《高考數(shù)學壓軸題通法訓練•高分必刷系列》專題26概率統(tǒng)計（解答題壓軸題）含答案及解析

專題26概率統(tǒng)計（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①概率與函數(shù) 1②概率與數(shù)列 3③概率綜合 6④二項分布 9⑤超幾何分布 12⑥正態(tài)分布 14⑦非線性回歸分析 17①概率與函數(shù)1．（2023秋·江西新余·高三新余市第一中學?？奸_學考試）現(xiàn)如今國家大力提倡養(yǎng)老社會化、市場化，老年公寓是其養(yǎng)老措施中的一種能夠滿足老年人的高質量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負責人為了能給老年人提供更加良好的服務，現(xiàn)對所入住的120名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間類型情況如下表所示：入住房間的類型單人間雙人間三人間人數(shù)366024(1)若按入住房間的類型采用分層抽樣的方法從這120名老年人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人進行詢問，記隨機抽取的4人中入住單人間的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.(2)記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時要求把入住單人間的2人和入住多人間的且人組成一組，負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組標為，否則該組標為.記詢問的某組被標為的概率為.（i）試用含的代數(shù)式表示;（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標為的概率，試求的最大值及此時的值.2．（2023春·廣東·高二校聯(lián)考期末）為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉全面推進素質教育，某學校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設每局比賽張三取勝的概率均為.(1)比賽結束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點.3．（2023·全國·高三專題練習）某企業(yè)包裝產(chǎn)品時，要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為.(1)試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；(2)設抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當為何值時，取得最大值，并求出最大值.4．（2023秋·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學考試）為了豐富學生的課外活動，某中學舉辦羽毛球比賽，經(jīng)過三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當參賽甲、乙兩位中有一位先贏得三局比賽時，則該選手獲勝，則比賽結束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設甲在每一局獲勝的概率均為.(1)若比賽進行三局就結束的概率為，求的最小值；(2)記（1）中，取得最小值時，的值為，以作為的值，用表示甲、乙實際比賽的局數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.②概率與數(shù)列1．（2023·浙江·模擬預測）立德中學有甲?乙兩家餐廳，如果趙同學上一天去甲餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.6，如果上一天去乙餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.8，已知趙同學第一天去甲餐廳用午餐的概率為0.5.(1)求趙同學第二天去乙餐廳用午餐的概率；(2)設趙同學第去甲餐廳用午餐的概率為，判斷與的大小，并求.2．（2023春·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習）設一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，且每次爬行都相互獨立．若螞蟻爬行次后，仍然在上底面的概率為．(1)求；(2)求的表達式．3．（2023·全國·高三專題練習）某幾位大學生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個服務公司提供、兩種民生消費產(chǎn)品（人們購買時每次只買其中一種）服務，他們經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：第一次購買產(chǎn)品的人購買的概率為、購買的概率為，而前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率為，前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率也是，如此往復.記某人第次來購買產(chǎn)品的概率為.(1)求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)經(jīng)過一段時間的經(jīng)營每天來購買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購買過很多次該兩款產(chǎn)品，那么公司每天應至少準備、產(chǎn)品各多少份.（直接寫結論、不必說明理由）.4．（2023·全國·高三專題練習）某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步上一個臺階，也可以一步上兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為，為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登上第n個臺階的概率為，其中，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列.5．（2023·全國·高三專題練習）足球是一項大眾喜愛的運動．2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天．某校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．(1)求（直接寫出結果即可）；(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小．6．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開學考試）為紀念中國共產(chǎn)黨成立102周年，學校某班組織開展了“學黨史，憶初心”黨史知識競賽活動，抽取四位同學，分成甲、乙兩組，每組兩人，進行對戰(zhàn)答題.規(guī)則如下：每次每位同學給出6道題目，其中有一道是送分題（即每位同學至少答對1題）.若每次每組答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，原答題組的人再繼續(xù)答題；若答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方組接著答題.假設每位同學每次答題之間相互獨立.求：(1)若第一次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；(2)若第一次由甲組答題，記第次由甲組答題的概率為，求.③概率綜合1．（2023·河北滄州·校考三模）甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.2．（2023·全國·學軍中學校聯(lián)考模擬預測）雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即勝者組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負者組繼續(xù)比賽.之后的每一輪，在負者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決賽.

(1)假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%，求：①隊伍A和D在決賽中過招的概率；②D在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；(2)若A的實力出類拔萃，即有A參加的比賽其勝率均為75%，其余三人實力旗鼓相當，求D進入決賽且先前與對手已有過招的概率.3．（2023·湖北咸寧·?？寄M預測）北京時間2021年11月7日凌晨1點，來自中國賽區(qū)的EDG戰(zhàn)隊，捧起了英雄聯(lián)盟S11全球總決賽的冠軍獎杯．據(jù)統(tǒng)計，僅在bilibili平臺，S11總決賽的直播就有3.5億人觀看．電子競技作為正式體育競賽項目已經(jīng)引起越來越多的年輕人關注．已知該項賽事的季后賽后半段有四支戰(zhàn)隊參加，采取“雙敗淘汰賽制”，對陣表如圖，賽程如下：第一輪：四支隊伍分別兩兩對陣（即比賽1和2），兩支獲勝隊伍進入勝者組，兩支失敗隊伍落入敗者組．第二輪：勝者組兩支隊伍對陣（即比賽3），獲勝隊伍成為勝者組第一名，失敗隊伍落入敗者組；第一輪落入敗者組兩支隊伍對陣（即比賽4），失敗隊伍（已兩?。┍惶蕴ǐ@得殿軍），獲勝隊伍留在敗者組．第三輪：敗者組兩支隊伍對陣（即比賽5），失敗隊伍被淘汰（獲得季軍);獲勝隊伍成為敗者組第一名．第四輪：敗者組第一名和勝者組第一名決賽（即比賽6），爭奪冠軍．假設每場比賽雙方獲勝的概率均為0.5，每場比賽之間相互獨立．問：

(1)若第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則他們?nèi)阅茉跊Q賽中對陣的概率是多少？(2)已知隊伍B在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中，敗了兩場，求在該條件下隊伍B獲得亞軍的概率．4．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考開學考試）某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)由3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為，且每個電子元件能否正常工作是相互獨立，若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修．(1)求系統(tǒng)需要維修的概率；(2)為提高系統(tǒng)正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率為，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作．問：滿足什么條件時可以提高整個系統(tǒng)的正常工作概率？5．（2023春·福建·高一福建師大附中?？计谀╇p淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即勝者組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負者組繼續(xù)比賽，之后的每一輪，在負者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決賽.

(1)假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%，求：①A獲得季軍的概率；②D在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；若A的實力出類拔萃，有4參加的比賽其勝率均為75%，其余三人實力旗鼓相當，求D進入決賽且先前與對手已有過招的概率.④二項分布1．（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習）某公司有A，B，C，D，E五輛汽車，其中A車的車牌尾號為1，B車的車牌尾號為2，C車的車牌尾號為5，D車的車牌尾號為9，E車的車牌尾號為8．已知在車輛限行日，車輛禁止出車，在非車輛限行日，每輛車都有可能出車或不出車，且A，B，C三輛汽車在非車輛限行日出車的概率均為，D，E兩輛汽車在非車輛限行日出車的概率均為，且五輛汽車是否出車相互獨立．該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：汽車車牌尾號車輛限行日1和6星期一2和7星期二3和8星期三4和9星期四0和5星期五(1)求星期三該公司恰有兩輛車出車的概率；(2)求星期一該公司出車數(shù)量的分布列和期望．2．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習）某中學高三年級為豐富學生課余生活，減輕學習壓力，組建了籃球社團.為了了解學生喜歡籃球是否與性別有關，隨機抽取了該年級男、女同學各50名進行調(diào)查，部分數(shù)據(jù)如表所示：喜歡籃球不喜歡籃球合計男生20女生15合計附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨立性檢驗，能否有的把握認為該校高三年級學生喜歡籃球與性別有關？(2)社團指導老師從喜歡籃球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范罰分線處定點投籃.已知這兩名男生進球的概率均為，這名女生進球的概率為，每人投籃一次，假設各人進球相互獨立，求3人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.3．（2023秋·山西大同·高三校聯(lián)考階段練習）近日，某企業(yè)舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答．小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為，且猜中每道謎語與否互不影響．(1)分別求小張，小王猜中謎語道數(shù)的分布列；(2)若預測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，求的取值范圍．4．（2023秋·重慶開州·高三重慶市開州中學?？茧A段練習）某學校為了提升學生學習數(shù)學的興趣，舉行了“趣味數(shù)學”闖關比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學能答對10道題中的6道題.(1)求小明同學在一輪比賽中所得積分的分布列和期望；(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，若參賽者每輪闖關成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關成功相互獨立，問：小明同學在5輪闖關比賽中，需幾次闖關成功才能使得對應概率取值最大？5．（2023秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校聯(lián)考階段練習）統(tǒng)計學是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來認識未知現(xiàn)象的一門科學.面對一個統(tǒng)計問題，首先要根據(jù)實際需求，通過適當?shù)姆椒ǐ@取數(shù)據(jù)，并選擇適當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行整理和描述，在此基礎上用各種統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行分析，從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的信息，推斷總體的情況，進而解決相應的實際問題.概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支.概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，它已滲透到我們的日常生活中，成為一個常用詞匯.同學們在學完高中統(tǒng)計和概率相關章節(jié)后，探討了以下兩個問題，請幫他們解決：(1)從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并分別計算在三種抽樣方式下抽到的兩人都是男生的概率，結合計算結果分析三種抽樣；(2)一個袋子中有100個除顏色外完全相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用表示樣本中黃球的個數(shù)，分別就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和數(shù)學期望.結合計算結果分析兩種摸球方式的特點.⑤超幾何分布1．（2023秋·高二課時練習）從一副去掉大小王牌的52張撲克牌中任取5張牌，用X表示其中黑桃的張數(shù).求X的分布、期望與方差.2．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學?？寄M預測）某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內(nèi)的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在內(nèi)的學員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．3．（2023·全國·高二專題練習）《中國制造2025》是經(jīng)國務院總理李克強簽批，由國務院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進實施制造強國的戰(zhàn)略文件，是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領．制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質量為先，堅持把質量作為建設制造強國的生命線.某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質量與生產(chǎn)標準的質量差都服從正態(tài)分布，并把質量差在內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質量差在內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品．現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)；(2)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）[參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：，，.(3)假如企業(yè)包裝時要求把3件優(yōu)等品和4件一等品裝在同一個箱子中，質檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進行檢驗，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為X，求X的分布列以及期望值.4．（2023春·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）中國乒乓球隊號稱夢之隊，在過往的三屆奧運會上，中國代表團包攬了全部枚乒乓球金牌，在北京奧運會上，甚至在男女子單打項目上包攬了金銀銅三枚獎牌.為了推動世界乒乓球運動的發(fā)展，增強比賽的觀賞性，年世界乒乓球錦標賽在乒乓球雙打比賽中允許來自不同協(xié)會的運動員組隊參加，現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員名，其中種子選手名；乙協(xié)會的運動員名，其中種子選手名，從這名運動員中隨機選擇人參加比賽(1)設為事件“選出的人中恰有名種子選手，且這名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件發(fā)生的概率；(2)設為選出的人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量的分布列，并求.⑥正態(tài)分布1．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預測）新高考改革后廣西省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學?外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理?歷史里選一門；“2”指考生要在生物學?化學?思想政治?地理4門中選擇2門.(1)若按照“3+1+2”模式選科，求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調(diào)查學生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生5000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡測試?滿分450分，假設該次網(wǎng)絡測試成績服從正態(tài)分布.①估計5000名學生中成績介于120分到300分之間有多少人；②某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得430分以上的高分”，請結合統(tǒng)計學知識分析上述宣傳語的可信度.附：，，.2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）隨著網(wǎng)絡技術的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡銷售的新渠道．在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：鳳梨數(shù)量（盒）購物群數(shù)量（個）122032(1)求實數(shù)的值，并用組中值估計這100個購物群銷售風梨總量的平均數(shù)（盒）；(2)假設所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量服從正態(tài)分布，其中為（1）中的平均數(shù)，．若該鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售風梨的數(shù)量在（單位：盒）內(nèi)的群為“一級群”，銷售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質群”．該鳳梨基地對每個“優(yōu)質群”獎勵1000元，每個“一級群”獎勵200元，“二級群”不獎勵，則該風梨基地大約需要準備多少資金？（群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù)）附：若服從正態(tài)分布，則．3．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據(jù)難度進行賦分，競猜活動共五關，規(guī)定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.(1)若甲第一關通過的概率為，第二關通過的概率為，求甲可以進入第三關的概率；(2)已知該闖關活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設該闖關活動平均分數(shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分數(shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數(shù)為201分，351分以上共有57人”，請結合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附：若隨機變量，則；；.4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）2022年，隨著最低工資標準提高，商品價格上漲，每個家庭的日常消費也隨著提高，某社會機構隨機調(diào)查了200個家庭的日常消費金額并進行了統(tǒng)計整理，得到數(shù)據(jù)如下表：消費金額（千元）人數(shù)406040302010以頻率估計概率，如果家庭消費金額可視為服從正態(tài)分布，分別為這200個家庭消費金額的平均數(shù)及方差（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）．(1)求和的值；(2)試估計這200個家庭消費金額為的概率（保留一位小數(shù)）；(3)依據(jù)上面的統(tǒng)計結果，現(xiàn)要在10個家庭中隨機抽取4個家庭進行更細致的消費調(diào)查，記消費金額為的家庭個數(shù)為，求的分布列及期望．參考數(shù)據(jù)：；若隨機變量，則，，.5．（2023·福建寧德·福建省寧德第一中學?？级＃蔷袷澜绲娜肟冢喿x讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）(2)若年輕人每天閱讀時間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；(3)為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到每天閱讀時間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．6．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）為深入學習黨的二十大精神，我校團委組織學生開展了“喜迎二十大，奮進新征程”知識競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學生中隨機抽取了100名，統(tǒng)計出他們競賽成績分布如下：成績（分）人數(shù)242240284(1)求抽取的100名學生競賽成績的方差（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)以頻率估計概率，發(fā)現(xiàn)我校參賽學生競賽成績X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均分，近似為樣本方差，若，參賽學生可獲得“參賽紀念證書？”；若，參賽學生可獲得“參賽先鋒證書”.①若我校有3000名學生參加本次競賽活動，試估計獲得“參賽紀念證書”的學生人數(shù)（結果保留整數(shù)）；②試判斷競賽成績?yōu)?6分的學生能否獲得“參賽先鋒證書”.附：若，則，，；抽取的這100名學生競賽成績的平均分.⑦非線性回歸分析1．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）抗體藥物的研發(fā)是生物技術制藥領域的一個重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關系成為研究抗體藥物的一個重要方面.某研究團隊收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值，抗體藥物攝入量為x（單位：），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：）.29.2121634.4

(1)根據(jù)經(jīng)驗，我們選擇作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將兩邊取對數(shù)，得，可以看出與具有線性相關關系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立關于的回歸方程，并預測抗體藥物攝入量為時，體內(nèi)抗體數(shù)量的值；(2)經(jīng)技術改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗統(tǒng)計得z服從正態(tài)分布，那這種抗體藥物的有效率超過0.54的概率約為多少？附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，；②若隨機變量，則有，，；③取.2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學校考三模）經(jīng)觀測，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表.360表中

(1)根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為與之間的回歸方程模型并求出關于回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個魚卵，其中“死卵”有2個；第二批中共有8個魚卵，其中“死卵”有3個．現(xiàn)隨機挑選一批，然后從該批次中隨機取出2個魚卵，求取出“死卵”個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.3．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學?？寄M預測）黨的二十大報告提出，從現(xiàn)在起，中國共產(chǎn)黨的中心任務就是團結帶領全國各族人民全面建成社會主義現(xiàn)代化強國、實現(xiàn)第二個百年奮斗目標，以中國式現(xiàn)代化全面推進中華民族偉大復興.高質量發(fā)展是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的首要任務.加快實現(xiàn)高水平科技自立自強，才能為高質量發(fā)展注入強大動能.某科技公司積極響應，加大高科技研發(fā)投入，現(xiàn)對近十年來高科技研發(fā)投入情況分析調(diào)研，其研發(fā)投入y（單位：億元）的統(tǒng)計圖如圖1所示，其中年份代碼x=1，2，…，10分別指2013年，2014年，…，2022年.

現(xiàn)用兩種模型①，②分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程，并進行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖．結合數(shù)據(jù)，計算得到如下值：752.2582.54.512028.67表中．(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；(2)根據(jù)（1）中所選模型，求出y關于x的回歸方程；根據(jù)所選模型，求該公司2028年高科技研發(fā)投入y的預報值．（回歸系數(shù)精確到0.01）附：對于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.4．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）某新能源汽車公司對其產(chǎn)品研發(fā)投資額x（單位：百萬元）與其月銷售量y（單位：千輛）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得到如下統(tǒng)計表和散點圖.x12345y0.691.611.792.082.20(1)通過分析散點圖的特征后，計劃用作為月銷售量y關于產(chǎn)品研發(fā)投資額x的回歸分析模型，根據(jù)統(tǒng)計表和參考數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程；(2)公司決策層預測當投資額為11百萬元時，決定停止產(chǎn)品研發(fā)，轉為投資產(chǎn)品促銷.根據(jù)以往的經(jīng)驗，當投資11百萬元進行產(chǎn)品促銷后，月銷售量的分布列為：345Pp結合回歸方程和的分布列，試問公司的決策是否合理.參考公式及參考數(shù)據(jù)：，，.y0.691.611.792.082.20（保留整數(shù)）256895．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學校考模擬預測）放行準點率是衡量機場運行效率和服務質量的重要指標之一.某機場自2012年起采取相關策略優(yōu)化各個服務環(huán)節(jié)，運行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)與該機場飛往A地航班放行準點率（）（單位：百分比）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所作的散點圖及經(jīng)過初步處理后得到的一些統(tǒng)計量的值.2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中，(1)根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為該機場飛往A地航班放行準點率y關于年份數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗回歸方程，由此預測2023年該機場飛往A地的航班放行準點率.(2)已知2023年該機場飛往A地?B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預測值作為2023年該機場飛往A地航班放行準點率的估計值，且2023年該機場飛往B地及其他地區(qū)（不包含A、B兩地）航班放行準點率的估計值分別為和，試解決以下問題：（i）現(xiàn)從2023年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個，求該航班準點放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機場準點放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區(qū)等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由.附：（1）對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，參考數(shù)據(jù)：，，.6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）2020年，是人類首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國首次精確測定并公布珠峰高程的45周年.華為幫助中國移動開通珠峰峰頂5G，有助于測量信號的實時開通，為珠峰高程測量提供通信保障，也驗證了超高海拔地區(qū)5G信號覆蓋的可能性，在持續(xù)高風速下5G信號的穩(wěn)定性，在條件惡劣地區(qū)通過簡易設備傳輸視頻信號的可能性.正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價值體系的理想是為人類服務.”有人曾問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認為它是科學技術的一次珠峰登頂，告訴全世界，華為5G、中國5G的底氣來自哪里.現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某IT公司基于領先技術的支持，5G經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟收入y（單位：百萬元）關于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖.月份x123456收入y（百萬元）6.68.616.121.633.041.0(1)根據(jù)散點圖判斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個更適宜作為5G經(jīng)濟收入y關于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的結果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程，并預測該公司7月份的5G經(jīng)濟收入.（結果保留小數(shù)點后兩位）(3)從前6個月的收入中抽取2個，記收入超過20百萬元的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，設（i=1，2，3，4，5，6）.參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)（，）（i=1，2，3，…，n），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

專題26概率統(tǒng)計（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①概率與函數(shù) 1②概率與數(shù)列 5③概率綜合 9④二項分布 15⑤超幾何分布 21⑥正態(tài)分布 25⑦非線性回歸分析 31①概率與函數(shù)1．（2023秋·江西新余·高三新余市第一中學校考開學考試）現(xiàn)如今國家大力提倡養(yǎng)老社會化、市場化，老年公寓是其養(yǎng)老措施中的一種能夠滿足老年人的高質量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負責人為了能給老年人提供更加良好的服務，現(xiàn)對所入住的120名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間類型情況如下表所示：入住房間的類型單人間雙人間三人間人數(shù)366024(1)若按入住房間的類型采用分層抽樣的方法從這120名老年人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人進行詢問，記隨機抽取的4人中入住單人間的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.(2)記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時要求把入住單人間的2人和入住多人間的且人組成一組，負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組標為，否則該組標為.記詢問的某組被標為的概率為.（i）試用含的代數(shù)式表示;（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標為的概率，試求的最大值及此時的值.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）時的最大值為.【詳解】（1）因為單人間、雙人間、三人間入住人數(shù)比為36：60：24，即3：5：2，所以這10人中，入住單人間、雙人間、三人間的人數(shù)分別為，，，所以的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123P.（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中入住房間類型相同的有種選法，所以詢問的某組被標為的概率.（ii）由題意，5組中恰有3組被標為的概率所以所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，最大值為，由且，得，所以當時，5組中恰有3組被標為Ⅱ的概率最大，且的最大值為.2．（2023春·廣東·高二校聯(lián)考期末）為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉全面推進素質教育，某學校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設每局比賽張三取勝的概率均為.(1)比賽結束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：根據(jù)題意，比賽結束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是；（2）解：由題可知，，令，得，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減.所以的最大值點.3．（2023·全國·高三專題練習）某企業(yè)包裝產(chǎn)品時，要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為.(1)試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；(2)設抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當為何值時，取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)(2)時，抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率最大，最大值為【詳解】（1）從件正品中任選兩個，有種選法，其中等級相同有種選法，∴某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率.（2）由題意，一箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率為，則抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，所以，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，最大值為.此時，，且，解得，∴當時，抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率最大，最大值為.4．（2023秋·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學考試）為了豐富學生的課外活動，某中學舉辦羽毛球比賽，經(jīng)過三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當參賽甲、乙兩位中有一位先贏得三局比賽時，則該選手獲勝，則比賽結束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設甲在每一局獲勝的概率均為.(1)若比賽進行三局就結束的概率為，求的最小值；(2)記（1）中，取得最小值時，的值為，以作為的值，用表示甲、乙實際比賽的局數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）三局就結束比賽的概率為，由，當；當，所以在上遞減，在上遞增，所以，當時，取得最小值為.（2）由（1）知，，設實際比賽局數(shù)為，則的可能取值為，所以，，，的分布列為：345.②概率與數(shù)列1．（2023·浙江·模擬預測）立德中學有甲?乙兩家餐廳，如果趙同學上一天去甲餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.6，如果上一天去乙餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.8，已知趙同學第一天去甲餐廳用午餐的概率為0.5.(1)求趙同學第二天去乙餐廳用午餐的概率；(2)設趙同學第去甲餐廳用午餐的概率為，判斷與的大小，并求.【答案】(1)0.3(2)；．【詳解】（1）因為趙同學第一天去甲餐廳用午餐的概率為0.5，,那么他去乙餐廳用午餐的概率也為0.5，則他第二天去乙餐廳用午餐的概率為；（2）由已知，，，，即，因此，，又，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比是，∴，從而．2．（2023春·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習）設一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，且每次爬行都相互獨立．若螞蟻爬行次后，仍然在上底面的概率為．(1)求；(2)求的表達式．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意得，若螞蟻爬行2次后仍在上底面，即螞蟻始終在上底面爬行或者先爬到下底面然后返回，所以．（2）設螞蟻爬次后仍在上底面的概率為，那么它前一步只有兩種情況：：如果本來就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有兩條路，其概率是；：如果是上一步在下底面，則第步不在上底面的概率是，如果爬上來，其概率應是．事件互斥，因此，，整理得，即，所以為等比數(shù)列，公比為，首項為，所以．3．（2023·全國·高三專題練習）某幾位大學生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個服務公司提供、兩種民生消費產(chǎn)品（人們購買時每次只買其中一種）服務，他們經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：第一次購買產(chǎn)品的人購買的概率為、購買的概率為，而前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率為，前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率也是，如此往復.記某人第次來購買產(chǎn)品的概率為.(1)求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)經(jīng)過一段時間的經(jīng)營每天來購買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購買過很多次該兩款產(chǎn)品，那么公司每天應至少準備、產(chǎn)品各多少份.（直接寫結論、不必說明理由）.【答案】(1)，證明見解析(2)公司每天應至少準備A產(chǎn)品320份、B產(chǎn)品480份【詳解】（1）.依題意，知，則，當時，可得，∴數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列.（2）由(1)知：，∴當趨于無窮大時，，即第次來購買產(chǎn)品的概率約為，，，故公司每天應至少準備產(chǎn)品320份、產(chǎn)品480份.4．（2023·全國·高三專題練習）某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步上一個臺階，也可以一步上兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為，為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登上第n個臺階的概率為，其中，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列.【答案】證明見解析【詳解】證明：由題可得，，則，，∴，由于，，∴，故，則，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.5．（2023·全國·高三專題練習）足球是一項大眾喜愛的運動．2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天．某校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．(1)求（直接寫出結果即可）；(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。敬鸢浮?1)(2)證明見解析，【詳解】（1）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故．（2）第次觸球者是甲的概率記為，則當時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則，從而，又，是以為首項，公比為的等比數(shù)列．則，∴，，，故第19次觸球者是甲的概率大．6．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開學考試）為紀念中國共產(chǎn)黨成立102周年，學校某班組織開展了“學黨史，憶初心”黨史知識競賽活動，抽取四位同學，分成甲、乙兩組，每組兩人，進行對戰(zhàn)答題.規(guī)則如下：每次每位同學給出6道題目，其中有一道是送分題（即每位同學至少答對1題）.若每次每組答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，原答題組的人再繼續(xù)答題；若答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方組接著答題.假設每位同學每次答題之間相互獨立.求：(1)若第一次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；(2)若第一次由甲組答題，記第次由甲組答題的概率為，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設第1次由甲組答題記作事件A，第1次由乙組答題記作事件，第2次由乙組答題記作事件B，因為答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)分別為，，，，，，，所以答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為，所以答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)的概率為，則；（2）第次由甲組答題，是第次由甲組答題第次繼續(xù)由甲組答題的事件與第次由乙組答題第次繼續(xù)由甲組答題的事件和，它們互斥，又各次答題相互獨立，所以第次由甲組答題，第次繼續(xù)由甲組答題的概率為，第次由乙組答題，第次繼續(xù)由甲組答題的概率為，因此，則，因為第一次由甲組答題，則，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即③概率綜合1．（2023·河北滄州·?？既＃┘住⒁?、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知，甲、乙、丙各旁觀1局的概率即為甲、乙、丙各勝1局的概率.設甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件，，，則，，相互獨立，設比賽完3局時，甲、乙、丙各勝1局為事件，則，則，所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為.（2）設甲、乙、丙第局比賽獲勝分別為事件，，，，設比賽完5局甲獲得最終勝利為事件，則，，，，，，所以.所以，已知比賽進行5局后結束，甲獲得最終勝利的概率為.2．（2023·全國·學軍中學校聯(lián)考模擬預測）雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即勝者組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負者組繼續(xù)比賽.之后的每一輪，在負者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決賽.

(1)假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%，求：①隊伍A和D在決賽中過招的概率；②D在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；(2)若A的實力出類拔萃，即有A參加的比賽其勝率均為75%，其余三人實力旗鼓相當，求D進入決賽且先前與對手已有過招的概率.【答案】(1)①；②.(2)【詳解】（1）解：假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%，即概率為，①由題意，第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則獲勝隊伍需要贏得比賽3的勝利，失敗隊伍需要贏得比賽4和比賽5的勝利，他們才能在決賽中對陣，所以A和D在決賽中過招的概率為；②設表示隊伍D在比賽中勝利，表示隊伍D所參加的比賽中失敗，則事件：隊伍D獲得亞軍，事件：隊伍D所參加所有比賽中失敗了兩場，事件：包括，，，，五種情況.其中這五種情況彼此互斥，可得:，其中積事件包括，兩種情況.可得，所以所求概率為.（2）解：由題意，A獲勝的概率為，B、C、D之間獲勝的概率均為，要使得D進入決賽且先前與對手已有過招，可分為兩種情況：①若A與D在決賽中相遇，分為A1勝，3勝，D1負4勝5勝，或A1負4勝5勝，D1勝，3勝，可得概率為；②若B與D決賽相遇，D1勝，3勝，B2勝3負5勝，或D1勝，3負，5勝，B2勝3勝，可得概率為，③若C與D決賽相遇，同B與D在決賽中相遇，可得概率為；所以D進入決賽且先前與對手已有過招的概率.3．（2023·湖北咸寧·?？寄M預測）北京時間2021年11月7日凌晨1點，來自中國賽區(qū)的EDG戰(zhàn)隊，捧起了英雄聯(lián)盟S11全球總決賽的冠軍獎杯．據(jù)統(tǒng)計，僅在bilibili平臺，S11總決賽的直播就有3.5億人觀看．電子競技作為正式體育競賽項目已經(jīng)引起越來越多的年輕人關注．已知該項賽事的季后賽后半段有四支戰(zhàn)隊參加，采取“雙敗淘汰賽制”，對陣表如圖，賽程如下：第一輪：四支隊伍分別兩兩對陣（即比賽1和2），兩支獲勝隊伍進入勝者組，兩支失敗隊伍落入敗者組．第二輪：勝者組兩支隊伍對陣（即比賽3），獲勝隊伍成為勝者組第一名，失敗隊伍落入敗者組；第一輪落入敗者組兩支隊伍對陣（即比賽4），失敗隊伍（已兩敗）被淘汰（獲得殿軍），獲勝隊伍留在敗者組．第三輪：敗者組兩支隊伍對陣（即比賽5），失敗隊伍被淘汰（獲得季軍);獲勝隊伍成為敗者組第一名．第四輪：敗者組第一名和勝者組第一名決賽（即比賽6），爭奪冠軍．假設每場比賽雙方獲勝的概率均為0.5，每場比賽之間相互獨立．問：

(1)若第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則他們?nèi)阅茉跊Q賽中對陣的概率是多少？(2)已知隊伍B在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中，敗了兩場，求在該條件下隊伍B獲得亞軍的概率．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知，第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則獲勝隊伍需要贏得比賽3的勝利，失敗隊伍需要贏得比賽4和比賽5的勝利，他們才能在決賽中對陣，所以所求的概率為（2）設表示隊伍B在比賽i中勝利，表示隊伍B在比賽i中失敗，設事件E：隊伍B獲得亞軍，事件F：隊伍B所參加的所有比賽中敗了兩場，則事件F包括，，，，，且這五種情況彼此互斥，進而事件包括，且這兩種情況互斥，進而所以所求事件的概率為4．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考開學考試）某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)由3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為，且每個電子元件能否正常工作是相互獨立，若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修．(1)求系統(tǒng)需要維修的概率；(2)為提高系統(tǒng)正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率為，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作．問：滿足什么條件時可以提高整個系統(tǒng)的正常工作概率？【答案】(1)(2)【詳解】（1）記事件，事件事件，顯然事件與事件互斥，則由題意可知.所以系統(tǒng)需要維修的概率為.（2）記，，，，則由題意可知且顯然事件、事件、事件兩兩互斥，則,將分別代入并整理得.由（1）可知系統(tǒng)原來的正常工作概率為，若新增兩個電子元件后整個系統(tǒng)的正常工作概率提高了，則有不等式成立，解得,考慮實際意義知.綜上當時，可以提高整個系統(tǒng)的正常工作概率.5．（2023春·福建·高一福建師大附中?？计谀╇p淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即勝者組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負者組繼續(xù)比賽，之后的每一輪，在負者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決賽.

(1)假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%，求：①A獲得季軍的概率；②D在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；(2)若A的實力出類拔萃，有4參加的比賽其勝率均為75%，其余三人實力旗鼓相當，求D進入決賽且先前與對手已有過招的概率.【答案】(1)①；②(2)【詳解】（1）假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%，即概率為，①由題意，第一輪比賽一組，一組，要A獲得季軍，則進入勝者組，后續(xù)連敗兩輪，或進入負者組，后續(xù)兩輪先勝后敗，所以A獲得季軍的概率為.②設表示隊伍D在比賽中勝利，表示隊伍D所參加的比賽中失敗，事件：隊伍D獲得亞軍，事件：隊伍D所參加所有比賽中失敗了兩場，事件：包括，，，，五種情況.其中這五種情況彼此互斥，得，其中積事件包括，兩種情況.得，所以所求概率為.（2）由題意，A獲勝的概率為，B、C、D之間獲勝的概率均為，要使D進入決賽且先前與對手已有過招，可分為兩種情況：①若A與D在決賽中相遇，分為A：1勝，3勝，D：1負4勝5勝，或A：1負4勝5勝，D：1勝，3勝，概率為；②若B與D決賽相遇，D：1勝，3勝，B：2勝3負5勝，或D：1勝，3負，5勝，B：2勝3勝，概率為，③若C與D決賽相遇，同B與D在決賽中相遇，概率為；所以D進入決賽且先前與對手已有過招的概率.④二項分布1．（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習）某公司有A，B，C，D，E五輛汽車，其中A車的車牌尾號為1，B車的車牌尾號為2，C車的車牌尾號為5，D車的車牌尾號為9，E車的車牌尾號為8．已知在車輛限行日，車輛禁止出車，在非車輛限行日，每輛車都有可能出車或不出車，且A，B，C三輛汽車在非車輛限行日出車的概率均為，D，E兩輛汽車在非車輛限行日出車的概率均為，且五輛汽車是否出車相互獨立．該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：汽車車牌尾號車輛限行日1和6星期一2和7星期二3和8星期三4和9星期四0和5星期五(1)求星期三該公司恰有兩輛車出車的概率；(2)求星期一該公司出車數(shù)量的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望為.【詳解】（1）由題可知，星期三禁止出車的車輛為E，可以出車的車輛為A，B，C，D，則星期三該公司恰有兩輛車出車的概率．（2）由題可知，星期一禁止出車的車輛為A，可以出車的車輛為B，C，D，E．設星期一該公司出車的數(shù)量為X，則X的取值可能為0，1，2，3，4．，，，，．故X的分布列為X01234P．2．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）某中學高三年級為豐富學生課余生活，減輕學習壓力，組建了籃球社團.為了了解學生喜歡籃球是否與性別有關，隨機抽取了該年級男、女同學各50名進行調(diào)查，部分數(shù)據(jù)如表所示：喜歡籃球不喜歡籃球合計男生20女生15合計附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨立性檢驗，能否有的把握認為該校高三年級學生喜歡籃球與性別有關？(2)社團指導老師從喜歡籃球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范罰分線處定點投籃.已知這兩名男生進球的概率均為，這名女生進球的概率為，每人投籃一次，假設各人進球相互獨立，求3人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)有的把握認為該年級學生喜歡籃球與性別有關.(2)分布列見解析，【詳解】（1）依題意，列聯(lián)表如下：喜歡籃球不喜歡籃球合計男生302050女生153550合計4555100零假設：該年級喜歡籃球與性別無關，的觀測值為，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以有的把握認為該年級學生喜歡籃球與性別有關.（2）依題意，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123數(shù)學期望.3．（2023秋·山西大同·高三校聯(lián)考階段練習）近日，某企業(yè)舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答．小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為，且猜中每道謎語與否互不影響．(1)分別求小張，小王猜中謎語道數(shù)的分布列；(2)若預測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，求的取值范圍．【答案】(1)分布列見解析(2)【詳解】（1）設小張猜中謎語的道數(shù)為，可知隨機變量服從超幾何分布，的取值分別為2，3，4．有，，，故小張猜中謎語道數(shù)的分布列為234設小王猜中謎語的道數(shù)為，可知隨機變量服從二項分布的取值分別為0，1，2，3，4，有，，，，．故小王猜中謎語道數(shù)的分布列為01234（2）由（1）可知，若預測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，則，可得．4．（2023秋·重慶開州·高三重慶市開州中學?？茧A段練習）某學校為了提升學生學習數(shù)學的興趣，舉行了“趣味數(shù)學”闖關比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學能答對10道題中的6道題.(1)求小明同學在一輪比賽中所得積分的分布列和期望；(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，若參賽者每輪闖關成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關成功相互獨立，問：小明同學在5輪闖關比賽中，需幾次闖關成功才能使得對應概率取值最大？【答案】(1)分布列見解析，(2)3次或4次【詳解】（1）由題知：可取0，1，2，3，則:，，，，故的分布列為：0123則的期望為：.（2）方法1、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，記概率為若小明同學在5輪闖關比賽中，記闖關成功的次數(shù)為，則.故所以的分布列為：012345故小明同學在5輪闖關比賽中，需3次或4次闖關成功才能使得對應概率取值最大.方法2、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，記概率為若小明同學在5輪闖關比賽中，記闖關成功的次數(shù)為，則故∴假設當時，對應概率取值最大，則解得，而故小明同學在5輪闖關比賽中，需3次或4次闖關成功才能使得對應概率取值最大.5．（2023秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校聯(lián)考階段練習）統(tǒng)計學是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來認識未知現(xiàn)象的一門科學.面對一個統(tǒng)計問題，首先要根據(jù)實際需求，通過適當?shù)姆椒ǐ@取數(shù)據(jù)，并選擇適當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行整理和描述，在此基礎上用各種統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行分析，從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的信息，推斷總體的情況，進而解決相應的實際問題.概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支.概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，它已滲透到我們的日常生活中，成為一個常用詞匯.同學們在學完高中統(tǒng)計和概率相關章節(jié)后，探討了以下兩個問題，請幫他們解決：(1)從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并分別計算在三種抽樣方式下抽到的兩人都是男生的概率，結合計算結果分析三種抽樣；(2)一個袋子中有100個除顏色外完全相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用表示樣本中黃球的個數(shù)，分別就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和數(shù)學期望.結合計算結果分析兩種摸球方式的特點.【答案】(1)答案見解析；(2)分布列見解析，數(shù)學期望為8；特點見解析.【詳解】（1）設第一次抽取的人記為，第二次抽取的人記為，則可用數(shù)組表示樣本點，設事件“抽到兩名男生”，有放回簡單隨機抽樣的樣本空間，事件，則；不放回簡單隨機抽樣的樣本空間，事件，則；按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間，由于按性別等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，則，因此，計算表明，在總體的男、女生人數(shù)相同的情況下，用有放回簡單隨機抽樣進行抽樣，出現(xiàn)全是男生的樣本的概率為0.25；用不放回簡單隨機抽樣進行抽樣，出現(xiàn)全是男生的樣本的概率約為0.167，用有放回簡單隨機抽樣進行抽樣，可以有效地降低出現(xiàn)“極端”樣本的概率，特別是，在按性別等比例分層抽樣中，全是男生的樣本出現(xiàn)的概率為0，真正避免了這類極端樣本的出現(xiàn).所以改進抽樣方法對于提高樣本的代表性很重要.（2）對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為，且各次試驗是獨立的，因此，的分布列為，，的數(shù)學期望為；對于不放回摸球，各次試驗不獨立，服從超幾何分布，的分布列為，，的數(shù)學期望為⑤超幾何分布1．（2023秋·高二課時練習）從一副去掉大小王牌的52張撲克牌中任取5張牌，用X表示其中黑桃的張數(shù).求X的分布、期望與方差.【答案】答案見詳解【詳解】52張撲克牌中有13張黑桃，39張非黑桃，X的可能取值為0,1,2,3,4,5.，，，，，.故X的分布列為：X012345P，.2．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內(nèi)的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在內(nèi)的學員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1)，(2)分布列見解析；期望為【詳解】（1）由直方圖可知，解得．因為，，所以學員該項技能的評價指標的中位數(shù)在內(nèi)．設學員該項技能的評價指標的中位數(shù)為，則，解得．（2）由題意可知抽取的12名學員中該項技能的評價指標在內(nèi)的有4名，在內(nèi)的有8名．由題意可知的所有可能取值為．，，，，，則的分布列為012343．（2023·全國·高二專題練習）《中國制造2025》是經(jīng)國務院總理李克強簽批，由國務院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進實施制造強國的戰(zhàn)略文件，是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領．制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質量為先，堅持把質量作為建設制造強國的生命線.某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質量與生產(chǎn)標準的質量差都服從正態(tài)分布，并把質量差在內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質量差在內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品．現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)；(2)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）[參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：，，.(3)假如企業(yè)包裝時要求把3件優(yōu)等品和4件一等品裝在同一個箱子中，質檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進行檢驗，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為X，求X的分布列以及期望值.【答案】(1)(2)(3)分布列見解析，；【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，.（2）由題意可知，樣本方差，故，所以，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率：；（3）X所有可能值為0，1，2，3.，，，.所以的分布列為數(shù)學期望.4．（2023春·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）中國乒乓球隊號稱夢之隊，在過往的三屆奧運會上，中國代表團包攬了全部枚乒乓球金牌，在北京奧運會上，甚至在男女子單打項目上包攬了金銀銅三枚獎牌.為了推動世界乒乓球運動的發(fā)展，增強比賽的觀賞性，年世界乒乓球錦標賽在乒乓球雙打比賽中允許來自不同協(xié)會的運動員組隊參加，現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員名，其中種子選手名；乙協(xié)會的運動員名，其中種子選手名，從這名運動員中隨機選擇人參加比賽(1)設為事件“選出的人中恰有名種子選手，且這名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件發(fā)生的概率；(2)設為選出的人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量的分布列，并求.【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）由已知，有，所以事件發(fā)生的概率為.（2）隨機變量的所有可能取值為、、、，，，，，所以隨機變量的分布列為所以.⑥正態(tài)分布1．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預測）新高考改革后廣西省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學?外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理?歷史里選一門；“2”指考生要在生物學?化學?思想政治?地理4門中選擇2門.(1)若按照“3+1+2”模式選科，求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調(diào)查學生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生5000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡測試?滿分450分，假設該次網(wǎng)絡測試成績服從正態(tài)分布.①估計5000名學生中成績介于120分到300分之間有多少人；②某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得430分以上的高分”，請結合統(tǒng)計學知識分析上述宣傳語的可信度.附：，，.【答案】(1)種(2)①4093人；②不可信【詳解】（1）甲乙兩個學生必選語文?數(shù)學?外語，若另一門相同的選擇物理?歷史中的一門，有種，在生物學?化學?思想政治?地理4門中甲乙選擇不同的2門，則，即種；若另一門相同的選擇生物學?化學?思想政治?地理4門中的一門，則有種，所以甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)共種方法；（2）①設此次網(wǎng)絡測試的成績記為，則，由題知，，，則，所以，所以估計5000名學生中成績介于120分到300分之間有4093人；②不可信.，則，5000名學生中成績大于430分的約有人，這說明5000名考生中，會出現(xiàn)約7人的成績高于430分的“極端”樣本，所以說“某校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得430分以上的高分”，說法錯誤，此宣傳語不可信.2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）隨著網(wǎng)絡技術的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡銷售的新渠道．在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：鳳梨數(shù)量（盒）購物群數(shù)量（個）122032(1)求實數(shù)的值，并用組中值估計這100個購物群銷售風梨總量的平均數(shù)（盒）；(2)假設所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量服從正態(tài)分布，其中為（1）中的平均數(shù)，．若該鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售風梨的數(shù)量在（單位：盒）內(nèi)的群為“一級群”，銷售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質群”．該鳳梨基地對每個“優(yōu)質群”獎勵1000元，每個“一級群”獎勵200元，“二級群”不獎勵，則該風梨基地大約需要準備多少資金？（群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù)）附：若服從正態(tài)分布，則．【答案】(1)，376(2)186800元【詳解】（1）由題意得：，解得．故平均數(shù)為.（2）由題意，，且，故，所以“優(yōu)質群”約有個，，所以“一級群”約有個；所以需要資金為，故至少需要準備186800元．3．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據(jù)難度進行賦分，競猜活動共五關，規(guī)定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.(1)若甲第一關通過的概率為，第二關通過的概率為，求甲可以進入第三關的概率；(2)已知該闖關活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設該闖關活動平均分數(shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分數(shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數(shù)為201分，351分以上共有57人”，請結合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附：若隨機變量，則；；.【答案】(1)(2)①能，理由見解析②假【詳解】（1）設：第i次通過第一關，：第i次通過第二關，甲可以進入第三關的概率為，由題意知.（2）設此次闖關活動的分數(shù)記為.①由題意可知，因為，且，所以，則；而，且，所以前400名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎勵；②假設乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分數(shù)為430分是小概率事件，可認為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認為乙所說為假.4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）2022年，隨著最低工資標準提高，商品價格上漲，每個家庭的日常消費也隨著提高，某社會機構隨機調(diào)查了200個家庭的日常消費金額并進行了統(tǒng)計整理，得到數(shù)據(jù)如下表：消費金額（千元）人數(shù)406040302010以頻率估計概率，如果家庭消費金額可視為服從正態(tài)分布，分別為這200個家庭消費金額的平均數(shù)及方差（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）．(1)求和的值；(2)試估計這200個家庭消費金額為的概率（保留一位小數(shù)）；(3)依據(jù)上面的統(tǒng)計結果，現(xiàn)要在10個家庭中隨機抽取4個家庭進行更細致的消費調(diào)查，記消費金額為的家庭個數(shù)為，求的分布列及期望．參考數(shù)據(jù)：；若隨機變量，則，，.【答案】(1)4.3；2.06(2)0.8(3)分布列見解析，【詳解】（1）由題意得（2）由（1）得所以.（3）由題意知這10個家庭中消費金額在范圍內(nèi)的有8個家庭，故X的所有取值為2，3，4，，，，所以X的分布列為X234P所以．5．（2023·福建寧德·福建省寧德第一中學?？级＃蔷袷澜绲娜肟?，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）(2)若年輕人每天閱讀時間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；(3)為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到每天閱讀時間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．【答案】(1)(2)(3)分布列見解析；期望為【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：．（2）由題意知，即，所以．（3）由題意可知，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機變量的取值可以為，，，，，故的分布列為：0123所以.6．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）為深入學習黨的二十大精神，我校團委組織學生開展了“喜迎二十大，奮進新征程”知識競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學生中隨機抽取了100名，統(tǒng)計出他們競賽成績分布如下：成績（分）人數(shù)242240284(1)求抽取的100名學生競賽成績的方差（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)以頻率估計概率，發(fā)現(xiàn)我校參賽學生競賽成績X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均分，近似為樣本方差，若，參賽學生可獲得“參賽紀念證書？”；若，參賽學生可獲得“參賽先鋒證書”.①若我校有3000名學生參加本次競賽活動，試估計獲得“參賽紀念證書”的學生人數(shù)（結果保留整數(shù)）；②試判斷競賽成績?yōu)?6分的學生能否獲得“參賽先鋒證書”.附：若，則，，；抽取的這100名學生競賽成績的平均分.【答案】(1)(2)①2456②能獲得“參賽先峰證書”【詳解】（1）由題意，抽取的這100名學生競賽成績的平均分，所以100名學生本次競賽成績方差；（2）①由于近似為樣本成績平均分，近似為樣本成績方差，所以，可知，，由于競賽成績X近似地服從正態(tài)分布，因此競賽學生可獲得“參賽紀念證書”的概率，所以，故估計獲得“參賽紀念證書”的學生人數(shù)為2456，②當時，即時，參賽學生可獲得“參賽先鋒證書”，所以競賽成績?yōu)?6分的學生能獲得“參賽先峰證書”.⑦非線性回歸分析1．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）抗體藥物的研發(fā)是生物技術制藥領域的一個重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關系成為研究抗體藥物的一個重要方面.某研究團隊收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值，抗體藥物攝入量為x（單位：），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：）.29.2121634.4

(1)根據(jù)經(jīng)驗，我們選擇作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將兩邊取對數(shù)，得，可以看出與具有線性相關關系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立關于的回歸方程，并預測抗體藥物攝入量為時，體內(nèi)抗體數(shù)量的值；(2)經(jīng)技術改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗