高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：排列組合與二項(xiàng)式定理?？夹☆}（20個(gè)考點(diǎn)）（講義）（解析版）

專題19排列組合與二項(xiàng)式定理?？夹☆}

【目錄】

考點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理之特定項(xiàng)、三項(xiàng)式問題.......................................................7

考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理之系數(shù)和問題...............................................................8

考點(diǎn)三：二項(xiàng)式定理之系數(shù)最值問題............................................................11

考點(diǎn)四：特殊優(yōu)先與正難則反策略..............................................................12

考點(diǎn)五：相鄰問題與不相鄰問題.................................................................13

考點(diǎn)六：列舉法...............................................................................14

考點(diǎn)七：定序問題（先選后排）.................................................................16

考點(diǎn)八：多面手問題..........................................................................18

考點(diǎn)九：錯(cuò)位排列問題.........................................................................19

考點(diǎn)十：涂色問題............................................................................20

考點(diǎn)十一：分組與分配問題....................................................................23

考點(diǎn)十二：隔板法............................................................................24

考點(diǎn)十三：查字典問題.........................................................................25

考點(diǎn)十四：分解法模型與最短路徑問題...........................................................26

考點(diǎn)十五：構(gòu)造法模型和遞推模型..............................................................28

考點(diǎn)十六：環(huán)排與多排問題....................................................................30

考點(diǎn)十七：配對(duì)型模型.........................................................................31

考點(diǎn)十八：電路圖模型.........................................................................32

考點(diǎn)十九：機(jī)器人跳動(dòng)模型....................................................................33

考點(diǎn)二十：波浪數(shù)模型.........................................................................34

排列組合與二項(xiàng)式定理是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主,

以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng).本節(jié)內(nèi)容與生活實(shí)際聯(lián)系緊密，考生可適

當(dāng)留意常見的排列組合現(xiàn)象，如體育賽事排賽、彩票規(guī)則等，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維意識(shí).

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

【命題預(yù)測(cè)】

2023年北京卷第5題，4分預(yù)測(cè)2024年高考，多以小題形式

2023年天津卷第11題，5分出現(xiàn)，也有可能會(huì)將其滲透在解答

二項(xiàng)式定理

2022年I卷第13題，5分題的表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立.具體估

2021年浙江卷第13題，6分計(jì)為：

(1)以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，

2023年乙卷第7題，5分考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推

2023年n卷第3題，5分理與數(shù)學(xué)運(yùn)算四大核心素養(yǎng).

排列組合2023年I卷第13題，5分(2)熱點(diǎn)是利用二項(xiàng)式定理求系

2022年n卷第5題，5分?jǐn)?shù)和問題以及利用排列組合解決

2021年乙卷第6題，5分生活問題.

二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

排列組合與二項(xiàng)式定理

排列的定義

排列組合

組合的定義

1、如圖，在圓中，將圓分〃等份得到〃個(gè)區(qū)域M2,M3,■■■,Mn(n..2),現(xiàn)取代t..2)種顏色對(duì)

這n個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有（-以（4-1）+（左-1）"種.

2、錯(cuò)位排列公式￡>“=（之注~+1）?加

4=1，八

3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)

（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要

表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”

原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，

應(yīng)分類討論.

4、定位、定元的排列問題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，

被限制的位置稱為特殊位置.這一類問題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；

（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù).

5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將〃個(gè)不同元素排成一排，其中某七個(gè)元素排在相鄰

位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這左個(gè)元素“捆綁在一起“，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其

他元素一起排列，共有4；二3種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有A：種排法.根

據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,符合條件的排法共有413.履種.

6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將〃個(gè)不同元素排成一排，其中某上個(gè)元素互不相

鄰（左左+1）,求不同排法種數(shù)的方法是：先將（〃-左）個(gè)元素排成一排，共有種排法；然后把左

個(gè)元素插入“-無+1個(gè)空隙中，共有種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有

娼《川種?

7、解決排列、組合綜合問題時(shí)需注意“四先四后”：

（1）先分類，后分步：某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類，再由分類加法計(jì)數(shù)原理解決或分

成若干步，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理解決.常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步.

（2）先特殊，后一般：解排列、組合問題時(shí)，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮

其他情形.

（3）先分組，后分配：對(duì)不同元素且較為復(fù)雜的平均分組問題，常?！跋确纸M，再分配”.

（4）先組合，后排列：對(duì)于既要選又要排的排列組合綜合問題，常常考慮先選再排.

8、求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)的方法

求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)=Cra--rbr的特點(diǎn)，一般需要建立方程求r,再將r

的值代回通項(xiàng)求解，注意r的取值范圍（r=aL2L,〃）.

（1）第加項(xiàng)：止匕時(shí)r+l=m，直接代入通項(xiàng)；

（2）常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)?，令通?xiàng)中“變?cè)钡谋┲笖?shù)為。建立方程；

（3）有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡哪贾笖?shù)為整數(shù)建立方程.

特定項(xiàng)的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.

9、賦值法研究二項(xiàng)式的系數(shù)和問題

“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如（依+b/,（ax2+bx+cy\a,b,cwR）的式子

求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=l即可；對(duì)形如（ax+加）"（a,beR）的式子求其展開式

各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令》=y=l即可.

10、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法

U）若〃是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)（第2+1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大；

2

（2）若〃是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)（第—項(xiàng)與第3+1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等數(shù)最大.

22

1.（2023?北京）（2工-工）5的展開式中，x的系數(shù)是（）

X

A.-40B.40C.-80D.80

【答案】D

【解析】由二項(xiàng)式定理可知（2%-1）5展開式的第廠+1項(xiàng)

X

5rrr552r

Tr+i=CJ（2x）-（--）=（-D2-''C；x-,（r=0,1,5）

X

令5—2廠=1,可得r=2.即含x的項(xiàng)為第3項(xiàng)，

.?.Z=80x,故x的系數(shù)為80.

故選：D.

2.（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同

的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：C：=120.

故選：C.

3.（2023?新高考II）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)

查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則

不同的抽樣結(jié)果共有（）

A.謂種B.璨y。種

c.C：1C鼠種D.C：MC乳種

【答案】D

【解析】初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生，

人數(shù)比例為400:200=2:1,

則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，

則有c：Mc鼠種?

故選：D.

4.（2022?新高考n）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，

則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】把丙和丁捆綁在一起，4個(gè)人任意排列，有&-駕=48種情況，

甲站在兩端的情況有C；用&=24種情況，

.?.甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有48-24=24種，

故選：B.

5.（2021?乙卷）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每

名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【解析】5名志愿者選2個(gè)1組，有C；種方法，然后4組進(jìn)行全排列，有種，

共有=240種，

故選：C.

6.（2023?天津）在（2X3-」）6的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.

X

【答案】60.

【解析】二項(xiàng)式（2尤3」）6的展開式的通項(xiàng)為Tr+l=C；（2x3）6,（-與=c；-26T?（_x）r,"8一4"

XX

令18-4廠=2得，r=4,

犬項(xiàng)的系數(shù)為C；?2?義（-1）4=60.

故答案為：60.

7.（2022?新高考I）（1-馬（尤+?的展開式中Vy6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

X

【答案】「28.

【解析】（x+y）8的通項(xiàng)公式為=

當(dāng)廠=6時(shí)，尤2y6,當(dāng)廠=5時(shí)，（=C江3y5,

（1一2）（X+y）8的展開式中Vy6的系數(shù)為Cl-Cl=*--2=28-56=-28.

故答案為：-28.

43

8.（2021?浙江）已知多項(xiàng)式（X-1），+（元+1）=犬+OjX+a,尤2+a3x+a^,貝!j%=；

a2+a3+%=?

【答案】5；10.

【解析】％即為展開式中V的系數(shù)，

所以q=C；（-1）°+C；=5；

令龍=1,則有1+q+/+%+4=（1一I），+（1+1）4=16,

所以%+%+。4=16—5—1=10.

故答案為：5；10.

9.（2023?新高考I）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門

或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】64.

【解析】若選2門，則只能各選1門，有C：C；=16種，

如選3門，則分體育類選修課選2,藝術(shù)類選修課選1,或體育類選修課選1,藝術(shù)類選修課選2,

貝情C；C：+C；C[=24+24=48,

綜上共有16+48=64種不同的方案.

故答案為：64.

考點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理之特定項(xiàng)、三項(xiàng)式問題

題型特訓(xùn)

[例1]（2024?陜西寶雞?統(tǒng)考一模）口2-1；展開式中的第四項(xiàng)為（）

A.160x3B.-160/C.240D.-240

【答案】B

【解析】3-]展開式的通項(xiàng)公式為心=《（/尸（_2『/=（-2）七55,

所以V=（-2）3C：產(chǎn)3*3=（-8）X20X3=760x3,

故選：B

【變式1-1]（2023?上海奉賢?統(tǒng)考一模）若.+[+￡|“（2VyO,〃eN）的展開式中存在常數(shù)項(xiàng),

則下列選項(xiàng)中”的取值不可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】由題意得的展開式為卻產(chǎn)&/1-2）%口=C；（-2）*f,

[x+j的展開式為K+i=C》Tx-*=C"7*,

要使、4j+[x+￡f的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，

貝ij〃-3〃=0或〃一2左=0,

所以可得〃的值可能是3,4,6,不可能是5.

故選：C.

【變式1-2］（2024?河南?高三河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹?x-y）（2x+y）s的展開式中，Yy3的系數(shù)為（）

A.200B.40C.120D.80

【答案】B

【解析】（3%-/2彳+城=3X（2%+,丫-y（2x+y）s,

而（2x+y）s展開式的通項(xiàng)為=C（2x）"爐,

所以當(dāng)左=3時(shí)，的系數(shù)為3XC；22=120,

當(dāng)上=2時(shí)，%3丫3的系數(shù)為TXC；23=-80,

所以dV的系數(shù)為120-80=40,

故選：B

【變式1-3］（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在］尤+1一g：的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.721B.-61C.181D.-59

【答案】D

【解析】?.{x+l-1j=（x+D-g6的展開式的通項(xiàng)公式為

6r6rlr

Tr+l=Cg（x+1）-Cg（-2）（x+l）x,

其中（x+6廣的展開式的通項(xiàng)公式為，u=,

當(dāng)r=0時(shí)，6-r-k=0,:.k=6,常數(shù)項(xiàng)為C：C式-2）°；

當(dāng)r=l時(shí)，6—r—k=2,.".k=3,常數(shù)項(xiàng)為C；C：（―2）；

當(dāng)r=2時(shí)，6-r-k=4,:.k=0,常數(shù)項(xiàng)為C^C；（―2丫；

故常數(shù)項(xiàng)為C°C^（-2）°+C：C；（-2）+或C：（-2『=-59.

故選：D

考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理之系數(shù)和問題

一題型特訓(xùn)

o23

【例2】（多選題）（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）已知（l-2x）2°23=%+"+火爐+…+o2023d，則（）

A.展開式中所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為22。23B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)

011?]—]“2023=]

D.q+22+3a3+,??+2023。2（）23=—4046

2222322023

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A：展開式中所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為2g3,正確；

對(duì)于B：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，C；*；=C軸且是二項(xiàng)式系數(shù)中最大的兩項(xiàng)，于是展開式中二項(xiàng)式系數(shù)

最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)和第1013項(xiàng)，錯(cuò)誤；

對(duì)于c：取尤=0,得取］=；,得0=々+g+冬—卜歌；,

2222

故爭(zhēng)與+墨+???+黑=T，正確;

對(duì)于D：等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得至IJT046?！?#2°22=6+24兀+…+2023%）23X2°22，

取1=1,得q+2a2+3。3-----2023。2023=—4046,正確.

故選：ACD

9

【變式2.1］（多選題）（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知（1-x）9=%+%%+%兀2H-----F?9x,則（）

A./=1

B.。］+%+。3+,,?+%=0

C.q+g+%+%+“9=—256

D.2al+22%+2^/+,??+佝=-2

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,令％=0,則4=1，所以A正確，

對(duì)于B,令％=1,貝lj%+q+4+4-----F佝=。，

因?yàn)?=1,所以q+%+〃3+…+%=-1，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,令X——1,貝|J〃0—%+〃2—〃3------%=，

因U-Q+q+a2+q+,,,+。9=0，

所以2（q+生+%+%+%）=~2^,

所以％+/+/+%+%=-2*=-256,所以C正確，

對(duì)于D,令x=2,貝I%+2q+2?%+2?q+…+2。佝=—1,

因?yàn)?=1,所以2q+22a2+2）3+?-+2%9=-2,所以D正確，

故選：ACD.

【變式2?2］（多選題）（2024?河北石家莊-高三河北新樂市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若

5345

（1—2x）=a0+axx+a2x^+a3x+a4x+a5x,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a0=lB.%=32

C.+1%］+Nl+1"/+1%|=3，D.%+q+26f2+3%+4a4+5%=—10

【答案】AC

2

【解析】由（1一2%）5=%+Q］無+a^X+/光3+/J+/尤5,

對(duì)于A中，令x=0,可得g=1,所以A正確；

對(duì)于B中，由二項(xiàng)式(1-2邸展開式的通項(xiàng)為=C)(-2"=(-2)JCK，

令，=5,可得”=(-2)5.C*5=-32/，所以B錯(cuò)誤;

對(duì)于C中，由展開式的通項(xiàng)知：

當(dāng)r=0,2,4時(shí)，可得展開式的系數(shù)為正值，當(dāng)廠=1,3,5時(shí)，可得展開式的系數(shù)為負(fù)值；

1

所以|+1/I++1051=%—%+a>一/+%一。5+4，

令X=-1,可得4—%+—%+。4-。5+。6=3,,

即國(guó)+同+同+同+㈤+1%|=3,,所以C正確；

2345

對(duì)于D中，由(1—2尤y=4+alx+a2x+a3x+a4%+a5x,

234

兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得-10x(l-2尤J=a1+2a2x+3a3x+4i/4x+5。$尤，

令"x=1,可*彳導(dǎo)q+2a②+3a3+4a4+5%=—10,

又由/=1,所以/+%+2%+3a3+4%+5%=-9,所以D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【變式2-3](多選題)(2024?重慶?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)己知

024220232024

(1-2x)*=a0+a^x+a^x+L+a2O^3x+a20-,4x，則()

A.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)

B.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1

C幺+竺+%+L|"2023]。2024=]

*222232202322024

D.Q]+2。2+3。3+L+2023^2023+2024。2()24=4048

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,由二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大為C；黑，易知應(yīng)為第1013項(xiàng)，即

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令％=1,可得(1-2)=%+%+%+L+/023+“2024=1，即展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，可得B

正確；

1(1\2024

對(duì)于C,令x=°,可得%=1,令尤=5,可得=%+｝與+L+黑+黃=0,

所以票+梟+果+L+簫+然=一1，即C正確；

2023

對(duì)于D,將等式(1-2力2°24=aQ-^-aix+a2x+L+(22023^+。2024/°24兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，

2023l20222023

2024X(-2)(1-2X)=^+2a2x+L+2023^2023x+20244Z2024x,

再令1=1,可得q+2%+3%+L+2023%023+2024%024=4048,即D正確.

故選：BCD

考點(diǎn)三：二項(xiàng)式定理之系數(shù)最值問題

【例3】（2024?山東日照?高三山東省五蓮縣第一中學(xué)?？迹┑恼归_式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二

項(xiàng)式系數(shù)相等，則［的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】1792

【解析】由C：=C:得〃=8,

所以的展開式的通項(xiàng)為J=C；.（一2?=C；.2）'.”-6,

當(dāng)展開式的項(xiàng)的系數(shù)最大時(shí)，『為偶數(shù)，

比較C；（—2）°=l,C；（-2?=112,此（-2『=1120,C；（-22=1792,C8（-2）8=256,

所以當(dāng)r=6時(shí)，展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大，該項(xiàng)系數(shù)為1792.

故答案為：1792.

【變式3-1］（2024?海南海口?海南華僑中學(xué)?？家荒＃┰冢▁+l）4（y+z『的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)

為.

【答案】120/）^3

【解析】因?yàn)椋╔+1），的通項(xiàng)為C%-,（y+z『的通項(xiàng)為CRl"

V（x+l）4展開式系數(shù)最大的項(xiàng)為=6尤2,

（y+z『展開式系數(shù)最大的項(xiàng)為C：yV=20y3z3,

...在（x+l）4（y+z）6的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為120尤2氏3.

故答案為：120/y3z3.

【變式3-2］若展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

為.（用數(shù)字作答）

【答案】28

【解析】因?yàn)檎归_式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2,=256,解得〃=8,

則展開式為2,r=0,1,2,???,8，

=—38^Tx

cr

可得第，+1項(xiàng)的系數(shù)為%+1=吳,r=042,.-,8,

rir+1

c,8

%+i>a聲7-r

、r+2，即VI，角星得廠=6,

%2%G18

9^7

所以展開式中第7項(xiàng)系數(shù)最大，其二項(xiàng)式系數(shù)為C；=28.

故答案為：28.

考點(diǎn)四：特殊優(yōu)先與正難則反策略

■k題型特訓(xùn)

［例4］（2024?浙江?高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考）從2位男生，4位女生中安排3人到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每

個(gè)場(chǎng)館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（）種.

A.16B.20C.96D.120

【答案】C

【解析】若選一男兩女共有：C；C；A；=72；

若選兩男一女共有：C；C；A：=24；

因此共有96種，

故選：C

【變式4-1］（2024?甘肅蘭州?高二蘭州一中校考）4張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1,2；1,3；4,5；

6,7.將這4張卡片排成一排，可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.288B.336C.368D.412

【答案】B

【解析】當(dāng)四位數(shù)不出現(xiàn)1時(shí)，排法有：C；xC；xA：=96種；

當(dāng)四位數(shù)出現(xiàn)一個(gè)1時(shí)，排法有：2xC；xC；xA：=192種；

當(dāng)四位數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)1時(shí)，排法有：C；xC；xA；=48種；

所以不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)共有：96+192+48=336.

故選：B.

【變式4-2］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人

相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（）.

A.1860種B.3696種C.3600種D.3648種

【答案】D

【解析】7個(gè)人從左到右排成一排，共有4=5040種不同的站法，其中甲、乙、丙3個(gè)都相鄰有崗春=720

種不同的站法，甲站在最右端有&=720種不同的站法，甲、乙、丙3個(gè)相鄰且甲站最右端有用閔=48種

不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有5040-720-720+48=3648

種不同的站法.

故選：D

【變式4-3】某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教

師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種

A.9B.36C.54D.108

【答案】C

【解析】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，不同的

選派方案有A；種，

選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有A；種，

所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有A；-A：=54種

故選：C

考點(diǎn)五：相鄰問題與不相鄰問題

■k題型特訓(xùn)

【例5】（2024?江蘇連云港?高三?？茧A段練習(xí)）2023年11月12日，連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高品質(zhì)特色

發(fā)展暨百年校慶大會(huì)隆重舉行，贛馬高中建校100周年文藝演出中有四個(gè)節(jié)目：《腰鼓：千年回響》、《歌伴

舞：領(lǐng)航》、《器樂：蘭亭序》、《情景?。何覀兣隳阆蚯白摺匪膫€(gè)節(jié)目，若要對(duì)這四個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，要求

《腰鼓：千年回響》與《歌伴舞：領(lǐng)航》相鄰，則不同的排列種數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】12

【解析】由于《腰鼓：千年回響》與《歌伴舞：領(lǐng)航》相鄰，所以兩者“捆綁”，則不同的排列種數(shù)為A；A；=12

種.

故答案為：12

【變式5-1］（2024?江西九江?高三?？茧A段練習(xí)）由1,2,3,4,5,6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，

要求奇數(shù)1,3,5兩兩不相鄰，但1和2必須相鄰，這樣的六位數(shù)共有個(gè).

【答案】72

【解析】根據(jù)題意1和2必須相鄰，將“12”或“21”看成一個(gè)整體與4、6全排列，

排好后，要求奇數(shù)1,3,5兩兩不相鄰，則有3個(gè)空位可選，再將“3”和“5”插入到3個(gè)空位中，

所以有2A；A；=72種，即滿足條件的六位數(shù)共有72種，

故答案為：72

【變式5-2］（2024?全國(guó)?高三統(tǒng)考競(jìng)賽）某班一天上午有語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、歷史5節(jié)課，現(xiàn)要

安排該班上午的課程表，要求歷史課不排在第一節(jié)，語文課和數(shù)學(xué)課相鄰，不同的排法總數(shù)是

【答案】36

[解析】將語文課和數(shù)學(xué)課作排列有A；=2種，

再把語文課和數(shù)學(xué)課作為整體，與除歷史課外的其它2節(jié)課作全排列有A；=6種，

由上得到4個(gè)空，最后把歷史課插入后3個(gè)空有C；=3種，

綜上，共有2x6x3=36種.

故答案為：36

考點(diǎn)六：列舉法

【例6】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方

形ABCD（邊長(zhǎng)為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向行走了

幾個(gè)單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為，（，=1,2,…,6）,則棋子就按逆時(shí)針方向行走i個(gè)單位，一直循環(huán)下去.則某人拋

擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)A處的所有不同走法共有（）

A.21種B.22種C.25種D.27種

【答案】D

【解析】由題意，正方形ABCD的周長(zhǎng)為8,拋擲三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為8或16,

①點(diǎn)數(shù)之和為8的情況有：1,1,6；1,2,5；1,3,4；2,2,4；2,3,3,排列方法共有C；+看+看+C；+C；=21種；

②點(diǎn)數(shù)之和為16的情況有：4,6,6；5,5,6,排列方法共有C：+C；=6種.

所以，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)A處的所有不同走法共有21+6=27種.

故選：D.

【變式6-1]（2024?河北?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從1,2,3,…,100這100個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)抽取三

個(gè)不同的數(shù)，這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為M，隨機(jī)抽取四個(gè)不同的數(shù)，這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為N,

則N”的后兩位數(shù)字為（）

A.89B.51C.49D.13

【答案】C

【解析】解:由題知，當(dāng)抽取三個(gè)不同的數(shù),成等差數(shù)列時(shí)，記公差為d,

當(dāng)4=1時(shí)，數(shù)列可為：

{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},…,{98,99,100}共計(jì)98個(gè),

當(dāng)d=2時(shí)，數(shù)列可為:

{1,3,5},{2,4,6},{3,5,7},{4,6,8},…,{96,98,100}共計(jì)96個(gè),

當(dāng)d=3時(shí)，數(shù)列可為:

{1,4,7},{2,5,8},{3,6,9},…,{94,97,100}共計(jì)94個(gè),

L

當(dāng)d=48時(shí)，數(shù)列可為:

{1,49,97},{2,50,98},{3,51,99},{4,52,100)共計(jì)4個(gè),

當(dāng)d=49時(shí)，數(shù)列可為:

{1,50,99},{2,51,100}共計(jì)2個(gè),

故M=98+96+94+-.+4+2

49(98+2).0,

2

當(dāng)抽取四個(gè)不同的數(shù)，成等差數(shù)列時(shí)，記公差為4,

當(dāng)4=1時(shí)，數(shù)列可為：

{1,2,3,4},{2,3,4,5},{3,4,5,6},{97,98,99,100}共計(jì)97個(gè)，

當(dāng)4=2時(shí)，數(shù)列可為：

{1,3,5,7},{2,4,6,8},{3,5,7,9},{4,6,8,10},{94,96,98,100}共計(jì)94個(gè),

當(dāng)4=3時(shí)，數(shù)列可為：

{1,4,7,10},{2,5,8,11},{3,6,9,12},...,{91,94,97,100}共計(jì)91個(gè)，

L

當(dāng)4=32時(shí)，數(shù)列可為：

{1,33,65,97},{2,34,66,98},{3,35,67,99},{4,36,68,100}共計(jì)4個(gè),

當(dāng)4=33時(shí)，數(shù)列可為：

{1,34,67,100}共計(jì)1個(gè)，

故N=97+94+91+…+4+1

=11^=1617,

2

所以N"=1617245°=(17+1600)245°

c172450x24492450

=24so1600°+C^45017x160()1+…C鬣17。x16OO,

所以16172450的后兩位與*245。的后兩位一致，

172450=2891225=(—1+290)3,

5122412

因?yàn)?一1+290產(chǎn)=C葭(―1產(chǎn)x290°+C；22s(-l)x290+%(―1產(chǎn)x290

+...+C；^(-l)°x2901225,

因?yàn)镃葭(T產(chǎn)x2902+■??+C；g(-1)°x2901225的后兩位一定是00,

122512241

故17245。的后兩位數(shù)與C?225(-1)x290°+C；225(-1)x290的后兩位一致，

c122512241

因?yàn)?225(-1)X290°+C；225(-1)X290=-l+1225x290=355249,

故17245。的后兩位數(shù)為49,即NM的后兩位數(shù)為49.

故選:C

【變式6-21(2024?遼寧沈陽?高二東北育才學(xué)校?？计谀?定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，

比如“1006,2023”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為()

A.20B.56C.84D.120

【答案】C

【解析】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)，所以按首位數(shù)字分別計(jì)算

當(dāng)首位數(shù)字為7,則剩余三位數(shù)分別是0,0,0,共有1個(gè)幸運(yùn)數(shù)；

當(dāng)首位數(shù)字為6,則剩余三位數(shù)分別是1,0,0,共有3個(gè)幸運(yùn)數(shù)；

當(dāng)首位數(shù)字為5,則剩余三位數(shù)分別是1』,020,0,共有3+3=6個(gè)幸運(yùn)數(shù)；

當(dāng)首位數(shù)字為4,則剩余三位數(shù)分別是2,1,030,共有A；+3+1=10個(gè)幸運(yùn)數(shù)；

當(dāng)首位數(shù)字為3,則剩余三位數(shù)分別是3,1,0；4,0,0；1,1,2;2,2,0,共有人；+3+3+3=15個(gè)幸運(yùn)數(shù)；

當(dāng)首位數(shù)字為2,則剩余三位數(shù)分別是4,1,0；5,0,0；1,1,3;3,2,0;2,2,1,共有人；+3+3+人；+3=21個(gè)幸運(yùn)數(shù)；

當(dāng)首位數(shù)字為1,則剩余三位數(shù)分別是5,1,0；6,0,0；1,1,4;4,2,0;3,2,1;3,3,0;2,2,2,共有

A；+3+3+A；+A；+3+1=28個(gè)幸運(yùn)數(shù)；

則共有1+3+6+10+15+21+28=84個(gè)幸運(yùn)數(shù)；

故選:C.

考點(diǎn)七：定序問題(先選后排)

—型師訓(xùn)

【例7】(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))滿足為eN*(i=l,2,3,4),且％＜%(尤3＜匕＜10的有序數(shù)組(無”々，馬匕)

共有()個(gè).

A.C；B.閔C,盤D.短)

【答案】A

【解析】：數(shù)組中數(shù)字的大小確定，從1到9共9個(gè)數(shù)任取4個(gè)數(shù)得一個(gè)有序數(shù)組，所有個(gè)數(shù)為C；.

故選：A.

【變式7?1】（2024?高二課時(shí)練習(xí)）已知斗￡{-1,0]},?=1,2,〃eN*）,則滿足㈤+|刃+國(guó)+-+|”=2的有序數(shù)組

（石戶2，不，…,天）共有（）個(gè)

A.2n1-2幾B.2n2+2nC.-------D.n2-n

2

【答案】A

【解析】/￡{-1，0，1}，。=12-、〃,〃￡尸）所有有序數(shù)組（不打不，…，皿）中,滿足㈤+閭+闖+?一+同=2的

有序數(shù)組（石，%2，為，-"〃）中包含〃-2個(gè)0,另外兩個(gè)數(shù)在1或-1中選擇，每個(gè)位置有2種選擇，由乘法計(jì)數(shù)原

理得不同的種數(shù)為C：X2X2="（"Dx4=2n2-2n

2

故選：A.

【變式7-2]（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）OVA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱

為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合.在

。乂4中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，0vA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能

形成氫鍵的堿基或者是4T,或者是CG,不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿

基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序.如圖所示為一條。NA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同

學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A,2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T,則不同的插入方式的種數(shù)為（）

...AGGATCGG...

A.20B.40C.60D.120

【答案】c

A6720

【解析】依題意可知，不同的插入方式的種數(shù)為二冷六=]「=60.

圈64,6x2x1

故選：C

【變式7-3]（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼

具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下,每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（）

A.2520B.5040C.7560D.10080

【答案】A

【解析】由題意，對(duì)8盞不同的花燈進(jìn)行取下，

先對(duì)8盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有饋種方法，

因?yàn)槿』裘看沃荒苋∫槐K，而且只能從下往上取，

所以須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，

故一共有福北F=252。種，

Lx1.\e>L

故選：A

考點(diǎn)八：多面手問題

■k題型特訓(xùn)

【例8】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人

既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有

（）

A.56種B.68種

C.74種D.92種

【答案】D

【解析】根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進(jìn)行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有C；C：種，有

一個(gè)“多面手”的選派方法有種，有兩個(gè)“多面手”的選派方法有CC種，即共有

=92（種）不同的選派方法.

故選：D

【變式8-1]（2023?湖北十堰?高二統(tǒng)考期末）某龍舟隊(duì)有8名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右

槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派

方法共有（）

A.26種B.30種C.37種D.42種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，設(shè)4=｛只會(huì)劃左槳的3人｝,2=｛只會(huì)劃右槳的3人｝,C=｛既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳

的2人｝,

據(jù)此分3種情況討論：

①從A中選3人劃左槳，劃右槳的在（B|JC）中剩下的人中選取，有仁=10種選法，

②從A中選2人劃左槳，C中選1人劃左槳，劃右槳的在（HJC）中剩下的人中選取，有C；C；C：=24種選法,

③從A中選1人劃左槳，C中2人劃左槳，B中3人劃右槳，有C；=3種選法，

則有10+24+3=37種不同的選法；

故選：C.

【變式8-2]（2024?河南南陽?高三?？茧A段練習(xí)）我校去年11月份，高二年級(jí)有9人參加了赴日本交流

訪問團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人

唱歌，3人跳舞，有種不同的選法

【答案】216

【解析】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的2人中入選的人數(shù)分類處理.

第一類：2個(gè)只會(huì)跳舞的都不選，有C1C；=16種；

第二類：2個(gè)只會(huì)跳舞的有1人入選，有C；-C〔C；=120種；

第三類：2個(gè)只會(huì)跳舞的全入選，有C；-C；?C：=80種，

所以共有216種不同的選法，

故答案為：216.

考點(diǎn)九：錯(cuò)位排列問題

［例9］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、

5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（）