第4章水彈性力學(xué)-流體與剛體、彈性體相互耦合運(yùn)動(dòng)理論

(4-SEQ4-\*ARABIC23)自由表面條件，在上 (4-SEQ4-\*ARABIC24) [推導(dǎo)時(shí)注意到：，令，則］引入定常速度勢(shì)以描述船體無(wú)搖蕩，只作定常運(yùn)動(dòng)的興波速度勢(shì)。具體定解條件為：(4-SEQ4-\*ARABIC25)若船舶還作搖蕩，可令，為非定常部分，包括入射，繞射，輻射三個(gè)部分。定解條件為：，流場(chǎng)內(nèi)。上： (4-SEQ4-\*ARABIC26) (4-SEQ4-\*ARABIC27)關(guān)于物面條件需作單獨(dú)討論。物面條件 平均位置 瞬時(shí)位置 固結(jié)坐標(biāo)系 參考坐標(biāo)系 輔助坐標(biāo)系點(diǎn)在中位置為，另引入表示角位移以點(diǎn)作為研究對(duì)象，其在及中位置見(jiàn)圖。時(shí)刻，在參考坐標(biāo)系中，在動(dòng)系中。初始位置（平衡位置），顯然有： (4-SEQ4-\*ARABIC28)幾何關(guān)系： (4-SEQ4-\*ARABIC29)在原點(diǎn)與重合，而三軸與平行的參考系中： (4-SEQ4-\*ARABIC30)在動(dòng)坐標(biāo)系中： (4-SEQ4-\*ARABIC31)由4.1.1知識(shí)式中(4-SEQ4-\*ARABIC32) (4-SEQ4-\*ARABIC33)利用上面關(guān)系式，可將轉(zhuǎn)至中表達(dá)，即絕對(duì)速度勢(shì)在動(dòng)坐標(biāo)系中表達(dá)： (4-SEQ4-\*ARABIC34)式中，和類似表達(dá)，，為中相應(yīng)元素。第一項(xiàng)表示在靜止物面(平均濕表面上)的值，法向?qū)?shù)： (4-SEQ4-\*ARABIC35)［注釋：在什么坐標(biāo)系中表達(dá)，也應(yīng)在相應(yīng)這個(gè)坐標(biāo)系中表達(dá)，由于在中表示所以也應(yīng)在中表示，而，同時(shí)，故有］式中為在參考系中投影。 (4-SEQ4-\*ARABIC36)(注：)(都用表示分量，理由是對(duì)應(yīng)點(diǎn)上(),相對(duì)于各自坐標(biāo)軸上分量不會(huì)在運(yùn)動(dòng)中改變，亦即剛體在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連體上是不隨改變的，但相對(duì)于參考坐標(biāo)系來(lái)講是隨變的)又(同矢量在不同坐標(biāo)系中表達(dá)) (4-SEQ4-\*ARABIC37)式中為的元素，取到二階量，則 (4-SEQ4-\*ARABIC38)由(4-36)t和(4-38)得到 (4-SEQ4-\*ARABIC39)瞬時(shí)物面上點(diǎn)速度(先考慮無(wú)航速)，則 (4-SEQ4-\*ARABIC40)由前面知識(shí)知： (4-SEQ4-\*ARABIC41) (4-SEQ4-\*ARABIC42) (4-SEQ4-\*ARABIC43)因?yàn)樗杂?4-39)和(4-43)兩者相等，注意到 (4-SEQ4-\*ARABIC44) (4-SEQ4-\*ARABIC45)引入。式中為物面平均位置上法線矢量和位置坐標(biāo)在參考系坐標(biāo)軸上投影。［注意到：］從而 (4-SEQ4-\*ARABIC46)現(xiàn)考慮有航速情況，沿以移動(dòng)。物面條件精確提法為： (4-SEQ4-\*ARABIC47) (4-SEQ4-\*ARABIC48) (4-SEQ4-\*ARABIC49) (4-SEQ4-\*ARABIC50)若，只有定常興波，設(shè)此時(shí)濕表面為，即在上迭加定常移動(dòng)興波引起的濕表面變化，此時(shí)物面條件： (4-SEQ4-\*ARABIC51)上式與(4-25)中自由表面條件構(gòu)成精確邊界條件?，F(xiàn)引入非定常運(yùn)動(dòng)是微幅的假定，即和均為小量，記作，相應(yīng)地與差別也是同級(jí)小量。先求一任意函數(shù)：取，則而 (4-SEQ4-\*ARABIC52)其中另外注意?(d)異同；表達(dá)方式相同，但具體值不同，?中無(wú)搖蕩，故；(d)中存在搖擺，令 (4-SEQ4-\*ARABIC53)物理意義：定常繞流速度場(chǎng)，即流體力學(xué)中提到的相對(duì)速度勢(shì)誘導(dǎo)的速度場(chǎng)。則代入(4-50)得 (4-SEQ4-\*ARABIC54)若設(shè) (4-SEQ4-\*ARABIC55)上式稱為Timman&Newmman條件。討論：若還引入船體等移動(dòng)的定常興波較小，即(對(duì)應(yīng)于細(xì)長(zhǎng)體一類結(jié)構(gòu))，則 (4-SEQ4-\*ARABIC56)Timman&Newmman條件其它形式： (4-SEQ4-\*ARABIC57)推導(dǎo)如下：則 令代入(4-50)(4-57)式。具體推導(dǎo)參見(jiàn)《船舶在波浪上運(yùn)動(dòng)理論》。下面從Price-Wu方法推導(dǎo)：設(shè)總速度勢(shì)物面條件：而 (4-SEQ4-\*ARABIC58)令，則?？紤]到小幅搖蕩，即量，則與之間差異亦是同級(jí)小量。從而，其中， (4-SEQ4-\*ARABIC59)式中為結(jié)構(gòu)角位移，即，而 (4-SEQ4-\*ARABIC60) (4-SEQ4-\*ARABIC61)代入(4-58)式 (4-SEQ4-\*ARABIC62)可證明，所以(4-62)式可改寫(xiě)為(4-57)式。4.2彈性體與外流場(chǎng)相互耦合4.1.1坐標(biāo)系選取及運(yùn)動(dòng)量描述坐標(biāo)系選取與4.1節(jié)中相同，為坐標(biāo)系，為隨結(jié)構(gòu)物以航速沿作勻速前進(jìn)的參考系，以表示結(jié)構(gòu)物搖蕩姿態(tài)，為隨體坐標(biāo)系。為平動(dòng)參考系，以描述結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，具體見(jiàn)圖4.2.1圖4.2-1坐標(biāo)系選取位移矢量定義：結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)經(jīng)搖蕩及變形后總位移（相對(duì)）為其可以分解為剛體平動(dòng)位移、轉(zhuǎn)動(dòng)引起位移及彈性變形引起的位移，分別表示如下：剛體位移：剛體平動(dòng)位移，在水彈性力學(xué)中一般表示為： (4-SEQ4-\*ARABIC63)其中 分量物理意義分別代表縱蕩，垂蕩（升沉）和橫蕩引起的位移2）剛體轉(zhuǎn)動(dòng)引起的位移： (4-SEQ4-\*ARABIC64)式中(4-SEQ4-\*ARABIC65)其中 (4-SEQ4-\*ARABIC66)當(dāng)只考慮到一階量時(shí)，（4.64）可改寫(xiě)為若令，則 (4-SEQ4-\*ARABIC67)在水彈性力學(xué)中將改寫(xiě)成 (4-SEQ4-\*ARABIC68)其中 (4-SEQ4-\*ARABIC69)各項(xiàng)物理意義是分別由橫搖，艏搖，縱搖引起的位移從(4.69)可以推出：（此式只有在線性化條件下才成立） (4-SEQ4-\*ARABIC70)所以，因剛體轉(zhuǎn)動(dòng)引起的一階位移量為： (4-SEQ4-\*ARABIC71)3）結(jié)構(gòu)彈性變形引起的位移： (4-SEQ4-\*ARABIC72)式中表示第r階主振動(dòng)（模態(tài)）下引起的變形位移。轉(zhuǎn)至中表達(dá)時(shí)，只考慮一階量時(shí)，。從而結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)p處總位移（在中）表達(dá)式為： (4-SEQ4-\*ARABIC73)若引入主模態(tài)，主坐標(biāo)的概念，則結(jié)構(gòu)上任意點(diǎn)處位移可表達(dá)為另一種形式： (4-SEQ4-\*ARABIC74)式中為結(jié)構(gòu)第r階干模態(tài)，其前6階為剛體模態(tài)，分別對(duì)縱蕩，垂蕩（升沉），橫蕩，橫搖，艏搖和縱搖，具體表達(dá)式為： (4-SEQ4-\*ARABIC75)另外式(4.74)中表示第r階主坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)剛體運(yùn)動(dòng)的前6階模態(tài)分別為： (4-SEQ4-\*ARABIC76)4.1.2結(jié)構(gòu)在流體作用下運(yùn)動(dòng)方程經(jīng)有限元離散后總體運(yùn)動(dòng)方程為 (4-SEQ4-\*ARABIC77)式中，，分別為廣義質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣，和分別為廣義流體力、廣義集中力和體積力列向量將代入并注意到干模態(tài)正交性，則(4.77)可以改寫(xiě)為，水彈性力學(xué)方程 (4-SEQ4-\*ARABIC78)式中，，分別為干結(jié)構(gòu)廣義質(zhì)量，阻尼和剛度陣。（具體推導(dǎo)見(jiàn)4.2.5）式(4.78)就是同時(shí)考慮了剛體運(yùn)動(dòng)和彈性變形的水彈性力學(xué)方程。4.1.3流體力及廣義水動(dòng)力流體壓力在固定坐標(biāo)系中，表達(dá)式為： (4-SEQ4-\*ARABIC79)式中，即絕對(duì)速度勢(shì)在固定系中表達(dá)。設(shè)在中速度勢(shì)表達(dá)式為與關(guān)系：，，故(4-79)式改寫(xiě)為： (4-SEQ4-\*ARABIC80)又可分解為即定常，非定常部分，代入上式，式中令（——參考坐標(biāo)系坐標(biāo)軸單位矢量；——?jiǎng)幼鴺?biāo)系坐標(biāo)軸單位矢量）則上式可改寫(xiě)為： (4-SEQ4-\*ARABIC81)又，因?yàn)? (4-SEQ4-\*ARABIC82)將上兩式代入p表達(dá)式得 (4-SEQ4-\*ARABIC83)上式就是在參考系（平衡系）中在瞬時(shí)上計(jì)算p的公式。下面將其攝動(dòng)到平均濕表面上。轉(zhuǎn)換之前首先說(shuō)明一下與的區(qū)別：表示無(wú)航速時(shí)，搖蕩平均濕表面，而表示有航速時(shí)定常速度勢(shì)誘導(dǎo)出的定常速度場(chǎng)（相對(duì)而言）引起的平均濕表面位置，兩者僅當(dāng)定常速度為小量時(shí)，誤差才是小量。根據(jù)攝動(dòng)理論，有： (4-SEQ4-\*ARABIC84)若取，則將(4-83)代入并注意到，可得到 (4-SEQ4-\*ARABIC85)式中若考慮二階量，則(4-SEQ4-\*ARABIC86)廣義水動(dòng)力 (4-SEQ4-\*ARABIC87)4.2.4物面條件只需將剛體運(yùn)動(dòng)中物面條件，即(4-62)式中改寫(xiě)成：式中，及改寫(xiě)成，即就可以得到水彈性力學(xué)中物面條件： (4-SEQ4-\*ARABIC88)引入主坐標(biāo)后， (4-SEQ4-\*ARABIC89)式中——入射速度勢(shì)，為繞射勢(shì)，為輻射勢(shì)可以證明（Haskin關(guān)系）代入（4-88）得： (4-SEQ4-\*ARABIC90)下面就總速度勢(shì)中各項(xiàng)速度勢(shì)定解條件作一總結(jié)：定常速度勢(shì)：繞流速度勢(shì)：4.2.5水彈性力學(xué)主坐標(biāo)方程為了克服切片理論或二維水彈性理論無(wú)法解決諸如多體、半潛體等非梁、彈性結(jié)構(gòu)等動(dòng)力問(wèn)題的局限，必須建立一個(gè)適合處理任意形狀的航行于海上的浮體結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。本節(jié)將討論此方面問(wèn)題。4.2.5.1彈性結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化有多種形式，其基本目的就是把一個(gè)具有無(wú)限多自由度的連續(xù)體簡(jiǎn)化為一個(gè)只有有限個(gè)自由度的多自由度系統(tǒng)。對(duì)于靜力學(xué)問(wèn)題，這個(gè)離散化的系統(tǒng)與初始系統(tǒng)的等效性是基于哈密爾頓原理，也有不少方法是基于相應(yīng)的廣義變分原理。當(dāng)然，也可直接從微分方程出發(fā)，在對(duì)劃了的結(jié)構(gòu)引入某些近似假設(shè)后，建設(shè)離散化的數(shù)學(xué)模型(如遷移矩陣法)。積分形式的能量原理或廣義變分原理，可以作為微分形式的平衡方程或運(yùn)動(dòng)方程的替代形式。然而，這兩種形式的描述方法并非具有同等的內(nèi)涵。前者反映了作為整體性原理的力學(xué)原理，它們要求有關(guān)力學(xué)場(chǎng)局部可積性，而后者則反映微元的規(guī)律，它們要求有關(guān)力學(xué)場(chǎng)局部可微。局部可微性并非物理現(xiàn)象中一定成立的條件。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，連續(xù)物理場(chǎng)中有關(guān)規(guī)律的變分或積分的形式或許是考察這些規(guī)律的唯一自然的嚴(yán)密正確的形式。在此僅討論有限元法這種離散形式，有關(guān)方程的形式帶有普遍性，可將結(jié)論用于其它離散化方法。一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中任一點(diǎn)的位移是位置和時(shí)間函數(shù)，即，若我們將該連續(xù)體系統(tǒng)劃分成若干個(gè)尺度有限元，在每個(gè)元的局部坐標(biāo)中，元上任一點(diǎn)位移(表示局部坐標(biāo)中表達(dá))，可用該元有限節(jié)點(diǎn)上的位移列陣展開(kāi)為： (4-SEQ4-\*ARABIC91)上式中為開(kāi)關(guān)函數(shù)，它是函數(shù)。嚴(yán)格講，此表達(dá)式只適合靜力學(xué)系統(tǒng)，因?yàn)閯?dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，單元在慢性力作用下出現(xiàn)了變形。因而也應(yīng)是函數(shù)。但當(dāng)單元數(shù)足夠多，單元?jiǎng)澐州^小，而又是由系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程求得時(shí)，這種方法能夠給出較好近似。利用相應(yīng)結(jié)構(gòu)的物理議程，可以用(4-91)式相對(duì)于的微分形式表示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力(例如對(duì)板、殼、梁元)或借助于幾何關(guān)系及物理關(guān)系表示結(jié)構(gòu)的應(yīng)力(三維元、平面聯(lián)元)等。代入應(yīng)變能表達(dá)式，可求得單元?jiǎng)偠汝嚤磉_(dá)式，代入動(dòng)能表達(dá)式可以從質(zhì)量分布求得單元質(zhì)量陣表達(dá)式，即 (4-SEQ4-\*ARABIC92)推導(dǎo)如下：式中分別為幾何關(guān)系與物理關(guān)系的系數(shù)陣。即其中－泊松系數(shù)，－彈性模量。假如以表示結(jié)構(gòu)中分布粘性阻尼系數(shù)陣，亦即阻尼力為，則單元阻尼陣可通過(guò)虛功原理推導(dǎo)為： (4-SEQ4-\*ARABIC93)()由它定義作用在單元節(jié)點(diǎn)上的阻尼力。作用在單元節(jié)點(diǎn)上的集中力及分布作用面力可以通過(guò)虛功原理轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點(diǎn)力： (4-SEQ4-\*ARABIC94)其中為單元表面的內(nèi)法線向量。當(dāng)然公是結(jié)構(gòu)受外載面的一部分。4.2.5.2運(yùn)動(dòng)總體方程局部坐標(biāo)可通過(guò)與總體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系陣轉(zhuǎn)至總體坐標(biāo)系中，表達(dá)式為： (4-SEQ4-\*ARABIC95)從而在中任意矢量可在中表達(dá)：(4-SEQ4-\*ARABIC96)單元上節(jié)點(diǎn)位移列陣在表達(dá)式為： (4-SEQ4-\*ARABIC97)其中 (4-SEQ4-\*ARABIC98)上面式子中不帶的量為在總體坐標(biāo)系中表達(dá)的相應(yīng)量。顯然和均為正交陣，即 (4-SEQ4-\*ARABIC99)因此在中表達(dá)的廣義質(zhì)量、剛度、阻尼陣及廣義體積力等力可分別表示成： (4-SEQ4-\*ARABIC100)若體積力中只有變力作用，且在總體坐標(biāo)系中沿軸向下，則 (4-SEQ4-\*ARABIC101)(注：表達(dá)在不同總體坐標(biāo)下，應(yīng)作變化！)其中［已知，而，從而］利用哈密爾頓原理 (4-SEQ4-\*ARABIC102)又 (4-SEQ4-\*ARABIC103)并將有關(guān)式代入得到總體坐標(biāo)系中單元運(yùn)動(dòng)方程： (4-SEQ4-\*ARABIC104)若將各單元相加，則需將(4－102)中改成，并注意到，則整個(gè)結(jié)構(gòu)離散后總體坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)方程： (4-SEQ4-\*ARABIC105)式中分別稱為系統(tǒng)質(zhì)量陣，系統(tǒng)剛度陣和阻尼陣。4.2.5.3結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)固有頻率及主振型自由振動(dòng)時(shí)，令 (4-SEQ4-\*ARABIC106)代入(4-105)，得 (4-SEQ4-\*ARABIC107)若為正定，則上式給出正的特征值，稱之為固有頻率。對(duì)于任何一個(gè)特征值存在一個(gè)特征向量，又稱為階主振型，其幾個(gè)元素，每個(gè)元素相應(yīng)于一個(gè)節(jié)點(diǎn)的六個(gè)自由度的振型位移，即而 (4-SEQ4-\*ARABIC108)將每個(gè)單元各個(gè)組合對(duì)應(yīng)的子陣用表示，則單元節(jié)點(diǎn)位移可表示為： (4-SEQ4-\*ARABIC109)利用插值函數(shù)及局部坐標(biāo)轉(zhuǎn)至總體坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)換關(guān)系陣及，則單元中任一點(diǎn)的階振型位移表示成： (4-SEQ4-\*ARABIC110)剛體振型結(jié)構(gòu)物完全自由，如自由浮體，則是半正定的，且，頻率方程(4-107)變?yōu)椋簭亩鴮?dǎo)致六個(gè)零根，即此時(shí)需利用剛體運(yùn)動(dòng)理論定出其振型。假定旋轉(zhuǎn)中心在質(zhì)心C處(原點(diǎn)不一定在C處)，且處于平衡位置時(shí)，與參考系重合，并用表示質(zhì)心處位移和角位移，且假定這些位移是一階小量，則可發(fā)現(xiàn)6階剛體位移振型在第點(diǎn)處的六個(gè)分量可以用矩陣形式表示成如下一般形式： (4-SEQ4-\*ARABIC111)注：上式可以從導(dǎo)出，其中其中與r階振型相應(yīng)的質(zhì)心線位移與角位移為任意選取的常數(shù)，不同取法對(duì)應(yīng)于剛體不同的定義方式。情況A：因?yàn)閯傮w振型的特征向量可以按任意比例常數(shù)定性幅值，也可按所需形式歸一化(正比例)，譬如將其表達(dá)為縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖和艏搖等六個(gè)熟悉的形式，即 (4-SEQ4-\*ARABIC112)代入(4-111)可得到對(duì)應(yīng)各階振型： (4-SEQ4-\*ARABIC113)剛體上任一點(diǎn)處位移振型可表達(dá)為： (4-SEQ4-\*ARABIC114)情況B：剛體振型的另一個(gè)取法是水彈性力學(xué)中常用的方法，即將結(jié)構(gòu)上某一參照點(diǎn)的位移取為一個(gè)單位，按此振型歸一化。這樣的目的是使主坐標(biāo)具有更直接的物理含義，也即表示第r階振型的響應(yīng)分量在點(diǎn)給定方向的位移中的貢獻(xiàn)。(對(duì)應(yīng)r階點(diǎn)最好取在r階位移振型最大處，如船舶尾部垂向位移往往最大，故取) (4-SEQ4-\*ARABIC115)此時(shí)剛體上任一點(diǎn)位移振型為： (4-SEQ4-\*ARABIC116)情況C：旋轉(zhuǎn)中心直接選在動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)(通常坐標(biāo)原點(diǎn)選在C處)，則只需將第一種情況中改為零便可得到六階剛體振型及結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)處位移振型，即 (4-SEQ4-\*ARABIC117)正交條件設(shè)與為兩個(gè)主振型，顯然有 (a) (b)前乘，(b)式轉(zhuǎn)置后乘，然后兩式相減得到這意味著 (4-SEQ4-\*ARABIC118)式