2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題二十二大題型專練（范圍：第一、二、三章）（含答案）

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題二十二大題型專練（范圍：第一、二、三章）【人教A版（2019）】題型1題型1向量共線、共面的判定及應(yīng)用1．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在A1D1上，且A1E

2．（23-24高二·湖南·課后作業(yè)）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+33．（23-24高三上·四川成都·開學(xué)考試）在四棱柱ABCD?A1B1C

(1)當(dāng)k=34時，試用AB,(2)證明：E,F,G,H四點共面；4．（23-24高二·江蘇·課后作業(yè)）已知A，B，C三點不共線，對于平面ABC外的任意一點O，分別根據(jù)下列條件，判斷點M是否與點A，B，C共面：(1)OM=(2)OM=3題型2題型2空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用5．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=a，

(1)用a,b,(2)若三棱錐A1?ABC的所有棱長均為2，求B16．（24-25高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，在六棱柱ABCDEF?A1B1C1D

(1)用a,b,(2)若cos∠BA（?。〢1（ⅱ）AE7．（24-25高二上·四川廣安·階段練習(xí)）AB=AD=1,AA(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosBD8．（23-24高二下·廣東中山·開學(xué)考試）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BA(1)求AE的長；(2)求AE和BC夾角的余弦值．題型3題型3空間向量基本定理及其應(yīng)用9．（23-24高二下·上?！ら_學(xué)考試）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱(1)用DA，DC，DD1表示D1A，(2)求證：A，E，D1，F(xiàn)10．（24-25高二上·貴州遵義·期中）在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AD//BC，

(1)若AE=xAB+y(2)求|AE11．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在四面體P?ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D為PC的中點，BE=2(1)設(shè)PA=a，PB=b，BC=(2)若PA（i）求DE（ii）求AC?12．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)用向量AA1，(2)求證：D，M，B(3)當(dāng)AA1AB題型4題型4利用空間向量證明線、面的位置關(guān)系13．（24-25高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為2，E為棱(1)求棱CC(2)證明：平面BCD1⊥14．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)在棱PA上是否存在點M，使得BM//平面PCD？若存在，求出PMPA15．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點.

(1)求證：MN//平面PAD；(2)求證：平面MNQ//平面PAD.16．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C(1)求證：平面NPC//平面AB(2)在線段BB1上是否存在一點Q，使AB1⊥題型5題型5利用空間向量研究點、線、面的距離問題17．（24-25高二上·廣東廣州·期中）如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點，解答以下問題：

(1)證明：直線MN∥平面OCD；(2)求點N到平面OCD的距離．18．（23-24高二上·山東淄博·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求直線EC與AC(2)求直線FC到平面AEC19．（2024高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)正方體ABCD?A(1)求直線B1C到平面(2)求平面A1BD與平面20．（24-25高二上·福建福州·期中）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求直線BC1與平面(2)若點P在側(cè)面A1ABB1上，且點P到直線BB1和題型6題型6利用空間向量求空間角21．（24-25高二上·四川樂山·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C(1)求A1M與(2)求平面A1BD與平面22．（24-25高三上·湖北宜昌·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，且FA＝FC，(1)求證：平面ABCD⊥平面BDEF(2)求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．23．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）如圖所示，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，點M在線段AB上，

(1)求證：AB(2)求二面角A?CB24．（24-25高二上·山西大同·期中）如圖，在多面體ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ADEF，四邊形ADEF為平行四邊形，AB//CD，AD⊥CD，∠FAD=π4，AF=22，AB=AD=(1)求證：DF⊥BC；(2)求點P到平面ABF的距離；(3)在線段BC上是否存在一點H，使得平面DHP與平面BEF的夾角的余弦值為4214？若存在，求BH題型7題型7立體幾何中的探索性問題25．（24-25高二上·廣西玉林·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD=5(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)求直線PA與平面PCD所成角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在點M，使得AM//平面PCD？若存在，求出BM26．（23-24高二上·吉林·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐S?ABCD中，四邊形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P為棱AD的中點，四棱錐S?ABCD的體積為23(1)若E為棱BS的中點，求證：PE//平面SCD(2)在棱SA上是否存在點M，使得平面PBM與平面SAD的夾角的余弦值為217？若存在，指出點M27．（24-25高二上·福建廈門·階段練習(xí)）在如圖所示的幾何體中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=π2，F(xiàn)為PA的中點，PD=2,AB=AD=12CD=1，四邊形PDCE(1)求點N到平面PAB的距離；(2)在線段EF上是否存在一點Q，使得直線BQ與平面BCP所成角的大小為π6？若存在，求出FQ28．（24-25高二上·北京·期中）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=1，AB=AA(1)判斷直線A1M與平面(2)求直線HF與平面A1(3)在線段HF上是否存在一點Q，使得點Q到平面A1BCD1的距離是題型8題型8直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（24-25高二上·陜西安康·階段練習(xí)）已知直線l過點P2,2，且與以A?1,?1和(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角a的取值范圍.30．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A?2,?4(1)求直線AB的斜率和傾斜角；(2)若Em,n是線段AC上一動點，求n31．（23-24高二上·四川巴中·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A?1,1，B1,1，(1)求直線AC的傾斜角；(2)若D為△ABC的AB邊上一動點，求直線CD的傾斜角的取值范圍.32．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A?2,?4(1)求直線AB的斜率和傾斜角；(2)若A,B,C,D可以構(gòu)成平行四邊形，且點D在第一象限，求點D的坐標(biāo)；(3)若Em,n是線段AC上一動點，求n題型9題型9直線方程的求解

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知△ABC的三個頂點是A(1,?3),B(2,1),C(?1,4).(1)求BC邊上的高所在直線l1(2)若直線l2過點C，且點A，B到直線l2的距離相等，求直線34．（24-25高二上·重慶·期中）已知△ABC的三個頂點分別是A5,1，B7,?3，(1)求AB邊上的高所在的直線方程；(2)求AB邊上的中線所在的直線方程；(3)求∠ABC角平分線所在的直線方程.35．（24-25高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知△ABC的三個頂點分別是A5,1，B7,?3，(1)求BC邊上的高所在的直線方程；(2)若直線l過點A，且與直線x+y+1=0平行，求直線l的方程；(3)求BC邊上的中線所在的直線方程.36．（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）已知△ABC的三個頂點是A1,5(1)邊BC上的中線所在直線的方程；(2)邊BC上的高所在直線的方程；(3)∠ABC的角平分線所在直線的方程.題型10題型10距離問題37．（24-25高二上·吉林·階段練習(xí)）已知直線l1:ax?2y+2=0，直線(1)若l1//l2，求(2)若l1⊥l2，求l138．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知直線l:(2m+2)x+(1?4m)y?2m?7=0(1)證明：無論m為何值，直線l與直線x?2y?1=0總相交；(2)求點Q(2,4)到直線l距離的最大值；(3)若O為坐標(biāo)原點，直線l與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值．39．（23-24高二上·天津河西·階段練習(xí)）已知直線m:a?1x+2a+3(1)若坐標(biāo)原點O到直線m的距離為5，求a的值；(2)當(dāng)a=0時，直線l過m與n的交點，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.40．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知直線l1:2x?y?3=0,l(1)當(dāng)l1//l(2)當(dāng)m=2時，求過直線l1,l題型11題型11點、線間的對稱問題41．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知直線l:x+2y?2=0，試求：(1)點P?2,?1關(guān)于直線l(2)直線l1:y=x?2關(guān)于直線l對稱的直線(3)直線l關(guān)于點A1,142．（24-25高二上·湖北·期中）已知△ABC的頂點A(2,1)，邊AB的中線CM所在直線方程為x?y+1=0，邊AC的高BH所在直線方程為x?2y+2=0．(1)求點B的坐標(biāo)；(2)若入射光線經(jīng)過點A(2,1)，被直線CM反射，反射光線過點N(4,2)，求反射光線所在的直線方程．43．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）如圖，已知A6,63，B0,0，C12,0，直線(1)求直線l經(jīng)過的定點坐標(biāo)；(2)若P2,23，李老師站在點P用激光筆照出一束光線，依次由BC（反射點為K）、AC（反射點為I）反射后，光斑落在P點，求入射光線44．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）直線l過點P?2,0，點Q1,3到直線l的距離為23，直線l′(1)求直線l′(2)記原點為O，直線l′上有一動點M，則當(dāng)OM+MQ題型12題型12圓的切線長及切線方程問題45．（24-25高二上·江西贛州·階段練習(xí)）已知圓C過A2,?4，B?2,?2兩點，且圓心C在直線(1)求圓C的方程；(2)過點P7,?1作圓C46．（24-25高二上·安徽蕪湖·期中）已知圓M的方程為x2(1)過點0,?4的直線m截圓M所得弦長為45，求直線m(2)過直線l:x+y+4=0上任意一點P向圓M引切線，切點為Q，求PQ的最小值.47．（24-25高二上·寧夏銀川·期中）已知⊙C:x2+y2(1)求⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知動點M在直線y=x?5上，過點M引⊙C的切線MA，求MA的最小值.48．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圓O:x2+(1)若直線l與圓O相切，求m的值；(2)當(dāng)m=4時，已知P為直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)切線長最短時，求弦AB所在直線的方程．題型13題型13直線與圓有關(guān)的最值（范圍）問題49．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點Px,y是圓(x+2)(1)求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值．(2)求x?2y的最大值和最小值．(3)求y?2x?150．（23-24高二上·山西呂梁·期末）已知圓C:x(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)m取最小正整數(shù)時，若點P為直線4x?3y+12=0上的動點，過P作圓C的一條切線，切點為A，求線段PA的最小值.51．（23-24高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知圓C：x(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；(2)從圓C外一點Px,y向圓引切線PM，M為切點，O為坐標(biāo)原點，且PM=PO52．（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知Mx,y，A1,2，B?2,?1，且MA(1)求MQ的最大值和最小值；(2)求y?2x?2(3)求y?x的最大值和最小值．題型14題型14直線與圓有關(guān)的面積問題53．（24-25高二上·重慶·期中）已知圓C:x2+y2?8y+8=0,A是圓C上的一個動點，點(1)求動點M的軌跡方程；(2)當(dāng)OP=OM時，求直線PM的方程及54．（24-25高二上·上海·期中）已知直線l:ax?y+2?a=0(1)求證：無論a取何值，直線l均與圓O相交；(2)已知AC、BD是圓O的兩條相互兩直的弦，且垂足為M1,2，求四邊形55．（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知動點M(x,y)與點P(3,0)的距離是它與原點O的距離的2倍．(1)求動點M的軌跡E的方程；(2)求x?y的最小值；(3)經(jīng)過原點O的兩條互相垂直的直線分別與軌跡E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積S的最大值．56．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圓O：x2+y(1)若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當(dāng)∠AOB=90°時，求k的值；(2)若k=12時，點P為直線l上的動點，過點P作圓O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，求四邊形題型15題型15圓錐曲線的離心率問題57．（24-25高三上·云南普洱·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求C的離心率；(2)設(shè)恒過點D的直線kx?y+2k+1=0交C于A，B兩點，且D為AB的中點，求直線AB的方程.58．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1,F2分別是雙曲線E:x2a2?y2(1)求E的離心率；(2)M為E上一點（不在x軸上），過F2作∠F1MF2平分線的垂線，垂足為59．（24-25高二上·北京·期中）已知P(0,2)和Q(2(1)求橢圓C的方程和離心率；(2)設(shè)直線l:y=kx+1與橢圓C交于A、B兩點，求三角形AOB面積的取值范圍.60．（23-24高二上·山東濰坊·期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0(1)求C的離心率及其漸近線方程；(2)設(shè)點P(?x0?,y0?)?(題型16題型16圓錐曲線的弦長與“中點弦”問題61．（24-25高二上·山東青島·期中）己知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，且橢圓C經(jīng)過點(0,1)，長軸長為22(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點M(1,0)且斜率為1的直線l與橢圓C交于A,B兩點，求弦長|AB|；(3)若直線l與橢圓相交于C,D兩點，且弦CD的中點為P12,62．（24-25高二上·浙江紹興·期中）已知橢圓C:y2a2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點0,1的直線l被橢圓C截得的弦長為322，求直線63．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知雙曲線C與橢圓x24+(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線y=x+m與雙曲線C交于A，B兩點，且AB=42，求實數(shù)64．（24-25高二上·山東·期中）已知拋物線C：y2=6x的焦點為(1)求拋物線C的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)過焦點F的直線l與拋物線交于M，N兩點，若MF=112題型17題型17圓錐曲線中的切線與切點弦問題65．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C1：y2a2+x2b2=1a>b>0與拋物線C2(1)求橢圓C1與拋物線C(2)橢圓C1上一點P在x軸下方，過點P作拋物線C2的切線，切點分別為A,B，求66．（23-24高三下·山西·開學(xué)考試）如圖，已知拋物線E：y2=2x與點Px0,y0，過點P

(1)若A2,?2，求切線PA(2)若x0?y67．（23-24高二下·廣東·階段練習(xí)）已知線段AB是拋物線y2=4x的弦，且過拋物線焦點(1)過點B作直線與拋物線對稱軸平行，交拋物線的準(zhǔn)線于點E，求證：A、O、E三點共線(O為坐標(biāo)原點)；(2)設(shè)M是拋物線準(zhǔn)線上一點，過M作拋物線的切線，切點為A1求證：（i）兩切線互相垂直；（ii）直線A168．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知拋物線C的方程為x2=4y，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為（1）若點P坐標(biāo)為0,?1，求切線PA,PB的方程；（2）若點P是拋物線C的準(zhǔn)線上的任意一點，求證：切線PA和PB互相垂直.題型18題型18圓錐曲線中的面積問題69．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）設(shè)橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點P是橢圓上一動點（不與頂點重合），直線A2P交y軸于點Q，若△A1PQ的面積是△70．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）已知雙曲線E的焦點在x軸上，離心率為233，點3,2在雙曲線E(1)求E的方程；(2)過F2作兩條相互垂直的直線l1和l2，與雙曲線的右支分別交于A，C兩點和B,D71．（24-25高二上·安徽·期中）已知橢圓E:x24+y(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l經(jīng)過橢圓的右焦點F，與圓C交于A,B兩點．（i）若AB=13，求直線（ii）直線m經(jīng)過點F與圓C交于P,Q，且直線m與直線l相互垂直，求四邊形APBQ面積的最大值．72．（24-25高三上·山東青島·期中）已知過點1,0的直線與拋物線E:y2=2pxp>0交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)直線AB垂直于x軸時，(1)求拋物線E的方程；(2)過曲線E上一點P12,y0y0>0作兩條互相垂直的直線，分別交曲線(3)若O為△ABC的重心，直線AC,BC分別交y軸于點M,N，記△MCN,△AOB的面積分別為S1,S題型19題型19圓錐曲線中的參數(shù)范圍及最值問題73．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點分別為F1,F2，離心率為22，設(shè)

(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)PF2⊥x(3)若分別記OP,AB的斜率分別為k1,k74．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）已知雙曲線C和橢圓x24+(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P2,1作兩條相互垂直的直線PM,PN分別交雙曲線C于不同于點P的M、N兩點，求點P到直線MN75．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓E：x2a2+y2b(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)A，B為橢圓E的左，右頂點，過點F作直線l交橢圓E于C，D兩點，C與A，B不重合），連接AC，BD交于點Q．①求證：點Q在定直線上：②設(shè)AQ=λ1AC，76．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)，直線x?y+1=0與C交于A，B(1)求拋物線C的方程；(2)已知點P為x2+y+12=1上一點，過點P作拋物線C的兩條切線PD，PE，設(shè)切點分別為D，E題型20題型20圓錐曲線中的向量問題77．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1(1)求橢圓的短軸長;(2)已知經(jīng)過點F的動直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，點M?5478．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）設(shè)點F1，F(xiàn)?分別是橢圓C:x22t2+y2t2=1(t>0)的左、右焦點，且橢圓C上的點到點F2的距離的最小值為22(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)F1N?(3)當(dāng)|F2N79．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右頂點分別為A，B，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)(1)求雙曲線E的方程；(2)當(dāng)直線l過點4,0時，求AP?80．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)經(jīng)過點P1,2，直線l與拋物線Γ有兩個不同的交點A,B，直線PA交y軸于M，直線PB(1)若直線l過點Q0,1，求直線l的斜率k(2)若直線l過拋物線Γ的焦點F，交y軸于點D,DA=λAF(3)若直線l過點Q0,1，設(shè)O0,0,題型21題型21圓錐曲線中的定點、定值問題81．（24-25高二上·北京·期中）如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點P3,1，焦距為42；斜率為?13的直線l(1)求橢圓C的方程；(2)若MN=10，求(3)記直線PM的斜率為k1，直線PN的斜率為k2，證明：82．（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）已知焦點在x軸上的雙曲線C過點3,5(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l:x=my+1與雙曲線C的右支交于A，B兩點，點E與點A關(guān)于x軸對稱，求證：直線BE過定點，并求出定點的坐標(biāo).83．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線E:x2a2?(1)求雙曲線E的方程；(2)過點F作斜率分別為k1,k2的直線l1,l2，直線l1交雙曲線E于A,B兩點，直線l2交雙曲線E于84．（23-24高二下·福建廈門·期中）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知動直線l過曲線C的左焦點F，且與橢圓C分別交于P，Q兩點，試問x軸上是否存在定點R，使得RP?題型22題型22圓錐曲線中的定直線問題85．（24-25高二上·河北石家莊·期中）已知F(1,0)為橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點F作直線l與橢圓C交于M,N兩點（不同于A,B），設(shè)直線AM與直線BN交于點D，證明：點D在定直線上．86．（23-24高二下·廣西貴港·期中）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求C的方程．(2)設(shè)C的左、右頂點分別為A1，A2，過點3,0且斜率不為0的直線l與C相交于M，N兩點，直線A1M與直線A287．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）過拋物線x2=2py(p>0)內(nèi)部一點Pm,n作任意兩條直線AB,CD，如圖所示，連接AC,BD延長交于點Q，當(dāng)P為焦點并且AB⊥CD

(1)求拋物線的方程；(2)若點P1,1，證明Q88．（24-25高二上·山東青島·期中）已知過點A(0,1)且焦距為2的橢圓E:x2a2+y2b2(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線AP，AQ的斜率之積是否為值？若是，求出定值；若不是，請說明理由；(3)過點1,0作直線l與橢圓E交于C，D兩點（點C在x軸上方），橢圓E的左頂點為A1，右頂點為A2，求證：直線A1D與直線2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題二十二大題型專練（范圍：第一、二、三章）【人教A版（2019）】題型1題型1向量共線、共面的判定及應(yīng)用1．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在A1D1上，且A1E

【解題思路】把EF,FB用基底A1【解答過程】連接EF，F(xiàn)B，∵EF=A===2FB=A=3∴EF=23又EF∩FB=F，∴E，F(xiàn)，B三點共線．

2．（23-24高二·湖南·課后作業(yè)）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3【解題思路】將三點共線問題轉(zhuǎn)化為求證向量共線問題求證即可.【解答過程】因為AB=4a+5b+3所以BC=BD=所以BC=?所以BC//BD，又所以B，C，D三點共線．3．（23-24高三上·四川成都·開學(xué)考試）在四棱柱ABCD?A1B1C

(1)當(dāng)k=34時，試用AB,(2)證明：E,F,G,H四點共面；【解題思路】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算進(jìn)行求解；（2）設(shè)AC=λAB+μAD（【解答過程】（1）四棱柱ABCD?A1B因為k=3所以AF=1（2）設(shè)AC=λAB+μEG=kλD則EF,EG,EH共面且有公共點E4．（23-24高二·江蘇·課后作業(yè)）已知A，B，C三點不共線，對于平面ABC外的任意一點O，分別根據(jù)下列條件，判斷點M是否與點A，B，C共面：(1)OM=(2)OM=3【解題思路】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算以及空間共面向量定理的即可判斷；（2）利用空間向量的線性運(yùn)算以及空間共面向量定理的即可判斷.【解答過程】（1）因為OM=所以O(shè)M?所以12可得12AM+所以點M與點A，B，C共面.（2）由OM=3OA?所以O(shè)M?所以AM+AB+所以點M與點A，B，C共面.題型2題型2空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用5．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=a，

(1)用a,b,(2)若三棱錐A1?ABC的所有棱長均為2，求B1【解題思路】（1）根據(jù)C1D=23（2）先確定a,b,c的模長以及兩兩之間的夾角，然后根據(jù)再根據(jù)A1【解答過程】（1）因為C1D?所以B1D=（2）因為三棱錐A1?ABC的所有棱長均為所以a=b=所以a?所以B1D=所以A1C?6．（24-25高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，在六棱柱ABCDEF?A1B1C1D

(1)用a,b,(2)若cos∠BA（?。〢1（ⅱ）AE【解題思路】（1）連接AD，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算以a,（2）確定空間基底向量a,b,c的模長與數(shù)量積，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)分別求解【解答過程】（1）如圖，連接AD，

因為六邊形ABCDEF為正六邊形，所以AB+AF=所以A1D=（2）因為六邊形ABCDEF為正六邊形，所以∠BAF=2又cos∠BA所以a=（i）A1（ii）因為AE所以A=4+16+16?8+8+47．（24-25高二上·四川廣安·階段練習(xí)）AB=AD=1,AA(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosBD【解題思路】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算與模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得；（2）結(jié)合題意，借助空間向量的線性運(yùn)算與夾角公式計算即可得.【解答過程】（1）BD則B=1+4+1+2×1×2×1所以BD（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得AC=因為AB=AD=1,AA1=2所以AC=1+0+1B==1×1×cos則cosBD1,8．（23-24高二下·廣東中山·開學(xué)考試）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BA(1)求AE的長；(2)求AE和BC夾角的余弦值．【解題思路】（1）根據(jù)空間向量基本定理得到AE=a+（2）先求出AE?【解答過程】（1）由題意得AE=又AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°故AE==25+9+4+2×5×3×0+3×4×=25+9+4+6+10=54，故AE?（2）AE=5×3×0+3則cosAE題型3題型3空間向量基本定理及其應(yīng)用9．（23-24高二下·上?！ら_學(xué)考試）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱(1)用DA，DC，DD1表示D1A，(2)求證：A，E，D1，F(xiàn)【解題思路】（1）根據(jù)題意，由空間向量加法、減法的三角形法則分析可得答案；（2）根據(jù)題意，分析可得D1F=25D1【解答過程】（1）根據(jù)題意，D1D1由于3DF=2FB1，則則D1（2）證明：由（1）的結(jié)論：D1A=DA?則有D1F=25D1必有A，E，D1，F(xiàn)10．（24-25高二上·貴州遵義·期中）在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AD//BC，

(1)若AE=xAB+y(2)求|AE【解題思路】（1）由空間向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）由（1），通過平方即可求解.【解答過程】（1）連接AB

因為B1E=2則x+y+z=1（2）AB?AA1=1×2×AE?=111．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在四面體P?ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D為PC的中點，BE=2(1)設(shè)PA=a，PB=b，BC=(2)若PA（i）求DE（ii）求AC?【解題思路】（1）連接BD,PE，利用空間向量的線性運(yùn)算，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【解答過程】（1）如圖所示，連接BD,PE，可得DE=因為D為PC的中點，BE=2所以AE=所以DE=2（2）因為PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，且PB,BC?平面PBC，PB?平面PAB，所以PA⊥PB,PA⊥BC,PB⊥BC，所以a?（i）DE=（ii）因為AC=所以AC?=?2又因為PA=所以?2所以AC?12．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)用向量AA1，(2)求證：D，M，B(3)當(dāng)AA1AB【解題思路】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計算可得；（2）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到DM=NB（3）設(shè)AA1=c，AD=b，【解答過程】（1）MN=（2）證明：∵DM=AM∴DM=N（3）當(dāng)AA1AB證明：設(shè)AA∵底面ABCD為菱形，則當(dāng)AA1AB∵AC1∠A∴A∴AC題型4題型4利用空間向量證明線、面的位置關(guān)系13．（24-25高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為2，E為棱(1)求棱CC(2)證明：平面BCD1⊥【解題思路】（1）根據(jù)正四棱柱ABCD?A1B1C1D1，可得EC⊥平面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面BCD1與平面【解答過程】（1）因為正四棱柱ABCD?A1B1C且四邊形BCFB1為直角梯形，設(shè)所以VE?BCF解得?=22，即C（2）以點D為原點，直線DA,DC,DD1分別為由題意可得C0,2,0所以CB=設(shè)平面BCD1的法向量為則n?CB=2x1設(shè)平面B1EF的法向量為則m?EF=y2因為n?所以平面BCD1⊥14．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)在棱PA上是否存在點M，使得BM//平面PCD？若存在，求出PMPA【解題思路】（1）面面垂直得到線面垂直，再由線線垂直證明線面垂直；（2）取AD中點，證明三條直線兩兩垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，得到對應(yīng)點的坐標(biāo)，設(shè)AMAP=λ，使得BM//平面PCD，用空間向量建立等量關(guān)系，求得【解答過程】（1）∵面PAD∩面ABCD=AD，面PAD⊥面ABCD，AB⊥AD，AB?面ABCD，∴AB⊥面PAD，∵PD?面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，AB?面PAB，PA?面PAB∴PD⊥面PAB，（2）取AD中點為O，連結(jié)CO，PO∵CD=AC=5∴CO⊥AD，∵PA=PD，∴PO⊥AD∵面PAD∩面ABCD=AD，面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥OD,OC,OA兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O?xyz，易知P0,0,1，B1,1,0，D0,?1,0則PB=1,1,?1，PD=0,?1,?1，設(shè)n為面PDC的法向量，令n=則n假設(shè)存在M點使得BM//面PCD，設(shè)AMAP=λ，又A0,1,0，P0,0,1，AP=0,?1,1，有AM=λAP∵BM//面PCD，n為PCD的法向量，∴BM?n=0，即綜上，存在M點，即當(dāng)PMPA=315．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點.

(1)求證：MN//平面PAD；(2)求證：平面MNQ//平面PAD.【解題思路】（1）由已知可證得AB,AD,AP兩兩垂直，所以以A為原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明；（2）只需證明平面PAD的法向量與平面MNQ中的兩個向量垂直即可.【解答過程】（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，AB,AD?平面ABCD，所以PA⊥AB,PA⊥AD，因為四邊形ABCD為矩形，所以AB⊥AD，所以AB,AD,AP兩兩垂直，所以以A為原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)B(b,0,0)，D(0,d,0)，P(0,0,d).則C(b,d,0)，因為M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點，所以Mb2,d2所以MN=因為平面PAD的一個法向量為m=(1,0,0)，所以MN?m又因為MN?平面PAD，所以MN//平面PAD.（2）因為QN=(0,?d,0)，所以QN?m又QN?平面PAD，所以QN//平面PAD.又因為MN∩QN=N，MN,QN?平面MNQ，所以平面MNQ//平面PAD.16．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C(1)求證：平面NPC//平面AB(2)在線段BB1上是否存在一點Q，使AB1⊥【解題思路】（1）應(yīng)用線面平行判定定理得出面面平行即可證明；（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)滿足線面垂直即線線垂直計算求參.【解答過程】（1）∵M(jìn),N,P分別是CC∴NP//AB1,MC//∴CP//MB1．∵CP?平面AB1M,MB∵NP?平面AB1M,AB1?又CP∩NP=P,CP,NP?平面NPC，∴平面NPC//平面AB（2）假設(shè)在線段BB1上存在一點Q，使AB取BC的中點O，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BC=2,BQ=a(0≤a≤2)，則M(0,?1,1),A(3∴A∵AB1⊥AB1⊥∴在線段BB1上存在一點Q，使AB1⊥平面A題型5題型5利用空間向量研究點、線、面的距離問題17．（24-25高二上·廣東廣州·期中）如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點，解答以下問題：

(1)證明：直線MN∥平面OCD；(2)求點N到平面OCD的距離．【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出MN的方向向量和平面OCD的法向量，利用空間向量求解即可；（2）由點到面距離的向量公式求解即可.【解答過程】（1）因為四棱錐O?ABCD中，OA⊥底面ABCD，AB,AD?底面ABCD，且底面ABCD是正方形，所以AB,AD,AO兩兩垂直，以A為原點，AB,AD,AO分別為x,y,z軸建立如圖所示坐標(biāo)系，

則由題意可得M0,0,1，N2,1,0，O0,0,2，C所以MN=2,1,?1，OC=設(shè)平面OCD的法向量m=則m?OC=2x+2y?2z=0m?OD=2y?2z=0因為MN?m=2×0+1×1+?1×1=0所以直線MN//平面OCD.（2）由（1）得NC=0,1,0，平面OCD的一個法向量所以點N到平面OCD的距離d=NC18．（23-24高二上·山東淄博·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求直線EC與AC(2)求直線FC到平面AEC【解題思路】（1）以D1為原點，D1A（2）利用向量法求線面距離作答即可.【解答過程】（1）在正方體ABCD?A1B1C1D則A1,0,1，C0,1,1，C10,1,0，所以AC1=所以直線EC與AC1所成角的余弦值為（2）由（1）知，AE=0,12,?1，E顯然FC=EC而FC?平面AEC1，EC1?平面AE因此直線FC到平面AEC1的距離等于點F到平面設(shè)平面AEC1的法向量為則n?AE=12所以點F到平面AEC1的距離為所以直線FC到平面AEC1的距離是19．（2024高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)正方體ABCD?A(1)求直線B1C到平面(2)求平面A1BD與平面【解題思路】（1）直線B1C到平面A1BD的距離等于點（2）平面A1BD與平面B1CD【解答過程】（1）以D為原點，DA,DC,DD1為x，y，則D所以CB1=2,0,2,又CB1?平面A1BD，DA1所以直線B1C到平面A1BD的距離等于點設(shè)平面A1BD的一個法向量為則n?DA1=2x+2z=0n?所以點B1到平面A1BD

（2）由（1）知CB1//平面A1BD又B1C∩D1B所以平面A1BD//平面即平面A1BD與平面B1CD由（1）知，點B1到平面A1BD所以平面A1BD與平面B120．（24-25高二上·福建福州·期中）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求直線BC1與平面(2)若點P在側(cè)面A1ABB1上，且點P到直線BB1和【解題思路】（1）以D為坐標(biāo)原點，分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面（2）設(shè)出點P(2,a,b),a∈[0,3],b∈[0,2]，可得.3?a=b【解答過程】（1）以D為坐標(biāo)原點，分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸，y軸，D(0,0,0),C(0,3,0),A(2,0,0)，B(2,3,0),E(2,1,0),則BC設(shè)平面A1EC的一個法向量為因為n⊥A1En令z=1，則x=y=2，所以n=(2,2,1)為平面A設(shè)直線BC1與平面A1則sinθ=所以直線BC1與平面A1（2）設(shè)P(2,a,b),a∈[0,3],b∈[0,2]，根據(jù)題意有3?a=b2+4，即b則點P到AD1=a2+當(dāng)a=1時，d取得最小值1.所以點P到AD1的距離最小值為題型6題型6利用空間向量求空間角21．（24-25高二上·四川樂山·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C(1)求A1M與(2)求平面A1BD與平面【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求線線角及面面角.【解答過程】（1）在正方體ABCD?A1B設(shè)AB=1，則B1,0,0，D0,1,0，A1于是A1M=則cosA所以A1M與C1（2）由（1）知，BD=?1,1,0，BA設(shè)平面A1BD的法向量則n?令x=1，得n=設(shè)平面A1C1則m?令a=?1，得m=則cosn所以平面A1BD與平面A122．（24-25高三上·湖北宜昌·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，且FA＝FC，(1)求證：平面ABCD⊥平面BDEF(2)求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．【解題思路】（1）設(shè)AC與BD相交于點O，連接FO，由線面垂直的判定定理證明AC⊥平面BDEF，再得到平面ABCD⊥平面BDEF即可；（2）連接DF，先由線面垂直的判定定理證明FO⊥平面ABCD，再建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABF的法向量，代入空間線面角的向量公式求解即可；【解答過程】（1）設(shè)AC與BD相交于點O，連接FO，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，且O為AC中點，F(xiàn)A=FC，∴AC⊥FO，又FO∩BD＝O，F(xiàn)O,BD?平面BDEF，∴AC⊥平面又AC?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面BDEF。（2）連接DF，∵四邊形BDEF為菱形，且∠DBF＝∴△DBF為等邊三角形，∵O為BD中點，∴FO⊥BD，又AC⊥FO，AC∩BD=O，AC,BD?平面ABCD，∴FO⊥平面ABCD．故OA，OB，OF兩兩垂直，∴建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，如圖所示，設(shè)AB＝2，∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB＝∵△DBF為等邊三角形，∴OF=3∴A(3∴AD=?3設(shè)平面ABF的法向量為n=x,y,z，則AF令x=1，解得n=設(shè)AD與平面ABF所成角為θ，則AD與平面ABF所成角的正弦值為：sinθ=23．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）如圖所示，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，點M在線段AB上，

(1)求證：AB(2)求二面角A?CB【解題思路】（1）由CC1⊥平面ABC得CC1⊥AC，又從而BC1⊥AC，又BC1（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACB1與平面【解答過程】（1）連接AB∵CC1⊥平面ABC，AC?平面ABC∵AC⊥BC,?CC∴AC⊥平面BCC∵BC1?平面BC∵四邊形BCC1B∵AC∩B1C=C,AC,B1C?平面∵AB1?平面AC（2）以點C為坐標(biāo)原點，以CA,CB,

則B(0,3,?∴BC1=(0,?3,?3)因為BC1⊥平面ACB1設(shè)平面CB1M則CB令x=1，得y=?2,z=2，則n=(1,?2,?2)則cosB設(shè)二面角A?CB1?M的平面角為θ因為0≤θ≤π，所以sin所以二面角A?CB1?M24．（24-25高二上·山西大同·期中）如圖，在多面體ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ADEF，四邊形ADEF為平行四邊形，AB//CD，AD⊥CD，∠FAD=π4，AF=22，AB=AD=(1)求證：DF⊥BC；(2)求點P到平面ABF的距離；(3)在線段BC上是否存在一點H，使得平面DHP與平面BEF的夾角的余弦值為4214？若存在，求BH【解題思路】（1）由余弦定理可得DF的值，再由勾股定理可得DF⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)定理可得DF⊥平面ABCD，即可證明；（2）以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及點到面的距離公式代入計算，即可得到結(jié)果；（3）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）證明：在△ADF中，因為AD=2，AF=22，∠FAD=所以DF=A所以AD2+D又平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，DF?平面ADEF，所以DF⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以DF⊥BC.（2）由（1）可得DF⊥AD，DF⊥DC，又AD⊥CD，所以DA，DC，DF兩兩垂直，以DA，DC，DF所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，F(xiàn)(0,0,2)，E(?2,0,2)，C(0,4,0)，P(?1,2,1)，所以AB=(0,2,0)，AF=(?2,0,2)，設(shè)平面ABF的一個法向量n=(x,y,z)，則n?AB=0,n?AF=0,即2y=0,?2x+2z=0,所以點P到平面ABF的距離d=|（3）假設(shè)存在，設(shè)BH=tBC(0≤t≤1)所以DH=設(shè)平面DHP的一個法向量n1=x所以n1?DP=0,n1?DH=0,所以n1設(shè)平面BEF的一個法向量n2=x2,所以n2?BF=0,n2?EF=0,即?2設(shè)平面DHP與平面BEF的夾角為α，則cosα=解得t=13或所以存在點H，使得滿足要求，此時BH=13BC題型7題型7立體幾何中的探索性問題25．（24-25高二上·廣西玉林·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD=5(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)求直線PA與平面PCD所成角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在點M，使得AM//平面PCD？若存在，求出BM【解題思路】（1）由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到AB⊥PD，結(jié)合PD⊥PA得到線面垂直；（2）作出輔助線，得到垂直關(guān)系，再建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出平面PCD的法向量，利用線面角的夾角公式求出答案；（3）設(shè)BM=λBP，其中0≤λ≤1，求出向量AM的坐標(biāo)，根據(jù)AM?【解答過程】（1）證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB?平面ABCD，所以，AB⊥平面PAD，因為PD?平面PAD，所以，AB⊥PD，因為PD⊥PA，PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，所以，PD⊥平面PAB.（2）解：取AD中點為O，連接OC、OP，又因為PA=PD，則PO⊥AD，則AO=PO=1，因為AC=CD=5，則OC⊥AD，則CO=在平面ABCD內(nèi)，因為OC⊥AD，AB⊥AD，則OC//因為AB⊥平面PAD，則OC⊥平面PAD，以點O為坐標(biāo)原點，OC、OA、OP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?xyz，則P0,0,1、B1,1,0、D0,?1,0、A則PA=0,1,?1，DP=設(shè)平面PCD的法向量為n=x,y,z，則取x=1，可得n=1,?2,2，設(shè)PA與平面PCD的夾角為則sinθ=cosn所以，直線PA與平面PCD所成角的余弦值為13（3）解：設(shè)BM=λBP=λ則AM=因為AM//平面PCD，則AM?n因此，在棱PB上存在點M，使得AM//平面PCD，且BM26．（23-24高二上·吉林·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐S?ABCD中，四邊形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P為棱AD的中點，四棱錐S?ABCD的體積為23(1)若E為棱BS的中點，求證：PE//平面SCD(2)在棱SA上是否存在點M，使得平面PBM與平面SAD的夾角的余弦值為217？若存在，指出點M【解題思路】（1）取SC的中點F，連接DF、EF，證明出四邊形PDFE為平行四邊形，可得出DF//（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理推導(dǎo)出SP⊥平面ABCD，設(shè)AD=m，利用錐體的體積公式求出m的值，然后以點P為原點，PA、AB、PS的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AM=λAS0≤λ≤1【解答過程】（1）證明：取SC的中點F，連接DF、EF，∵E、F分別為SB、SC的中點，所以，EF//BC且EF=因為四邊形ABCD是矩形，所以，BC//AD且∵P為棱AD的中點，則PD//BC且PD=12BC所以，四邊形PDFE為平行四邊形，∴PE//又∵FD?平面SCD，PE?平面SCD，∴PE//平面SCD（2）解：假設(shè)在棱SA上存在點M滿足題意，如圖，連接SP、MP、MB，在等邊△SAD中，P為AD的中點，所以SP⊥AD，又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SP?平面SAD，∴SP⊥平面ABCD，則SP是四棱錐S?ABCD的高，設(shè)AD=mm>0，則SP=32所以，V四棱錐S?ABCD=以點P為原點，PA、AB、PS的方向分別為x、y、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,0、A1,0,0、B1,1,0故PA=1,0,0，PB=設(shè)AM=λ∴PM設(shè)平面PMB的一個法向量為n1=x,y,z取x=3λ，則y=?3λ，易知平面SAD的一個法向量為n2∴cos整理可得2λ?1=0，解得λ=1所以，當(dāng)點M為線段SA的中點時，平面PBM與平面SAD的夾角的余弦值為21727．（24-25高二上·福建廈門·階段練習(xí)）在如圖所示的幾何體中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=π2，F(xiàn)為PA的中點，PD=2,AB=AD=12CD=1，四邊形PDCE(1)求點N到平面PAB的距離；(2)在線段EF上是否存在一點Q，使得直線BQ與平面BCP所成角的大小為π6？若存在，求出FQ【解題思路】（1）證明出DA,DC,DP兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABP的法向量，利用點到平面距離的向量公式求出答案；（2）求出平面PBC的法向量，設(shè)FQ=λFE(0≤λ≤1)，求出Q1?λ2,2λ,2(1+λ)【解答過程】（1）因為PD垂直于梯形ABCD所在的平面，DA,DC?平面ABCD，所以PD⊥DA，PD⊥DC，又∠ADC=π2，故如圖以D為原點，分別以DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則P(0,0,2設(shè)平面ABP的法向量為n=(x,y,z)，則n解得y=0，令z=1，則x=2，則n又PN則點N到平面PAB的距離是d=（2）存在點Q，當(dāng)點Q與E重合時，直線BQ與平面BCP所成角的大小為π6.PB=(1,1,?設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z)，則m?PB解得y=x,z=2x,令x=1，得y=1,z=2由F12,0,22則s?12,t,r?故Q1?λ2,2λ,2因為直線BQ與平面BCP所成角的大小為π6所以sinπ解得λ2=1，由0≤λ≤1知λ=1，即點Q與故在線段EF上存在一點Q，使得直線BQ與平面BCP所成角的大小為π6且FQ=EF=28．（24-25高二上·北京·期中）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=1，AB=AA(1)判斷直線A1M與平面(2)求直線HF與平面A1(3)在線段HF上是否存在一點Q，使得點Q到平面A1BCD1的距離是【解題思路】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算線面夾角即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算線面夾角即可；（3）假設(shè)存在點Q，利用空間向量研究點面距離計算參數(shù)即可.【解答過程】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A1所以A1設(shè)平面B1HF的一個法向量為則m?FB1=z=0則cosA連接A1M與B1H交于N點，即直線A1則直線A1M與平面B1（2）由上知DA1=1,0,2,則n?DA1=a+2c=0設(shè)直線HF與平面A1MD所成角為則sinα=即直線HF與平面A1MD所成角的正弦值為（3）設(shè)存在Q滿足題意，不妨設(shè)HQHF則HQ=λ易知A1B=0,2,?2,則p?A1B=2s?2t=0而D1所以點Q到平面A1BCD題型8題型8直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（24-25高二上·陜西安康·階段練習(xí)）已知直線l過點P2,2，且與以A?1,?1和(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角a的取值范圍.【解題思路】（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象，根據(jù)圖象分析A，B，P三點之間的關(guān)系，不難給出直線l的斜率k的取值范圍；（2）根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合圖象即可求解直線l的傾斜角a的取值范圍．【解答過程】（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖：kPA=直線l過點P2,2，且與以A?1,?1和所以直線l的斜率k的取值范圍k∈?（2）由（1）可知，k∈?直線PA的傾斜角為π4，直線PB的傾斜角為2由此可得此時直線l的傾斜角α的取值范圍π4由圖可知，當(dāng)直線斜率不存在時，所得直線符合題意，故此時直線l的傾斜角α=π綜上，直線l的傾斜角α的取值范圍π430．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A?2,?4(1)求直線AB的斜率和傾斜角；(2)若Em,n是線段AC上一動點，求n【解題思路】（1）先由斜率公式求斜率，然后根據(jù)斜率定義可得傾斜角；（2）將問題轉(zhuǎn)化為求直線BE的斜率的取值范圍，然后結(jié)合圖形分析可得.【解答過程】（1）由斜率公式得直線AB的斜率為?4?2?2記傾斜角為α，則tanα=1因為α∈0,π，所以直線AB的傾斜角為（2）由題知nm?2為直線BE記直線BC和BA的傾斜角分別為α,β，直線BE的傾斜角為γ，由圖可知，γ∈0,β又kBC=tan所以，由正切函數(shù)性質(zhì)可得，直線BE的斜率的取值范圍為?1即nm?2的取值范圍為?31．（23-24高二上·四川巴中·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A?1,1，B1,1，(1)求直線AC的傾斜角；(2)若D為△ABC的AB邊上一動點，求直線CD的傾斜角的取值范圍.【解題思路】（1）由兩點式斜率公式求出斜率，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可（2）數(shù)形結(jié)合，利用兩點式斜率公式，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析求解即可.【解答過程】（1）由A?1,1，C2,3因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是0,π，所以直線AC的傾斜角為π（2）如圖，當(dāng)直線CD繞點C由CA逆時針轉(zhuǎn)到CB時，直線CD與線段AB恒有交點，即D在線段AB上，

此時kCD由kAC增大到kBC，又kAC=33即直線CD的傾斜角的取值范圍為π632．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A?2,?4(1)求直線AB的斜率和傾斜角；(2)若A,B,C,D可以構(gòu)成平行四邊形，且點D在第一象限，求點D的坐標(biāo)；(3)若Em,n是線段AC上一動點，求n【解題思路】(1)根據(jù)過兩點的斜率公式求出斜率，再求傾斜角；(2)設(shè)Dx,y，根據(jù)k(3)因為nm?2表示直線BE的斜率,求出E與點C重合時，直線BC的斜率；E與點A重合時，直線BE【解答過程】（1）解：因為直線AB的斜率為?4?2?2所以直線AB的傾斜角為π4（2）解：如圖，當(dāng)點D在第一象限時，kAB設(shè)Dx,y，則y?1x+1=1故點D的坐標(biāo)為3,5；（3）解：由題意得nm?2為直線BE當(dāng)點E與點C重合時，直線BE的斜率最小，kBC當(dāng)點E與點A重合時，直線BE的斜率最大，kAB故直線BE的斜率的取值范圍為?1即nm?2的取值范圍為?題型9題型9直線方程的求解

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知△ABC的三個頂點是A(1,?3),B(2,1),C(?1,4).(1)求BC邊上的高所在直線l1(2)若直線l2過點C，且點A，B到直線l2的距離相等，求直線【解題思路】（1）根據(jù)垂直關(guān)系得出高所在直線斜率，點斜式得出直線方程；（2）由題意轉(zhuǎn)化為所求直線與AB平行或過AB的中點，分別求解即可.【解答過程】（1）因為kBC=4?1?1?2=?1所以BC邊上高所在直線為y+3=x?1，即x?y?4=0.（2）因為點A，B到直線l2所以直線l2與AB平行或過AB①當(dāng)直線l2與AB所以kl所以l2:y?4=4(x+1)，即②當(dāng)直線l2過AB的中點D所以kCD所以l2:y?4=?2(x+1)，即綜上，直線l2的方程為4x?y+8=0或2x+y?2=034．（24-25高二上·重慶·期中）已知△ABC的三個頂點分別是A5,1，B7,?3，(1)求AB邊上的高所在的直線方程；(2)求AB邊上的中線所在的直線方程；(3)求∠ABC角平分線所在的直線方程.【解題思路】（1）利用斜率坐標(biāo)公式及垂直關(guān)系求出高所在直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得；（2）求出中點坐標(biāo)及中線所在直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得；（3）先求出直線BA,BC的單位向量，結(jié)合角平分線求出∠ABC角平分線所在的直線的方向向量，結(jié)合方向向量和直線斜率的關(guān)系即可求出斜率，再根據(jù)點斜式即可求解.【解答過程】（1）直線AB的斜率kAB則AB邊上的高所在的直線斜率為12直線又過C?9,5所以AB邊上的高所在的直線方程為y?5=1即x?2y+19=0.（2）依題意，AB邊的中點(6,?1)，因此AB邊上的中線所在直線的斜率k=5?直線又過(6,?1)，所以AB邊上的中線所在直線的方程為y??1即2x+5y?7=0.（3）由題意知：BA=故與BA同方向的單位向量為：a=與BC同方向的單位向量為：b=故∠ABC角平分線所在的直線的方向向量為：a+設(shè)∠ABC角平分線所在的直線的斜率為k，又∵直線的方向向量可以表示為1,k，∴k=?1，直線又過B7,?3故∠ABC角平分線所在的直線方程為：y??3即x+y?4=0.35．（24-25高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知△ABC的三個頂點分別是A5,1，B7,?3，(1)求BC邊上的高所在的直線方程；(2)若直線l過點A，且與直線x+y+1=0平行，求直線l的方程；(3)求BC邊上的中線所在的直線方程.【解題思路】（1）利用斜率坐標(biāo)公式及垂直關(guān)系求出高所在直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得.（2）設(shè)出直線l的方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程.（3）求出中點坐標(biāo)及中線所在直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得.【解答過程】（1）直線BC的斜率kBC=2?(?3)所以BC邊上的高所在的直線方程為y?1=3(x?5)，即3x?y?14=0.（2）依題意，設(shè)直線l的方程為x+y+m=0(m≠1)，而直線l過點A5,1，則5+1+m=0，解得m=?6所以直線l的方程為x+y?6=0.（3）依題意，BC邊的中點(?12,?12所以BC邊上的中線所在直線的方程為y?1=311(x?5)36．（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）已知△ABC的三個頂點是A1,5(1)邊BC上的中線所在直線的方程；(2)邊BC上的高所在直線的方程；(3)∠ABC的角平分線所在直線的方程.【解題思路】（1）對于求邊BC上的中線所在直線方程：首先要找到BC中點坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，然后利用兩點式求直線方程；（2）對于求邊BC上的高所在直線方程：先求BC邊的斜率，根據(jù)斜率公式k=y2?y1（3）對于求∠ABC的角平分線所在直線方程：先求AB和BC邊的斜率，根據(jù)夾角公式，設(shè)角平分線斜率為k，求出k，再利用點斜式求出直線方程.【解答過程】（1）首先求BC中點坐標(biāo)，已知B(?5,?7),C(3,?3)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，BC中點D(?1,?5)，已知中線過A(1,5)和D(?1,?5)兩點，根據(jù)兩點式y(tǒng)?5?5?5即y?5?10=x?1?2，化簡得（2）先求BC邊的斜率，已知B(?5,?7),C(3,?3)，根據(jù)斜率公式kBC因為高與BC垂直，設(shè)高的斜率為k，則k×12=?1又因為高過A(1,5)點，根據(jù)點斜式y(tǒng)?5=?2(x?1)，整理得2x+y?7=0.（3）先求AB邊的斜率kAB=5+71+5=設(shè)角平分線斜率為k，根據(jù)夾角公式得|k?21+2k交叉相乘得|(k?2)(2+k)|=|(1?2k)(1+2k)|，繼續(xù)化簡|k2?4|=|4k2繼續(xù)化簡k2=?1（舍去），或k2因為角平分線的斜率應(yīng)該在kAB和kBC之間，所以又因為角平分線過B(?5,?7)點，根據(jù)點斜式y(tǒng)+7=1×(x+5)，整理得x?y?2=0.題型10題型10距離問題37．（24-25高二上·吉林·階段練習(xí)）已知直線l1:ax?2y+2=0，直線(1)若l1//l2，求(2)若l1⊥l2，求l1【解題思路】（1）由l1//l（2）由l1⊥l2求出a的值，再求出直線l1，l2的交點，及【解答過程】（1）因為l1//l整理得a2?a?2=a+1a?2=0當(dāng)a=?1時，l1:?x?2y+2=0，l2:x+2y?2=0，當(dāng)a=2時，l1:2x?2y+2=0，l2則l1，l2之間的距離為（2）因為l1⊥l2，所以l1，l2的方程分別為x?3y+3=0，聯(lián)立方程組x?3y+3=03x+y?6=0，得x=因為l1，l2與x軸的交點分別為?3,0，所以l1，l2及x軸圍成的三角形的面積為38．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知直線l:(2m+2)x+(1?4m)y?2m?7=0(1)證明：無論m為何值，直線l與直線x?2y?1=0總相交；(2)求點Q(2,4)到直線l距離的最大值；(3)若O為坐標(biāo)原點，直線l與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值．【解題思路】（1）化簡直線l，得到l的必過點(3,1)，得證；（2）根據(jù)直線l過點P3,1可得點Q(2,4)到直線l距離的最大值為PQ（3）設(shè)l:xa+yb【解答過程】（1）對于l:(2m+2)x+(1?4m)y?2m?7=0，化簡得2m令x?2y?1=0對于點(3,1)，直線l與直線x?2所以，無論m為何值，直線l與直線x?2（2）由（1）可得直線l過點P3,1故點Q(2,4)到直線l距離的最大值為PQ=當(dāng)直線l⊥PQ取到.（3）設(shè)l:xa+yb∴S=12ab=因為a>0,b>0，則(ab)2≥12ab，得ab≥12，（當(dāng)且僅當(dāng)3b2∴S≥6，△OAB面積的最小值為6.39．（23-24高二上·天津河西·階段練習(xí)）已知直線m:a?1x+2a+3(1)若坐標(biāo)原點O到直線m的距離為5，求a的值；(2)當(dāng)a=0時，直線l過m與n的交點，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.【解題思路】（1）依據(jù)點到直線的距離公式建立方程求解即可.（2）聯(lián)立求出直線交點，再分類討論直線是否過原點，求解即可.【解答過程】（1）設(shè)原點O到直線m的距離為d，則d=?a+6a?12+2a+3（2）由?x+3y+6=0x?2y+3=0解得x=?21y=?9，即m與n的交點為當(dāng)直線l過原點時，此時直線斜率為921所以直線l的方程為3x?7y=0；當(dāng)直線l不過原點時，設(shè)l的方程為xb將?21,?9代入得b=?12，所以直線l的方程為x?y+12=0.故滿足條件的直線l的方程為3x?7y=0或x?y+12=0.40．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知直線l1:2x?y?3=0,l(1)當(dāng)l1//l(2)當(dāng)m=2時，求過直線l1,l【解題思路】（1）由兩個直線平行求得m=?2，然后求平行直線距離即可；（2）先求兩個直線的交點，然后設(shè)平行直線的方程，求解即可.【解答過程】（1）由題可知，?2m+1=?m，解得所以l2此時直線l1，l2之間的距離為（2）當(dāng)m=2時，則l2聯(lián)立方程2x?y?3=02x?3y+1=0，解得x=52設(shè)所求直線為2x+y+c=0，所以有2×52+2+c=0所求直線為2x+y?7=0.題型11題型11點、線間的對稱問題41．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知直線l:x+2y?2=0，試求：(1)點P?2,?1關(guān)于直線l(2)直線l1:y=x?2關(guān)于直線l對稱的直線(3)直線l關(guān)于點A1,1【解題思路】（1）設(shè)對稱點為Q(x,y)，由PQ與直線l垂直，PQ中點在直線l上列方程組求解；（2）求出l與l1的交點坐標(biāo)，再求出直線l1上一點(2,0)關(guān)于直線（3）設(shè)直線l關(guān)于點A(1,1)對稱的直線方程為x+2y+m=0，由點A到這兩條平行線間距離相等求解．【解答過程】（1）設(shè)點P的對稱點為Q(x,y)，則y+1x+2=2x?2所以對稱點坐標(biāo)為(2（2）由x+2y?2=0y=x?2，解得x=2y=0，即直線l與l1點E(0,?2)是直線l1上的一點，設(shè)它關(guān)于直線l的對稱點為B(x,y)則y+2x=2x2+2?kAB=145125?2（3）設(shè)直線l關(guān)于點A(1,1)對稱的直線方程為x+2y+m=0，由1+2?25=1+2+m5，解得所以對稱直線方程為x+2y?4=0．42．（24-25高二上·湖北·期中）已知△ABC的頂點A(2,1)，邊AB的中線CM所在直線方程為x?y+1=0，邊AC的高BH所在直線方程為x?2y+2=0．(1)求點B的坐標(biāo)；(2)若入射光線經(jīng)過點A(2,1)，被直線CM反射，反射光線過點N(4,2)，求反射光線所在的直線方程．【解題思路】（1）設(shè)B2a?2,a，分析可知AB的中點a,a+12（2）求A(2,1)關(guān)于直線x?y+1=0的對稱點為A′【解答過程】（1）由題意可設(shè)點B2a?2,a因為A(2,1)，則AB的中點a,a+12在直線可得a?a+12+1=0所以點B的坐標(biāo)為B?4,?1（2）設(shè)A(2,1)關(guān)于直線x?y+1=0的對稱點為A′則n?1m?2=?1m+22所以反射光線所在的直線方程為y?23?2=x?443．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）如圖，已知A6,63，B0,0，C12,0，直線(1)求直線l經(jīng)過的定點坐標(biāo)；(2)若P2,23，李老師站在點P用激光筆照出一束光線，依次由BC（反射點為K）、AC（反射點為I）反射后，光斑落在P點，求入射光線【解題思路】（1）分離參數(shù)，列方程可得直線過定點；（2）分別求點P關(guān)于直線BC與AC的對稱點P1與P2，進(jìn)而可得kP【解答過程】（1）由直線l：k+3x?y?2k=0，即令x?2=03x?y=0，解得故直線l恒過定點2,23（2）設(shè)P關(guān)于BC的對稱點P1，則PP關(guān)于AC的對稱點P2由直線AC的方程為y?063?0所以n?23m?2?所以P2由題意得P1、K、I、P2四點共線，由對稱性得kPK所以入射光線PK的直線方程為y?23即2x+344．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）直線l過點P?2,0，點Q1,3到直線l的距離為23，直線l′(1)求直線l′(2)記原點為O，直線l′上有一動點M，則當(dāng)OM+MQ【解題思路】（1）由題意設(shè)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，然后由點Q1,3到直線l的距離為23，列方程可求出k的值，再求出點P?2,0（2）設(shè)原點為O關(guān)于直線l′的對稱點為O′，則OM+MQ=O′M+MQ≥【解答過程】（1）由題意設(shè)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=因為點Q1,3到直線l的距離為所以k?化簡得k2+23所以直線l的方程為y=?當(dāng)x=0時，y則直線l與y軸交于點A(0,?2點P?2,0，A(0,?23)關(guān)于點所以直線l′的斜率為4所以直線l′的方程為y?23（2）設(shè)原點為O關(guān)于直線l′的對稱點為O′，則所以O(shè)M+所以當(dāng)O′設(shè)O′(x,y)，則所以kO所以直線O′Q的方程為y?由3x?4y+33題型12題型12圓的切線長及切線方程問題45．（24-25高二上·江西贛州·階段練習(xí)）已知圓C過A2,?4，B?2,?2兩點，且圓心C在直線(1)求圓C的方程；(2)過點P7,?1作圓C【解題思路】（1）根據(jù)點A，B可知線段AB中垂線，圓心C在中垂線上，聯(lián)立兩直線，可知點C坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓C方程；（2）當(dāng)切線斜率不存在時直線方程為x=7成立，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)點斜式，根據(jù)點到直線距離d=r，即可得解.【解答過程】（1）由已知A2,?4，B則其中點為0,?3，kAB所以AB中垂線的斜率kl則AB中垂線為l:y=2x?3，所以點C在l上，又點C在直線x+4y?6=0，聯(lián)立y=2x?3x+4y?6=0，解得x=2y=1，即半徑r=CA所以圓C的方程為x?22（2）由（1）得C2,1，r=5當(dāng)過點P的切線斜率不存在時，直線為x=7，與圓C相切；當(dāng)過點P的