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第04講函數(shù)的概念及其表示

（7類核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍

2024年天津卷，第15題,5分

已知方程求雙曲線的漸近線

2023年天津卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍

2021年天津卷，第9題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍

2020年天津卷，第9題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度有高有低，分值為5分及以上

【備考策略】1.理解、掌握函數(shù)的概念，能夠判斷相同函數(shù)

2.能掌握函數(shù)解析式的就發(fā)以及分段函數(shù)的求值與不等式等問題

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助函數(shù)圖像，分析最值與值域問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出函數(shù)的解析式，要求函數(shù)值與取值范圍等.

「機(jī)考點(diǎn)梳理，

考點(diǎn)一、函數(shù)關(guān)系的判斷

考點(diǎn)二、相同函數(shù)的判斷

考點(diǎn)三、函數(shù)解析式的求法

、分段函數(shù)求值

、分段函數(shù)的應(yīng)用

、分段函數(shù)不等式

、分段函數(shù)的值域與最值

知識講解

1

知識點(diǎn)一.函數(shù)的概念

1.定義

函數(shù)

兩集合/、B設(shè)43是兩個非空數(shù)集

如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,

對應(yīng)關(guān)系f：4-B

在集合一中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)

名稱稱f：4-5為從集合A到集合6的一個函數(shù)

記法y=F(x),丫￡力

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域:

在函數(shù)y=f(x),xe/中，x叫做自變量，x的取值范圍/叫做函數(shù)的定義域；

與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合"(x)|xG/｝叫做函數(shù)的值域.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.

(3)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

知識點(diǎn)二.分段函數(shù)的定義

定義：在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，函數(shù)有不同的解析式，這樣的函數(shù)通常叫做分

段函數(shù).分段函數(shù)因其特點(diǎn)可以分成兩個或多個區(qū)間及其相應(yīng)的解析式，分段函數(shù)是一個函數(shù).

分段函數(shù)的定義域是各段X取值集合的并集

考點(diǎn)一、函數(shù)關(guān)系的判斷

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))若函數(shù)y=f(x)的定義域為力=(x|o<尤W2},值域為B={y|l<y<2],

則函數(shù)y=(Q)的圖象可能是()

bK

A.0i…B.A

2

【答案】D

【分析】由函數(shù)定義判斷即可得.

【詳解】由函數(shù)定義可排除C,由值域為8={例1WyW2}可排除A、B,

只有D選項為定義域為力={%|0WxW2},值域為B={y\l<y<2}的函數(shù)的圖象.

故選：D.

2.(23-24高三上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí))已知點(diǎn)A為某封閉圖形邊界上一定點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿其

邊界順時針勻速運(yùn)動一周.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為x,線段力P的長度為y,表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致

如圖所示，則該封閉圖形可能是()

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象的特點(diǎn)逐項分析判斷.

【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知：函數(shù)圖象具有對稱性，故C錯誤；

對于A：由等邊三角形可知：線段2P的長度先增大再減小，再增大，后減小，故A錯誤；

對于D：由圓可知：線段4P的長度不會是線性變化，故D錯誤；

對于C：由正方形可知：線段4P的長度先增大再減小，且一開始線性增大，符合題意，故B正確;

故選:B.

即時檢測

1.(22-23高三?全國?對口高考)已知函數(shù)/(乃/€尸,那么集合{(x,y)|y=/(x),xeF}D{Q,y)|x=1}

中所含元素的個數(shù)有—.

【答案】0或1.

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為久=1與y=/(%),%eF的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】由集合{(x,y)|y=f(x),xeF]n{(x,y)|x=1}中所含元素的個數(shù)，

即為直線％=1與y=f(x),xeF的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，

3

當(dāng)leF時，此時，兩個函數(shù)的圖象有且僅有一個交點(diǎn)；

當(dāng)1SF時，此時，兩個函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，

所以集合{(x,y)|y=/(%),%GF}n{(%,y)\x=1}中所含元素的個數(shù)為0個或1個.

故答案為：0或1.

2.(湖南?高考真題)給定keN*,設(shè)函數(shù)f:N*一N*滿足：對于任意大于k的正整數(shù)n,/(n)=n-k.

(1)設(shè)k=1,則其中一個函數(shù)/在n=1處的函數(shù)值為一；

(2)設(shè)k=4,且當(dāng)幾W4時，23,則不同的函數(shù)/的個數(shù)為—.

【答案】正整數(shù)16

【分析】(l)n=k=l,題中給出的條件“大于k的正整數(shù)九”不適合，但函數(shù)值必須是一個正整數(shù)，故/(I)

的值是一個正整數(shù)；

(2)k=4,且n44,與條件“大于k的正整數(shù)九”不適合，故/(n)的值在2、3中任選其一，求出所有可能的

組合數(shù)即可得不同函數(shù)的個數(shù).

【詳解】(0?.?函數(shù)/：7*一N*,；.其值域為正整數(shù)，故函數(shù)f在九=1處的函數(shù)值為正整數(shù)；

⑵???函數(shù)/：N*-N*,.?.其值域為正整數(shù)，

又nW4時，2Wf(n)W3,

故nW4時，f(n)e{213},

即f⑴、f⑵、f⑶、f(4)的取值可能是2或3,

則共2X2X2X2=24=16種組合，

二不同的函數(shù)/的個數(shù)為16.

故答案為：正整數(shù)；16.

3.(23-24高三上?上海閔行?期中)設(shè)曲線C與函數(shù)/(久)=^|x3(0<x<t)的圖像關(guān)于直線y=百x對稱,

設(shè)曲線C仍然是某函數(shù)的圖像，則實數(shù)t的取值范圍是.

【答案】(0,第

【分析】設(shè)】是八式)=泵3(0<萬.)在點(diǎn)用&*3)處的切線，進(jìn)而根據(jù)題意得直線2關(guān)于y=岳對稱后

的直線方程必為％=圓曲線C才能是某函數(shù)的圖像，進(jìn)而得/的方程為Z：y=,x-t)+祟3(0<xwt),再

3Z4

聯(lián)立方程即可得￡=竽，進(jìn)而得答案.

【詳解】設(shè)Z是/⑺=■光3(o<x<。在點(diǎn)處的切線，

因為曲線C與函數(shù)=5^3(0<^<。的圖像關(guān)于直線y=Wx對稱，

24

所以直線/關(guān)于y=Bx對稱后的直線方程必為％=a,曲線C才能是某函數(shù)的圖像，

如圖所示直線y=Wx與x=a的角為？，所以I的傾斜角為：，

66

4

y——Qx—t)+—t3

故聯(lián)立方程得3L24,即一日——=0,

y=—V3尸Q

-’24

則(％—t)(x2+xt+t2-8)=0,即％2+xt+t2-8=0與久—t=0同解,

所以"管

所以t的取值范圍為(0,孚］.

故答案為：(0,竽］

4.(22-23高三上?上海靜安?期中)已知函數(shù)y=/(久)的定義域為｛a,b,c｝,值域為｛-2,—1,0,1,2｝的子集,

則滿足f(a)+f(b)+/(c)=0的函數(shù)y=f(x)的個數(shù)為(

A.16B.17C.18D.19

【答案】D

【分析】對f(a)、f(b)、?c)的取值進(jìn)行分類討論，計算出不同情況下函數(shù)y=/(x)的個數(shù)，即可得解.

【詳解】解：分以下幾種情況討論：

①當(dāng)「⑷、f⑹、/(c)全為0時，只有1種；

②當(dāng)f(a)、f⑻、f(c)中有兩個為—1,一個為2時，有3種；

③當(dāng)下⑷、加)、f(c)中有兩個為1,一個為—2時，有3種；

④當(dāng)打辦/⑸、f(c)三者都不相等時，可分別取值為一1、0、1,有3x2xl=6種;

⑤當(dāng)/'(a)、f⑻、f(c)三者都不相等時，可分別取值為一2、0、2,有3x2x1=6種.

綜上所述,滿足條件的函數(shù)y=fO)的個數(shù)為1+3+3+6+6=19個.

故選：D.

考點(diǎn)二、相同函數(shù)的判斷

典例引領(lǐng)

1.(全國?高考真題)與函數(shù)y=久有相同圖象的一個函數(shù)是()

5

,—2

A.y=\x2B.y=x-

loga%x

C.y=a,其中a>0,aWID.y=\ogaa,其中a>0,aWl

【答案】D

【分析】選項A圖象為折線判斷錯誤；選項B圖象上無原點(diǎn)(0,0)判斷錯誤；選項圖象為無端點(diǎn)射線判斷錯

誤；選項D可化為y=%與函數(shù)y=%有相同圖象判斷正確.

【詳解】選項A：y^y^=\x\,圖象為折線.判斷錯誤；

選項B：y=+=x(xK0),圖象上無原點(diǎn)(0,0).判斷錯誤；

選項C：y=alo^x=x(x>0),圖象為無端點(diǎn)射線.判斷錯誤；

x

選項D：y=logaa=x,與函數(shù)y=%有相同圖象.判斷正確.

故選：D

2.(23-24高三上?河南濮陽?階段練習(xí))下列函數(shù)中，與函數(shù)/(久)=%是同一函數(shù)的是()

A./(x)=(OB.

c.f(x)=D.f(t)=y

【答案】c

【分析】由同一函數(shù)的定義依次判斷選項即可.

【詳解】解：函數(shù)/(x)=x,定義域為R.

選項A中/'(%)=(O=",定義域為［0,+8),故A錯誤；

選項B中/'(x)=J衣=|%］,定義域為R,故B錯誤；

選項C中/'(久)=］彳=x,定義域為R,故C正確；

選項D中/'(t)=F=3定義域為｛HtK0｝，故D錯誤.

故選：C.

?即時檢測

1.(2020?天津?模擬預(yù)測)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.y=x+1與丫=芋B.f(x)=^5■與g(x)=%

C./(x)=|幻與g(x)=Vx"D./(x)=x與g(t)=loga。'

【答案】D

【分析】對于A：由定義域不同，即可判斷；

對于B：由定義域不同，即可判斷；

對于C：由對應(yīng)關(guān)系不同，即可判斷；

對于D：對應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，可以判斷為同一函數(shù).

6

【詳解】對于A：y=x+l的定義域為R,3/=中的定義域為(—8,0)1；(0,+8),定義域不同，所以A錯

誤；

對于B：/(%)=總7的定義域為(0,+8),g(x)=x的定義域為R,定義域不同，所以B錯誤；

對于C：/(%)=|%|,對于g(x)=，對應(yīng)關(guān)系不同，故C錯誤；

IX,九為奇數(shù)

對于D：/(為=乂定義域為兄g(t)=log。/=3定義域為R,二者對應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，為同一函

數(shù).

故選：D

2.(23-24高三上?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試)下列選項中表示同一函數(shù)的是()

A./(%)=與g(x)=1

B./(x)=x與9(%)=孑

C./(%)=J0-2023人與g(久)=%_2023

D,的=｛1>真°0與心)=仁""°

JLx<0(1,%=0

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)三要素，即定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域，三者只要有一個不相同，函數(shù)即不是同一函數(shù)，

由此一一判斷各選項，即得答案.

【詳解】對于A,f(x)=的定義域為｛x[x豐0),而g(x)=1定義域為R,

故二者不是同一函數(shù)；

對于B,f(x)=久的定義域為R,與g(x)==的定義域為｛久|x片0),

故二者不是同一函數(shù)；

對于C,/(%)=J(x-2023)2=氏-2023|與g(%)=x—2023對應(yīng)關(guān)系不同，

故二者不是同一函數(shù)；

xxrJ,X>0

對于D,g(x)=百*°-1：%=0=[1；””與用)=[1；”17的定義域以及對應(yīng)關(guān)系、值域都

(1,%=0(一1,%<0-Lx<。

相同，

故二者為同一函數(shù)，

故選：D

3.(2023高三?全國?專題練習(xí))下列每組中的函數(shù)是同一個函數(shù)的是()

A.f(x)=|x|,g(x)=(?。.=或龍)=瘍

C.f(x)=C一2久3,g(x)=V—2xD.f(x)=9(K)=%+3

【答案】B

7

【分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義進(jìn)行逐，一判斷即可.

【詳解】對于A,函數(shù)/0)的定義域為R,函數(shù)g(x)的定義域為［0,+8),所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù);

對于B,因為g(x)=瘍=㈤，且/'(t),。(久)的定義域均為R,所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)；

對于C,f(%)=V-2x3=-%V-2x,f(x)和g(x)的對應(yīng)關(guān)系不同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；

對于D,函數(shù)/(x)的定義域為{x|xeR,且XK3},函數(shù)g(x)的定義域為R,

所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù).

故選：B.

4.(22-23高三?全國?課后作業(yè))以下四個命題：

①當(dāng)？1=0時，函數(shù)y=x71的圖象是一條直線；

②函數(shù)y=必和y=e"?為同一個函數(shù)；

③若定義域為R的函數(shù)y=f。)是奇函數(shù)，則f(0)=0；

④己知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,句上的圖象是一段連續(xù)曲線，若人。)"(b)>0,則函數(shù)/(久)在(a,b)上沒有零

點(diǎn).

其中，真命題的個數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】判斷幾=0是函數(shù)y=#的圖象形狀，判斷①；根據(jù)函數(shù)丫=/和丫=eg》的定義域可判斷②；根

據(jù)奇函數(shù)的定義和性質(zhì)可判斷③；舉反例可判斷④.

【詳解】當(dāng)n=0時，函數(shù)y=x°,定義于為{xGR|x力0},

故此時函數(shù)圖象為直線y=1上挖去點(diǎn)(0,1),①錯誤；

函數(shù)y=/的定義域為R,函數(shù)y=ein”定義域為{xGR|x#0},

故函數(shù)丫=/和丫=6叱2不是同一個函數(shù)，②錯誤；

若定義域為R的函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則f(一0)=—/(0)，則f(0)=0,③是真命題；

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,回上的圖象是一段連續(xù)曲線，若f(a)"(6)>0,

不妨取f(x)=X2-3x+2,區(qū)間為［0,3］,滿足/(0)"(3)>0,

當(dāng)/(*)=x2-3x+2在［0,3］內(nèi)有零點(diǎn)1和2,故④錯誤，

故真命題的個數(shù)為1,

故選：A

考點(diǎn)三、函數(shù)解析式的求法

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(近+1)=%-4,則/(%)二.

【答案】%2—2%—3(%>1)

8

【分析】利用換元法，結(jié)合已知函數(shù)解析式，即可求得/(%).

【詳解】令y+1=t(t>1),則％=(t-l)2(t>1),

于是有/(t)=(t—1)2—4=t2-2t-3(t>1),所以/(x)=/-2%—3(久21).

故答案為：—lx-3(x>1)

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知/O)滿足2f(x)+/(-%)=3x,求/(切的解析式.

【答案】/(x)=3%

【分析】列方程組法求函數(shù)的解析式.

【詳解】對于任意的x都有2f(久)+/(-%)=3%,

所以將x替換為一心得2/(-X)+/(%)=—3x,

聯(lián)立方程組：檄黑個^^二，消去打-久)，可得f3=3工

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)—f(x)=4x+2,則

f(x)=-

【答案】x2-x+3

【分析】根據(jù)條件設(shè)二次函數(shù)為f(x)=ax2+bx+c(a豐0),代入條件求解即可.

【詳解】設(shè)/'(x)=ax2+bx+c(a*0),

1?,/(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,

???f(x+2)—/(%)=4ax+4a+2b=4%+2,

(4a=4fa=1

<4a+2b=2lb=—1'

又/(0)=3=c=3,

/(%)=%2—%+3.

故答案為：x2-x+3

2.(23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))若函數(shù)f(cos%)=cosx+cos2x,貝"/(/(；))=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由二倍角公式結(jié)合換元法求出函數(shù)解析式即可求解.

【詳解】因為/(COSK)=COSX+COS2%=COSX+2cos2%—1

所以/(%)=%+2x2-1,(-1<%<1),

財?/+2x：l=。，

所以/(/6))=/(0)=-1.

故選：B.

9

3.(安徽?高考真題)若/(sin%)=2—cos2x,貝!J/(cos%)=()

A.2—sin2xB.2+sin2xC.2—cos2xD.2+cos2x

【答案】D

【分析】首先利用二倍角公式化簡求出/(%),再利用二倍角變形即可求得了(cos%).

【詳解】v/(sinx)=2—cos2x=2—[1—2(sinx)2]=2—1+2(sinx)2=1+2(sin%)2

??./(%)=1+2x2,.，/(cos%)=1+2(cos%)2—1+1=2+cos2x

故選：D

4.(湖北?高考真題)已知f(M)=靜，則/(%)的解析式為()

A./(x)=備B./(%)=一言

一(%)=合D"(x)f

【答案】C

【解析】令?=匕即可用換元法求函數(shù)解析式.

1+x

【詳解】令==3

1+x

得乂=+

1-(l^)22r

???4)="$

???/(久)——2-

八)1+X2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法求函數(shù)解析式，屬簡單題.

5.(2024?四川?模擬預(yù)測)已知/(%)為定義在R上的單調(diào)函數(shù),且對V%eR,7(/(%)-ex)=2+ln2,則

/(ln3)=()

A.31n2B.3+ln2

C.3—ln2D.In3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，設(shè)/(%)-根=，用求t的值，進(jìn)而可得/(%)的解析式,從而可得f(ln3).

【詳解】設(shè)/(%)-ex=t,則/(久)=ex+t,

所以/(t)=ef+t=2+ln2,即e*+lnef=2+ln2,

設(shè)9(%)=%+lnx(x>0),易知gG)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以e"=2,即t=ln2,

xln3

故f(x)=e+ln2,所以f(ln3)=e+ln2=3+ln2.

故選：B.

6.(23-24高三下?重慶?階段練習(xí))設(shè)/(%)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，且滿足/(一1一汽)+/(%)=—7,

10

若對于任意非零實數(shù)x都有/'，(x)+總花-x-|+2]=-4,貝!If(2024)=.

【答案】2021

【分析】利用賦值法求解，令[=/(>)+——x-工+2,則/(。=—4,再令x=t,結(jié)合題意中條件求得

3可求得/(久)，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】令七=/(久)+77^77-％-工+2,則=-4,

令％=3則t=/⑴+/(：+3-七-：+2=-4-1-t-：+2,解得力=-1或一；.

而/'(-1-x)+/(久)=_7,則/'(_1_(一號)+/=_7,故/(_■!)=_}因此t=_l.

則T=/(")+焉一”V+2,

即““)+3+4…”“久)+37=「高=黑奇

因此/(%)+3-%=0或%(/(久)+3)=1,

當(dāng)x(/(x)+3)=1時，/(x)=1-3,在(0,+s)上單調(diào)遞減，不滿足題意，舍去；

當(dāng)/'(x)=x-3時，滿足題意.

貝好(2024)=2021.

故答案為：2021

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解抽象函數(shù)解析式問題的方法：

(1)若根據(jù)已知可推知函數(shù)模型時，可利用待定系數(shù)法求解；

(2)若無法推知函數(shù)模型，一般結(jié)合賦值法，通過解方程(組)法求解.其中，方程或者是已知的，或者

是利用已知的抽象函數(shù)性質(zhì)列出的，或者是利用已知方程變換出來的.

考點(diǎn)四、分段函數(shù)求值

.典例引領(lǐng)

—1YV2

10g3(x2：1))x>2，則f(f(2))的值為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先計算-2)的值，再根據(jù)其大小范圍代入相應(yīng)的解析式中求得答案.

【詳解】/(2)=10g3(22-1)=1,

故f(f(2))=f(l)=2eiT=2,

故選：C

2.(2024?上海?高考真題)已知,0)={f；；；，則f(3)=.

11

【答案】V3

【分析】利用分段函數(shù)的形式可求f(3).

【詳解】因為八%)={￥；；；，故汽3)=V3,

故答案為：V3.

即0^(

,-%2+2,x<1,/八、\

1.(2022?浙江?高考真題)已知函數(shù)-%)=i_則4/=_______；若當(dāng)xe[a,句時，1W

XI-1,X>1,\/

x

/(%)<3,貝出一。的最大值是.

【答案】I3+V3/V3+3

【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出a的最小值,b的最大值即可.

【詳解】由已知/6)=-()+2=3%)="：1=桑

所以八先)]=條

當(dāng)％工1時，由1W/(%)43可得14一/+243,所以一14%41,

當(dāng)%>1時，由1W/(%)<3可得1<%+：-1W3,所以IV%42+百，

1</(X)<3等價于一1<%<2+V3,所以[見句c[-i/2+V3],

所以b—。的最大值為3+V3.

故答案為：3+V3.

Zo

2.(2021?浙江?高考真題)已知aGR,函數(shù)/(久)=ff若丹f(逐)]=3,則a=_______.

V|X31十CLfX&乙f

【答案】2

【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于a的方程，解方程可得a的值.

【詳解】/[/(V6)]=f(6-4)=/(2)=|2-3|+a=3,故a=2,

故答案為：2.

3.(23-24高三下?遼寧丹東?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(久)=-u,貝次(2020)=______________.

1/(%—3),%>0

【答案】^/0.8

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.

【詳解】因為/(>)=(再？久,

17(%—3),x>0

所以/(2020)=以673X3+1)=f⑴=/(I—3)=f(-2)=焉=1

故答案為：，

12

(2Xx<0

4.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=*in(2]；三),1>0'則//(/)]=-

【答案】y

【分析】判斷所在區(qū)間，再代入計算即得.

【詳解】依題意，f(；)=sin(2x；+￡)=-[

LZoZ

所以/[/(?)]=/(_1)=2U=條

故答案為：

5.(23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí))已知函數(shù)人久)則代魚)+/(-1)=.

【答案】0

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式進(jìn)行求值.

【詳解】依題意，工

所以f(V^)+/(—I)=log2,\/2+2-1—1

工111

=log22z+--l=-+--l=0.

故答案為：0

6.(22-23高三上?上海浦東新?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=f竽(;二：1，則

/(-2)+/(log312)=.

【答案】6

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入自變量，化簡求值.

【詳解】/(-2)=log33=1,/(log312)=f(l+log34)=1+31+gg34T=1+4=5,

所以/"(—2)+/(log312)=6.

故答案為：6

7.(23-24高三上?天津南開?階段練習(xí))設(shè)fO)='+1),久<o，且門2)=4,則a=,

/(-2)=.

【答案】23

【分析】根據(jù)/⑵=4求出a=2,從而f(x)=kA；；4)x<0,由此能求出/<一2)的值.

a%%>0

(log(%2+a2)x<0f且/⑵=4'/(2)=a2=4,解得"=2'/(%)=

X

(2;%>0

2

Uog2(%+4),%<0'

???/(-2)=log28=3.

故答案為：2,3.

13

考點(diǎn)五、分段函數(shù)的應(yīng)用

中典例引領(lǐng)

sin3T%,x<|

/(x+|)A<xW2,貝,(2024)=()

{f(x-2),x>2

A.-1B.0C.與.1

2

【答案】D

【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性和正弦函數(shù)值解出即可.

【詳解】由題意知/2024)=/(2)=/g)=/g)=/(3)=/(I)==siny=1.

故選：D.

2.(2022?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)若/Xx)存在最小值，則a的一個取值

為;a的最大值為.

【答案】0(答案不唯一)1

【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)y=-ax+1的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，a=0符合條件，a<0不符

合條件，a>0時函數(shù)y=-ax+1沒有最小值，故/'(久)的最小值只能取y=(%-2下的最小值，根據(jù)定義域

討論可知一a?+120或一a?+12(a-2)2,解得0<aS1.

【詳解】解：若a=。時，/'(W={(x，2)2‘：：；，’/(WminMO；

若a<0時，當(dāng)》<a時，/(%)=-a%+1單調(diào)遞增，當(dāng)％->-8時，/(%)7—8,故/(久)沒有最小值，不符

合題目要求；

若Q>0時，

當(dāng)％<a時，/(x)=—ax+1單調(diào)遞減，/(x)>/(a)=—a2+1,

當(dāng)x>a時，/(x)min={(a-2)2(a>2)

2

/.—a?+120或—a?+12(a-2),

解得0<aW1,

綜上可得0WaW1；

故答案為：0(答案不唯一)，1

即阻性測L

1.(2018?浙江?高考真題)已知入GR,函數(shù)f(x)=當(dāng)入=2時，不等式4)〈。的解

14

集是.若函數(shù)f(x)恰有2個零點(diǎn)，則A的取值范圍是.

【答案】(1,4)(1,3］U(4,+8)

【詳解】分析:根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點(diǎn)的取法,

再對應(yīng)確定二次函數(shù)零點(diǎn)的取法，即得參數(shù)義的取值范圍.

詳解：由題意得f"孑C或L，所以2<久<4或即1<%<4,不等式f(x)<0

的解集是(1,4),

當(dāng);1>4時，/(%)=%-4>0,此時人>)=/-4尤+3=0,刀=1,3,即在(一8,%)上有兩個零點(diǎn)；當(dāng)；I<4

時，/(%)=%-4=0,x=4,由〃>)=/一4x+3在(一8,4)上只能有一個零點(diǎn)得1<433.綜上，2的取

值范圍為(1,3］U(4,+8).

點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

+ax<a

2.(2024?天津?二模)設(shè)aCR,函數(shù)(Q)=\x-a+i\'.若/(x)在區(qū)間［0,+8)

x2—2(a+l)x+2a2—a+l,x>a

內(nèi)恰有2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是.

【答案】(0,萼］u性口，竽)u{3}

【分析】對不同情況下的a分類，然后分別討論f(x)相應(yīng)的零點(diǎn)分布，即可得到a的取值范圍.

【詳解】本解析中，“至多可能有1個零點(diǎn)”的含義是“零點(diǎn)個數(shù)不超過1”，

即不可能有2個不同的零點(diǎn)，并不意味著零點(diǎn)一定在某些時候存在1個.

當(dāng)a40時，只要％Wa+1,就有%2—2(a+l)x+2a2—a+l=(x—a—l)2+a2—3a>—3a>0,

故/(%)在［a,+8)上至多可能有1個零點(diǎn)，從而在［0,+8)上至多可能有1個零點(diǎn)，不滿足條件；

當(dāng)a>3時，有%2—2(a+l)x+2a2—a+1=(x—a—l)2+a2—3a>a2-3a=a(a—3)>0,

所以/(%)在［a,+8)上沒有零點(diǎn).

而若建;+］+a=°,則只可能％-，一1，所以/(%)在(-8,a)上至多可能有1個零點(diǎn).

故/(%)在R上至多可能有1個零點(diǎn)，從而在［0,+8)上至多可能有1個零點(diǎn)，不滿足條件；

當(dāng)0<aV3時，解------Fa=0可得到％=a---1,且由a>0知a---1<a,

x—a+laa

從而％=Q--1確為/(%)在(一8,Q)上的一個零點(diǎn).

再解方程式2—2(a+l)x+2a2—a+l=0,即(汽—ct—1)2+/—3a=0,

可得兩個不同的實數(shù)根％=a+1±Ja(3-a).

而/(a)=4-2(a+1)Q+2a2—a+1=/—3a+1,a+1+Ja(3—a)>a+1>a.

故％=a+1+Ja(3-a)確為/(%)在［a,+8)上的一個零點(diǎn),

15

而當(dāng)且僅當(dāng)次一3。+120時，另一根％=a+1-是/(%)在［a,+8)上的一個零點(diǎn).

條件為f(x)在區(qū)間［0,+8)內(nèi)恰有2個零點(diǎn)，從而此時恰有兩種可能：1a~a~1-°或1a—￡一1<0.

la2—3a+1<0la2—3a+1>0

解得ae(o,等］u［等,萼)；

當(dāng)a=3時，驗證知f(x)恰有兩個零點(diǎn)，和4,滿足條件.

綜上，a的取值范圍是(0,等］U［等,竽)U{3}.

故答案為：(0,守u［",苧)U{3}

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于需要分較多的情況討論，不重不漏、細(xì)致討論方可得解.

3.(2024?北京西城?二模)已知函數(shù)/(久)=/+2招比〈-2或*>1,或w=,⑶一a,其中aeR.

IV12-3%2,-2<x<1

①若函數(shù)g(%)無零點(diǎn)，則a的一個取值為；

②若函數(shù)g(%)有4個零點(diǎn)勺(i=1,2,3,4),則％i+到+%3+%4=.

【答案】-1一2

【分析】①結(jié)合函數(shù)/(%)的圖象，函數(shù)9(%)無零點(diǎn)，即丫=/(%)與丫=。的圖象無交點(diǎn)，所以可得到。的一

個取值；②由圖象對稱，即可算出％1+%2+%3+%4的值.

【詳解】畫函數(shù)/(久)=廣2久,“<-2或”>1的圖象如下：

IV12-3x2,-2<x<l

①函數(shù)g(%)=/(%)-a無零點(diǎn)，即/(%)-a=0無解，

即y=/(%)與y=。的圖象無交點(diǎn)，所以a<0，可取。=一1；

②函數(shù)g(%)有4個零點(diǎn)，BP/(x)-a=0有4個根，

即y=/(%)與y=a的圖象有4個交點(diǎn)，

由％1、S關(guān)于％=-1對稱，所以％1+%4=-2,

久2、％3關(guān)于％=0對稱，所以％2+%3=0，

所以％1+&+%3+%4=-2.

故答案為：-1；—2.

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=1,若第1<%2，且/(%i)=/(%2)，則%2-％1的最

lex—2,%>0

小值為.

16

【答案】21n2+1

【分析】設(shè)=/(工2)=如可得％2=ln?+2),構(gòu)造函數(shù)久2-％1==ln(t+2)+},根

據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值.

【詳解】設(shè)f(%i)=/(及)=如即一工=e%2-2=t,<0,冷之°，貝1k>0,

所以％1=——,%2=ln(t+2),則冷一X、=ln(t+2)+),

令g(t)—ln(t+2)+[(t>0),

則。⑴=磊-力茨(t-2)(t+l)

t2(t+2)：

所以當(dāng)tG(0,2)時，g'(t)<0,函數(shù)g(t)單調(diào)遞減;

當(dāng)tc(2,+8)時，g'(t)>0,函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)t=2時，g(t)取得最小值，為g(2)=21n2+T，

即冷一/取得最小值，為21n2+,,

故答案為：21n2+1.

(1V<A

5.(22-23高三上?河北衡水?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)="則方程八1-%2)=f(x)所有的解

1%十_L,%NU

構(gòu)成的集合是.

【答案】{尤|x=當(dāng)匚或％<-1}

【分析】根據(jù)題意,先將f(l-/)分類討論求出解析式.后直接解出來即可.

r洋初、2、f1,%<-1或久>1p門、(l,x<0

【詳解】/(I-xz)=<，又/(%)={

((1-%2)2+1,-1<%<11%2+l,x>0

當(dāng)x<-1時,/(I-%2)=f(x)=1,解得x<-1；

當(dāng)一14久<0時，1=(1一%2)2+1,解得x=-1；

當(dāng)X>1時,/+1=1,無解；

當(dāng)0W尤W1時,-+1=(1-x2)2+1,解得久=當(dāng)士

所以方程f(l-%2)=所有的解構(gòu)成的集合是{x|x=亨或X<-1}.

故答案為：[x\x=4i或久<-lj.

考點(diǎn)六、分段函數(shù)不等式

典例引領(lǐng)

1.(2。24.江西南昌?二模)已知〃)=,則不等式"X)<2的解集是()

A.(-oo,2)B.(-00,3)C.[0,3)D.(3,+8)

17

【答案】B

【分析】分別在％<0,%>0條件下化簡不等式求其解可得結(jié)論.

【詳解】當(dāng)x<0時，不等式/(x)<2可化為一/一2x<2,

所以/+2X+2>0,可得X<0；

當(dāng)x20時，不等式/(久)<2可化為log?。+1)<2,

所以x+l<4,且x+l〉O,

所以0Wx<3,

所以不等式f(x)<2的解集是(-8,3),

故選：B.

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)1,若/62+2)<2/(3-。則a的取值范圍是

()

A.(一牌)B.(三”廿

C.(F)D.—瑪

【答案】A

【分析】首先將不等式化為,/(。2+2)</(3-9,然后將?/(。2+2)轉(zhuǎn)化為f[2+2-目，最后利用單調(diào)

性解不等式f(a2+|)</(3-9即可.

【詳解】由題意，得函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增.由/(。2+2)<2/(3—習(xí)，

得:/(a?+2)</(3—號，注意到a?+221,

所以](a?+2)=gx4(/+2)=4*x4啰+2)=4儂+2V)=/(02+2一》

從而不等式轉(zhuǎn)化為/'(。2+1)</(3—9,

所以。2+|<3—方解得—|<a<l.

故選:A.

忙即時檢測

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=cosx+》，xW°，則不等式/(久)21的解集為()

.%3+3x2—3,x>0

A.{0}U[1,+oo)B.(—oo,0]U[2,+oo)

C.[0,1]D.(—00,0]U[1,+00)

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，借助導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，并分段求解不等式即得.