廣西柳州某中學2024-2025學年高一年級上冊期中考試數學試卷

廣西柳州高級中學2024-2025學年高一上學期期中考試數學試

卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/=｛%|log2(x+l)<1},5=1x|x-5x+4>(|，則()

A.{x|x<l}B.{x|x<l}

C.{x|x<l^x>4}D.{x|-l<x<l}

2.已知i為虛數單位，23+i?3的虛部為（)

A.—iB.iC.-1D.1

l,x<2

3.已知函數/（%）=<x-l,2<x<3,且=則與=()

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

4.已知數列｛%｝對于任意p,qeN*,都有若％=也，則%=（）

A.2B.72C.4D.472

5.己知平面向量刃滿足『=2,可=1,且3在￡上的投影向量為-則￡與書的夾角

為（）

71271…3兀c5兀

A.-B.—C.—D.—

3386

6.已知S”為等差數列｛%｝的前〃項和，若2%+3即=20,則幾=（）

A.39B.52C.65D.78

7.在平面直角坐標系中，點P為圓。工+（了+2）2=1上一動點，點P至I」直線加x+y-2=0的

距離記為4,當機變化時，則d的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

222

8.點耳，匕為橢圓￡:0+4=1（〃>6>0）的左、右焦點，過準線x=上與無軸的交點尸作

abc

直線/交橢圓于42兩點.若四邊形/明鳥為梯形，且對角線四,8鳥滿足|/用-|朋卜|）閭

試卷第1頁，共4頁

則離心率e為（）

1百1D.號

A.-B.—C.一

332

二、多選題

9.已知函數/（x）=Gsin2x-2cos2x,則下列結論正確的是（）

A.“X）是周期為71的奇函數B.“X）的圖象關于點對稱

57r47r

C.“X）在?，一上單調遞增D./（X）的值域是[-3,1]

63

10.等差數列{?！皚中，G>0,則下列命題正確的是（）

A.若%+%=4,則5=18

B.若4+%=5,々3+。4=9,貝ij%+。8=17

C.若兒>0，$25<0，則

D.若品=%，則%>0

11.對于V尤eR,⑶表示不超過x的最大整數，如[3.14]=3,[-2.7]=-3,記x=[x]+{x},

從而有04{X}<1,以下是真命題的有（）

A.{-2.3}=0.3

B.Vx/eR,若[刃=[川，則

C.不等式-320的解集為工?-叫0川[2,+8）

D.設〃eN*,則對VxeR有兇=口]

nJ\_n]

三、填空題

12.已知{與}是單調遞增的等比數列，%+生=24,4&=128,則公比q的值是.

22

13.橢圓E:]+%=l（a>6>0）的上下頂點記為4，B2,在x軸上取一點P,記直線

3

交橢圓E的另外一點為點0,若直線4戶，/睡的斜率K，色，有/能=-1,則離心率e的

試卷第2頁，共4頁

值是.

14.為了調查柳高高二年級歷史類班級對學習數學的熱愛程度，對一教三樓的5個班級進行

問卷調查，得到這5個班級中每班熱愛數學程度偏低的學生人數為再,3,巧,匕，%(具體數據

丟失)但已知這5個數據的方差為4,平均數為丁丁+丁二一1的最小值(其中尤+了=:，

3x+3y3［xy5

x/>0)且這5個數互不相同，則其最大值為，數據的極差為.

四、解答題

15.世界杯足球賽備受矚目，一時間掀起了國內外的足球熱潮，某機構為了解球迷對足球的

喜愛，為此進行了調查.現從球迷中隨機選出100人作為樣本,并將這100人按年齡分組:第1組

［20,30),第2組［30,40),第3組［40,50),第4組［50,60),第5組［60,70］,得到頻率分布直

方圖如圖所示.

(1)估計樣本數據的上四分位數(也稱第三四分位數，第75百分位數)

⑵若將頻率視為概率，現在要從［20,30)和［60,70］兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從

這6人中隨機抽取2人進行座談，求抽取的2人中至少有1人的年齡在［20,30)組的概率.

16.在數列｛"｝中，=1,6“=2一(〃^2〃eN"),數列｛叫滿足”eN".

(1)證明數列｛%,｝是等差數列并求出通項公式.

(2)數列｛4｝的前〃項和為S“，問$“是否存在最大值?若存在，求S“的最大值及取得最大值

時〃的值；若不存在，請說明理由.

17.在V/8C中角48,C分別對應邊長記為a,6,c,AB=AC,8C=6,取蔡=(26+c,-cosC),

〃=(a,cosZ),已知力/；.

試卷第3頁，共4頁

⑴求/N.

(2)在邊BC上取一點。，使為銳角且有與V/BC的外接圓半徑之比為木，設

點E為△/￡0的內心，求的面積.

18.如圖，V/3C和△D8C所在平面垂直，且AB=BC=BD,NCBA=NDBC=120°,求:

(y)AD1BC-,

⑵直線AD與平面BCD所成角的大?。?/p>

(3)平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.

19.雙曲線￡的實軸兩端點記為4卜板,0)，4(0',0),以右焦點尸為圓心，半徑為近的

圓與漸近線相切.

⑴求雙曲線E的方程.

⑵過點尸任意作直線4交曲線￡于同支兩點記為43.點O為坐標原點，求V/O3面積的

最小值.

(3)過點尸作直線4交曲線E于異支兩點記為C，D設直線X、分別與直線％x軸相交于點

M,T問：在實軸44上是否存在定點T使|小但。卜明口”^恒成立，若存在，則求出對

應定直線x=f,若不存在，則說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCCCBBBBCDABD

題號11

答案BCD

1.D

【分析】根據對數不等式以及一元二次不等式求集合45,進而可求交集.

【詳解】由log2(x+l)4l可得0<x+lW2,解得可得N=｛x|-l<x41｝；

由一一5芯+4>0,解得x>4或尤<1,可得5=｛x|x〉4或x<l｝；

所以/|"|2=｛刈-1<》<1｝.

故選：D.

2.C

【分析】根據復數代數形式的乘方運算化簡23+i23,即可判斷其虛部.

【詳解1因為23+i23=23+i4x5+3=23+(i4)5Xi3=23+i3=23-i,

所以23+i?3的虛部為-1.

故選：C

3.C

【分析】根據分段函數解析式分段討論得到方程(不等式)組，解得即可.

l,x<2

【詳解】因為/(x)=x-l,2Wx<3,且〃x0)=2,

x2-7,x>3

2</<3嚇x0>3

則x°-l=2或.7=2,解得

故選：C

4.C

【分析】根據給定條件，利用賦值法計算即得.

【詳解】由數列｛4｝對于任意“qeN*,都有<+4=4%

取p=q=i，則。2=%y=&x亞=2,

取P=q=2,則為=出，"2=2x2=4,則為=4.

答案第1頁，共14頁

故選：c

5.B

【分析】根據投影向量公式，與題中給出的投影向量比較，可求出方石=-1,

用公式cos，5=加求出7與B夾角余弦值，確定夾角大小.

a-b.1_

【詳解】因為5在4上的投影向量為1瓦”=」7°，

1?14

a-b_1

則a*b=—11

一atb1

cosci.br=—

2,

耶I

所以&與B的夾角為手.

故選：B.

6.B

【分析】由2%+3知=20可得%=4,后由等差數列性質結合前〃項和公式可得答案.

【詳解】設｛%｝公差為d,由2%+3%=20,則

24+34]=54+30d=20=>a[+6d=4n%=4.

則幾=I%"”）=受產=13%=52.

故選：B

7.B

【分析】根據直線過定點以及圓上點到直線距離的最值計算可得結果.

【詳解】易知。：/+（夕+2）2=1的圓心為（0,-2）,半徑為"1；

且直線mx+y-2=0過定點（0,2）,

當圓心與定點的連線與直線加無+y-2=0垂直時，圓心到直線距離最大為4,

因此可知圓。上的點P到直線距離的最大值為4+1=5.

故選：B

8.B

【分析】由橢圓的定義，結合三角形相似成比例，列出等式求解即可.

答案第2頁，共14頁

【詳解】

由橢圓定義可得：|“周+|/閶=2。，IBFJ+|BF2|=2a,

又|/公卜仍巴卜館耳，聯(lián)立可得：忸用=2|/閶，

又四邊形/8式再為梯形，可知/巴||

j.

斤以附|阿|

2

一1

所以V—二彳，解得：/=302,

a2

——+c

c

所以/°二1,

所以e二^^，

3

故選：B

9.CD

【分析】先化簡,/(x)=2sin(2x-胃-1,A選項利用奇函數若％=0,則/(。)=0,驗證；B

JT7TTVJT

選項令2x——=左兀，求出/(%)對稱點坐標；C選項通過令——+2/CTI<2x——<—+2kjr,求出

6262

/(%)的增區(qū)間，再判斷是否正確；D選項通過2sin(2x-34-2,2],確定/(%)的值域.

【詳解】/(x)=A/3sin2^-2cos2sin2x-cos2x-l=2si{2x()-,

A選項：/(%)周期為%J(O)=-2不是奇函數，A錯誤；

B選項：令2%—二=而，左EZ,解得：x=—+—,A;GZ,

6122

當上=0時，x=—,

12

所以y=2sin(2x-j關于11,oj對稱，人久)關于"|,-11寸稱，B錯誤；

答案第3頁，共14頁

JTJTITTTTT

C選項：令——+2kji<2x——<—+2kji,keZ,解得:—kit<x<—+kTi,

26263

兀71

所以f(x)增區(qū)間為--+k7i,-+k7i,左eZ,

o3

57r47r

當k=l時，則xe?，芋，C正確；

D選項：XER,則2sine[-2,2],/(x)e[-3,l],D正確.

故選：CD.

10.ABD

【分析】利用等差數列的性質，對于A,$9（%+%）=9（/+%）,計算即可；對于B,

922

由已知計算數列公差，再求值即可；

對于C,結合數列單調性比大小；對于D,由%>0,%。=0,得際=11（"；%）=］嵯〉0.

【詳解】等差數列｛%｝中，4>0,設公差為〃，

若%+%=4,則$9（%+佝）=93+%）=］8,A正確；

22

若%+生=5,%+=9,貝!)(生+2)—(4+“2)=9—5—4d,得d=1,

%+例=+g+1勿=5+12=17,B正確;

若幾=15（a；%5）=i5%>0,%=25（。/）=2%<0,所以公差］<0,

當。9>0時,有?>'>0，則有ai>?9>

當為<0時，有%+。9=2%>0,得出>一。9>0，

所以4>-。9>°，則有4；>嫉，C錯誤；

若S9=Si。,貝!Ja10=0f

因為4>0,所以際=D正確.

故選：ABD.

11.BCD

【分析】利用定義計算可得｛-2.3｝=0.7,即A錯誤；由卜］=［川易知陽〉之間的差值小于1,

可得B正確；解不等式可得［x］2；或［司4-1；再結合定義可知C正確，依據定義可證明D

正確.

答案第4頁，共14頁

【詳解】根據x=[x]+{x}可得-2.3=[-2.3]+{-2.3}=-3+{-2.3},因此{-2.3}=3-2.3=0.7,

可得A錯誤；

由[司表示不超過x的最大整數可得當[x]=[y]=zeZ,則x”(z,z+l),

因此可得x-夕e(T,l),即B正確；

易知不等式2[x『-[x]-3>0可分解為([x]+l)(2[x]-3)>0,解得[x]'或[x]<-1；

結合國的定義可得x?y,0)U[2,+?),即C正確；

xxxxx

由x=卜+,則X="+n

nnnnn

x

即[x]=,+n,兩邊同時”并取整可得

n

M=x1I由于xX1X

+<1,可得n〈幾，一n<1;

nnnnnnn

x

所以-n=0,

nn

X

即M,即D正確.

n=n

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于理解函數[x]的定義，得出國與區(qū)+1至少相差L,

nnn

可得出結論[區(qū)]

n\n

12.2

【分析】根據等比數列的定義與性質求解.

1。4+4=24仿4=8[a.=16

【詳解】由等比數列性質知。q=%。5,聯(lián)立，解得“或。

=12y=16=8

因為{%}是單調遞增的等比數列，所以[?[：6,即4=￡=2.

故答案為：2

答案第5頁，共14頁

13.—/0.5

2

【分析】設尸億0川/0）,則直線4尸為y=-，x+6,聯(lián)立直線與橢圓方程，求出。點坐標,

3A23

即可表示出心h,由即可得到再由禺心率公式計算可得

【詳解】設尸&0）120）,又用（0涉），（0,-/7）,則直線8f為y=-；x+6,

尸-紇+6

22?

由＜消去y整理得=+1-±x=o,

/+/―1att

解得▼熹bt2-a2b

a2+t2

22

bt-ab衣bt2—a2b+a2b+12b

2h+b

所以匕=-?h,號=七￡—/+/_2t2b_tb

c2“2

t2at2a2t2ata

/+?a2+t2

.3btb3b3

因為左i.左2=一:，即—x-■=一_7，即F=一，

4ta24a24

所以橢圓的禺心率e=—

a2

【分析】先得到平均數為9,然后使用方差的定義推出數據的值，即可得到答案.

【詳解】對x+y=g,x/>0,有

222422

----+—^-1<-----+------1=------1=--1=9

3x+3y3jxy3x+3y3x+3yx+y￡

5

i22

且當工二'=定時，有+T7=T=9,所以％1，%2，％3戶4，毛的平均數為9.

103x+3y3Vxy一

由于這5個數據的方差為4，故(芭-9)2+(%2-9)2+(工3-9)2+(%4-9/+(%5-9y=20.

答案第6頁，共14頁

由于這5個數據兩兩不同，所以只可能有{再-9凡-9戶3-9,尤4-9此-9}={0,-1,1,-3,3}.

從而{玉戶2，退戶4，尤5}={6,8,9/0,12},這就得到最大數據為12,極差為12-6=6.

故答案為：12,6.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于使用方差的定義以及數據互不相等作為關鍵條件推

出數據.

15.（1）58.75

⑵］

【分析】（1）根據頻率和為1可求得年齡在［50,60）對應的頻率；根據百分位數的估計方法直

接求解即可得到結果；

（2）根據分層抽樣的原則可確定每組中抽取的人數，采用列舉法可求得結果.

【詳解】（1）設年齡在［50,60）對應的頻率為a,貝I］（0.01x2+0.02x2）x10+。=1,解得：。=0.4,

-■?年齡在［20,50）對應的頻率為（0.01x2+0.02）x10=0.4,

年齡在［20,60）對應的頻率為0.4+0.4=0.8,

樣本數據的上四分位數位于［50,60）,設其為x,

則0.4+（x-50）x*=0.75,解得：x=58.75,即樣本數據的上四分位數為58.75.

（2）???年齡在［20,30）和［60,70］對應的頻率之比為0.01:0.02=1:2,

，抽取的6人中，年齡在［20,30）的有6、!=2人，記為見"；

年齡在［60,70］的有6*：=4人，記為4SC,。；

從抽取的6人中，隨機抽取2人，則有（加,〃），（n,B）,

（?,C）,（〃,D）,（4C）,（A,D）,（B,C）,（B,D）,（C,D）,共15個基本事件；

其中滿足至少有1人的年齡在［20,30）組的有：

（n,C）,（n,D）,共9個基本事件；

93

???抽取的2人中至少有1人的年齡在［20,30）組的概率P=—=--

16.⑴證明見解析，a“=12-2”

答案第7頁，共14頁

⑵s“存在最大值，最大值為30,此時〃=5或〃=6

【分析】（1）證明出相鄰兩項的差為常數，即可得到結果;

（2）根據數列的單調性以及最值可求得結果.

['11177

【詳解】（1）因為“=2-二，所以1一年=1一2--

MIbn-l）如

22%22=2如

則

1-601-兒_]1-6“12

42

因為4==,所以「7=1。，

51-仇

2?

又％=-、—~T>所以0"一%=-2,q=10,

1一久

所以｛%｝是以首項%=10,公差"=-2的等差數列,

所以〃〃=%+(〃-l)d=10+(H-1)X(-2)=12-2H；

（2）根據等差數列的前〃項和公式可得S.=〃（4+%）=〃（10+12-29=1]“-九

22

1111一

對于二次函數y=-x,+llx,其對稱軸為尤=-2x（—1）=5=5.5，

因為〃eN*,當〃=5或〃=6時，S,、取得最大值,

當”=5時，$5=11x5-52=30,當〃=6時，$6=11x6-62=30,

所以S"存在最大值，最大值為30,此時〃=5或〃=6.

2兀

17.（Dy

⑵百

【分析】（1）先根據兩向量平行得到一個等式，再根據正弦定理以及三角形內角和為?？汕?/p>

得結果；

（2）先根據外接圓半徑比例得到各自的外接圓，從而得到的長，再根據三角形面積公

式得到內切圓的半徑，最后利用三角形面積之間的關系得到結果.

【詳解】⑴麗=（22+c,-cosC）,n=（a,cosA）,/〃；,

所以（26+c）cosA--acosC,

根據正弦定理可變形為：2sin3cos4+sinCcosA=-sinAcosC,

移項可得：2sin5cos4+sinCeos/+sin/cosC=0,

答案第8頁，共14頁

根據兩角和的正弦公式可得：2sinBcosN+sin(C+/)=0,

因為4+8+。=兀，所以2sinBcos/+sinB=0,

因為sinBwO,所以2cos4+1=0,BPcosA=一一,

2

所以乙4=學2兀

(2)設V48C外接圓的半徑為《，△48。的外接圓半徑為鳥,

R,1

所以兄=耳

根據外接圓半徑公式用=十二，

2smz

在V/BC中，a=BC=6,sinA=sin—=—

32

則K=2G,R2=2,

271

71--------

在V45。中,

ZB=ZC=——工，

26

所以/5=/C=2百，SAABC=^AB-ACsin^=3^/5",

AT)

在△/AD中，--------=2凡，則4D=2,

sinNABD

4B?+BD2-心

cosZB=―,解得3。=2或=4,

2ABBD2

因為N/D8為銳角，所以50=4,

因為點E為△48。的內心，設△4RD的內切圓半徑為r,如圖所示:

根據三角形面積公式S.ABD=^AB+BD+AD)r,

又3=%皿歷2瓦

解得尸=-1,

'△AEC=SAABC-S"BE-SBCE=3G--AB-r-*Cr=

22

所以的面積為G.

18.⑴見解析

答案第9頁，共14頁

(2)45°

【分析】（1）建立空間直角坐標系利用空間向量法求出異面直線所成的角；

（2）利用空間向量法求出線面角；

（3）分別求出兩個平面的法向量，法向量夾角的余弦值即為兩個平面夾角的余弦值.

【詳解】（1）設48=1,作于點O,連接

因為VABC和LDBC所在平面垂直，平面4BCPI平面DBC=OC,

所以ZO_LOC,AOVOD,

因為N3=BC=BD,ZCBA=ZDBC=120°,

所以。O_LOC,

以點。為原點，8,OC,Q4的方向分別為x軸，V軸，z軸方向，建立空間直角坐標系如圖

AI5BC=O,

所以4D1BC；

（2）設直線工。與平面BCD所成角的大小為6,

由（1）可得而=,顯然或=（0,0,1）是平面BCD的一個法向量,

1—2,u,----2--J

6

sin。=

所以直線4D與平面3CD所成角的大小為45。；

答案第10頁，共14頁

(3)由(1)可得

設平面ABD的法向量為%=(x/，z),

令Z=l,則％=1/=6，則及2=(1,6,1),|%|=,儼+]2=?,

所以々"MOXI+OX百+1x1=1,

COS々，幾2

所以平面和平面8DC的夾角的余弦值口.

(2)272

⑶7(1,0),x=1

【分析】(1)根據圓與直線相切，圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出等式得出6,c即可

求解；

(2)對直線4斜率進行討論，通過弦長公式法算出和點到直線的距離公式算出坐標原

點O到直線4的距離即可求解；

(3)設直線4的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，由等式成立，可得7M為7c的角平分線,

可得直線TC,ZD的斜率之和為0,求出直線7C,77)的斜率之和的代數式，利用韋達定理整

理可得參數的值.

22

【詳解】(1)設雙曲線E的標準方程為?-彳=1(°>0,6>0),焦點尸(c,0),

則以右焦點尸為圓心，半徑為近的圓的方程為(尤-4+/=2,

雙曲線E的漸近線方程為y=+-x,

根據圓與漸近線相切得,

答案第11頁，共14頁

a

焦點尸（G0）到漸近線的距離d=,V2,得b=6,c=2,

22

所以雙曲線￡的標準方程為上-匕=1.

22

（2）由（1）知尸（2,0）

22

代入、一?=1中得y=±亞,即|/同=2行,

所以以