基本不等式（原卷版）-2025年天津高考數學一輪復習

第03講基本不等式

（6類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2021年天津卷，第13題,5分基本不等式求和的最小值

2020年天津卷，第14題,5分基本不等式求和的最小值

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題靈活，難度有高有低，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握基本等式的基本內容

2.能掌握基本不等式的解題方法

3.具備函數與基本不等式思想意識，會利用函數的性質與基本不等式解決最值問題

4.能夠在基本不等式與其他知識點結合時，靈活運用基本不等式的解題方法

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般最值問題，考慮使用基本不等式

I「?考點梳理

考點一、直接法

1.基本不等式的形式考點二、配湊法

2.幾個重要的不等式考點三、常數“1”的代換

基本不等式知識點：基本不等式〈

3.算術平均數與幾何平均數v考點四、和積定值

4.利用基本不等式求最值問題考點五、消元法

考點六、雙換元

知識講解

知識點.基本不等式

1.基本不等式的形式：y[ab^r--

(1)基本不等式成立的條件：aNO,

(2)等號成立的條件：當且僅當a=A時取等號.

(3)其中陪稱為正數a,力的算術平均數，4瓦稱為正數a,6的幾何平均數.

2.幾個重要的不等式

⑴才+Z/22M>3b￡R).

ho

(2)-+-^2(a,8同號).

ab

(3)a6W(^^)(a,力CR).

燈號(a,66R).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.算術平均數與幾何平均數

設a〉0,b>0,則a,6的算術平均數為手，幾何平均數為“瓦，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均

數不小于它們的幾何平均數.

4.利用基本不等式求最值問題

已知x>0,y>0,則

(1)如果積燈是定值夕，那么當且僅當x=p時，x+p有最小值25.(簡記：積定和最小)

2

(2)如果和x+y是定值R那么當且僅當x=y時，盯有最大值￡.(簡記：和定積最大)

考點一、直接法

典例引領

1.(2021?全國?高考真題)下列函數中最小值為4的是()

A.y=xz+2%+4B.y=Isinxl+—―-

/|sinx|

C.y=2X+22~XD.y=Inx+

//Inx

2.(2021?天津?高考真題)若a>0,6>0,貝壯+9+b的最小值為

ab2---------

??即時啊

22

1.(2024?寧夏銀川?二模)已知力(3,0),B(-3,0),P是橢圓[+三=1上的任意一點，則仍川“PB|的最大

2516

值為______

2.（2024?甘肅定西?一模）/+*?的最小值為（）

A.2V7B.3V7C.4V7D.5V7

3.（2024?全國?模擬預測）若x>0,y>0,3x+2y=l,則8*+獷的最小值為()

A.V2B.2V2C.3V2D.4V2

4.（2024?重慶?模擬預測）若實數a,b滿足ab=2,貝！|小+2/^的最小值為（)

A.2B.2V2C.4D.4V2

5.（2024?安徽?模擬預測）若a>0,6>0,則“VH+乃W2”是aa+b<1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2024?四川成都?三模）若正實數滿足小+fo2=m,貝ija+b的最大值為（用TH表示）.

考點二、配湊法

典例引領

1.（2024高三?全國?專題練習）若函數/（%）=%+*（%>3）在久=a處取最小值，則。=

2.（2022?重慶?模擬預測）已知》>0,貝屹丁+占的最小值為

即時性測I

1.（2023高三?全國?專題練習）若x>1,則二+2久+2的最小值為

X-1----

2.（21-22高三上-安徽安慶?期末）下列函數的最小值為2/的是（）

A.y=Icosxl+■,2,B.V=yfx+V8—X

J|cosx|

3.（2024?江西贛州?二模）已知y>久>0,則”——工的最小值為

y-x2x+y-------

4.（22-23高三下?上海浦東新?階段練習）若關于x的不等式/+bx+c>0（b>1）的解集為R,則寫產

的最小值為.

考點三、常數“1”的代換

典例引領

1.（2024?安徽?模擬預測）已知€（0,+8）,—+n=4,則小+2的最小值為（）

mn

A.3B.4C.5D.6

2.（23-24高三下?重慶?階段練習）已知正數a,b滿足工+：=1,貝Uab+36的最小值為（）

ab

A.8B.9C.10D.12

即時檢測

1.（2024?遼寧鞍山?模擬預測）若x>0,y>0,且x+y=l,貝仁+工的最小值為

xy-----

2.（2024?廣西河池?模擬預測）若實數a>l>6>0,且a?+26=肝+2a,則工+：的最小值

a-1b

為.

3.（2024?上海徐匯?二模）若正數a、b滿足工+!=1,貝U2a+b的最小值為

4.（2024?浙江?模擬預測）已知a>0,b>0,若—+則ab的最大值為（）

a2+2abb2+ab

A.2-V2B.2+V2C.4+2V2D.4-2V2

5.（2024?寧夏?二模）直線ax+by—1=0過函數f（x）=x+W'圖象的對稱中心，貝哈+三的最小值為

（）

A.9B.8C.6D.5

6.（2024?河南?模擬預測）已知點P（x,y）在以原點。為圓心，半徑r=夕的圓上，則高+會的最小值

為（）

A.-B.過處C.-D.1

999

考點四、和積定值

典例引領

1.(2024?廣西?模擬預測)已知a,b6(-8,0),且a+4b=ab-5,則ab的取值范圍為()

A.[25,+00)B.[l,+oo)C.(0,5]D.(0,1]

2.(2023?河南焦作?模擬預測)已知正數x,y滿足2v+2y-盯=0,則當孫取得最小值時，x+2y=

()

A.4+8A/3B.2+4V3C.3+6舊D.8+6百

即時楂測

1.（2024?山東?模擬預測）已知兩個不同的正數a,b滿足生比=@?，則ab的取值范圍是

ab

2.（2024?湖北?模擬預測）若正數a,6滿足：a3+b2=ab,貝Ua的最大值為（）

A.-B.-C.V2D.2

34

考點五、消元法

ei典照強

1.（23-24高三下?浙江?階段練習）已知實數x,y滿足比>3,且xy+2x-3y=12,貝!|x+y的最小值

為（）

A.1+2V6B.8C.6V2D.1+2V3

2.（2024?云南?模擬預測）已知正數滿足比+y=4,則！一津最小值為.

即典性測I

1.（2024?陜西西安?三模）已知%>0,y>0,xy+2x—y=10,則％+y的最小值為.

2.（2024?浙江?模擬預測）已知a,b>0,a6=1,求5=工+」的最小值.

1+a1+2匕

3.（2024?山西?三模）已知正實數x,y滿足/+3xy—2=0,則2x+y的最小值為（）

A.亞B.巫C.2D.i

3333

考點六、雙換元

典例引領

1.（2024?四川成都?三模）設a>b>0,若。2+%爐工貯半，則實數2的最大值為（)

a-b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

2.（23-24高三上?河南?階段練習）正數a,b滿足a>b,ab=4,則與嗎的最小值為（

a2-b2)

A.2B.3C.4D.6

1.（2024?全國?模擬預測）已知%>y>0,-^―+-^―=1,貝！J2%—y的最小值為.

x+yx-y-----

2.（2024高三?全國?專題練習）設正實數％y滿足%>>2,不等式二;+Jr之恒成立，求m的最

3y-23x—2

大值.

12.好題沖關?

基礎過關

1.（2022?福建泉州?模擬預測）若正實數x,y滿足：+y=2,則無+；的最小值是（）

9

A.4B.-C.5D.9

2

2.（2024?天津?二模）已知拋物線y2=2p%（p>0）的焦點為F,拋物線上的點M（4,y0）到F的距離為6,

22

雙曲線a-竟=l（a>0,b>0）的左焦點&在拋物線的準線上，過點&向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為

則H與雙曲線兩個焦點構成的三角形面積的最大值為（）.

A.2B.V3C.V5D.3

3.（23-24高三下?北京順義?階段練習）已知a>0,6>0,則“a+b>2”是“ab>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2023?天津南開?一模）已知實數a>0,b>0,a+6=1,貝U2a+2b的最小值為.

5.（2022?天津南開?模擬預測）若實數乃y滿足x>y>0,且xy=4,則篇的最大值為.

6.（21-22高三上?天津南開?階段練習）若。，b>0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是.

7.（2024?天津?模擬預測）若a>0,b>0,且a+b=l,貝+￡）（6+￡）的最小值為

能力提升

1.（2024?天津河西?三模）已知FI，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且N&PF2=方，

若橢圓的離心率為％,雙曲線的離心率為02,則黃+多的最小值為（）

A.3+V3B.—C.—D.4

22

2.（2024?天津?二模）已知向量N=（1,1）石=（2x+y,2）,其中N||3且xy>0,則曲的最小值為

（）

A.V2+1B.V2+2C.4D.V2-1

3.（2024高三?天津?專題練習）已知正項等比數列｛/J中，a*3a3,（15成等差數列.若數列｛時｝中存在

兩項am，an，使得/的為它們的等比中項，則5+；的最小值為（）

A.1B.3C.6D.9

4.（23-24高三上?天津南開?階段練習）已知正項等比數列的前幾項和為%,且品-2s4=6,則的+

+。12的最小值為（）

A.10B.14C.20D.24

5.（2024?天津武清?模擬預測）如圖，直角梯形ABCD中，AB||CD,ABLAD,AB=2CD=2AD=2,

在等腰直角三角形CDE中，ZC=90°,則向量濯在向量至上的投影向量的模為；若血N分別為線段BC,

CE上的動點，且前?麗=李則說?麗的最小值為

E

6.（2024?天津?模擬預測）已知正AABC的邊長為舊，中心為0,過。的動直線/與邊AB,AC分別相交于

點M、N,AM=XAB,AN=11AC,BD=DC.

（1）若麗=2枇，則