空間向量與立體幾何（解答題）-2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（原卷版）

當(dāng)題06或同向量鳥皮體幾何(解舂盤J

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢

2023甲乙卷空間幾何體表面積體積問題一般采

考點(diǎn)01求空間幾何體表2022甲乙卷

2021甲乙卷用等體積法或者是空間向量解決，一

面積體積

2021乙甲卷般出現(xiàn)在第一問。

2020全國III卷

2024甲n卷

2023II乙卷二面角的正弦余弦值是高考空間幾

2022III卷何體的高頻考點(diǎn)，也是高考的一盒重

考點(diǎn)02求二面角

2021甲乙II卷要的趨勢。

2020I卷

2023甲卷

線面角問題是高考中的?？键c(diǎn)，方法

考點(diǎn)03求線面角2022甲乙卷

是方向向量與法向量的夾角

2020IIIIII卷

2024I卷

求距離問題是高考I卷的一個重大

考點(diǎn)04已知二面角，求2023I卷

趨勢，容易與動點(diǎn)問題相結(jié)合

點(diǎn)，距離2021I卷

2024甲卷點(diǎn)到平面的距離問題是高考的一個

考點(diǎn)05求點(diǎn)到面的距離

2021I卷重要題型，應(yīng)加強(qiáng)這方面的練習(xí)

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01求空間幾何體體積表面積

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考甲卷)如圖，在三棱錐P—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2肥,PB=PC=布,

3c的中點(diǎn)分別為RE,。，點(diǎn)尸在AC上，BF±AO.

A

⑴求證：所〃平面ADO；

⑵若NPOF=120。，求三棱錐P-ABC的體積.

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，在三棱柱ABC-A與G中，AC，平面ABC,NACB=90。.

(I)證明：平面ACGA，平面2耳GC；

(2)設(shè)A8=AB,Aa=2,求四棱錐A-BBCC的高.

3.（2022?全國,統(tǒng)考高考乙卷題）如圖，四面體ABCD中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的

中點(diǎn).

⑴證明：平面5ED_L平面AC。；

（2）設(shè)AB=BD=2,NACB=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求三棱錐尸-A5c的體積.

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考甲卷）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動，設(shè)計(jì)了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示:

底面ABC。是邊長為8（單位：cm）的正方形，AE4B,AFBC,AGCD,AHD4均為正三角形，且它們所在的平

面都與平面ABCD垂直.

（1）證明：￡F//平面ABCD；

⑵求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

5.(2021?全國?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，RD_L底面ABCD,比為BC的中點(diǎn),

且尸3_LAM.

(1)證明：平面R4M_L平面PBD；

(2)若PD=OC=1,求四棱錐尸—ABCD的體積.

6.(2021?全國?高考甲卷題)已知直三棱柱ABC-A與G中，側(cè)面為正方形，AB=BC=2,E,F分

別為AC和CC,的中點(diǎn)，BF±4s.

(1)求三棱錐b-EBC的體積；

(2)已知。為棱4片上的點(diǎn)，證明：BFLDE.

7.(2020?全國?統(tǒng)考高考回卷題)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AABC是底面的內(nèi)接正三

角形，尸為。。上一點(diǎn)，EMPC=90°.

(1)證明：平面外BI3平面％C；

(2)設(shè)。0=拒，圓錐的側(cè)面積為扃，求三棱錐P-ABC的體積.

8.(2020?全國?統(tǒng)考高考回卷)如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，M,

N分別為BC,&G的中點(diǎn)，P為4M上一點(diǎn).過&G和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)證明：AA1//MN,且平面44WNIB平面EB】GF；

兀

(2)設(shè)。為財(cái)汨心的中心,若AO=AB=6,A。〃平面EBQF,且回MPN=§,求四棱錐B-EB】QF的體積.

考點(diǎn)02求二面角

1（2024?全國?高考H）如圖，平面四邊形48CD中，AB=8,CO=3,4。=54，ZADC=90°,ZBAD=3（f,

__,2__.__.i__

點(diǎn)E,F^^AE=-AD,AF=-AB,將△曲沿所翻折至！尸￡尸，使得尸C=4jL

⑴證明：EF1PD；

⑵求平面PC。與平面尸所成的二面角的正弦值.

2(2024?全國?高考甲卷)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABC。與四邊形AOE產(chǎn)

均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AO=4,AB=BC=￡F=2,ED=^0,FB=2^,M為AD的中點(diǎn).

(1)證明：BM//平面COE；

⑵求二面角尸―3M—E的正弦值.

3.(2023全國?統(tǒng)考新課標(biāo)國卷)如圖，三棱錐A—3co中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=60°,

E為BC的中點(diǎn).

⑴證明：BCYDA；

(2)點(diǎn)/滿足訪=次，求二面角O-AB-尸的正弦值.

4.(2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2插,PB=PC=5

BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為。，E,O,AD=45DO,點(diǎn)/在AC上，BF1AO.

(1)證明：￡F//平面ADO；

(2)證明：平面ADO_L平面BEP；

⑶求二面角Q-AO-C的正弦值.

5.（2022?全國?新課標(biāo)回卷）如圖，直三棱柱ABC-A4G的體積為4,的面積為2&.

⑴求A到平面ABC的距離；

（2）設(shè)。為A。的中點(diǎn)，AAt=AB,平面ABC,平面,求二面角A—3。—C的正弦值.

6.（2022全國?統(tǒng)考新課標(biāo)團(tuán)卷）如圖，P。是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E是PB的中點(diǎn).

(1)證明：OE//平面PAC；

(2)^ZABO=ZCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE-8的正弦值.

7.（2021，全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，四棱錐尸-ABC。的底面是矩形，底面ABCD,PD=DC=1,M

為3c的中點(diǎn)，且尸3_LAM.

（1）求BC；

（2）求二面角A-尸加-3的正弦值.

8.（2021?全國?統(tǒng)考高考甲卷）已知直三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為AC和CG的中點(diǎn)，。為棱44上的點(diǎn).BF1

（1）證明：BFVDE-,

（2）當(dāng)耳。為何值時，面84GC與面OEE所成的二面角的正弦值最小?

9.(2021全國?統(tǒng)考新課標(biāo)回卷)在四棱錐。-ABC。中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA…QC=3.

(1)證明：平面QAOJ■平面ABCD；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

10.(2020?全國?國卷)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.A4BC是

底面的內(nèi)接正三角形，尸為DO上一點(diǎn)，PO=?DO.

6

(1)證明：外，平面P8C；

(2)求二面角3-尸C—E的余弦值.

考點(diǎn)03求線面角

1(2023?全國?統(tǒng)考高考甲卷)如圖，在三棱柱ABC-A8c中，4夕_1底面ABC,NACB=90。,44)=2,4

到平面8CG4的距離為1.

(1)證明：AC=AC；

⑵已知A4與BBI的距離為2,求A片與平面BCCE所成角的正弦值.

2.(2022?全國?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,￡為AC的中

點(diǎn).

⑴證明：平面平面ACD；

(2)設(shè)AB=8D=2,NACB=60。，點(diǎn)尸在上，當(dāng)△的(7的面積最小時，求CF與平面4步所成的角的正弦

值.

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考甲卷）在四棱錐尸中，尸￡），底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y/3.

⑴證明：BD±PA；

(2)求P￡)與平面所成的角的正弦值.

4.(2020?全國?新課標(biāo)團(tuán)卷)如圖，四棱錐P/BCD的底面為正方形，PZ龍底面ABCD設(shè)平面與平面

(1)證明：何平面PDC；

(2)已知PZXM>=1,。為/上的點(diǎn)，求尸B與平面QC。所成角的正弦值的最大值.

5.(2020全國?統(tǒng)考新課標(biāo)團(tuán)卷)如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，PD_L底面A8CD.設(shè)平面%D與平

面PBC的交線為/.

(1)證明：/_L平面PDC；

(2)已知PD=AD=1,Q為/上的點(diǎn)，QB=&,求PB與平面QCD所成角的正弦值.

6.(2020全國?統(tǒng)考新課標(biāo)團(tuán)卷)如圖，已知三棱柱4BC-4&Q的底面是正三角形，側(cè)面BB】QC是矩形，M,

N分別為BC,&Q的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn),過&Q和P的平面交4B于E,交AC于F.

(1)證明：AAiBMN,且平面4AMN回E&QF；

(2)設(shè)。為EI/hBQ的中心，若A。國平面EBiQF,且AO=AB,求直線&E與平面4A/WN所成角的正弦值.

考點(diǎn)04已知二面角求點(diǎn)距離

1（2024?全國?高考I卷）如圖，四棱錐尸—ABCD中，上4,底面ABC￡）,PA=AC=2,BC=1,AB=43.

(1)^AD±PB,證明：AD〃平面BBC；

(2)若AD，DC,且二面角A-CP-。的正弦值為這，求AD.

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2.（2023?全國?新課標(biāo)回卷）如圖，在正四棱柱ABC。-