浙江省麗水地區(qū)四校2025屆高考數(shù)學一模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

浙江省麗水地區(qū)四校2025屆高考數(shù)學一模試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.由曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.2.《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗,根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達圖(如圖,每項指標值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲3.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},則A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}4.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或5.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個不同的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.6.已知雙曲線(,)的左、右頂點分別為,,虛軸的兩個端點分別為,,若四邊形的內(nèi)切圓面積為,則雙曲線焦距的最小值為()A.8 B.16 C. D.7.設非零向量,,,滿足,,且與的夾角為,則“”是“”的().A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.若的展開式中的系數(shù)為-45,則實數(shù)的值為()A. B.2 C. D.9.設為坐標原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.110.已知定義在上的函數(shù)的周期為4,當時,,則()A. B. C. D.11.等比數(shù)列中,,則與的等比中項是()A.±4 B.4 C. D.12.下列命題是真命題的是()A.若平面,,,滿足,,則;B.命題:,,則:,;C.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若奇函數(shù)滿足,為R上的單調(diào)函數(shù),對任意實數(shù)都有,當時,,則________.14.已知函數(shù)f(x)=axlnx﹣bx(a,b∈R)在點(e,f(e))處的切線方程為y=3x﹣e,則a+b=_____.15.已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集為A,且A中共含有n個整數(shù),則當n最小時實數(shù)a的值為_____.16.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.18.(12分)某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗,并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時間y的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點圖(如圖).表中,.(1)根據(jù)散點圖判斷,與哪一個更適宜作燒水時間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時間內(nèi)煤氣輸出量t成正比,那么x為多少時,燒開一壺水最省煤氣?附:對于一組數(shù)據(jù),,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.19.(12分)已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若,討論的單調(diào)性;(2)若有兩個極值點,求的取值范圍,并證明:.20.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機抽取了20人的分數(shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分數(shù)(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉):若分數(shù)不低于95分,則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分數(shù)補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.21.(12分)設橢圓的左右焦點分別為,離心率,右準線為,是上的兩個動點,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)證明:當取最小值時,與共線.22.(10分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時間,對每個工人組裝一個該產(chǎn)品的用時作了記錄,得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘).若用時不超過(分鐘),則稱這個工人為優(yōu)秀員工.(1)求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù);(2)以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率,任意調(diào)查名工人,求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

首先求得兩曲線的交點坐標,據(jù)此可確定積分區(qū)間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程:可得:,,結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查定積分的概念與計算,屬于中等題.2、D【解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析,由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項,甲的數(shù)據(jù)分析分,乙的數(shù)據(jù)分析分,甲低于乙,故A選項錯誤.對于B選項,甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項錯誤.對于C選項,乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項錯誤.對于D選項,甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項正確.故選:D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理,屬于基礎題.3、D【解析】

解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運算可得選項.【詳解】因為集合,故選:D.【點睛】本題考查集合的交集運算,屬于基礎題.4、D【解析】

根據(jù)題意得,設與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.5、D【解析】

做出函數(shù)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點,而函數(shù)在上有3個交點,則在上有4個不同的交點,數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根,則在上有4個不同的實數(shù)根,當直線經(jīng)過時,;當直線經(jīng)過時,,可知當時,直線與的圖象在上有4個交點,即方程,在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵,運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想,屬于中檔題.6、D【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系,由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑,結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系,再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍,即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系如下圖所示:設四邊形的內(nèi)切圓半徑為,雙曲線半焦距為,則所以,四邊形的內(nèi)切圓面積為,則,解得,則,即故由基本不等式可得,即,當且僅當時等號成立.故焦距的最小值為.故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應用,圓錐曲線與基本不等式綜合應用,屬于中檔題.7、C【解析】

利用數(shù)量積的定義可得,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用,考查推理能力與計算能力,屬于基礎題.8、D【解析】

將多項式的乘法式展開,結(jié)合二項式定理展開式通項,即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為,∴解得.故選:D.【點睛】本題考查了二項式定理展開式通項的簡單應用,指定項系數(shù)的求法,屬于基礎題.9、C【解析】試題分析:設,由題意,顯然時不符合題意,故,則,可得:,當且僅當時取等號,故選C.考點:1.拋物線的簡單幾何性質(zhì);2.均值不等式.【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程,均值不等式的靈活運用,屬于中檔題.解題時一定要注意分析條件,根據(jù)條件,利用向量的運算可知,寫出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號是否成立,否則易出問題.10、A【解析】

因為給出的解析式只適用于,所以利用周期性,將轉(zhuǎn)化為,再與一起代入解析式,利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運算性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4,當時,,,,.故選:A.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值,對數(shù)的運算性質(zhì),屬于中檔題.11、A【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得,即可得出.【詳解】設與的等比中項是.

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,.

∴與的等比中項

故選A.【點睛】本題考查了等比中項的求法,屬于基礎題.12、D【解析】

根據(jù)面面關(guān)系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,,,滿足,,則可能相交,故A錯誤;命題“:,”的否定為:,,故B錯誤;為真,說明至少一個為真命題,則不能推出為真;為真,說明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù),令,可求,從而可得,代入解析式即可求解.【詳解】令,則,由,則,所以,解得,所以,由時,,所以時,;由,所以,所以函數(shù)是以為周期的函數(shù),,又函數(shù)為奇函數(shù),所以.故答案為:【點睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應用,屬于中檔題.14、0【解析】

由題意,列方程組可求,即求.【詳解】∵在點處的切線方程為,,代入得①.又②.聯(lián)立①②解得:..故答案為:0.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,屬于基礎題.15、-1【解析】

討論三種情況,a<0時,根據(jù)均值不等式得到a(﹣a)≤﹣14,計算等號成立的條件得到答案.【詳解】已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a1﹣4)(x﹣4)>0,①a<0時,[x﹣(a)](x﹣4)<0,其中a0,故解集為(a,4),由于a(﹣a)≤﹣14,當且僅當﹣a,即a=﹣1時取等號,∴a的最大值為﹣4,當且僅當a4時,A中共含有最少個整數(shù),此時實數(shù)a的值為﹣1;②a=0時,﹣4(x﹣4)>0,解集為(﹣∞,4),整數(shù)解有無窮多,故a=0不符合條件;③a>0時,[x﹣(a)](x﹣4)>0,其中a4,∴故解集為(﹣∞,4)∪(a,+∞),整數(shù)解有無窮多,故a>0不符合條件;綜上所述,a=﹣1.故答案為:﹣1.【點睛】本題考查了解不等式,均值不等式,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.16、【解析】

求導得到,討論和兩種情況,計算時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案?!驹斀狻恳驗?,所以,因為,所以.當,即時,,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當,即時,因為在上單調(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)特征值為或.【解析】

(1)先設矩陣,根據(jù),按照運算規(guī)律,即可求出矩陣.(2)令矩陣的特征多項式等于,即可求出矩陣的特征值.【詳解】解:(1)設矩陣由題意,因為,所以,即所以,(2)矩陣的特征多項式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或.【點睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力.18、(1)更適宜(2)(3)x為2時,燒開一壺水最省煤氣【解析】

(1)根據(jù)散點圖是否按直線型分布作答;(2)根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于的線性回歸方程,再得出y關(guān)于x的回歸方程;(3)利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】(1)更適宜作燒水時間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型.(2)由公式可得:,,所以所求回歸方程為.(3)設,則煤氣用量,當且僅當時取“”,即時,煤氣用量最小.故x為2時,燒開一壺水最省煤氣.【點睛】本題考查擬合模型的選擇,回歸方程的求解,涉及均值不等式的使用,屬綜合中檔題.19、(1)減區(qū)間是,增區(qū)間是;(2),證明見解析.【解析】

(1)當時,求得函數(shù)的導函數(shù)以及二階導函數(shù),由此求得的單調(diào)區(qū)間.(2)令求得,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、極值和最值,結(jié)合有兩個極值點,求得的取值范圍.將代入列方程組,由證得.【詳解】(1),,又,所以在單增,從而當時,遞減,當時,遞增.(2).令,令,則故在遞增,在遞減,所以.注意到當時,所以當時,有一個極值點,當時,有兩個極值點,當時,沒有極值點,綜上因為是的兩個極值點,所以不妨設,得,因為在遞減,且,所以又所以【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點,考查利用導數(shù)證明不等式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于難題.20、(1);(2)①82,②分布列見解析,【解析】

(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1

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