區(qū)，每名同學(xué)只能去1個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，

；.4名同學(xué)不同的分組方法只能為2,1,1,

不同的安排方法有C：A；=6x6=36（種）.

故選：D.

7.（22-23高二下?北京通州?期末）4名學(xué)生與1名老師站成一排照相，學(xué)生請(qǐng)老師站在正中間，則

不同的站法種數(shù)為（）

A.12B.18C.24D.48

【答案】C

【分析】在老師左右兩邊的各兩個(gè)位置讓4名學(xué)生站即可作答.

【詳解】依題意，4名學(xué)生站在老師的左右兩邊的各兩個(gè)位置，

所以不同的站法種數(shù)為A：=24.

故選：C

8.（20-21高二下?北京豐臺(tái)?期末）某校開展“迎奧運(yùn)陽(yáng)光體育”活動(dòng)，共設(shè)踢理、跳繩、拔河、推火

車、多人多足五個(gè)集體比賽項(xiàng)目，各比賽項(xiàng)目逐一進(jìn)行.為了增強(qiáng)比賽的趣味性，在安排比賽順序

時(shí)，多人多足不排在第一場(chǎng)，拔河排在最后一場(chǎng)，則不同的安排方案種數(shù)為（）

A.3B.18C.21D.24

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，分析可得：“多人多足”有3種安排方法，再將踢建、跳繩、推火車安排在剩下

的3個(gè)位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，多人多足不排在第一場(chǎng)，拔河排在最后一場(chǎng)，

則“多人多足'’有3種安排方法，

將踢毯、跳繩、推火車安排在剩下的3個(gè)位置，有A；=6種安排方法，

則有3x6=18種安排方法.

故選：B.

9.（22-23高二下?北京海淀?期末）從A,氏這4本不同的文學(xué)讀物中選出3本分給甲、乙、丙3

名學(xué)生（每人一本）.如果甲不得A讀物，則不同的分法種數(shù)為（）

A.24B.18C.6D.4

【答案】B

【分析】按照A讀物是否被選出來進(jìn)行分類討論即可.

【詳解】若A讀物沒被選出，則選出的民讀物直接全排列分給3人，有A；=6種方法；

若A讀物被選出，然后選其他的讀物，有C；種，甲有2種讀物可選，其余兩本書全排列分給乙丙有

A；種方法,共2C；A；=12種.

故一共有18種.

故選：B

10.（22-23高二下?北京東城?期末）從集合｛1,2,3,4,5｝中選取兩個(gè)不同的元素，組成平面直角坐標(biāo)

系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則可確定的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【分析】根據(jù)排列數(shù)的概念運(yùn)算即可.

【詳解】從集合｛1,2,3,4,5｝中選取兩個(gè)不同的元素，組成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，

則可確定的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A；=20個(gè).

故選：C.

11.（22-23高二下?北京豐臺(tái)?期末）2023年5月18日至19日，首屆中國(guó)一中亞峰會(huì)在陜西西安成

功舉行.峰會(huì)期間，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)承擔(dān)A,B,C,D共4項(xiàng)翻譯工作，每名同學(xué)需承

擔(dān)1項(xiàng)翻譯工作，每項(xiàng)翻譯工作至少需要1名同學(xué)，則不同的安排方法有（）

A.480種B.240種C.120種D.4種

【答案】B

【分析】先用捆綁法分組，再排列求解即可；

【詳解】首先把5名同學(xué)轉(zhuǎn)化成4組，然后分給4項(xiàng)翻譯工作，

第一步：從5名同學(xué)中任意取出2名捆綁成1組，有C；種方法；

第二步：再把4組分給4項(xiàng)翻譯工作，有A：種方法，

由乘法原理，共有C；A：=240（種）方法；

故選：B.

12.（22-23高二下?北京?期末）5名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限

報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為（）

A.53B.于C.用D.C；

【答案】B

【解析】把不同的報(bào)名方法可分5步完成，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【詳解】由題意，不同的報(bào)名方法可分5步完成：

第一步：第一名同學(xué)報(bào)名由3種方法

第二步：第二名同學(xué)報(bào)名由3種方法

第三步：第三名同學(xué)報(bào)名由3種方法

第四步：第四名同學(xué)報(bào)名由3種方法

第五步：第五名同學(xué)報(bào)名由3種方法

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3x3x3x3x3=35種方法.

故選：B.

13.（22-23高二下?北京順義?期末）某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課.現(xiàn)要安排該班一天中

語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，

不同排法種數(shù)有（）

A.48種B.96種C.144種D.192種

【答案】D

【分析】先排數(shù)學(xué)、體育，再排其余4節(jié)，利用乘法原理，即可得到結(jié)論.

【詳解】由題意，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，有C；C；=8種，

再排其余4節(jié)，有A：=24種，

根據(jù)乘法原理，共有8?24192種方法，

故選：D.

14.（21-22高二下?北京海淀?期末）某班周一上午共有四節(jié)課，計(jì)劃安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育

各一節(jié)，要求體育不排在第一節(jié)，則該班周一上午不同的排課方案共有（）

A.24種B.18種C.12種D.6種

【答案】B

【分析】從4門學(xué)科的全排列數(shù)中去掉體育排第一節(jié)的排列數(shù)即可作答.

【詳解】語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育4門學(xué)科的全排列數(shù)為A：種，其中體育排在第一節(jié)的有A；種，

所以該班周一上午不同的排課方案共有A：-A；=18（種）.

故選：B

15.（21-22高二下?北京朝陽(yáng)?期末）在抗擊新冠疫情期間，有6名男生和5名女生共11名大學(xué)生

報(bào)名參加某社區(qū)疫情防控志愿服務(wù)，現(xiàn)從6名男生中選出2名組成一個(gè)小組，從5名女生中選出2

名組成一個(gè)小組，在周日的上午和下午各安排一個(gè)小組值班，則不同的排班種數(shù)為（）

A.75B.150C.300D.600

【答案】C

【分析】先分組，共有種分組方法，再分配到上午和下午，共有C2;A；種分配方法.

【詳解】解：共有C；C；A；=300（種），

故選：c.

16.（21-22高二下?北京豐臺(tái)?期末）某項(xiàng)活動(dòng)需要把包含甲，乙，丙在內(nèi)的6名志愿者安排到A,

B,C三個(gè)小區(qū)做服務(wù)工作，每個(gè)小區(qū)安排2名志愿者.已知甲必須安排在A小區(qū)，乙和丙不能安排

在同一小區(qū)，則不同安排方案的種數(shù)為（）

A.24B.36C.48D.72

【答案】A

【分析】分2種情況討論：①甲和乙丙中1人在A小區(qū)，②甲和其他三人中的1人在A小區(qū)，分別

求出每種情況下的安排方法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

甲和乙丙中1人在A小區(qū)，

此時(shí)A小區(qū)的安排方法有C；種，8小區(qū)的選法有C；種，則此時(shí)有C；xC：=12種安排分法，

甲和其他三人中的1人在A小區(qū)，

則乙丙兩人分別在8,C小區(qū)，有2種情況，將其他三人全排列，安排到三個(gè)小區(qū)，有A；=6種安

排方法，

則此時(shí)有2x6=12種安排方法；

故有12+12=24種安排方法；

故選：A.

17.（21-22高二下?北京順義?期末）某學(xué)校擬邀請(qǐng)5位學(xué)生家長(zhǎng)中的3位參加一個(gè)座談會(huì)，其中甲

同學(xué)家長(zhǎng)必須參加，則不同的邀請(qǐng)方法有種.

【答案】6

【分析】從剩下的四位家長(zhǎng)中選2位即可得.

【詳解】甲同學(xué)家長(zhǎng)必須參加，則還需從剩下的4位家長(zhǎng)中選2位，方法數(shù)為C：=6.

故答案為：6.

18.（22-23高二下?北京大興?期末）用數(shù)字1，2可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是.

【答案】16

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解.

【詳解】每個(gè)位置均可以是1或2,故可以組成2x2x2x2=16個(gè)四位數(shù).

故答案為：16.

19.（21-22高二下?北京?期末）某校抽調(diào)志愿者下沉社區(qū)，已知有4名教師志愿者和2名學(xué)生志愿

者,要分配到3個(gè)不同的社區(qū)參加服務(wù).每個(gè)社區(qū)分配2名志愿者，若要求兩名學(xué)生不分在同一社區(qū)，

則不同的分配方案有種.

【答案】72

【分析】利用分組分配的方法及間接法即得.

【詳解】有4名教師志愿者和2名學(xué)生志愿者，要分配到3個(gè)不同的社區(qū)參加服務(wù)，每個(gè)社區(qū)分配2

名志愿者，共有4y?8=90種分配方案,

若兩名學(xué)生分在同一社區(qū)，則有C；xC；=18種分配方案，

所以兩名學(xué)生不分在同一社區(qū)，則不同的分配方案有90-18=72種.

故答案為：72.

20.（22-23高二下?北京通州?期末）已知一個(gè)三位數(shù)，如果滿足個(gè)位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都大

于十位上的數(shù)字,那么我們稱該三位數(shù)為“凹數(shù)”,則沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

【答案】240

【分析】按照十位上的數(shù)字情況分類，結(jié)合排列問題列式計(jì)算作答.

【詳解】依題意，無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”，十位數(shù)字只能為L(zhǎng)2,3,4,5,6,7之一，

個(gè)位和百位上的數(shù)字為從比對(duì)應(yīng)十位數(shù)字大的數(shù)字中任取兩個(gè)進(jìn)行排列，

所以沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為：

A；+A；+A；+A；+A；+A；+A；+A；=72+56+42+30+20+12+6+2=240.

故答案為：240

21.（21-22高二下?北京豐臺(tái)?期末）由兩個(gè)“1”和兩個(gè)“2”組成的不同的四位數(shù)有個(gè).（用數(shù)

字作答）

【答案】6

【分析】利用列舉法求解

【詳解】當(dāng)首位為1時(shí)，有1122,1212,1221,有3個(gè)

當(dāng)首位為2時(shí)，有2211,2121,2112,有3個(gè)，

所以由兩個(gè)“1”和兩個(gè)“2”組成的不同的四位數(shù)有6個(gè)，

故答案為：6

22.（22-23高二下?北京東城?期末）某學(xué)校舉行男子乒乓球團(tuán)體賽，決賽比賽規(guī)則采用積分制，兩

支決賽的隊(duì)伍依次進(jìn)行三場(chǎng)比賽，其中前兩場(chǎng)為男子單打比賽，第三場(chǎng)為男子雙打的比賽，每位出

場(chǎng)隊(duì)員在決賽中只能參加一場(chǎng)比賽.某進(jìn)入決賽的球隊(duì)共有五名隊(duì)員，現(xiàn)在需要提交該球隊(duì)決賽的

出場(chǎng)陣容，即三場(chǎng)比賽的出場(chǎng)的隊(duì)員名單.

（1）一共有多少種不同的出場(chǎng)陣容？

（2）若隊(duì)員A因?yàn)榧夹g(shù)原因不能參加男子雙打比賽，則一共有多少種不同的出場(chǎng)陣容？

【答案】⑴60（2）36

【分析】（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，先安排前兩場(chǎng)比賽人員，再安排第三場(chǎng)的比賽人員；

（2）從隊(duì)員A上場(chǎng)和不上場(chǎng)來分類，分別求解，再利用分類加法原理可得答案.

【詳解】（1）出場(chǎng)陣容可以分兩步確定：

第1步，從5名運(yùn)動(dòng)員中選擇2人，分別參加前兩場(chǎng)男單比賽，共有A：種；

第2步，從剩下的3名運(yùn)動(dòng)員中選出兩人參加男雙比賽，共有C；種，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的出場(chǎng)陣容種數(shù)為N=A；xC；=60.

（2）隊(duì)員A不能參加男子雙打比賽，有兩類方案：

第1類方案是隊(duì)員A不參加任務(wù)比賽，即除了隊(duì)員A之外的4人參加本次比賽，只需從4人中選出

兩人，分別取參加前兩場(chǎng)單打比賽，共有A：種，剩余人員參加雙打比賽；

第2類方案是隊(duì)員A參加單打比賽，可以分3個(gè)步驟完成：

第1步，確定隊(duì)員A參加的是哪一場(chǎng)單打比賽，共2種；

第2步，從剩下4名隊(duì)員中選擇一名參加另一場(chǎng)單打比賽，共4種；

第3步，從剩下的3名隊(duì)員中，選出兩人參加男雙比賽，共有C；種，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，隊(duì)員A參加單打比賽的不同的出場(chǎng)陣容有2x4xC；種；

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，隊(duì)員A不參加男子雙打比賽的不同的出場(chǎng)陣容種數(shù)為

N=A：+2x4xC；=36.

I

題型02二項(xiàng)式定理

23.（21-22高二下?北京順義期末）（I-"的展開式中，爐的系數(shù)為（）

A.12B.-12C.6D.-6

【答案】C

【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，再代入計(jì)算可得；

【詳解】解：二項(xiàng)式（1-4展開式的通項(xiàng)為&=C；（T）’，

所以7；=瑪（一司2=6/,即/的系數(shù)為6；

故選：C

24.（21-22高二下?北京豐臺(tái)?期末）（x-2）3的展開式中彳2的系數(shù)是（）

A.-12B.12C.-6D.6

【答案】c

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求展開式的通項(xiàng)即可求解.

【詳解】（x-2）3的展開式的通項(xiàng)為：（M=C"31_2）'，令3-r=2nr=l,所以/的系數(shù)是:

C；（-2）'=-6

故選：C.

55432

25.（22-23高二下?北京石景山?期末）（x-2）=a5x+a4x+a3x+a2x+aix+a0,貝!J

%+/+/+&+%=（）

A.—32B.-31C.31D.32

【答案】C

【分析】利用賦值法可求出結(jié)果.

5432

［詳解］在2）5=a5x+a4x+a3x+a2x+%%+%中,

令尤=1,得—1=%+4］+%+%+%+%，

令％=0,得-32=%,

所以4+〃2+。3+。4+。5=—1+32=31.

故選:B.

26.（21-22高二下?北京?期末）（1-%）5的展開式中，d的系數(shù)為（）

A.-10B.10C.-1D.1

【答案】A

【分析】求出a-%）5的展開式為4+i=G?（-iy，，進(jìn)而即得.

r

【詳解】因?yàn)椋?-%）5的展開式為Tr+l=c;?（-i），，

令廠=3,所以/的系數(shù)為C；?（—1）3=—10.

故選：A.

27.（22-23高二下?北京大興?期末）（。+勿4的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為（）

A.1B.4

C.6D.12

【答案】c

【分析】展開式中共有5項(xiàng)，根據(jù)展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,

可得選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)檎归_式中共有5項(xiàng)，根據(jù)展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

所以第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即最大值為C；=6,

故選：C.

28.（21-22高二下?北京房山?期末）已知（2無(wú)+1）6=/+。逆+。2—+。3尤3+&尤5+&尤6，則％的

值為（）

A.6B.12C.60D.192

【答案】B

【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，再令6-r=l,求出廠，再代入計(jì)算可得；

【詳解】解：二項(xiàng)式（2x+l）6展開式的通項(xiàng)為&=晨（2%廠=晨26T.盧，，

令6-r=1,解得r=5,所以＜=CN-X=12X,所以q=12；

故選：B

29.（21-22高二下?北京東城?期末）［/+；：的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.30B.20C.15D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可

【詳解】卜+［展開式的通項(xiàng)公式為加=^門2廠出］令12—3r=0有廠=4,故

［x2+1J的展開式中常數(shù)項(xiàng)為C：=15

故選：C

30.（22-23高二下?北京?期末）在（尤-的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A.20B.-20C.160D.-160

【答案】D

【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后令x的指數(shù)為0,即可求出對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】解：二項(xiàng)式'一展開式的通項(xiàng)公式為2=墨.尸

令6-2廠=0,得r=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為（-2）3優(yōu)=-160.

故選：D.

31.（21-22高二下.北京?期末）食-!）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是：.（請(qǐng)用數(shù)字作答）

X

【答案】-20

nr

【詳解】Tr+l=C^（--Y=C；（—，

尤

令6—2r=0,貝”=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為-猥=-20.

32.（22-23高二下?北京海淀?期末）在（1+3x）4的展開式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】54

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解.

【詳解】（l+3x）4展開式的通項(xiàng)為：7；+1=C；（3x）\r=0,1,2,3,4,

由題意，取r=2,4=C：（3元產(chǎn)=541.

故答案為：54

33.（21-22高三下?遼寧朝陽(yáng)?開學(xué)考試）（6-2］的展開式中無(wú)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】-10

【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)，再令三=1,求出廠，再代入計(jì)算可得;

【詳解】解:展開式的通項(xiàng)為小=C。丁（一2丫，令=1,解得r=l,

所以5=C"（-2）|=-10*,故展開式中》的系數(shù)為-10；

故答案為：-10

34.（22-23高二下?北京石景山?期末）二項(xiàng)式卜-；］（〃eN*）的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則〃可以

為.（只需寫出一個(gè)符合條件的值即可）

【答案】3（答案不唯一，〃為3的倍數(shù)的正整數(shù)均可）

【分析】

在通項(xiàng)公式中，令x的指數(shù)為0,可求出結(jié)果

I=（-i）y.『母左二n,

【詳解】1M.0,1,2,L,

3

令=得2〃=3k,因?yàn)椋檎麛?shù)，〃為正整數(shù)，所以左為偶數(shù)，〃為3的倍數(shù)的正整數(shù).

故答案為：3（答案不唯一，"為3的倍數(shù)的正整數(shù)均可）.

35.（21-22高二下.北京?期末）在（x+^）6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

X

【答案】20

【解析】（x+與的展開式的通項(xiàng)為j=2/2，，取廠=3計(jì)算得到答案.

X

662r

【詳解】（x+/）6的展開式的通項(xiàng)為：7；+1=C；x-41Y=C；x-,取r=3得到常數(shù)項(xiàng)C；=20.

故答案為：20.

36.（22-23高二下?北京密云?期末）在（x+gj的展開式中，x的系數(shù)為；各項(xiàng)系數(shù)之和為.

（用數(shù)字作答）

【答案】1032

【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后令x的次數(shù)為1求出廠，再代入通項(xiàng)公式可求出x的

系數(shù)，令x=l可求出各項(xiàng)系數(shù)之和.

【詳解】卜+J，的展開式的通項(xiàng)公式為CM,

令5—2r=l,得r=2,所以x的系數(shù)為C；=10,

令尤=1,則（1+爐=32,所以各項(xiàng)系數(shù)之和為32,

故答案為：10,32

37.（21-22高二下?北京?期末）二項(xiàng)式（x+4）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）

X

【答案】160

【分析】寫出展開式的通項(xiàng)公式，令尤的指數(shù)為0,即可得到展開式的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】二項(xiàng)式1+勺的展開式的通項(xiàng)公式小=晨產(chǎn)，，晨2，1,

令6-2廠=0,得r=3,

則常數(shù)項(xiàng)為4=23籃=8乂丁==160,

3x2x1

故答案為：160.

38.（21-22高二下?北京朝陽(yáng)?期末）在，2+g］的展開式中，x的系數(shù)為；各項(xiàng)系數(shù)之和

為.（用數(shù)字作答）

【答案】1032

【分析】由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可知當(dāng)r=3時(shí)，可得x的系數(shù)；令x=l即可得到各項(xiàng)系數(shù)和.

【詳解】卜+［展開式通項(xiàng)為：c＞（x2rH=q.尤g,

令103=1,解得：r=3,???展開式中，x的系數(shù)為C；=10；

令x=l,則展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為25=32.

故答案為：10；32.

39.（22-23高二下?北京大興?期末）已知（％+2『=〃4/+〃3%3+〃2/+〃/+%.

⑴求。4+。2+。0的值；

（2）求（X-l）（x+2）4的展開式中含尤4項(xiàng)的系數(shù).

【答案】⑴41（2）7

【分析】（1）通過賦值1=1和％=—1,再將等式作和即可得到答案；

（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得到答案.

【詳解】（1）令兀=1得3,二%+的+出+4+^^①

令產(chǎn)一1得1=%-〃3+〃2-6+%.②

4

+②得3+1=2（〃4+。2+“0）-

34+1

即％+〃2+〃0=-------=41

（2）由題知0+2）4展開式通項(xiàng)為,2,0WTW4/￡N,

則。3=2C；=8,&=C；=1,

所以（X-1）（%+2）4的展開式中含一項(xiàng)的系數(shù)%-2=7.

5

40.（22-23jWj二下,北星順義?期末）已知（1+2%y=g+qx+a?/H-----1-a5x.

⑴求〃0；（2）求+〃3+。5.

【答案】⑴1（2）122

【分析】（1）利用賦值法令％=0求解即可；

（2）利用賦值法分別令x=l和產(chǎn)-1即可求解.

25

（詳解】（1）（1+2x）5=4+axx+a2x+.......+a5x

.,.令x=0,可得q=1

（2）令％=1,可得3，=%+/+%+。3+&+。5①

令X二—1,可得-1=〃0_%+〃2_〃3+〃4―〃5②

5

①式減②式可得，2（^+a3+^5）=3+l=244

/.4+%+%=122

50.（21-22高二下?北京順義?期末）已知上+:）的展開式中第2項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.

⑴求”的值；

（2）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；

（3）判斷展開式中是否存在常數(shù)項(xiàng)，并說明理由.

【答案】⑴5；（2）1024；（3）不存在.

【分析】（1）利用第2項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，列方程C：=C：,即可解得；（2）利用賦值

法令x=l代入可得；（3）利用通項(xiàng)公式列方程求解即可.

n2r

【詳解】（1）（尤的展開式的通項(xiàng)公式為心=€：;『彳口=ycnx--

Vxj\x）

因?yàn)檎归_式中第2項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以C；=C：,解得：〃=5.

（2）要求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，只需令x=l代入可得：（1+3）5=1024.

即展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1024.

(3)要求展開式中的常數(shù)項(xiàng)，只需在中，令5一2廠=0,而reN*,所以無(wú)解，即展開

式中不存在常數(shù)項(xiàng).

51.(21-22高二下?北京大興.期末)將二項(xiàng)式上x-1］展開，若展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為

64.

(1)求”的值；

(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).

【答案】⑴6(2)-160

【分析】(1)根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"即可得解；

(2)求出展開式的通項(xiàng)，令》的指數(shù)等于0,即可得解.

【詳解】(1)解：因?yàn)槎?xiàng)式"尤-11”展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,

所以2,=64,解得〃=6；

k

(2)解:的展開式的通項(xiàng)為(_琰.(2廣?；蛞?/p>

X)

令6—2k=0,貝U左=3,

所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(-1)、(2)3.晨=-160.

題型03條件概率及全概率公式應(yīng)用

52.(21-22高二下?北京豐臺(tái)?期末)同時(shí)拋擲一枚紅骰子和一枚藍(lán)骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記“紅

骰子向上的點(diǎn)數(shù)為1”為事件A,“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于6”為事件8,則P(冏A)=()

A.-B.-C.—D.—

361236

【答案】B

【分析】根據(jù)條件概率公式，即可求解.

【詳解】事件A包含6種基本事件，事件A8包含1個(gè)基本事件，

所以尸(引力=喟L]

故選：B

53.(22-23高二下?北京豐臺(tái)?期末)已知尸(4)=；,尸(A2)=g,那么尸(*A)=()

A.-B.-C.-D.-

6336

【答案】C

【分析】利用條件概率的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】因?yàn)槭?)=；,尸(A2)=；,

1

所以P(創(chuàng)A)=q^=J=；,故A,B,D錯(cuò)誤.

4A)￡J

2

故選：C.

54.(22-23高二下?北京?期末)已知有7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，每次從中隨機(jī)取出1

件產(chǎn)品，抽出的產(chǎn)品不再放回，那么在第一次取得次品的條件下，第二次取得正品的概率為()

A.-B.-C.-D.-

7336

【答案】B

【分析】

利用縮小事件空間來求解.

【詳解】第一次取得次品的條件下，第二次取產(chǎn)品時(shí)，共有6件產(chǎn)品，其中4件正品，所以第二次

42

取得正品的概率為乙=彳.

63

故選：B.

55.(22-23高二下.北京懷柔?期末)一個(gè)袋中裝有大小相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)在不放回的

取2次球，每次取出一個(gè)球，記“第1次拿出的是白球”為事件A,“第2次拿出的是白球”為事件5,

則尸(8A)=()

A.-B.—C.-D.y

41052

【答案】D

【分析】根據(jù)條件概率結(jié)合古典概型計(jì)算求解即可.

【詳解】由已知條件得尸⑷=g,P（M=言=5,

由條件概率公式可得

故選：D.

56.（22-23高二下?北京順義?期末）在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出

1道題，抽出的題不再放回.在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率是（）

A.1B.-C.—D.-

25104

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由條件概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)事件"第1次抽到代數(shù)題”，事件3="第2次抽到幾何題”，

3373

所以P（A）=〈P（A8）=『彳=歷,

故選：A

57.（21-22高二下.北京大興.期末）從生物學(xué)知道，生男孩和生女孩概率基本相等，都可以近似認(rèn)

為是，如果某一家庭中先后生了兩個(gè)小孩：當(dāng)已知兩個(gè)小孩中有女孩的條件下，兩個(gè)小孩中有男孩

的概率是（）

A.-B.-C.；D.-

4323

【答案】D

【分析】利用列舉法求出基本事件的個(gè)數(shù)，和兩個(gè)小孩中有男孩包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古

典概型即可求出兩個(gè)小孩中有男孩的概率.

【詳解】解：某個(gè)家庭中先后生了兩個(gè)小孩，已知兩個(gè)小孩中有女孩，

則基本事件有：

｛女女｝，｛男女｝,｛女男｝,共三種情況，

其中兩個(gè)小孩中有男孩包含的基本事件有2個(gè)，

2

???兩個(gè)小孩中有男孩的概率為尸=§.

故選：D.

58.（21-22高二下?北京?期末）根據(jù)超市統(tǒng)計(jì)資料顯示，顧客購(gòu)買產(chǎn)品A的概率為g,購(gòu)買產(chǎn)品B的

概率為:，既購(gòu)買產(chǎn)品A又購(gòu)買產(chǎn)品8的概率為：，則顧客購(gòu)買產(chǎn)品A的條件下購(gòu)買產(chǎn)品8的概率

48

為.

3

【答案】-/0.375

O

【分析】利用條件概率公式即得.

【詳解】記“顧客購(gòu)買產(chǎn)品A”為事件A,記“顧客購(gòu)買產(chǎn)品8”為事件B,

則尸（4）=：，尸（3）=；，尸（42）=!，

J4O

??")=鬻3

8

故答案為：

O

1Q

59.（22-23高二下?北京石景山?期末）已知尸（AB）=5，P（A）=^,則P（B|A）等于

【答案】j

O

【分析】直接根據(jù)條件概率公式求解可得結(jié)果.

1Q

【詳解】因?yàn)槭ˋB）=5,P（A）=-,

所以P（3⑶二逮/4

5

故答案為：.

6

60.（21-22高二下?北京平谷?期末）甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊一次，己知甲命中目標(biāo)的概率為0.6,

乙命中目標(biāo)的概率為0.5,已知目標(biāo)至少被命中1次，則乙命中目標(biāo)的概率為.

【答案】0.625/f

O

【分析】計(jì)算得到目標(biāo)至少被命中1次的概率、目標(biāo)至少被命中1次且乙命中目標(biāo)的概率，由條件

概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】解：記事件A為“乙命中目標(biāo)”，事件8為“目標(biāo)至少被命中1次”,

則尸（8）=1-（1-0.6）x（l-0.5）=0.8,

P(AB)=0.5x(1-0.6)+0.6x0.5=0.5,

P(A|B)=^^=—=0.625

P(B)0.8'

故答案為：0.625.

61.(22-23高二下?北京大興?期末)若尸(A)=0.6,P(B)=0.3,P(B|A)=0.2，則尸(AB)=；

P(AB)=.

339

【答案】0.12/—0.78/—

2550

【分析】根據(jù)概率乘法公式和加法公式即可求解.

【詳解】P(AB)=P(A)P(B\A)=0.6x0.2=0.12,

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.3-0.12=0.78.

故答案為：0.12；0.78

62.(22-23高二下?北京通州?期末)在2道代數(shù)題和3道幾何題中.每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽

出的題不再放回.設(shè)4=“第一次抽到代數(shù)題"，3="第二次抽到幾何題”.貝1尸(回)=;

網(wǎng)引力=.

33

【答案】—/0.3-/0.75

【分析】利用古典概率求出P(A),PG鉆)，再利用條件概率公式計(jì)算作答.

3

【詳解】依題意，P(A)=|^=|,尸(明=會(huì)爭(zhēng)=怖，所以P(B|A)=萼萼

C；5A；10P(A)24

5

33

故答案為：-；—

104

63.(22-23高二下?北京密云?期末)在5道試題中有2道代數(shù)題和3道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出

1道題，抽出的題不再放回，則第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率為；在第1次抽

到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為.

33

【答案】歷/0.3-/0.75

【分析】設(shè)事件A表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件B表示“第2次抽到幾何題”，然后利用古典概型

公式代入求解出尸(A)與P(AB),再代入條件概率公式即可求解.

【詳解】設(shè)事件A表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件2表示“第2次抽到幾何題”，

201013

則尸(4)=方=三，所以第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率為“42)=^^才.

DIU

在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為尸（8同=爺號(hào)=3

4

33

故答案為：--;—.

104

64.（21-22高二下.北京東城.期末）已知事件A,5相互獨(dú)立，P（A）=0.7,尸（5）=0.4,則

W.

2

【答案】0.4/y

【分析】求出A,8同時(shí)發(fā)生的概率，再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得，事件A,8相互獨(dú)立，

貝ijP(A5)=P(A)P(3)=0.7x0.4=0.28,

P(AB)_028

故尸（8同==04

P(A)0.7

故答案為：0.4

65.（21-22高二下?北京東城?期末）已知事件A,B相互獨(dú)立，P（A）=0.7,P（B）=0.4,則

尸W|A）=.

2

【答案】0.4/=

【分析】求出A8同時(shí)發(fā)生的概率，再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得，事件A,8相互獨(dú)立,

貝i|P(AB)=P(A)尸(3)=0.7x04=0.28,

故尸（則=翳=鞏

故答案為：04

66.（21-22高二下?北京昌平?期末）己知某手機(jī)專賣店只售賣甲、乙兩種品牌的智能手機(jī)，其占有

率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表所示.

品牌甲乙

占有率60%40%

優(yōu)質(zhì)率95%90%

從該專賣店中隨機(jī)購(gòu)買一部智能手機(jī)，則買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率是（）

A.93%B.94%

C.95%D.96%

【答案】A

【分析】利用全概率計(jì)算公式求得正確答案.

【詳解】買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率是0.6x0.95+0.4x0.9=0.93=93%.

故選：A

67.（22-23高二下?北京大興?期末）兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%,次品率為5%；第二批

占60%,次品率為4%.將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件，則這件產(chǎn)品不是次品的概率（）

A.0.956B.0.966

C.0.044D.0.036

【答案】A

【分析】設(shè)事件B為“取到的產(chǎn)品是次品“，1⑵為“取到的產(chǎn)品來自第i批”，利用全概率公式

可得P（⑻的值，再利用對(duì)立事件即可求解.

【詳解】設(shè)事件8為“取到的產(chǎn)品是次品"，A（i=L2）為“取到的產(chǎn)品來自第i批”.

貝||尸（4）=04,P（B|A）=0.05,P（A）=0.6,P（B|A）=0.04,

由全概率公式，可得

尸（3）=P（A）尸（B|A）+尸（4）尸（陰4）=0?4x0.05+0.6x0.04=0.044.

所以這件產(chǎn)品不是次品的概率為P⑻=1-尸⑻=1-0.044=0.956.

故選：A

68.（21-22高二下?北京房山?期末）有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠

生產(chǎn)的占70%.這兩個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為1%,2%,則從這批產(chǎn)品中任取一件，該產(chǎn)品是次品

的概率是（）

A.0.015B.0.03C.0.0002D.0.017

【答案】D

【分析】設(shè)事件A為“任取一件為次品”，事件B,為“任取一件為i廠的產(chǎn)品“，i=l,2,利用全概率

公式P（A）=尸（A@）P（H）+P（A|82）P（曲）即得解

【詳解】設(shè)事件A為“任取一件為次品”，

事件Bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品“，i=l,2,

則—HUM且即&互斥，

易知P(B/)=0.3,尸32)=0.7,P(A\Bi)=O.Ql,P(A|B2)=0.02,

.?.P(A)=P(A|B/)P(B/)+P(A|B2)尸(82)=0.01x0.3+0.02x0.7=0.017.

故選：D

69.(21-22高二下?北京東城?期末)將若干紅球與黃球放進(jìn)一個(gè)不透明的袋子中，這些球的大小與

重量完全相同.己知袋子中紅球與黃球個(gè)數(shù)之比為6:4,其中;的紅球印有商標(biāo)，:的黃球印有商標(biāo).

現(xiàn)從袋子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，則小球印有商標(biāo)的概率為.

【答案】|

【分析】本題考查全概率公式理解與應(yīng)用，小球印有商標(biāo)有兩個(gè)來源，其一是紅球印有商標(biāo)，其二

是黃球印有商標(biāo)，根據(jù)題意分別計(jì)算其概率，根據(jù)全概率公式計(jì)算印有商標(biāo)的概率.

【詳解】設(shè)抽取一個(gè)小球?yàn)榧t球?yàn)槭录?,紅球印有商標(biāo)為事件