湖北省黃岡市黃梅縣育才高級中學2024-2025學年高三上學期12月月考數(shù)學試題（含答案）

1PAGE第7頁高三年級12月份月考數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A．1 B．2 C． D．52．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．有一組樣本數(shù)據(jù)：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9．則關于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（）A．平均數(shù) B．第50百分位數(shù) C．極差 D．眾數(shù)4．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)QUOTE是減函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項和為，且，，則的值為（）A． B． C． D．7．若直線與曲線相切，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知分別為雙曲線的左，右焦點，點為雙曲線漸近線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9．已知直線與圓，則（）A．直線過定點 B．圓的半徑為4C．直線與圓一定相交 D．圓心到直線的距離的最大值是110．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．是的一個周期 B．的圖象關于點中心對稱C．在區(qū)間上的零點個數(shù)為4 D．的最大值為11．已知正方體的棱長為3，為正方體表面上的一個動點，為線段上的動點，．則下列說法正確的是（）A．當點在側(cè)面（含邊界）內(nèi)時，為定值B．當點在側(cè)面（含邊界）內(nèi)時，直線與直線所成角的大小為C．當點在側(cè)面（含邊界）內(nèi)時，對任意點，總存在點，使得D．點的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中，常數(shù)項為__________．13．已知紅箱內(nèi)有5個紅球、3個白球，白箱內(nèi)有3個紅球、5個白球．第一次從紅箱內(nèi)取出一球，觀察顏色后放回原處；第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)再取出一球，則第二次取到紅球的概率為__________．14．已知函數(shù)，滿足，且，則QUOTE的最小值為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分15．（本題滿分13分）已知內(nèi)角的對邊分別為，，且．（1）求邊的值；（2）若為邊的中點，，求的面積．16．（本題滿分15分）已知數(shù)列滿足QUOTE，（1）求證：數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列；（2）令，QUOTE求數(shù)列的前的和．17．（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是等邊三角形，平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為．（1）若為棱的中點，為棱的中點，求證：平面平面．（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由．18．（本題滿分17分）已知函數(shù)（1）求的單調(diào)性;（2）若有兩個不相同的零點，，設的導函數(shù)為．證明：19．（本題滿分17分）黃岡地處湖北省東部，以山帶水，勝跡如云．為了合理配置旅游資源，管理部門對首次來黃岡旅游的游客進行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中的人計劃只參觀羅田天堂寨，另外的人計劃既參觀羅田天堂寨又游覽東坡赤壁．每位游客若只參觀羅田天堂寨，則記1分；若既參觀羅田天堂寨又游覽東坡赤壁，則記2分．假設每位首次來黃岡旅游的游客計劃是否游覽東坡赤壁相互獨立，視頻率為概率．（1）從游客中隨機抽取2人，記這2人的合計得分為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）從游客中隨機抽取人，記這人的合計得分恰為分的概率為，求；（3）從游客中隨機抽取若干人，記這些人的合計得分恰為分的概率為，隨著抽取人數(shù)的無限增加，是否趨近于某個常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)；若不是，請說明理由．答案選擇題1234567891011CBACDDCBACDABDACD三、填空題12．613．14．9四、解答題15．解：（1）因為，由正弦定理得：，且，所以．（2）延長至點，滿足，連接，在中，由余弦定理得：，因為，，代入上式整理得：，所以所以．16．（1）略（2）17．（1）因為分別是的中點，所以//，在矩形中，，所以，又平面，平面，所以平面．又是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．因為，，平面，所以平面平面．（2）假設在棱上存在點滿足題意．在等邊三角形中，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以是四棱錐的高．設，則，，所以，所以．以點為原點，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，18．（1）∵，，當時，恒成立，當時，令，解得，令，解得，∴當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．證明：（2）∵有兩個不相同的零點，∴由（1）知，，，，，∴，不妨設，令，則．構(gòu)造函數(shù)，則恒成立，∴在上單調(diào)遞增，則，∴成立．19．由題意得，隨機變量的可能取值為2，3，4，可得，，．所以的分布列如下表所示：234所以，數(shù)學期望為．【小問2解析】由這人的合計得分為分，則其中只有1人計劃既參觀羅田天堂寨又游覽東坡赤壁，所以，則，由兩式相減，可得，，所以．【小問3解析】在隨機抽取的若干人的合