考研筆記 尼科爾森《微觀經(jīng)濟(jì)理論-基本原理與擴(kuò)展》（第11版）筆記和課后習(xí)題詳解

之一，被國(guó)內(nèi)部分院校(主要是北京大學(xué)、中國(guó)人民大學(xué)、南京大學(xué)等名校)指定為考研考濟(jì)理論——基本原理與擴(kuò)展》的考生復(fù)習(xí)專(zhuān)業(yè)課，我們精心編著了供免費(fèi)下載，免費(fèi)升級(jí)):1.尼科爾森《微觀經(jīng)濟(jì)理論——基本原理與擴(kuò)展》(第11版)筆記和課后習(xí)題詳解2.尼科爾森《微觀經(jīng)濟(jì)理論——基本原理與擴(kuò)展》講義與視頻課程【25小時(shí)高清視頻】3.尼科爾森《微觀經(jīng)濟(jì)理論——基本原理與擴(kuò)展》(第11版)課后習(xí)題詳解4.尼科爾森《微觀經(jīng)濟(jì)理論——基本原理與擴(kuò)展》配套題庫(kù)【課后習(xí)題+章節(jié)題庫(kù)(含名?？佳姓骖})+模擬試題】本書(shū)是尼科爾森《微觀經(jīng)濟(jì)理論——基本原理與擴(kuò)展》(第11版)教材的配套電子書(shū)，主(1)濃縮內(nèi)容精華，整理名校筆記。本書(shū)每章的復(fù)習(xí)筆記對(duì)本章的重難點(diǎn)進(jìn)行了整理，并(2)解析課后習(xí)題，總結(jié)知識(shí)考點(diǎn)。本書(shū)參考國(guó)外教材的英文答案和相關(guān)資料對(duì)每章的習(xí)(3)補(bǔ)充相關(guān)要點(diǎn)，強(qiáng)化專(zhuān)業(yè)知識(shí)。一般來(lái)說(shuō)，國(guó)外英文教材的中譯本不太符合中國(guó)學(xué)生(4)最新補(bǔ)充內(nèi)容，可免費(fèi)升級(jí)獲得。本書(shū)后期會(huì)進(jìn)行修改完善，對(duì)于最新修訂完善的內(nèi)|經(jīng)濟(jì)類(lèi)()提供全國(guó)各高校經(jīng)濟(jì)類(lèi)專(zhuān)業(yè)考研考博輔導(dǎo)班【一對(duì)一輔導(dǎo)(面授/網(wǎng)授)、網(wǎng)授精講班等】、3D電子書(shū)、3D題庫(kù)、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、經(jīng)濟(jì)類(lèi)國(guó)1.直播答疑：掃碼下載本書(shū)手機(jī)版，找學(xué)友互動(dòng)學(xué)習(xí)，看名師直播答疑有學(xué)友，可精確查找學(xué)友的具體位置，可與學(xué)友互動(dòng)，交流學(xué)習(xí)(視頻、語(yǔ)音等形式);本2.720度立體旋轉(zhuǎn)：好用好玩的全新學(xué)習(xí)體驗(yàn)3.質(zhì)量保證：每本電子書(shū)都經(jīng)過(guò)圖書(shū)編輯隊(duì)伍多次反復(fù)修改，年年升級(jí)4.手機(jī)掃碼即可閱讀，精彩內(nèi)容，輕松分享掃碼即可在手機(jī)閱讀，隨處隨學(xué)?？梢圆挥每蛻舳瞬挥觅~號(hào)，簡(jiǎn)單方便!5.免費(fèi)升級(jí)：更新并完善內(nèi)容，終身免費(fèi)升級(jí)6.功能強(qiáng)大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)列舉相同知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容列表呈現(xiàn)，便于讀者記憶和復(fù)習(xí)，舉一反三，觸(2)劃線添加筆記——使用顏色筆工具，劃一條線，寫(xiě)筆記，提交糾錯(cuò)?！惊?dú)家推出】(3)答案遮擋——先看題后看答案，學(xué)習(xí)效果好?！惊?dú)家推出】(4)全文檢索——輸入關(guān)鍵詞，本書(shū)相關(guān)內(nèi)容一覽無(wú)余?！惊?dú)家推出】7.多端并用：電腦手機(jī)平板等多平臺(tái)同步使用本書(shū)一次購(gòu)買(mǎi)，多端并用，可以在PC端(在線和下載)、手機(jī)(安卓和蘋(píng)果)、平板(安卓和蘋(píng)果)等多平臺(tái)同步使用。同一本書(shū)，使用不同終端登錄，可實(shí)現(xiàn)云同步，即更換不同()是一家為全國(guó)各類(lèi)考試和專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)提供輔導(dǎo)方案【保過(guò)班、網(wǎng)授班、3D電子書(shū)、3D題庫(kù)】的綜合性學(xué)習(xí)型視頻學(xué)習(xí)網(wǎng)站，擁有近100種考試(含418個(gè)考試科目)、194種經(jīng)典教材(含英語(yǔ)、經(jīng)濟(jì)、管理、證券、金融等共16大類(lèi)),合計(jì)近萬(wàn)小時(shí)的面授班、網(wǎng)授為您處理!全國(guó)熱線：400-900-8858(8:30-00:30)詳情訪問(wèn)：(經(jīng)濟(jì)類(lèi))1.1復(fù)習(xí)筆記1.2課后習(xí)題詳解第2章微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)工具2.2課后習(xí)題詳解第二篇選擇與需求第3章偏好與效用3.2課后習(xí)題詳解第4章效用最大化與選擇4.1復(fù)習(xí)筆記第5章收入效應(yīng)與替代效應(yīng)第6章商品間的需求關(guān)系第三篇不確定性與策略第7章不確定性第四篇生產(chǎn)與供給第9章生產(chǎn)函數(shù)第10章成本函數(shù)第11章利潤(rùn)最大化第五篇競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)第12章競(jìng)爭(zhēng)性?xún)r(jià)格決定的局部均衡模型第13章一般均衡與福利第六篇市場(chǎng)勢(shì)力第15章不完全競(jìng)爭(zhēng)第七篇要素市場(chǎng)定價(jià)第16章勞動(dòng)力市場(chǎng)第17章資本和時(shí)間17.2課后習(xí)題詳解第八篇市場(chǎng)失靈第18章不對(duì)稱(chēng)信息第19章外部性與公共品1.經(jīng)濟(jì)模型(1)經(jīng)濟(jì)模型的含義(2)經(jīng)濟(jì)模型的三個(gè)共同因素(3)檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)模型的方法3.經(jīng)濟(jì)均衡(1)局部均衡理論(2)一般均衡理論一般均衡理論是1874年法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦爾拉斯創(chuàng)立的。瓦爾拉斯認(rèn)為，整個(gè)經(jīng)濟(jì)體系處于1.2課后習(xí)題詳解第2章微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)工具2.1復(fù)習(xí)筆記1.一元函數(shù)最大值問(wèn)題假設(shè)企業(yè)所獲得的利潤(rùn)(π)僅取決于出售商品的數(shù)量(q),它的數(shù)學(xué)表達(dá)則(1)最大化的一階條件(必要條件):對(duì)于上述一元函數(shù)，如果在某一點(diǎn)取到最大值，它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)(如果存在)必為零。即(2)最大化的二階條件(必要條件):在滿足一階導(dǎo)數(shù)等于零的條件下，并不能保證該點(diǎn)為極大值點(diǎn)，還必須滿足二階導(dǎo)數(shù)小于零，即2.多元函數(shù)的最值問(wèn)題函數(shù)取最大值(或者最小值)的必要條件是，對(duì)于任意罪的微小變化的組合都有一=,這樣該點(diǎn)必有：為極值的一階條件，但這個(gè)條件并不=,組合都有一=,這樣該點(diǎn)必有：為極值的一階條件，但這個(gè)條件并不=,3.包絡(luò)定理在經(jīng)濟(jì)分析中，人們常常要考察經(jīng)濟(jì)中的某些參數(shù)的變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)(最大值)的影響，如一商品價(jià)格的變化對(duì)消費(fèi)者的效用的影響，一投入要素價(jià)格的變化(或要素稟賦的變動(dòng))對(duì)廠商收入(或利潤(rùn))的影響，此時(shí)，包絡(luò)定理為這種分析提供了方便。L(x,α;)=f(x,α)-ig(x,α)即參數(shù)k對(duì)最大值函數(shù)(目標(biāo)函數(shù)的最大值)的影響，就等于拉格朗日函數(shù)直接對(duì)參數(shù)k4.有約束條件的最大化問(wèn)題求解具有約束條件最大化問(wèn)題的一種方法是拉格朗日乘數(shù)法。假設(shè)求解，范，…,x的其中函數(shù)8表示所有X滿足的關(guān)系。:局5.有約束條件下的最大化問(wèn)題中的包絡(luò)定理函數(shù)與8對(duì)參數(shù)a具有依賴(lài)性。求解這個(gè)問(wèn)題的一種方法是建立拉格朗日表達(dá)式：求解最優(yōu)值i,….,的一階條件，它可以表示為：即當(dāng)參數(shù)a的改變(與所有重新計(jì)算的三的最優(yōu)值)導(dǎo)致的最優(yōu)值的改變可由對(duì)拉格朗日表達(dá)式求偏導(dǎo)數(shù)，再將極值點(diǎn)的數(shù)據(jù)帶入得到。因此，拉格朗日表達(dá)式在計(jì)算有約束條件下的問(wèn)題和沒(méi)有約束條件的問(wèn)題時(shí)，包絡(luò)定理起了相同的作用。6.齊次函數(shù)則稱(chēng)其為「次齊次函數(shù)。(1)齊次函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一個(gè)次齊次可微函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)是次齊次的。對(duì)齊次函數(shù)表達(dá)式關(guān)于1求偏導(dǎo)數(shù)，可見(jiàn)「是滿足同次齊次的定義的。(2)歐拉定理齊次函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)是對(duì)因子求偏導(dǎo)得到的。對(duì)齊次函數(shù)表達(dá)式的兩邊分別對(duì)求偏這就是齊次函數(shù)的歐拉定理。它說(shuō)明了對(duì)于齊次函數(shù)，其函數(shù)值與其各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)之間有確定的關(guān)系。(3)位似函數(shù)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的序關(guān)系。即對(duì)于函數(shù)f,如果一組自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于另一組的，那么經(jīng)7.動(dòng)態(tài)最優(yōu)化(1)最優(yōu)控制問(wèn)題假設(shè)一個(gè)決策者希望在時(shí)間區(qū)間[to,t;]內(nèi)找到變量x(t)的最優(yōu)c(t),t]的收益，同時(shí)他的目標(biāo)是最大化(2)極大值問(wèn)題單一時(shí)間點(diǎn)上決策者的決策問(wèn)題：不僅僅關(guān)注目標(biāo)函數(shù)的現(xiàn)值，同樣也關(guān)注x(t)值的隱性變化。x(t)的現(xiàn)值由λ(t)x(t)給出，它的即時(shí)變化率由下式給出：8.數(shù)理統(tǒng)計(jì)能夠體現(xiàn)其每一個(gè)特定結(jié)果出現(xiàn)的概率。任意概率密度函數(shù)都要滿足f(x)0,同時(shí)函數(shù)值求和(或者積分)為1。常用的概率密度函數(shù)有：二項(xiàng)分布、均勻分布、指數(shù)分布和標(biāo)2.2課后習(xí)題詳解a.計(jì)算翹=-2×02共40×10-100=1000滿足。處，利潤(rùn)最大化的二階條件為：,因而利潤(rùn)最大化的二階條件值。解：(1)代入消元法由x+y=1可得：y=1-x,將其代入f可得：f=Ay=.-,因?yàn)閒"=-2<0,所以此問(wèn)題是一個(gè)受約束的全局優(yōu)化問(wèn)題，同時(shí)也是一個(gè)局部最優(yōu)化問(wèn)題。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：從而可以解得：4.上一題的對(duì)偶問(wèn)題是給定xv=0.25,求x+y的最小值。并用拉格朗日乘數(shù)法求解。比較這兩題中算出的拉格朗日乘數(shù)的大小。并解釋其關(guān)系。解：設(shè)最小化問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)為：一階條件為：由前兩個(gè)方程式可得：x=y聯(lián)立第三個(gè)方程式，解得：將本題與第3題進(jìn)行比較可知，兩種情況下求得的的值是一樣的。因此，第3題中受約束的最大化問(wèn)題是本題中受約束的最小化問(wèn)題的一個(gè)對(duì)偶問(wèn)題。5.垂直向上拋球，秒后高度為(其中仁是重力加速度)。a.達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)為多少?將其寫(xiě)成的函數(shù)。b.用上一問(wèn)的結(jié)果解釋當(dāng)「發(fā)生改變時(shí)，最高點(diǎn)高度如何變化。c.用包絡(luò)定理求解b問(wèn)題。d.在地球上一=,但在不同的地方略有不同。如果兩地「相差0.1,球能達(dá)到的最大高度大約差多少?解：a.對(duì)高度函數(shù)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)數(shù)可得：即可以解得使高度最大的時(shí)間為：從而可知，小球處于最高處的時(shí)間t與參數(shù)8成反比例關(guān)系。b.將代入高度函數(shù)中可得：即隨著8的增大，最大高度將變小。c.由包絡(luò)定理可知：取決于8,這是因?yàn)槿Q于8。因而兩地最大高度的差異為：6.為了建造一艘油輪，我們把一塊長(zhǎng)，寬「的鐵皮四角各剪去一塊邊長(zhǎng)為t的正方形，再折起來(lái)，就形成了無(wú)蓋油輪的結(jié)構(gòu)。a.證明油箱的體積一d.如果造船廠只有1000000平方英尺的鐵皮，即t,滿足約束條?，F(xiàn)在求解「的最大值。此時(shí)的結(jié)果和b,c兩個(gè)問(wèn)題有什么區(qū)別?V=t(x-2t)(3x-2t)=3t2-L=3x2-8t2x+4t3+2(100000L=x?+5lnx?+2(k-x?-x?)b.當(dāng)k=4時(shí)，由(1)的解x=k-5可得：d.如果k=20,則由(1)可得最優(yōu)解為：5,額外的增量應(yīng)該全部由1的增加來(lái)實(shí)現(xiàn)。8.假定一個(gè)企業(yè)的邊際成本函數(shù)是Cigi=c.如果價(jià)格上漲到20,企業(yè)將獲得多少利潤(rùn)?函數(shù)求解；(2)對(duì)逆邊際成本函數(shù)MC1(p)=p-1積分，積分下限為P=15,由于企業(yè)的邊際成本是指企業(yè)多生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品所增加的企業(yè)成本。用公式描述企業(yè)總成本函數(shù)和邊際成函數(shù)之間的關(guān)系就是。而上述所求的總成本函數(shù)代表了在此邊際成本函數(shù)下的總成本函數(shù)族。此時(shí)，要使總成本函數(shù)唯一，主要取決于固定成本F。所以說(shuō)，總成本函數(shù)只取決于一個(gè)代表了固定成本的積分常數(shù)。企業(yè)在這個(gè)價(jià)格時(shí)不賺不賠，此時(shí)的企業(yè)利潤(rùn)為零，即：解得此時(shí)企業(yè)的固定成本為，F(xiàn)=98c.如果價(jià)格上漲到20,則企業(yè)產(chǎn)量滿足：解得，q=19此時(shí)，企業(yè)將獲得利潤(rùn)為：d.如果繼續(xù)假設(shè)企業(yè)依據(jù)利潤(rùn)最大化規(guī)律做決策，由P=MC(q)可將企業(yè)的產(chǎn)量表示為：那么企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為：因?yàn)閒(x1,X?)是一個(gè)凹函數(shù)，而二階連續(xù)可微函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其海塞矩陣是負(fù)半定的，所以對(duì)于海塞矩陣i?<0.f22<0.fi?f22-而海塞矩陣D2f(x?.x2)是負(fù)定的，從而可知，海塞矩陣D2f(x?:x2)D2f(x?.x2)在子空中至少是半負(fù)定的，因而可知f(xi,X2)也是一個(gè)擬凹函數(shù)。對(duì)于擬凹函數(shù)，其加邊矩陣是負(fù)半定的，即有：(2)直觀的，從圖形上看，函數(shù)f(x)為擬凹表示線段x?、x?之間的點(diǎn)的函數(shù)值要高于點(diǎn)A,或者說(shuō)曲線ACB之間的點(diǎn)都高于點(diǎn)A。顯然，當(dāng)函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，曲線呈一個(gè)倒置的鍋狀，則上述性質(zhì)是滿足的。從這一點(diǎn)看，凹函數(shù)一定是擬凹函數(shù)。(3)逆命題擬凹函數(shù)是凹函數(shù)不正確。如圖2-2所示，在曲線AC段，函數(shù)是凹的；而在CB段，函數(shù)是凸的。這說(shuō)明擬凹函數(shù)的概念要比凹函數(shù)更弱。圖2-2凹函數(shù)與擬凹函數(shù)10.你即將碰到一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中特別重要的函數(shù)：科布一道格拉斯函數(shù)：b.用y=c的等高線圍成的區(qū)域是凸集的辦法證明它是擬凹函數(shù)。c.證明當(dāng)α+β>1時(shí)該函數(shù)不是凹函數(shù)。(這也說(shuō)明擬凹函數(shù)不一定是凹的)。注：柯布一道格拉斯函數(shù)在擴(kuò)展章節(jié)中有介紹。0.顯然ff2-2/if+f?f2中的所有項(xiàng)都是負(fù)的，從而可得：fif2-2fi?fif?+f?f2<0b.如果y=c=xix2,則=z:,因而當(dāng)α、β>0時(shí)，x?是x?的凸函數(shù)。關(guān)于當(dāng)α+β>1時(shí)，該式是負(fù)的，因而此時(shí)函數(shù)不是凹函數(shù)，從而可知，并非所有的擬凹函數(shù)都11.冪函數(shù)這類(lèi)情況下一般使用y=x?/8的形式以保證微分表達(dá)式有適當(dāng)?shù)姆?hào))a.證明冪函數(shù)是凹函數(shù)(自然也是擬凹函數(shù))。注意只有當(dāng)時(shí)函數(shù)才是嚴(yán)格凹的。b.證明多元冪函數(shù)也是凹的(也是擬凹的)。這里由于交叉偏導(dǎo)數(shù)==:==0,凹性很明顯。解釋為什么交叉偏導(dǎo)數(shù)為零?函數(shù)g是否具有凹性?是否具有擬凹性?解：a.當(dāng)E時(shí)，因?yàn)?所以此時(shí)函數(shù)一E三是嚴(yán)叉偏導(dǎo)數(shù)為0。g=y,B=8?=y1v?,8=r(r-1)y2v2+882-gi2=γ2(γ-1)y23v2v?=y2o2(δ-1)y2-3x-2x?-2(xi8n82-2g?8&?+8n8=r3(v-D)y3(-當(dāng)op>1時(shí)，818m-8<0,8不是凹因?yàn)槭菙M凹函數(shù)，所以當(dāng)/>1時(shí)，8不是擬凹函數(shù)；當(dāng)/≤1時(shí)，8不是擬凹函數(shù)。a.寫(xiě)出求解這個(gè)問(wèn)題的拉格朗日表達(dá)式，并寫(xiě)出其一階條件。b.將包含X的兩個(gè)一階條件相加。c.將b中的求和式對(duì)Q求導(dǎo)數(shù)。這一結(jié)果將告訴我們隨著Q的變化，X必須要改變相對(duì)應(yīng)的量，才能使一階條件成立。f.把e中的結(jié)果乘上λ(拉格朗日乘數(shù)),并且運(yùn)用c中的一階條件，將這兩個(gè)結(jié)果帶人d的微分式中。應(yīng)該可以得到：這個(gè)等式就是在x取到最優(yōu)值時(shí)，拉格朗日表達(dá)式的偏微分。這也就證明了包絡(luò)定理。請(qǐng)?jiān)谥庇X(jué)上解釋這一證明為何能夠保證x被調(diào)整到最優(yōu)值。g.請(qǐng)解釋本書(shū)例2.8中如何在籬笆周長(zhǎng)這個(gè)例子中運(yùn)用包絡(luò)定理，即籬笆周長(zhǎng)P的變化如何影響籬笆包圍的面積?并使用包絡(luò)定理說(shuō)明，在這個(gè)例子中拉格朗日乘數(shù)如何施加約束。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：一階條件為：b.包含X的兩個(gè)一階條件相加得：c.將b中的求和式對(duì)Q求導(dǎo)得：d.將目標(biāo)函數(shù)對(duì)a求導(dǎo)得：①e.將約束條件對(duì)Q求導(dǎo)得：②f.將②乘以2再加入①式，有：所以13.泰勒逼近泰勒定理說(shuō)的是任意函數(shù)在任意光滑點(diǎn)附近都可以用一系列原函數(shù)及微分的線性組合近似表示。下面是泰勒定理在一元函數(shù)和二元函數(shù)中的運(yùn)用。fl"(a)(x-a)+0.5f""(a)(x-a)2+有關(guān)的f",僅用前三項(xiàng)逼近就稱(chēng)為二次泰勒逼近。對(duì)f'"(x)<0中的凹函數(shù)使用二次泰勒逼近可以說(shuō)明，任何凹函數(shù)要么正好在a點(diǎn)的切線上，要么在a點(diǎn)的切線下方。f(x,y)=f(a,b)+f?(a,b)(x-a)+f?(a,b)(y-b)+0.5[f2+2f?2(a,b)(x-a)(y-b)+f22(同樣的，使用上述逼近可以說(shuō)明，任意的凹函數(shù)(由定義)要么正好在點(diǎn)(a,b)的切線上，要么在點(diǎn)(a,b)的切線下方。f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+0.5f上面的方程表明的是f(x)在a點(diǎn)的切線方程，因此，任何凹函數(shù)要么位于a點(diǎn)的切線上，要么在該點(diǎn)切線的下方。b.f(x,y)在(a,b)點(diǎn)的二次泰勒逼近式為f(x,y)=f(a,b)+f?(a,b)(x-a)+f?(a,b)(y-b)+0.5[f2+2fi?(a,b)(x-a)(y-b)+f22(y根據(jù)凹函數(shù)的性質(zhì)，有上面的方程表明的是f(x,y)在(a,b)點(diǎn)的切線方程，因此，任何凹函數(shù)要么位于(a,b)點(diǎn)的切線上，要么在該點(diǎn)切線的下方。14.由于期望這個(gè)概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中有很重要的作用，下面將會(huì)在這里進(jìn)一步總結(jié)這個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)概念的性質(zhì)。貫穿這個(gè)問(wèn)題，我們都假設(shè)x是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為f(x)。a.(Jensen不等式)假設(shè)g(x)是一個(gè)凹函數(shù)。證明E[g(x)]<g[E(x)]。提示：在點(diǎn)E(x)處作函數(shù)g(x)的切線。這個(gè)切線的性質(zhì)是，對(duì)所有的x和c+dE(x)=g[E(x)]b.用a中的方法證明如果g(z)是凸函數(shù)，那么有E[g(x)]≥g[E(x)]。c.假設(shè)x只能取非負(fù)值，即O≤x≤o,使用分步積分法證明：d.(馬爾科夫不等式)證明，如果x只能取正值，則下面的不等式成立：e.考慮概率密度函數(shù)f(x)=2x?3,其中x≥1。1.證明上述函數(shù)確實(shí)是一個(gè)概率密度函數(shù)。2.求出其累積分布函數(shù)F(x)。4.證明這個(gè)函數(shù)滿足馬爾科夫不等式。f.在一些經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中會(huì)用到條件期望這個(gè)概念。即在某些事件發(fā)生的條件下表示為E(x|A)。計(jì)算條件期望需要知道在事件A發(fā)生的條件下x的概率密度函數(shù)(用f(x|A)表示)。定義了上述表達(dá)式，可以得到,其中-1≤x≤21.證明上述函數(shù)是一個(gè)概率密度函數(shù)。2.計(jì)算期望E(x)3.計(jì)算-1≤x≤0的概率4.考慮事件0≤x≤2,并記為事件A。求解f(x|A)。5.計(jì)算E(x|A)。6.在直覺(jué)上解釋上述結(jié)果。b.在點(diǎn)E(x)處作函數(shù)g(x)的切線，則對(duì)所有x和有二f(x)是密度函數(shù)。的累積分布函的期望函數(shù)E(x)=為二f(x)滿足馬爾科夫不等式。f(x)是密度函數(shù)。6.由以上結(jié)果可知：要消除x的最低值，應(yīng)增加剩余值的預(yù)期值。15.從隨機(jī)變量方差的定義式出發(fā)，可以推導(dǎo)出一些結(jié)論。b.使用馬爾科夫不等式(練習(xí)題14d)證明下面的不等式成立，其中x為非負(fù)數(shù)。這一結(jié)果告訴我們一個(gè)隨機(jī)變量偏離期望的程度是有限制的。令k=ho,上述結(jié)果可以轉(zhuǎn)化舉個(gè)例子，一個(gè)隨機(jī)變量偏離期望超過(guò)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率永遠(yuǎn)小于0.25,這個(gè)結(jié)果也被稱(chēng)為切比雪夫不等式。c.Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2Cov(x,y)說(shuō)明，如果兩個(gè)(或兩個(gè)以上)的隨機(jī)變量是獨(dú)立的，那么它們的和的方差等于方差的和。把這一結(jié)果推廣到n個(gè)隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量的期望和方差都是u和o2。這n個(gè)隨機(jī)變量的和的期望為nμ,方差為no2。這n個(gè)隨機(jī)變量的均值的期望為u,方差為o2/n。這有時(shí)被稱(chēng)為大數(shù)定理：隨著隨機(jī)變量個(gè)數(shù)的增加，其均值的方差會(huì)逐漸收斂到0。d.利用c的結(jié)果證明，如果x?和x?是兩個(gè)同期望、同方差的獨(dú)立隨機(jī)變量。這兩個(gè)隨機(jī)變量的加權(quán)平均值X=kxi+(1-k)x?(O≤k≤1)的方差在k=0.5時(shí)取到最小值，那么合理設(shè)置k的取值能夠使X的方差減少多少?e.如果d中的兩個(gè)隨機(jī)變量方差不相等，最后的結(jié)果會(huì)發(fā)生怎樣的變化?解：a.根據(jù)方差的數(shù)學(xué)定義得：c.如果兩個(gè)(或兩個(gè)以上)的隨機(jī)變量是獨(dú)立的，即：如果x,y相互獨(dú)立，則有Var(x+y)=Var(x)+Var(y)對(duì)于相互獨(dú)立的n個(gè)隨機(jī)變量，其期望和方差滿足：則這n個(gè)隨機(jī)變量和的期望和方差分別為：E(x+x?+…+x,)=E(x)+E(x?)+…+這n個(gè)隨機(jī)變量的均值的期望和方差分別為：隨著隨機(jī)變量個(gè)數(shù)n的增加，其均值方差的極限為：d.由題意得，方差為：Var[ox+(1-k)x]=[k2+(1-k)2].c2=(2k2-2k+一階條件滿足：e.此時(shí)，方差為Var[by+(1-k)x]=k2Var(x)+(1-k)2Va一階條件滿足：2kVar(x?)-2(1-k)Var16.這里介紹一些與隨機(jī)變量x?和x?的協(xié)方差有關(guān)的關(guān)系式。a.證明Cov(xj,x?)=E(x1x?)-E(x?)E(x?),上述關(guān)系的一個(gè)重要應(yīng)用就是，當(dāng)Cov(x?,x?)=0時(shí)，E(x?,x?)=E(x?)E(x?),即隨機(jī)變量乘積的期望等于這兩個(gè)隨機(jī)變量期望的乘積。c.在練習(xí)題2.15d中，我們計(jì)算了X=kx?+(1-k)x?(O≤k≤1)的方差。如果Cov(x,x?)≠<0,上面的結(jié)論當(dāng)k=0.5時(shí)，X的方差最小，是否還成立?d.兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)定義為：分別從數(shù)學(xué)上和直觀上解釋么=1e.假設(shè)隨機(jī)變量y是x的線性變換y=a+βx。證明：這里，β也被稱(chēng)為y關(guān)于x的回歸系數(shù)。如果使用真實(shí)數(shù)據(jù)，上述表達(dá)式也被稱(chēng)為最小二乘(OLS)回歸系數(shù)。解：a.根據(jù)協(xié)方差數(shù)學(xué)定義得：時(shí)，有：b.由方差的定義得：c.此時(shí)，有：一階條件為：解得：,因此結(jié)論依然成立。根據(jù)柯西一施瓦茨不等式，有：所以-1≤Corr(x:x?)≤1從直觀上理解，相關(guān)系數(shù)度量的是兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，當(dāng)兩個(gè)變量之間正線性相關(guān)時(shí)，相關(guān)關(guān)系最強(qiáng)，此時(shí)相關(guān)系數(shù)為1;當(dāng)兩個(gè)變量之間負(fù)線性相關(guān)時(shí)，相關(guān)關(guān)系最弱，此時(shí)相關(guān)系數(shù)為1。兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系介于正線性相關(guān)和負(fù)線性相關(guān)之間，因此相關(guān)系數(shù)介第二篇選擇與需求3.1復(fù)習(xí)筆記1.理性選擇公理偏好是指消費(fèi)者按照自己的意愿對(duì)可供選擇的商品組合進(jìn)行的排序。偏好是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)價(jià)值理論中的一個(gè)基礎(chǔ)概念。偏好是主觀的，也是相對(duì)的概念。為了便于經(jīng)濟(jì)分析，經(jīng)濟(jì)學(xué)中通常假定人們的偏好關(guān)系滿足以下三個(gè)基本假設(shè)：(1)完備性：偏好是完備的，即消費(fèi)者可以在所有可能的消費(fèi)組合中進(jìn)行比較和排序。例如，對(duì)于任何兩個(gè)消費(fèi)組合A和B,消費(fèi)者要么偏好其中的A,要么偏好其中的B,要么覺(jué)得兩者無(wú)差異。其中，無(wú)差異是指消費(fèi)者從兩個(gè)消費(fèi)選擇中獲得相同的滿足程度。(2)傳遞性：偏好是可以傳遞的，這意味著，如果消費(fèi)者在消費(fèi)組合A和B中更偏好A,在B和C中更偏好B,那么消費(fèi)者A和C中更偏好A。這一假定保證了消費(fèi)者的種種偏好是一致的，因而也是理性的。(3)連續(xù)性：如果消費(fèi)者認(rèn)為消費(fèi)組合A優(yōu)于B,那么充分接近A的消費(fèi)組合也一定優(yōu)于(1)效用的含義效用是指消費(fèi)者消費(fèi)或擁有一定數(shù)量的某種商品時(shí)所獲得的滿足程度。一種商品給消費(fèi)者所帶來(lái)的效用不同于該商品的使用價(jià)值，它是消費(fèi)者對(duì)所消費(fèi)商品給予的主觀評(píng)價(jià)，不同的消費(fèi)者在相同的時(shí)間、地點(diǎn)消費(fèi)相同數(shù)量的商品組合可以分別獲得不同的效用，即使同一消費(fèi)者在不同的時(shí)期、不同的地點(diǎn)消費(fèi)同樣數(shù)量的商品組合也可獲得不同的滿足程度。效用有總效用和邊際效用之分。邊際效用量的大小在消費(fèi)者的消費(fèi)決策中具有重要作用。(2)度量效用方式的不唯一性只要準(zhǔn)確符合原本的偏好排序，可以任意給定一組數(shù)值來(lái)表示同樣的選擇次序。例如U(A)=5,U(B)=4和U(A)=1000000,U(B)=0.5沒(méi)有區(qū)別。由于賦予效用的數(shù)值并不唯一，因此不能在不同人之間比較效用。(3)其他條件不變的假定影響效用度量的因素的有很多：①所消費(fèi)的實(shí)物商品的影響；②內(nèi)心的態(tài)度；③來(lái)自同階層的心理壓力；④個(gè)人經(jīng)歷；⑤所處的一般文化環(huán)境等等。所以，對(duì)效用最大化選擇的經(jīng)濟(jì)分析中，為了使選擇分析形式簡(jiǎn)單、易于處理，一般都假定其他條件不變。(4)效用函數(shù)①消費(fèi)商品的效用在單一時(shí)點(diǎn)上，在n種消費(fèi)品x?,X2,….,xn中，考慮個(gè)人的選擇問(wèn)題。將假定個(gè)人對(duì)這些消效用=U(x1,X?,…Xn;其他事物)這里x表示可能選擇商品的數(shù)量，其他事物表示消費(fèi)者的福利還來(lái)自其他許多方面。a.當(dāng)討論個(gè)人從真實(shí)財(cái)富(W)中獲得的效用時(shí)有：效用=U(W)。財(cái)富帶來(lái)的效用，是給定時(shí)間內(nèi)的非工作時(shí)間(即閑暇)。效用函數(shù)表示為U(x1,X2,…,xn),這里x1,X?,….,xn分別代n種商品的數(shù)量，如果個(gè)人的偏好序維持不變，那么這個(gè)效用函數(shù)就是唯一的。3.交易與替代(1)無(wú)差異曲線圖3-1。圖3-1無(wú)差異曲線圖3-2相交的無(wú)差異曲線意味著偏好不一致c.在正常情況下，無(wú)差異曲線總是凸向原點(diǎn)的。這一特點(diǎn)是由商品的邊際替代率遞減規(guī)律所決定的。(2)邊際替代率邊際替代率(MRS)指在維持效用水平不變的前提下，消費(fèi)者增加一單位某種商品的消費(fèi)數(shù)量時(shí)所需放棄的另一種商品的消費(fèi)數(shù)量。以MRS代表商品的邊際替代率，底和-E分別是商品1和商品2的消費(fèi)變化量，則商品1對(duì)商品2的邊際替代率的公式為：當(dāng)商品數(shù)量的變化趨于無(wú)窮小時(shí)，則商品的邊際替代率公式為：顯然，無(wú)差異曲線上某一點(diǎn)的邊際替代率就是無(wú)差異曲線在該點(diǎn)的斜率的絕對(duì)值。4.特定偏好的效用函數(shù)(1)柯布一道格拉斯效用函數(shù)柯布一道格拉斯效用函數(shù)為,具有良好的性狀，是經(jīng)濟(jì)分析中常用的一種效用函數(shù)，參數(shù)一=反映了商品X和Y對(duì)于個(gè)體的相對(duì)重要性。其邊際替代率為：圖3-3柯布一道格拉斯效用函數(shù)就說(shuō)商品X是Y的完全替代品，如圖3-4所示。特別地，當(dāng)這個(gè)固定的替代比例是1:1圖3-4線性效用函數(shù)5所示。此時(shí)消費(fèi)者關(guān)于這兩種商品的無(wú)差異曲線呈L形，所有無(wú)差異曲線的拐點(diǎn)的連線是一條直線，而直線的斜率就表示兩種商品的搭配比率，比如鞋和襪子這兩種商品。圖3-5里昂惕夫效用函數(shù)(4)CES效用函數(shù)CES效用函數(shù)又稱(chēng)不變替代彈性效用函數(shù)，其表達(dá)式為：當(dāng)δ=1時(shí)，它是表示完全替代的線性效用函數(shù)；當(dāng)δ=0時(shí)，它是科布一道格拉斯效用函數(shù)；當(dāng)δ→0時(shí)，它是表示完全互補(bǔ)的里昂惕夫效用函數(shù)。CES效用函數(shù)的無(wú)差異曲線如圖3-6CES效用函數(shù)3.2課后習(xí)題詳解1.畫(huà)出下列效用函數(shù)的無(wú)差異曲線并判斷它們是否是凸的(即它們的邊際替代率是否隨著x遞增而遞減)。解：a.效用函數(shù)的無(wú)差異曲線為一組直線，如圖3-7所示。邊際為一常數(shù)，因而無(wú)差異曲線不是凸?fàn)畹?。圖3-7完全替代型的無(wú)差異曲線b.效用函數(shù)的無(wú)差異曲線如圖3-8所示，為性狀良好的無(wú)差異曲線。其邊際替代率為：即隨著x的遞增，將遞減，因而是凸的無(wú)差異曲線。圖3-8凸性的無(wú)差異曲線即隨著x的遞增，MRS?將遞減，無(wú)差異曲線是凸?fàn)畹?，此為擬線性偏好的效用函數(shù)。圖3-9擬線性型的無(wú)差異曲線d.效用函數(shù)的無(wú)差異曲線如圖3-10所示。邊際替代率為：即隨著x的遞增，遞增，無(wú)差異曲線不是凸?fàn)畹?。圖3-10凹狀的無(wú)差異曲線e.效用函的無(wú)差異曲線如圖3-11所示。邊際替代率為：MRS,即隨著xMRS,將遞減，無(wú)差異曲線是凸?fàn)畹摹?.在本章腳注7里中我們?cè)f(shuō)明，為了使兩種商品的效用函數(shù)有嚴(yán)格遞減的邊際替代率(即曲線呈嚴(yán)格擬凹),必須滿足下列條件：利用這一條件檢驗(yàn)練習(xí)題1中的各效用函數(shù)無(wú)差異曲線的凸性。寫(xiě)出你在解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的邊際效用遞減和擬凹性之間的關(guān)系的種種情況。解：a.對(duì)于效用函數(shù)一1,有：則UU2-2U,U?U,+U,U2=0該效用函數(shù)不是嚴(yán)格擬凹的。即當(dāng)兩種商品的邊際效用不變時(shí)有UU2-2U?U?U,+UU2=0。b.對(duì)于效用函數(shù)(U(x,y)=√x·y,有：2<該效用函數(shù)是嚴(yán)格擬凹的。即當(dāng)兩種商品的邊際效用遞減時(shí)有…c.對(duì)于效用函數(shù),有：則UU2-2UU?U,+U,v2<0,該效用函數(shù)是嚴(yán)格擬凹的。即當(dāng)有一種商品的邊際效用遞減，另一種商品的邊際效用不變時(shí)有：d.對(duì)于效用函數(shù),有：此時(shí)的符號(hào)也無(wú)法判定，因此該效用函數(shù)并不是嚴(yán)格擬凹的。e.對(duì)于效用函數(shù),有：3.對(duì)于下列效用函數(shù)：從以上分析可知，單調(diào)變換會(huì)影響遞減的邊4.如我們?cè)谙聢D中所見(jiàn)，為證明無(wú)差異曲線的凸性，一種方法是證明在一條滿足U=k上的無(wú)差異曲線上的任意兩點(diǎn)(x,yi)、(x?,y?)和點(diǎn)上的效用不小于k。試用這種方法討論下面三個(gè)函數(shù)的無(wú)差異曲線的凸性，并b.U(x,y)=Max(x,y)解：a.如果兩個(gè)商品組合的數(shù)量相等，則有：如果兩個(gè)商品組合的數(shù)量不同，不失一般性，則有：因而有：從而可知，無(wú)差異曲線如圖3-11所示，是凸?fàn)畹?。b.同a可知，兩個(gè)商品組合的數(shù)量相等，則有：如果兩個(gè)商品組合的數(shù)量不同，不失一般性，則有：y?<x?=k=y?>x?.(x?+x?)/2<k.(v?+v?從而可知無(wú)差異曲線如圖3-10所示，不是凸?fàn)畹?，而是凹狀的。c.在完全替代型的效用函數(shù)下，有：(x?+y)=k=(x?+y?)=[(x因而無(wú)差異曲線既不是凹狀的，也不是凸?fàn)畹?，而是線性的。圖3-12利用圖形來(lái)判斷無(wú)差異曲線的性狀5.PhilliePhanatic總是以他獨(dú)特的方式來(lái)吃自己帶到球場(chǎng)的食物——一英尺長(zhǎng)的熱狗腸配半塊圓面包，1盎司芥末和2盎司酸黃瓜。他的效用是這四種物品的函數(shù)，并且其中單一元素的增加是沒(méi)有價(jià)值的。a.他的的效用函數(shù)是哪種類(lèi)型?b.如何通過(guò)將他的效用函數(shù)視為單一商品的函數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題?這個(gè)商品是什么?c.假設(shè)一英尺長(zhǎng)的熱狗腸的成本是1美元，每個(gè)圓面包的成本是0.50美元，一盎司芥末的成本是0.05美元，一盎司酸黃瓜的成本是0.15美元，b問(wèn)中的商品的成本是多少?d.如果熱狗腸的價(jià)格上升50%,b問(wèn)中的商品的價(jià)格上升的百分比為多少?e.如果圓面包的價(jià)格上升50%,這將會(huì)對(duì)商品的價(jià)格造成什么樣的影響?你的答案為什么和d問(wèn)的不同?f.如果政府想通過(guò)征收PhilliePhanatic買(mǎi)的那四種商品的稅來(lái)獲得1美元稅收，試問(wèn)政府應(yīng)該如何分配稅額以使他損失的效用最小?U(h,b,m,r)=Min(h,2b,m,0.b.可以將PhilliePhanatic的效用視為一種商品的函數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，即將上述四種物品的組c.該種商品的價(jià)格是：1+0.5×0.5+0.05+2×0.15=1.6(美元)。d.如果熱狗腸的價(jià)格增至1.5美元，則該商品的價(jià)格為：因此，該種商品的價(jià)格上漲幅度為：(2.1-1.6)÷1.6=31%。e.如果圓面包的價(jià)格增至0.5×(1+0.5)=0.75(美元),則該種商品的價(jià)格為：1+0.5×0.75f.提高價(jià)格以使完全調(diào)配好的熱狗腸的價(jià)格增至2.6美元，從而在征稅1美元的情況下，這將等價(jià)于購(gòu)買(mǎi)力的總額減少。為使PhilliePhanatic的效用成本最小化，增收的1美元稅收美元，每單位圓面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司酸黃瓜征收0.11美元，此時(shí)PhilliePhanatic的效用成本最小。6.很多廣告詞都像是在斷言某種人們的偏好。請(qǐng)用不同的效用函數(shù)描述下列廣告詞?a.人造黃油和天然的一樣棒。b.一切都因可口可樂(lè)變得更好。c.品客薯片一口停不住。解：a.如果用p代表人造黃油消費(fèi)量，b代表真黃油消費(fèi)量，則效用函這表示人造黃油和真黃油是完全替代品，它們之間的替代比率是1:1。U(x,y).且滿足：e.如果用U代表其他人的效用水平，x代表其他商品是消費(fèi)，b代表啤酒的消費(fèi)，則效用換取1單位y,當(dāng)他擁有12單位x和3單位y時(shí)，他愿意用6單位x換取2單位y。并且消費(fèi)束(6,5)和(12,3)對(duì)他而言沒(méi)有差異，試問(wèn)他的效用函數(shù)是怎樣的?提示：考b.考慮某人消費(fèi)兩種商品x和y,在消費(fèi)束(8,1)處，他愿意用4單位x換取1單位y,在消費(fèi)束(4,4)處，他愿意用1單位x換取2在消費(fèi)束(8,1)處，他愿意用4單位x換取1單位y,則MRS=在消費(fèi)束(4,4)處，他愿意用1單位x換取2單位y,則MRS=,b.進(jìn)行等式變形得：c.c.對(duì)于分析問(wèn)題9.初始稟賦假設(shè)給某人提供效用的商品，其初始數(shù)量為和。a.在此人的無(wú)差異曲線圖上標(biāo)出這兩個(gè)初始數(shù)量。b.如果此人可以用X和別人交換V,他將會(huì)做怎樣的交易?不會(huì)做怎樣的交易?這些交易和此人在點(diǎn)==時(shí)的有何關(guān)聯(lián)?c.假設(shè)此人在擁有初始數(shù)量的商品時(shí)已比較快樂(lè)，要是交易給他增加的效用小于k,他根本懶得去做，你怎樣在無(wú)差異曲線圖上標(biāo)出這一點(diǎn)?解：a.此人無(wú)差異曲線如圖3-13所示，它的初始商品擁有量為圖中的作點(diǎn)。圖3-13無(wú)差異曲線及交換活動(dòng)對(duì)效用的影響b.任何不同于在(T,)處的MRS的交易機(jī)會(huì)都有可能提高效用水平。如圖3-13所示，c.對(duì)初始商品組合的偏好要求交換活動(dòng)能夠大幅度提高效用才能促使交換發(fā)生。因而交換活動(dòng)只有在交換后的MRS顯著不同于在(x,D)處的MRS時(shí)才更有可能發(fā)生，如圖3-13所示。10.柯布——道格拉斯效用函數(shù)a.這個(gè)結(jié)果是否取決于a+β=1?它與選擇理論有沒(méi)有關(guān)系?b.對(duì)于一組商品y=x,其邊際替代率是如何取決于a和β的?為什么a>β時(shí)，MRS>1?請(qǐng)這是一個(gè)位似函數(shù)嗎?(更進(jìn)一步的討論請(qǐng)參見(jiàn)第4章的擴(kuò)展部分。)解：a.對(duì)于柯布一道格拉斯效用函數(shù),邊際替代率這個(gè)結(jié)果不取決于a+β=1,它也受x與y之間關(guān)系的影響，與選擇理論有關(guān)系。b.對(duì)于一組商品y=x,其邊際替代率為：a>β時(shí)，此時(shí)由上述等式可知MRS>1。如圖3-14所示，圖中A,B,C三點(diǎn)均在直線y=x上，這三點(diǎn)處的邊際替代率均為,即過(guò)此三點(diǎn)的預(yù)算線的斜率都大于1。X圖3-14對(duì)于一組商品y=x組合處的邊際替代率點(diǎn)c.位似函數(shù)是指齊次函數(shù)經(jīng)過(guò)任意的單調(diào)映射所得到的函數(shù)。U(tx.t)=(x-x)"(y-yo)為非齊次函數(shù)，所以該函數(shù)不是位似函數(shù)。該函數(shù)關(guān)于(x-x?)和(y-yo)是位似的，而關(guān)于x和V不是位似的。11.獨(dú)立邊際效用如果效用函數(shù)滿足：則稱(chēng)這兩種商品具有獨(dú)立的邊際效用，試證明當(dāng)我們假定每一商品的邊際效用為遞減時(shí)，具有獨(dú)立邊際效用的效用函數(shù)都會(huì)有遞減的邊際替代率。舉例證明其逆命題是錯(cuò)的。證明：由本章課后習(xí)題第2題可知，U=0原命題的反命題是：如果具有獨(dú)立邊際效用的任一效用函數(shù)有遞減的邊際替代率，則其每一種商品的邊際效用是遞減的。下面來(lái)證明此命題不一定成立。在兩種消費(fèi)商品的效用函數(shù)下，遞減的邊際替代率意味著下式成立：當(dāng)=0時(shí)，上式變?yōu)椤ｏ@然，這無(wú)法推出U,U,<0的結(jié)論。12.CES效用函數(shù)b.證明：從a中得出的結(jié)果與δ=1(完全替代)和δ=0(科布一道格拉斯)相符。b.如果δ=1,為一常數(shù)；如果δ=0,,這與本章課后習(xí)題第8yy無(wú)差異曲線預(yù)算線0b.由U?=1v=1-va=QUa=0,可得y=eC-stp?x+P?V=m若x1>x2和x2>x3可推出x1>x3,則偏好a.加總式偏好：這個(gè)偏好關(guān)系假設(shè)人們能真實(shí)地將蘋(píng)果和橘子加總起來(lái)。具體地說(shuō)，當(dāng)且b.字典式偏好：字典式偏好的偏好關(guān)系就像字典一樣。若x?1>x?2,則x1>x2(不管其他n-1種商品);若x?1=x?2并且x?1>x?2,那么x1>x2(不管其他n-2種商品);以此類(lèi)推。L,由于時(shí)，存在數(shù)使得,因此存在消費(fèi)束使得,因此加總式偏好是連續(xù)的；對(duì)于,假設(shè)b.對(duì)于兩個(gè)消費(fèi)束…,假設(shè)其前一種商品是無(wú)差異此下述關(guān)系也必有一個(gè)成立：,所以字典式偏好是完備的；對(duì)于—|==,由于存在,因此，存在使得差異的，i=2,3.….n,對(duì)于第1種商品，假設(shè)—c.對(duì)于兩個(gè)消費(fèi)束x?=(x,.x).x?=(x2.x2x),由于必有其一成立，因此必有其一成立，因此饜足式偏好是完備的；因此存在消費(fèi)束使得,假設(shè),因此，若二1,則,所以饜足式偏15.收益函數(shù)DavidGluenberger在其1992年的論文中介紹了收益函數(shù)，他將其定義為一種將某種程度的要重復(fù)多少次才能將他的效用水平提高到目標(biāo)值。假定只有給定。再假設(shè)基礎(chǔ)的消費(fèi)束為(xo,yo)。則收益函數(shù)的價(jià)值一，就a.假定效用函數(shù)由給出。計(jì)算xo=yo=1時(shí)的收益函數(shù)。b.利用a中給出的效用函數(shù)，計(jì)算xo=1,yo=0的收益函數(shù)。解釋該結(jié)果為何與a中的結(jié)果c.收益函數(shù)也可以在個(gè)人擁有兩種商品的初始稟賦時(shí)定義。如果這些初始稟賦為d.考慮兩種可能的初始稟賦，和淚。用畫(huà)圖和文字(直觀上)兩種方法解釋為b.xo=1,yo=0時(shí)，有故當(dāng)xo=1,yo=,0時(shí)，收益函數(shù)c.當(dāng)一|==或一==時(shí)，收益為正：當(dāng)一或一國(guó)時(shí)，收益為負(fù)解釋?zhuān)喝绻A(chǔ)消費(fèi)束(xo,yo)沒(méi)有達(dá)到初始稟賦，收益函數(shù)就為負(fù)；如果基礎(chǔ)消費(fèi)束超過(guò)初始稟賦，收益函數(shù)就為正。d.作圖略。記第4章效用最大化與選擇4.1復(fù)習(xí)筆記1.兩種商品的情形：圖形分析(1)預(yù)算約束假定某人有I美元可用來(lái)購(gòu)買(mǎi)商品x與商品y,設(shè)x的價(jià)格為Px,y的價(jià)格為Py,則消費(fèi)者圖4-1兩種商品條件下消費(fèi)者的預(yù)算約束預(yù)算約束如圖4-1所示，消費(fèi)者只能購(gòu)買(mǎi)三角形區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的商品組合，如果I美元全部用來(lái)購(gòu)買(mǎi)x,那么能夠購(gòu)買(mǎi)到一三單位的x;同理，如果I美元都用來(lái)購(gòu)買(mǎi)y,那么能夠購(gòu)買(mǎi)一=單位的y。(2)最大化的一階條件為了獲得最大效用，應(yīng)當(dāng)花費(fèi)掉所有的收入，并且MRS要等于商品的價(jià)格之比。如圖4-2所示，在A點(diǎn)，消費(fèi)者并沒(méi)有花費(fèi)掉剩余的貨幣，所以不能達(dá)到最高點(diǎn)效用水平；在B點(diǎn)，通過(guò)重新分配在兩種商品上的貨幣支出，消費(fèi)者可以達(dá)到比B點(diǎn)更高的效用水平；在D點(diǎn)，消費(fèi)者在現(xiàn)有收入水平下并不能達(dá)到；只有在C點(diǎn)可以取得最大的效用，此時(shí)即滿足預(yù)算約束，又滿足預(yù)算約束線的斜率等于無(wú)差異曲線的斜率。圖4-2效用最大化的幾何解釋(3)最大化的二階條件無(wú)差異曲線與預(yù)算約束線相切的原則只是獲得最大效用的必要條件，并不是充分條件。如果無(wú)差異曲線不滿足邊際替代率遞減的假設(shè)，那么并非所有的切點(diǎn)都是能達(dá)到效用最大化的點(diǎn)。如圖4-3所示，切點(diǎn)C的商品組合的效用低于其他許多能用現(xiàn)有貨幣購(gòu)買(mǎi)的商品組合的效用。為了保證效用最大化的必要條件(也即相切條件)同時(shí)也是充分條件，通常要假定邊際替代率是遞減的，即效用函數(shù)是嚴(yán)格擬凹的。圖4-3相切條件并不能保證最大效用的無(wú)差異曲線舉例2.n種商品的情形(1)n種商品最優(yōu)選擇的數(shù)學(xué)表述(2)拉格朗日方法求解及一階條件設(shè)拉格朗日函數(shù)為：一階條件為：從而可以化簡(jiǎn)為：效用，消費(fèi)者必須使自己心理上的交易比例與市場(chǎng)上的交易比例相等，即市場(chǎng)上與=的交換比例需等于消費(fèi)者愿意用=交換的比例。(3)角點(diǎn)解在某些情況下，消費(fèi)者的偏好使其在不消費(fèi)其中的某一種商品時(shí)才能達(dá)-4所示，效用最大化的點(diǎn)是E點(diǎn)，此時(shí)y的消費(fèi)量為0,并且預(yù)算線與無(wú)差異曲線F并不是正好相切。在E點(diǎn)預(yù)算線比無(wú)差異曲線U更平緩，這表明：市場(chǎng)上商品x與y的交換比率要比消費(fèi)者心理上的替代率(MRS)低。在現(xiàn)行的市場(chǎng)價(jià)格條件下，消費(fèi)者更愿意不斷地用y來(lái)?yè)Q取更多的x。圖4-4效用最大化問(wèn)題的角點(diǎn)解如果當(dāng)商品價(jià)格(F)超過(guò)它為消費(fèi)者帶來(lái)的邊際價(jià)值(一=)時(shí)，消費(fèi)者對(duì)它的購(gòu)買(mǎi)量將3.需求函數(shù)與間接效用函數(shù)(1)需求函數(shù)(2)間接效用函數(shù)控制收入，實(shí)質(zhì)便是收入政策的內(nèi)容?？梢?jiàn)，間接效(3)一次總付原則4.支出最小化與支出函數(shù)(1)支出最小化問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式一般地說(shuō)，消費(fèi)者對(duì)偶的支出最小化問(wèn)題就是選擇x?,x?,...,x.與所要求的效用水平日，如果改變其中任意一種商品的價(jià)格，或者消費(fèi)者的效用“目標(biāo)”發(fā)生變化，最優(yōu)的商品組合就會(huì)改變。(2)支出函數(shù)消費(fèi)者的支出函數(shù)表明了在一組特定的商品價(jià)格條件下，要達(dá)到某一既定的效用水平所必需的最小支出，即：定義說(shuō)明，支出函數(shù)與間接效用函數(shù)是互為反函數(shù)關(guān)系的。它們都取決于市場(chǎng)價(jià)格，但所受到的約束卻不同(前者為收入，后者為效用)。(3)支出函數(shù)的性質(zhì)①齊次性：如果所有商品的價(jià)格都加倍，則所需的支出也加倍。②支出函數(shù)關(guān)于價(jià)格單調(diào)不降，用數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)明地表示如下：③支出函數(shù)是價(jià)格的凹函數(shù)。4.2課后習(xí)題詳解1.三年級(jí)學(xué)生保羅每天在校用餐，它只喜歡奶油小蛋糕(t)和橘子汁(s),他從中得到a.如果每份奶油小蛋糕為0.1美元，每杯橘子汁0.25美元，為了使效用最大化，保羅應(yīng)該如何將媽媽給他的1美元伙食費(fèi)分配在這兩種食物上?b.學(xué)校為了減少奶油小蛋糕的消費(fèi)，將其價(jià)格提高到每份0.4美元，那么為了讓保羅得到與a中相同的效用，媽媽要多給他多少美元伙食費(fèi)?解：a.對(duì)效用函數(shù)進(jìn)行單調(diào)變換，令,這并不改變偏好保羅效用最大化問(wèn)題為：設(shè)拉格朗日函數(shù)為：b.消費(fèi)品奶油小蛋糕價(jià)格提高了，但效用水平卻保持不變，則保羅面臨如下的支出最小化由上述三式解得F=,,則最小支出為：I,所以媽媽現(xiàn)在要多給他1美元伙食費(fèi)(即給他2美元伙食費(fèi))使他的效用水平保持不變。2.a.一位年輕的品酒師欲支出600美元建一座小酒窖，他特別喜歡兩種酒：一種是1997年生產(chǎn)的法國(guó)波爾多白葡萄酒(F),每瓶?jī)r(jià)格為40美元；另一種是稍微便宜的2005年產(chǎn)的加利福利亞葡萄酒，每瓶8美元。如果他的效用函數(shù)如下式所示，則他應(yīng)該在每種酒上花b.當(dāng)他來(lái)到酒店時(shí)，我們年輕的品酒師發(fā)現(xiàn)由于法郎貶值，法國(guó)波多爾白葡萄酒(三)已經(jīng)降到每瓶20美元，如果加利福尼亞葡萄酒依舊是每瓶8美元，此時(shí)，在價(jià)格已變的條c.解釋為什么這個(gè)品酒師在b的情況下要比a更好。你如何用貨幣值來(lái)衡量這個(gè)效用的增加?此時(shí)，消費(fèi)者效用最大化時(shí)兩種酒上的花費(fèi)分別為：即在法國(guó)波爾多白葡萄酒和加利福尼亞葡萄酒上的花費(fèi)分別為400美元和200美元，此時(shí)該調(diào)酒師的效用達(dá)到最大化。b.法國(guó)波多爾白葡萄酒(WF)已經(jīng)降到每瓶20美元，此時(shí)的預(yù)算約束方程可寫(xiě)為：利用a中的方法可得：聯(lián)立預(yù)算約束方程解得：即調(diào)酒師效用最大化的每種酒的購(gòu)買(mǎi)量分別為20,25。,即這個(gè)品酒師在b的情況下要比a更好。法國(guó)波多爾白葡萄酒(WF)降價(jià)，使得該調(diào)酒師對(duì)波多爾白葡萄酒的實(shí)際購(gòu)買(mǎi)力增加，此時(shí)，貨幣的邊際效用變得更大。3.a.在某一個(gè)晚上，J.P.以下列函數(shù)的形式享用雪茄(c)和白蘭地(b):那么他這天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白蘭地酒才能得到最大效用(假定他不受預(yù)算約b.后來(lái)，J.P.的醫(yī)生告誡他：每天喝的白蘭地與抽的雪茄加起來(lái)不能超出5單位。在這一條件約束下，他會(huì)喝多少白蘭地，抽多少雪茄呢?一階條件為：4.a.Ball先生享用商品x和y所得的效用函數(shù)為：如果—|==美元，=美元，而他的總收入為50美元，求他所能獲得的最大效用?提示：求U2的最大值要比求U的最大值方便得多，但這種方法為什么不影響計(jì)算結(jié)果呢?為的?你找到真正的最大值了嗎?解：a.因?yàn)?蘭可由U經(jīng)過(guò)單調(diào)變換得到，所以，最大化-三同時(shí)也就使U最大化的。因b.Ball的無(wú)差異曲線如圖4-5所示，顯然該無(wú)差異曲線沒(méi)有遞減的MRS。無(wú)差異曲線與預(yù)算線的切點(diǎn)如圖4-5中的A點(diǎn)所示。在A點(diǎn)處，僅滿足效用最大化的必要條件，但是不滿足充分條件，因而A點(diǎn)不是一個(gè)局部最優(yōu)點(diǎn)，效用最大化的點(diǎn)應(yīng)該是B點(diǎn)，奧德鮑爾將圖4-5Ball的無(wú)差異曲線圖5.A先生從馬丁尼酒(m)中所得的效用與馬丁尼酒的消耗量成正比：U(m)=m。特別喜歡他的馬丁尼，但他只喜歡喝將杜松子酒(g)與苦艾酒(v)按2:1的固定比例混b.求出對(duì)g與v的需求函數(shù)。c.利用b的結(jié)論，求出A先生的間接效用函數(shù)。d.試計(jì)算A先生的支出函數(shù)；對(duì)于每一種效用水平，將支出表示成pg和pv的函數(shù)。解：a.A先生的無(wú)差異曲線如圖4-6所示。無(wú)論商品g與v的相對(duì)價(jià)格(即預(yù)算線的斜率)6.假設(shè)一位快餐愛(ài)好者的效用取決于三種商品：軟飲料(x),漢堡包(y)和冰淇淋圣代(z),根據(jù)柯布—道格拉斯效用函數(shù)，有同時(shí)假設(shè)這些商品的價(jià)格分別為：px=1,py=4,pz=8,該消費(fèi)者的收入為I=8。a.證明：當(dāng)z=0,效用最大化得到的的最優(yōu)選擇與例4.1相同。同時(shí)證明z>0(哪怕z非常小)時(shí)的任何選擇都會(huì)使效用減少。b.你如何解釋z=0時(shí)達(dá)到最優(yōu)這一事實(shí)?c.為了購(gòu)買(mǎi)z,這個(gè)人的收入要有多高?解：a.當(dāng)z=0時(shí)，效用函數(shù)為,根據(jù)柯布一道格拉斯效用函數(shù)的性質(zhì)此時(shí)效用U=(4)0.5(1)?.5=2,與例4.1結(jié)果相同。如果略大于0(不),則利用柯布一道格拉斯效用函數(shù)的性質(zhì)可得：因而效用為：因而在匡處，從看獲得的邊際效用“不值”商品的價(jià)格。效用函數(shù)中的“1”導(dǎo)致了在任何正的數(shù)量時(shí)已經(jīng)具有遞減的邊際效用。商品滿足“互補(bǔ)松弛”原理。c.如果收入一，則最優(yōu)選擇為：,,z=1(可以利用拉格朗日方法求解，此處略去)。為了找到在任何處的購(gòu)買(mǎi)量，可以利用柯布一道格拉斯函數(shù)的性質(zhì)，即：7.圖4-7中所示的一次總付原則不僅可以應(yīng)用于稅收，也可以應(yīng)用于轉(zhuǎn)移支付。這個(gè)問(wèn)題研究該原則在此政策下的應(yīng)用。圖4-7稅收中的一次總付原則a.用與圖4-7類(lèi)似的圖解釋在政府花費(fèi)相同的情況下，對(duì)一個(gè)人進(jìn)行收入補(bǔ)貼比對(duì)物品xb.利用柯布一道格拉斯支出函數(shù),計(jì)算需要多少額外購(gòu)買(mǎi)力才能將這個(gè)人的效用從U=2提高至U=3。c.再次使用(,估算為了將這個(gè)人的效用從U=2提升至U=3,需要對(duì)商品x進(jìn)行補(bǔ)貼的程度，并和b中得到的結(jié)果進(jìn)行比較。d.習(xí)題4.10要求你計(jì)算的支出函數(shù)是與比例4.4的情形更一般化的柯布一道格拉斯效用函數(shù)相對(duì)應(yīng)的。當(dāng)a=0.3(這個(gè)數(shù)字接近于低收入的人花費(fèi)在食物上的收入份額)時(shí)，再次使用這個(gè)支出函數(shù)，回答b和c的問(wèn)題。解：a.如圖4-8所示，收入補(bǔ)貼可以使消費(fèi)者預(yù)算線向右平行移動(dòng)，在新的最優(yōu)點(diǎn)C處消費(fèi)者的效用要大于對(duì)商品x進(jìn)行補(bǔ)貼后消費(fèi)者達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)B處的效用，因此，相同數(shù)額圖4-8一次性收入補(bǔ)貼與對(duì)商品x補(bǔ)貼下消費(fèi)者境況的比較b.商品價(jià)格。對(duì)于方程4.52中的柯布一道格拉斯函數(shù)而言，其支出函數(shù)為：當(dāng)效用為一F=時(shí)，支出要使這個(gè)人的效用從U=2提高至U=3所需要增加的支出為：c.當(dāng)效用為一E=時(shí)，支出,設(shè)在此條件下，對(duì)x的補(bǔ)貼為r時(shí)才能達(dá)到F=的效用水平。即有：解得，對(duì)每單位x的補(bǔ)貼在此補(bǔ)貼價(jià)格下，消費(fèi)者將選擇購(gòu)買(mǎi)：d.當(dāng)一：三時(shí)，效用函數(shù),最優(yōu)的x和y的取值為：貼貼在此價(jià)格下，消費(fèi)者選擇購(gòu)買(mǎi)3個(gè)單位的x,政府補(bǔ)貼金額為2,價(jià)格補(bǔ)貼金額與在一次總8.考慮以下兩個(gè)最簡(jiǎn)單的效用函數(shù)：1.固定比例效用函數(shù)：2.完全替代效用函數(shù)：a.分別對(duì)以上兩個(gè)效用函數(shù)，計(jì)算：對(duì)于x和y的需求函數(shù)、間接效用函數(shù)和支出函數(shù)。解：a.設(shè)兩種商品的價(jià)格分別為==,收入為莊。1.對(duì)于固定比例效用函數(shù),均衡的消費(fèi)滿足：2.對(duì)于完全替代效用函數(shù)分三種情況討論均衡的消費(fèi)：(1)當(dāng)一時(shí)，由于x和y相互替代，此時(shí)消費(fèi)者只消費(fèi)y,不消費(fèi)x。支出函數(shù)：時(shí)，由于x和y相互替代，此時(shí)消費(fèi)者只消費(fèi)x,不消費(fèi)y。此時(shí)的需求函數(shù)：間接效用函數(shù)：支出函數(shù)：間接效用函數(shù)：支出函數(shù)：b.對(duì)于完全互補(bǔ)的兩種商品來(lái)說(shuō)，兩種商品間按固定的比例進(jìn)行消費(fèi)，超出比例多消費(fèi)任何一種商品都不會(huì)帶來(lái)效用的增加，如果按1:1比例進(jìn)行消費(fèi)的兩種商品，那么其效用函數(shù)為,如圖4-9所示；而對(duì)于對(duì)于完全替代的兩種商品來(lái)說(shuō)，兩種商品間相互替代的比率是不變的，其效用函數(shù)為I==,如圖4-10所示；圖4-9完全互補(bǔ)圖4-10完全替代9.考慮包含兩種商品的線性效用函數(shù)：。計(jì)算與之對(duì)應(yīng)的支出函數(shù)。提解：由于兩種商品的效用函數(shù),即此兩種商品為完全替代品。設(shè)兩種商=。下面分三種情況進(jìn)(3)當(dāng)時(shí)，此時(shí)商品x與y無(wú)差異。此時(shí)的支出函數(shù)為：分析問(wèn)題10.柯布—道格拉斯效用函數(shù)在例4.1中，我們用到了柯布—道格拉斯效用函數(shù),其中O≤a≤1這個(gè)問(wèn)題說(shuō)明了該函數(shù)的一些其他屬性。a.計(jì)算柯布一道格拉斯情況下的間接效用函數(shù)。b.計(jì)算這種情況下的支出函數(shù)。c.明確解釋當(dāng)x價(jià)格上升時(shí)，為了抵消其影響所需的補(bǔ)償是如何與指數(shù)α的大小相關(guān)的。解：a.對(duì)于柯布一道格拉斯效用函數(shù)，其相應(yīng)的需求函數(shù)為：將需求函數(shù)代入效用函數(shù)中，得間接效用函數(shù)為：b.利用對(duì)偶原理，可以從間接效用函數(shù)中解出支出函數(shù)為：c.支出關(guān)于價(jià)格的彈性值為：即：x在效用函數(shù)中越重要，則支出份額中用于補(bǔ)償其價(jià)格上漲的比例也越大。11.CES效用函數(shù)一般的CES效用函數(shù)可以表示為：a.證明上述函數(shù)在約束條件下，效用最大化的一階條件是消費(fèi)者按一定比例選擇商品，這b.前面在討論一些問(wèn)題時(shí)已經(jīng)說(shuō)過(guò)：對(duì)于柯布—道格拉斯函數(shù)(δ=0),消費(fèi)者將在x與y之間平等分配費(fèi)用，證明a中的結(jié)論也包含了這種情況。C.的值與δ的值有什么關(guān)系?直觀地解釋你的結(jié)論。(如果要對(duì)此函數(shù)進(jìn)行更深入的探討，參見(jiàn)本章擴(kuò)展E4.3)d.推導(dǎo)這種情況下的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)，并運(yùn)用齊次函數(shù)的性質(zhì)加以檢驗(yàn)。從而可以解得：者將在x與V之間平等分配費(fèi)用。c.由a可知,所以，當(dāng)時(shí)，收入中用于購(gòu)買(mǎi)x的相對(duì)份額與其相對(duì)價(jià)格正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，收入中用于購(gòu)買(mǎi)X的相對(duì)份額與其相對(duì)價(jià)格負(fù)相關(guān)。d.支出最小化問(wèn)題為：設(shè)拉格朗日函數(shù)為：一階條件為：從而可以解得：所以，支出函數(shù)為：由齊次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于任意的同，可得：12.Stone—Geary效用函數(shù)消費(fèi)者需要一定量的食品(X)來(lái)維持生存，假設(shè)這個(gè)量為F。一旦購(gòu)買(mǎi)年的食品，消費(fèi)者將從作與其他商品()得到效用：其中，a.證明：如果—F=,在商品V上花費(fèi)則為了取得最大效用，消費(fèi)者將會(huì)在食品x上花a.證明：如果—F=,在商品V上花費(fèi)b.在這個(gè)問(wèn)題上，如果收入增加，三的比值將會(huì)怎樣變化?(有關(guān)此函數(shù)的進(jìn)一步討論請(qǐng)參見(jiàn)本章擴(kuò)展EA.2。)解：a.如果同，則效用值為負(fù)，因而消費(fèi)者將會(huì)首先支出-F。對(duì)于剩余的收入，這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的柯布一道格拉斯效用函數(shù)最大化問(wèn)題，從而有：b.由a以及預(yù)算約束條件可得：對(duì)取極限可得：13.CES間接效用函數(shù)和支出函數(shù)現(xiàn)在，我們討論形式更標(biāo)準(zhǔn)的CES效用函數(shù)的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)，函數(shù)形式如下：該函數(shù)的替代彈性a.證明此函數(shù)的間接效用函數(shù)為：b.證明a中計(jì)算出的函數(shù)是關(guān)于價(jià)格和收入的零次齊次函數(shù)。c.證明此函數(shù)是收入的嚴(yán)格遞增函數(shù)。d.證明對(duì)于任何價(jià)格，該函數(shù)都是嚴(yán)格遞減的。e.證明此種情況下的CES效用函數(shù)的支出函數(shù)為：f.證明e中計(jì)算出的函數(shù)是關(guān)于商品價(jià)格的一次齊次函數(shù)。g.證明支出函數(shù)是關(guān)于任何價(jià)格的遞增函數(shù)。h.證明函數(shù)是任何價(jià)格的凹函數(shù)。解：a.設(shè)兩種商品的價(jià)格分別為PxPs,收入為，則消費(fèi)者效用最大化問(wèn)題：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：一階條件：將上式帶入,得間接效用函數(shù)：b.對(duì)于任意正數(shù)t>0,有：C.,所以說(shuō)此函數(shù)是收入的嚴(yán)格遞增函數(shù)。d.,所以說(shuō)，對(duì)于任何價(jià)格，此函數(shù)是嚴(yán)格遞減的。e.反解間接效用函數(shù)得此函數(shù)的支出函數(shù)：f.對(duì)于任意正數(shù)t>0,有：g.,所以說(shuō)支出函數(shù)是關(guān)于任何價(jià)格的遞增函數(shù)。h.對(duì)支出函數(shù)關(guān)于=求二階偏導(dǎo)數(shù)得：14.利他主義米歇爾有一個(gè)相對(duì)高的收入I,并且他十分同情生活貧困、收入很低的索菲亞。假設(shè)米歇爾此處分別表示米歇爾和索菲亞的消費(fèi)水平，函數(shù)形式和兩商品的柯布一道格拉斯效用(通過(guò)慈善捐贈(zèng)),并且1美元收入可為米歇爾或索菲亞帶來(lái)1單位相等的效用(也就是說(shuō)，消費(fèi)的價(jià)格一=)。少時(shí)，米歇爾會(huì)是一個(gè)完美的利他主義者(把別人看作和自己同等重要)?b.求解米歇爾的最優(yōu)化選擇，并說(shuō)明其如何隨著@的變化而變化。c.假設(shè)所得稅為t,求解此時(shí)米歇爾的最優(yōu)化選擇。在慈善捐款可稅前扣除(用于慈善捐款的那部分收入不用繳納所得稅)的情況下，米歇爾的選擇會(huì)發(fā)生怎樣的變化?對(duì)于利他主義程度高和程度低的兩種人，慈善捐款扣除對(duì)該式和擴(kuò)展E3.4相似，根據(jù)定義，米歇爾直接關(guān)心索菲亞的效用水平，間接關(guān)心索菲亞的1.若索菲亞的效用函數(shù)和米歇爾是對(duì)稱(chēng)的，即·l,計(jì)算米歇爾的最優(yōu)選擇，并和b中的結(jié)果加以對(duì)比，米歇爾的利他主義程度是更大還是更小?解釋這一結(jié)果。2.若索菲亞的效用函數(shù)為,重新分析上述問(wèn)題。當(dāng)時(shí)米歇爾會(huì)是一個(gè)完美的利他主義者(把別人看作和自己同等重要),其效用函數(shù)b.設(shè)米歇爾的收入為m,利用柯布—道格拉斯效用函數(shù)的性質(zhì)可得米歇爾的最優(yōu)選擇為：c.如果所得稅為t,此時(shí)米歇爾的最優(yōu)化選擇為：設(shè)慈善捐款額為一=,在慈善捐款可稅前扣除(用于慈善捐款的那部分收入不用繳納所得稅)的情況下米歇爾的最優(yōu)化選擇為：為一常數(shù)，與α無(wú)關(guān)。所以，對(duì)于利他主義程度一=高和程度低的兩種人來(lái)說(shuō)，慈善捐款扣除對(duì)兩種人的激勵(lì)作用一樣大。d.1.若米歇爾的效用函數(shù)S=,且索菲亞的效用函數(shù)=,由此可以推出米歇爾的效用函數(shù)：米歇爾的最優(yōu)選擇：所以，隨著Q的提高，在米歇爾的最優(yōu)選擇處，米歇爾的消費(fèi)水平會(huì)降低而索菲亞的消費(fèi)水平會(huì)增加。2.若索菲亞的效用函數(shù)為U?(c?)=c?,此時(shí)米歇爾的效用函數(shù)為U:(q?c?)-c。和中的情況相同。第5章收入效應(yīng)與替代效應(yīng)5.1復(fù)習(xí)筆記1.需求函數(shù)及其性質(zhì)(1)需求函數(shù)一般地，普通需求函數(shù)又稱(chēng)馬歇爾需求函數(shù)，它反映了在給定的(各種商品的)價(jià)格與收入下，能使消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的各種商品的需求量，因而是價(jià)格與收入的(向量)函數(shù)。(2)需求函數(shù)的性質(zhì)一般而言，需求函數(shù)關(guān)于價(jià)格P和收入I是零次齊次的，即有：其原因在于，當(dāng)價(jià)格和收入同時(shí)發(fā)生相同比例的變化時(shí)，消費(fèi)者的預(yù)算約束沒(méi)有發(fā)生實(shí)質(zhì)性的變化，因而理性的消費(fèi)者也不會(huì)改變其最優(yōu)消費(fèi)選擇，(在理論上)消費(fèi)者的需求不受“純”通貨膨脹的影響。2.收入變化對(duì)消費(fèi)者最優(yōu)選擇的影響(1)收入變化與正常品、劣等品收入變化會(huì)引起消費(fèi)者預(yù)算線的移動(dòng)，從而引起消費(fèi)者最優(yōu)消費(fèi)選擇發(fā)生相應(yīng)的變化。根據(jù)收入變化時(shí)消費(fèi)變化的方向，可以將商品分為正常品和劣等品。正常品是指隨著收入的增加其需求也增加的商品，即;劣等品是指隨著收入的增加其需求減少的商品，即正常品還可分為必需品和奢侈品。必需品是需求收入彈性大于0小于1的物品，奢侈品是需求收入彈性大于1的物品，即對(duì)于必需品，有;對(duì)于奢侈品，有(2)恩格爾定律3.價(jià)格變化對(duì)消費(fèi)者最優(yōu)選擇的影響(1)吉芬商品(2)價(jià)格變化所引起的替代效應(yīng)與收入效應(yīng)②正常品替代效應(yīng)和收入效應(yīng)(注：此為斯勒茨基替代效應(yīng)與收入效應(yīng))如圖5-1(a)中的橫軸OX?和縱軸OX?分別表示商品1和商品2的數(shù)量，其中，商品1是正常物品。商品1的價(jià)格P?下降前的消費(fèi)者的效用最大化的均衡點(diǎn)為a,P?下降后消費(fèi)者的均衡點(diǎn)為b。價(jià)格下降所引起的商品1的需求量的增加量為一=,這便是價(jià)格下降所替代效應(yīng)：作一條平行于預(yù)算線一莊且與無(wú)差異曲線U?相切的補(bǔ)償預(yù)算線FG。FG與U?相切，表示假設(shè)的貨幣收入的減少(預(yù)算線的位置由向左平移到FG表示)剛好能使消費(fèi)者回到原有的效用水平。FG與底平行，則以這兩條預(yù)算線的相同的斜率，表示商品1價(jià)格和商品2價(jià)格的一個(gè)相同的比值P?/P?,而且，這個(gè)商品的相對(duì)價(jià)格P?/P?是商品1的價(jià)格P?變化以后的相對(duì)價(jià)格。補(bǔ)償預(yù)算線FG與U?相切與均衡點(diǎn)c,與原來(lái)的均衡點(diǎn)a相比，需求量的增加量為一3=,這個(gè)增加量就是在剔除了實(shí)際收入水平變化影響以后的替代效應(yīng)。進(jìn)一步地，就預(yù)算線AB和補(bǔ)償預(yù)算線FG而言，它們分別與無(wú)差異曲線U?相切于a、c兩點(diǎn)，但斜率卻是不相等的。預(yù)算線AB的斜率絕對(duì)值大于補(bǔ)償預(yù)算線FG,AB所表示的商品的相對(duì)價(jià)格P?/P?大于FG,當(dāng)AB移至FG時(shí)，隨著商品的相對(duì)價(jià)格P?/P?增加對(duì)商品1的購(gòu)買(mǎi)而減少對(duì)商品2的購(gòu)買(mǎi)，即用商品1去替代商品2。于是，由a點(diǎn)到c點(diǎn)的商品1的需求量的增加量X{XI,,便是P?下降的替代效應(yīng)。收入效應(yīng)：把補(bǔ)償預(yù)算線FG再移到AB'的位置上去，于是，消費(fèi)者的效用最大化的如圖5-1(b)中的橫軸OX?和OX?分別表示商品1和商品2的數(shù)量，其中，商品1是低檔商品。商品1的價(jià)格P?下降前后的消費(fèi)者的效用最大化的均衡點(diǎn)分別為a、b點(diǎn)，因此，價(jià)格下降所引起的商品1的需求量的增加量為,,這是總效應(yīng)。作與預(yù)算線AB'平行且與無(wú)差異曲線U?相切的補(bǔ)償預(yù)算線FG,將總效應(yīng)分解成替代效應(yīng)和收入效應(yīng)。P?下降引起的商品相對(duì)價(jià)格的變化，使消費(fèi)者由均衡點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到均衡點(diǎn)c,相應(yīng)的需求增加量為使消費(fèi)者由均衡點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)到均衡點(diǎn)b,需求量由一減少到=,這就是收入效應(yīng)，它是一如圖5-1(c)中的橫軸OX?和縱軸OX?分別表示商品1和商品2的數(shù)量，其中，商品1相應(yīng)的商品1的需求量的減少量為XiXi,這就是總效為替代效應(yīng)；XiX1是收入效應(yīng),它是一個(gè)負(fù)值。而且,負(fù)的收入效應(yīng)XiX1的絕對(duì)值大于正的替代效應(yīng)X"X1的絕對(duì)值，所以，最后形成的總效應(yīng)XIX1為負(fù)值。在圖5-1(c)(3)馬歇爾需求曲線與?？怂寡a(bǔ)償需求曲線曲線。馬歇爾需求曲線的圖形推導(dǎo)如圖5-2所示。圖5-2馬歇爾需求曲線的推導(dǎo)之間的關(guān)系的軌跡。希克斯補(bǔ)償需求曲線的圖形推導(dǎo)如圖5-3所示。圖5-3?？怂剐枨笄€的推導(dǎo)③兩者之間的關(guān)系馬歇爾需求和希克斯需求滿足關(guān)系。馬歇爾需求和?？怂剐枨笄€如圖5-4所示。一般地，對(duì)于正常物品而言，馬歇爾需求函數(shù)比?？怂剐枨蠛瘮?shù)平坦，這是因?yàn)轳R歇爾需求既包括替代效應(yīng)，又包括收入效應(yīng)；而?？怂剐枨髢H僅包括替代效應(yīng)。圖5-4正常商品的馬歇爾需求函數(shù)和?？怂剐枨蠛瘮?shù)(4)價(jià)格變化經(jīng)濟(jì)效應(yīng)的數(shù)學(xué)方法——斯勒茨基方程由馬歇爾需求與希克斯補(bǔ)償需求之間的關(guān)系式：對(duì)商品x的價(jià)格求導(dǎo)可得：從而可得斯勒茨基方程為：恒為商品x價(jià)格變化的總效應(yīng)；為替代效應(yīng)；為收入效應(yīng)。斯勒茨基方程可寫(xiě)為：替代效應(yīng)+收入效應(yīng)(5)價(jià)格與收入彈性⑦需求價(jià)格彈性與需求收入彈性之間的關(guān)系(齊次性):4.顯示偏好原理的偏好。這是一種不基于“偏好關(guān)系(效用函數(shù))消費(fèi)者選擇”的邏輯思路，而是一個(gè)相(1)顯示偏好原理設(shè)消費(fèi)者在價(jià)格為一==時(shí)購(gòu)買(mǎi)的商品束為,如果另一個(gè)商品組合(2)直接顯示偏好=是在收入既定條件下如果這一不等式成立，且一確實(shí)是不同于(x.x?)的商品束，就稱(chēng)(x?,x?)直接顯示偏好于。如圖5-5所示。圖5-5直接顯示偏好(3)間接顯示性偏好如果(x?:x?)直接顯示偏好于直接顯示偏好于一，則稱(chēng)(xY:x?間接顯示偏好于一陽(yáng)，記作：圖5-6間接顯示偏好(4)顯示偏好弱公理(WARP)與顯示偏好強(qiáng)公理(SARP)①WARP的含義如果(x?:x?)是(v?:v?)的直接顯示偏好，且(x?.x?)和(v?.v?)不同，那么(v?.就不可能是(x?:x?)的直接顯示偏好。換言之，假定一個(gè)商品束(x?,x?)是按價(jià)格(Pi,P?)購(gòu)買(mǎi)的，另一個(gè)商品束(v?.v?)是按價(jià)格一==購(gòu)買(mǎi)的，那么,只要：就不可能再有：②顯示偏好強(qiáng)公理(SARP)如果(x?:x?)被直接或間接顯示偏好于(v?v?),