陜西省西安市蓮湖區(qū)七十中2025屆高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

陜西省西安市蓮湖區(qū)七十中2025屆高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，，則（）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為的共軛復(fù)數(shù)），則的值為()A．1 B．2 C． D．3．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．5．正項等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點，則（）A． B．1 C． D．26．已知，，若，則實數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或77．已知函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，.若，則函數(shù)在上的最大值為（）A．4 B．6 C．3 D．88．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若不垂直于，且，則不垂直于9．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．10．若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．411．設(shè)為非零實數(shù)，且，則（）A． B． C． D．12．設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點，若，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則________.(填“>”或“=”或“<”).14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且周期為，當(dāng)時，，則的值為___________________．15．我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)”．他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜．三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個數(shù)，相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，1作為“隅”，開平方后即得面積．所謂“實”、“隅”指的是在方程中，p為“隅”，q為“實”．即若的大斜、中斜、小斜分別為a，b，c，則.已知點D是邊AB上一點，，，，，則的面積為________．16．某部隊在訓(xùn)練之余，由同一場地訓(xùn)練的甲?乙?丙三隊各出三人，組成小方陣開展游戲，則來自同一隊的戰(zhàn)士既不在同一行，也不在同一列的概率為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線與曲線交于兩點.(1)求的長；(2)在以為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，設(shè)點的極坐標(biāo)為，求點到線段中點的距離.19．（12分）在中，角、、所對的邊分別為、、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面積為，求及的值.20．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達(dá)標(biāo)”．（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表：并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進(jìn)行體育鍛煉體會交流．（i）求這人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會交流的人中，隨機(jī)選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．臨界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63522．（10分）在中，設(shè)、、分別為角、、的對邊，記的面積為，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解：因為，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】

按照復(fù)數(shù)的運算法則先求出，再寫出，進(jìn)而求出.【詳解】，，.故選：D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì)，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計算．【詳解】由可得，因為，所以．故在方向上的投影為．故選：C．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5、B【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為，得出，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解：依題意、是函數(shù)的極值點，也就是的兩個根∴又是正項等比數(shù)列，所以∴.故選：B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.6、C【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，代入化簡可得.∴解得.故選：C.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運算，可得；利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性，由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，則；任取，且，則，故，令，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，令，，故，故函數(shù)在上的最大值為4.故選：A.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.8、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確．應(yīng)選答案C．9、A【解析】

進(jìn)行交集的運算即可．【詳解】，1，2，，，，1，．故選：．【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)，的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算．【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為，．故選：C．【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11、C【解析】

取，計算知錯誤，根據(jù)不等式性質(zhì)知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：.【點睛】本題考查了不等式性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于不等式性質(zhì)的靈活運用.12、A【解析】

設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運算表示出，從而可利用表示出；由坐標(biāo)運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，其中，，即關(guān)于軸對稱故選：【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算；關(guān)鍵是利用動點坐標(biāo)表示出變量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可整理得軌跡方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

注意到，故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知，，故有.又由，故有.故答案為：.【點睛】本題考查對數(shù)式比較大小，涉及到換底公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題.14、【解析】

由題意可得：，周期為，可得，可求出，最后再求的值即可.【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，.由周期為，可知，，..故答案為：.【點睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.【詳解】，所以，由余弦定理可知，得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得，所以.【點睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力和計算整理能力,難度較易.16、【解析】

分兩步進(jìn)行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，對每一行選人；最后，利用計算出概率即可.【詳解】首先，第一行隊伍的排法有種；第二行隊伍的排法有2種；第三行隊伍的排法有1種；然后，第一行的每個位置的人員安排有種；第二行的每個位置的人員安排有種；第三行的每個位置的人員安排有種.所以來自同一隊的戰(zhàn)士既不在同一行，也不在同一列的概率.故答案為：.【點睛】本題考查了分步計數(shù)原理，排列與組合知識，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）2【解析】

（1）轉(zhuǎn)化條件得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），，由正弦定理得，即，又，，又，，，由可得.（2）由（1）可得，，，，，，的最大值為2.【點睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.18、（1）;（2）.【解析】

（1）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離，結(jié)合垂徑定理即可求得的長；（2）將的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求得直線與圓的兩個交點坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間距離公式即可求得.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，化為直角坐標(biāo)方程為，即直線與曲線交于兩點.則圓心坐標(biāo)為，半徑為1，則由點到直線距離公式可知，所以.（2）點的極坐標(biāo)為，化為直角坐標(biāo)可得，直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，化簡可得，解得，所以兩點坐標(biāo)為，所以，由兩點間距離公式可得.【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，點到直線距離公式應(yīng)用，兩點間距離公式的應(yīng)用，直線與圓交點坐標(biāo)求法，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）；【解析】

（1）由代入中計算即可；（2）由余弦定理可得，所以，由，變形即可得到答案.【詳解】（1）因為，可得：，∴，或（舍），∵，∴.（2）由余弦定理，得所以，故，又，所以，所以.【點睛】本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道容易題.20、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)證明，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，，計算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，取得到，，設(shè)直線與平面所成角為故.【點睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.21、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列見解析．【解析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表．由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達(dá)標(biāo)人數(shù)，從而得男生中達(dá)標(biāo)人數(shù)，這樣不達(dá)標(biāo)人數(shù)隨之而得，然后計算可得結(jié)論；（2）由達(dá)標(biāo)人數(shù)中男女生人數(shù)比為可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，的可能值為0，1，2，分別計算概率得分布列，再由期望公式可計算出期望．【詳解】（1）列出列聯(lián)表，，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下能判斷“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)．（2）（i）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，男女生人數(shù)比為，用分層抽樣方法抽出人，男生有人，女生有人．（ii）從參加體會交流的人中，隨機(jī)選出人發(fā)言，人中女生的人數(shù)為，則的可能值為，，，則，，，可得的分布列為：可得數(shù)學(xué)期望．【點睛】本題考查列聯(lián)表與獨立性檢驗，考查分層抽樣，隨機(jī)變