利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)04利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1直接法解決不等式恒（能）成立問題】..................................................3

【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】...............................................................6

【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】...............................................................9

【題型4構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】.............................................12

【題型5與不等式恒（能）成立有關(guān)的證明問題】...............................................16

【題型6洛必達(dá)法則】........................................................................20

【題型7雙變量的恒（能）成立問題】.........................................................25

?命題規(guī)律

1、利用導(dǎo)數(shù)不等式恒（能）成立問題

恒（能）成立問題是高考的常考考點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)問題，其中不等式的恒（能）成立問題經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)及

其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難

度較大，解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1不等式恒（能）成立問題的解題策略】

1.不等式恒（能）成立問題的求解方法

解決不等式恒（能）成立問題主要有兩種方法：

（1）分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題

①分離變量：根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等

式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，進(jìn)而解決問題.

②a（X）恒成立a》/（x）max;

aW/（x）恒成立a&/（x）min；

a2/（尤）能成立U*。三/（x）min；

a&/（x）能成立。&/G）max.

（2）分類討論法解決恒（能）成立問題

分類討論法解決恒（能）成立問題，首先要將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進(jìn)

行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個(gè)值或一

段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.

【知識(shí)點(diǎn)2雙變量的恒(能)成立問題的解題策略】

1.雙變量的恒(能)成立問題的求解方法

“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實(shí)質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進(jìn)行等價(jià)變換，常見的等價(jià)

變換有：

對于某一區(qū)間/,

(1)VX1,X2G/,/(%1)>g(x2)min>g(x)max.

(2)v%1G/153x2G12,/(%)>g(x2)/(x)min>g(x)mm.

(3)3xje7I,VX2e/，/(珀>g&)/Wmax>g(x)max.

【知識(shí)點(diǎn)3洛必達(dá)法則】

“洛必達(dá)法則”是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時(shí),

經(jīng)常需要求在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)藍(lán)型或卷型可以考慮使用洛必達(dá)法則.

1.洛必達(dá)法則

法則1若函數(shù)外)和式工)滿足下列條件：

(1)lim/(幻=0及l(fā)img(x)=O；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，人工)與g(x)可導(dǎo)且g(x)WO；

..f(x)

(3)im7?=/,

那么吧奈hr(x)_/

rim?(\=4

XTag(x)

法則2若函數(shù)加)和g(x)滿足下列條件:

⑴lim/(x)=8及l(fā)img(%)=oo；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，加)與g(x)可導(dǎo)且g(x)W0；

f(x)

(3)所r訴J=/,

xTa6\A7

那么吧奈h../'a

=A,

fg⑴

2.用洛必達(dá)法則處理甘型函數(shù)的步驟:

(1)分離變量；

(2)出現(xiàn)4型式子;

(3)運(yùn)用洛必達(dá)法則求償

3.用洛必達(dá)法則處理合型函數(shù)的步驟:

(1)分離變量；

00

⑵出現(xiàn)最型式子；

(3)運(yùn)用洛必達(dá)法則求值.

【注意】：

1.將上面公式中的換成XT+oo,XT-00,xTa+,xTa-,洛必達(dá)法則也成立.

洛必達(dá)法則可處理￡謂,0?*18,8°,0°,8—8型求極限問題.

2.

在著手求極限前，首先要檢查是否滿足2m,()?叫產(chǎn),8°,8—8型定式，否則濫用洛必達(dá)法則

3.

會(huì)出錯(cuò)，當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極

限.

4.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

1加4，=1向/*=1加4"，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

xTagwX—><7g⑴x—ag(%)

?舉一反三

【題型1直接法解決不等式恒(能)成立問題】

【例1】(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)若二2e+lnax在(0,+8)上恒成立，貝I]a的最大值為()

a

incl+」一e

A.—B.2e~eC.e-eD.ee

2

【解題思路】易知Q>0,原式可變形為/(%)=ex-e-ae-alnax20,(%>0),結(jié)合隱零點(diǎn)的解題思路，求

出/(%)min，由/(%)min之。可得九(七)二:一21nt-t之3結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解得。Vt41,即可求出〃的取

值范圍即可.

【解答過程】由題意知，ax>0,由％>0,得a>0.

原式可化為e%-e—ae—alnax>0,

設(shè)f(%)=ex-e—ae—alnax(x>0),則/(%)=ex~e—%

又函數(shù)y=ex-e,y=一評(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=/'(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

則當(dāng)％—0時(shí)，/'(%)T—8,當(dāng)％->+8時(shí)，/'(%)—+8,

t-e

故存在t>0使得f'(￡)=0,即e~e一：=0,得Q=te,即Ina=Int+t—e,

且當(dāng)0V%V方時(shí)，/(%)<0；當(dāng)%>t時(shí)，f(%)>0,

所以函數(shù)/(%)在(0,七)上單調(diào)遞減，在(。+8)上單調(diào)遞增，

故/(%)min=/(t)—et-e—ae—(Anat=et-e-teet-e—tet-e(21nt+t—e),

所以e?e—teet-e-tet-e(21nt+t—e)=et-e(l—te—2tlnt—t2+te)>0,

即1—21nt—t20,設(shè)/i(t)-——21nt—t(t>0),

由函數(shù)y=^,y=~2\nt,y=-t在(0,+8)在單調(diào)遞減，

知函數(shù)/i(t)在(0,+8)在單調(diào)遞減，且九(1)=0,所以0<tWl,

所以e-e<e-ewe「e,故0<te~ewe】-e,即0<aWe1-e,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立，

所以a的最大值為e-e.

故選：C.

【變式1-1](2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測)已知不等式Inx-(a-+便W0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為()

A.(一8,-/B.(-00,0)C卜9+8)D,[0,+00)

【解題思路】構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)八(無)=x2lnx,/(x)=-y/ex2+2%-+a(x>0),先利用導(dǎo)數(shù)求出h(x)=x2lnx

單調(diào)區(qū)間，從而得到/i(x)在x=2處取到最小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)知/(%)=—花2+2x一2+小>

0)在x=2處取到最大值，從而可求出結(jié)果.

【解答過程】???久>0,所以不等式lnx-|-(a--^)^+V^<0有實(shí)數(shù)解，即不等式》21nx<-+2x-

—p+a成立，

Ve

設(shè)/i(x)=%2]口%,/(%)=-4ex2+2%—9+a(x>0),**./i(x)=2x\nx+x2x|=x(l+21nx),

當(dāng)0<%<々時(shí)，/i(x)<0,當(dāng)%>3時(shí)，h(x)>0,

y/ey/e

所以h(x)在區(qū)間(0賓)上是減函數(shù)，在區(qū)間(崇，+8)上是增函數(shù)，.??/l(X)min=M5=

又因?yàn)?O)=—&(久一2)+a,當(dāng)x=t時(shí)，/(x)max=a,

因?yàn)椴坏仁絀nx-1-+Ve<0有實(shí)數(shù)解，則/'(x)max-a>/i(x)min=一(

故選：C.

【變式1-2](2024?四川成都?模擬預(yù)測)若關(guān)于x的不等式(e—l)(lna+均>aM—1在xe[0,1]內(nèi)有解，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

【解題思路】題設(shè)中的不等式等價(jià)于(e-l)ln(aeK)之四久一1,令/(t)=(e-l)lnt-t+1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得

該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合/(1)=0,/(0)=0可得會(huì)一1)1比之「-1的解，從而可求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【解答過程】由Ina有意義可知，a>0.

由(e—l)(lna+x)>aex-1,得(e—l)ln(aex)>aex-1.

令t=aex,即有(e—l)lnt>t—1.

因?yàn)椋?[0,1],所以力=aex6[a,ae],令/⑴=(e—l)lnt—t+1,

問題轉(zhuǎn)化為存在te[a,ae],使得f(t)>0.

因?yàn)閒'(t)=號(hào)二，令f'3<0,即e—l—t<0,解得t>e-l；

令/(t)>0,BRe—1—t>0,解得。Vt<e—1,

所以/(t)在(0,e-1)上單調(diào)遞增，在(e-L+8)上單調(diào)遞減.

又f(l)=0,/(e)=(e—l)lne—e+1=0,所以當(dāng)時(shí)，/(t)>0.

因?yàn)榇嬖趖C[a,ae],使得f(t)20成立，所以只需aWe且aeN1,解得a6Re]

故選：B.

【變式1-3](2024?甘肅蘭州?三模)已知函數(shù)/(%)=六—工3,對于任意的xe(1,2],不等式f(詈)+

兒惠二)<1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()

\(x-l)z(x-6)7

A.(1,+°°)B.[—1,1]C.(—8,—1]D.(—8,—1)

【解題思路】由題意可得人%)=i-/(-X),nx>在R上單調(diào)遞減，所以不等式-詈)+/(號(hào)上)<1

恒成立，等價(jià)于臺(tái)>-(尸黑在^(1?恒成立，即(％+1)0-1)(%-6)<-(匕+1)恒成立，設(shè)/！(%)=

(x+1)(%-1)(%-6),XE(1,2],利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)八0)在xe(1,2]的最值即可得答案.

【解答過程】解：因?yàn)閒(x)=-—必，xGR,易知/(x)在R上單調(diào)遞減，

所以f(—x)=*?+爐=島+久3,

所以f(一X)+/(%)=1,所以f(x)=

又因?yàn)閷τ谌我獾木胑(1,2],不等式八言)+"(—靠_6))<1恒成立，

即對于任意的比G(1,2],不等式“二靠屋))<1—f(詈)=/(—詈)恒成立，

所以>一筆在x6(1,2]上恒成立，

(，X—l二)^(；x—6Q)x—1

即x立-1>-(%,—1二)氣；%—6一)在%e(1,2]上恒成立-

由尤e(1,2],知x—1>0,x—6<0,

所以當(dāng)xe(1,2],上式等價(jià)于(％+1)(%-1)(%-6)<-(t+1)恒成立.

設(shè)/i(x)=(x+1)(%—1)(%—6)—x3-6x2—x+6,x￡(1,2],

九(久)=3/—12x—1,開口向上，對稱軸為x=2,

當(dāng)x6(1,2]時(shí)，h(x)<九(1)=-10<0,所以h(x)在xe(1,2]內(nèi)單調(diào)遞減，而僅1)=0，

所以/i(x)<0,所以0<—(t+1),即t<—1.

故選：C.

【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】

【例2】(2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測)已知aeN*,函數(shù)f(x)=e3x—%。>0恒成立，則a的最大值為()

A.2B.3C.6D.7

【解題思路】由題意函數(shù)f(x)=63，-乂。>0恒成立，可得到a為正奇數(shù)，討論》的范圍，參變分離轉(zhuǎn)化成恒

成立問題，定義新函數(shù)求導(dǎo)求最小值，從而得到a的最大值.

【解答過程】當(dāng)a為正偶數(shù)時(shí)，當(dāng)乂=一2時(shí)，f(一2)=e6-(一2)。<0,不合題意，所以a為正奇數(shù)，

則當(dāng)％<0時(shí)，xa<0<e3久恒成立，只需研究%>。時(shí)，e3x—xQ>0恒成立即可，

當(dāng)久=1時(shí)，e3-l>0成立，則當(dāng)％6(0,1)時(shí)，a>壬，因?yàn)榇藭r(shí)斗<0,所以恒成立.

InxInx

當(dāng)％G(1,+8)時(shí)，a</恒成立，

Inx

設(shè)9(”)=*e(L+°0)，則g'O)=靠?),

令g(%)=0，得x=e,

當(dāng)％G(1簿)時(shí)，g'(%)<0,g(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)％G(e,+8)時(shí)，g(x)>0,g(%)單調(diào)遞增，

所以g(x)min=9(e)=3e28.2,又因?yàn)閍為正奇數(shù)，

所以a的最大值為7.

故選：D.

【變式2-1](2024?四川宜賓?二模)已知不等式數(shù)1+%>1-In%有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(—*,+8)B.(-;,+oo)C.(-8,?D.(-8,3)

【解題思路】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為a>彳=，構(gòu)造函數(shù)7?(%)=三詈，利用導(dǎo)數(shù)法求出f(x)min，a>f(x)min

即為所求.

【解答過程】不等式axe，+x>1-Inx有解，即a〉口絲，%>0,只需要a>(上手)

xeA\xeA/

1-x—Inx

令f(x)=

xe-

(x+l)(x-2+lnx)

fG)=x>0,

x2ex

令g(%)=x—2+In%,%>0,

???g(x)=1+^>0,所以函數(shù)g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(l)=-1V0,g(2)=ln2>0,所以存在%0C(1,2),使得g(%o)=0,即久°一2+In%。=0,

xE(0,x0),g(%)<0,即/'(x)V0；xEQXQ,+oo),g(%)>0,即/G)>0,

所以函數(shù)/(%)在(O,%o)上單調(diào)遞減，在(%o,+8)上單調(diào)遞增，

???/(%0)=1-：：二：比，又由％0-2+ln%=o,可得%oe&=e2,

0

,f(x_IroTn%。_1—%o+%。—21_

故選：A.

【變式2-2](2024?四川成者卜三模)若％E[0,+8),/+a%+14e、恒成立，則實(shí)數(shù)。的最大值為()

A.cB.2C.c—1D.e—2

【解題思路】先確定X=0時(shí)的情況，在X>0時(shí)，參變分離可得a<巴餐1,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)/(X)=巴合

求得/(x)的最小值即可.

【解答過程】當(dāng)x=0,1<e°,不等式成立，

當(dāng)久>0時(shí)，&<巴合恒成立，即aW(三匕)min，

令/(X)=三匚，則八X)=廠工1”=(1)(；—),

令g(%)=e%—%—1,則g'(%)=e%-l,當(dāng)?shù)?gt;0時(shí)，^(x)=ex-1>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g(%)>g(0)=0,所以e%-%-1>0,

所以當(dāng)0V%VI時(shí)，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，當(dāng)％>1時(shí)，/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

aJ2_i

所以f(x)min=f(l)=q^=e-2，所以aWe—2.

所以實(shí)數(shù)a的最大值為e-2.

故選：D.

x2

【變式2-3］(2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/(X)=］必，^(x)-e-1x-x,3x1；比2e［1,2］使也乂)-

^(x2)|>fc|/(x1)-/(x2)|(化為常數(shù))成立，則常數(shù)k的取值范圍為()

A.(—oo,e—2］B.(-8,e-2)C.(-D.(-8,、^)

【解題思路】存在性問題轉(zhuǎn)化為人<弓二在［1,2］上能成立，利用導(dǎo)數(shù)求弓匚的最大值即可得解.

【解答過程】-無)=13在口,2］上為增函數(shù)，

由g(x)=ex—1x2—%知，g'(%)=ex—x—1,

令h(%)=ex-x—1,則h(%)=ex—1,

當(dāng)％>0時(shí)，/i(%)=ex-1>0,

即九(%)=ex—x—1在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以九(%)>/i(0)=0,即g(%)>0,

所以9(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，即g(%)在［1,2］上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)1<X2<X1<2,則9(/)>。(%2)，7(^1)>/(%2)，

???歷(%1)-g(%2)l>川/(%1)—/(久2)1可化為9(%1)—。(%2)>001)-0(%2)，

即g(%i)-kf(xi)>g(%2)—左/(%2)，

令F(%)=g(久)—kf(x)=ex——x—|kx3,

則F'(%)=ex-x—1—kx2,

???Bxltx2e［1,2］,使|g(%i)>川/Oi)-f(%2)l能成立，

??.F(x)>0在［1,2］上能成立，

即卜<《云1在22］上能成立，

...卜<(以尸),xe［i)2］,

\x/max

令6(久)二?］，XG［U］,

則G’(%)=2)：3+"+2,令77i(%)=(%—2)ex+%+2,

則血'(久)=(%—l)ex+1,當(dāng)％G［1,2］時(shí)，m(x)>0,

故加(%)在［1,2］上單調(diào)遞增，所以zn(%)>6(1)=3—e>0,

故G'(%)>0,G(K)在［1,2］上單調(diào)遞增，

???G(X)max=G(2)=一e2—3，

4-

2

k,Ve-—-3.

4

故選：D.

【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】

【例3】(2024?廣東汕頭?三模)已知函數(shù)/'(%)=Inx—ax,g(x)=Z,a羊0.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)<g(x)恒成立，求a的最小值.

【解題思路】(1)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對a>0與a<0分類討論即可得;

(2)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.

【解答過程】(1)a=*(a力0),

XX

當(dāng)a<0時(shí)，由于％>0,所以/’(K)>0恒成立，從而/(%)在(0,+8)上遞增；

當(dāng)Q>0時(shí)，0V久V/(%)>0;X>：,/(%)<0,

從而/0)在(0、)上遞增，在G，+8)遞減；

綜上，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,￡)，單調(diào)遞減區(qū)間為+8).

(2)令h(x)=f(x)-g(x)=Inx-ax--,要使/'(x)<g(x)恒成立,

只要使人(%)<0恒成立，也只要使九(%)maxW

—(ax+l)(ax—2)

h(%)=—CLH—7

xaxLax^2-

若a>0,%>0,所以ax+l>0恒成立,

當(dāng)0<%<2時(shí)，h(%)>0,當(dāng)，<%V+8時(shí)，/i(x)<0,

aa

可知M%)在(0《)內(nèi)單調(diào)遞增，在弓,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以h(%)max=九(?)=In：-340,解得：CL>

可知Q的最小值為*

若。<0,%>0,所以a%-2Vo恒成立,

當(dāng)OVKV一工時(shí)，ft(%)<0,當(dāng)一工<%<+8時(shí)，h(x)>0,

aa

可知h(x)在(o,-￡)內(nèi)單調(diào)遞減，在(-、+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以九(%)在(0,+8)內(nèi)無最大值，且當(dāng)％趨近于+OO時(shí)，/l(%)趨近于+8,不合題意；

綜上所述：a的最小值為芻

e°

【變式3-1］(2024?四川瀘州?二模)已知函數(shù)/(久)=2爐一+2(。>o).

(1)求曲線y=/(久)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

(2)若三久￡［—1,1］,|f(久)|>3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)對外%)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)先利用導(dǎo)數(shù)分析f(x)的單調(diào)性，再構(gòu)造。(久)=|〃>)|,將問題轉(zhuǎn)化為g(x)maxN3,利用/(%)的單調(diào)性,

分析得|f(X)|max，從而得解.

【解答過程】(1)因?yàn)?(x)=2/一+2(a>0),貝?。?'(x)=6/一2ax,

所以f(0)=2,f'(0)=0,

所以曲線y=/(乂)在點(diǎn)(0,八0))處的切線方程丫=2；

(2)因?yàn)?''(x)=6/—2ax=6x(x-且a>0,

所以當(dāng)0<x<審寸，f\x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)比<0或時(shí)，f(x)>0,/(久)單調(diào)遞增；

不妨令g(x)=1/(%)I,

當(dāng)即a23時(shí)，/(x)在［―1,0］單調(diào)遞增，在［0,1］單調(diào)遞減，

且/(-1)=一a<-3"(0)=2,/(1)=4-a<1,

所以g(x)max=l/WImax=max{a,2,|4-a|)>3,此時(shí)符合題意：

當(dāng)0<?<1，即0<a<3時(shí)，/(>:)在［-1,0］和玲1］單調(diào)遞增，在?單調(diào)遞減，

顯然f(x)在x=熱取得極小值，此時(shí)極小值為/圖=2—2>0,

而/(—1)=—aE(-3,0),f(0)=2,f(1)=4—a>0,

所以9(%)max=l/WImax=max{a,2,4-a},

要使g(x)max23,則必有4一a23,解得aWl,故0<aWl,

綜上:a的取值范圍是(0,1］U［3,+8).

【變式3-2](2024?北京?三模)已知函數(shù)f(x)=ln(x+l)+kO+l).

⑴求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若人無)<-1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)求證：黑<^12.(neN且nN2)

乙i=2，+i4

【解題思路】(1)對函數(shù)人久)求導(dǎo),再根據(jù)k的正負(fù)分類討論單調(diào)性即可；

(2)若恒成立,即汽X)max4—1，根據(jù)⑴中的單調(diào)性求出其最大值即可列式求解.

(3)由(2)知當(dāng)々=—1時(shí)，有In(%+1)—(%+1)<-1在(一1,+8)恒成立，令％=n2(nGN*,n>1),即可

推出瞿<?色eN*,n22),再對不等式兩邊累加求和，即可推出結(jié)論.

【解答過程】(1)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?—1,+8).

f'(無)=W+上

①k2。時(shí)，/(%)>0,y(x)的遞增區(qū)間為(一1,+8),無遞減區(qū)間；

③k<0時(shí)，令/"(%)>0得-1<x<-1-：；令f(%)<0得%>-1-，，

所以/0)的遞增區(qū)間為(—1,一1一J,遞減區(qū)間為(一1—￡+8).

(2)由(1)知，k之0時(shí)，/(%)在(一1,+8)上遞增，/(0)=fc>0,不合題意，

故只考慮々V0的情況，由(1)知f(%)max=/(—1—3)=一1一1n(—外工一1

即ln(—￡)>0=—k>1k<—1

綜上，k的取值范圍為k4一1.

(3)由(2)知：當(dāng)/c=-1時(shí)，In。+1)—(％+1)4一1恒成立，所以ln(%+l)<%，

2

所以Inx<x—1當(dāng)％>2恒成立，令％=n(neN*tn>1),

進(jìn)而Inn2<n2—l(nEN*,n>2\

即21rm<(n—l)(n+1),A詈<與(nEN*,n>2).

r-r-rsi\，nIniln2,ln3,ln4,,Inn,1,2,3,,n-1n(n—1)/..、c、

所以〉==k+丁+^+…+=<；+：+；+…(n€Nn且?122)

/.2i+l345n+l22224

即、”里〈妁匕2.(?6%且九22).

乙i=2i+l4

【變式3-3](2024?四川?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=a%ln%-2%+b(a,bCR)在點(diǎn)處的切線方

程為y=-x.

(1)求函數(shù)/(%)的極值;

(2)設(shè)g(%)=e久卜/(：)+2]+(THER),若g(x)20恒成立，求m的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得a=6=1,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)判斷f(%)的單調(diào)性和極值；

(2)根據(jù)題意分析可知：原題意等價(jià)于血之生『在(0,+8)內(nèi)恒成立，令設(shè)/1G)=g也,％>0,利用

導(dǎo)數(shù)求九(、)的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.

【解答過程】(1)由題/(%)=axln%-2%+b,/(%)=alnx+a—2,

由題意可得，；,解得Q=b=l,

(1)=a-2=-1

所以/(%)=xlnx—2%+1,/(x)=In%—1.

令/'(%)>0,解得X>e,令/'(%)<0,解得0V%Ve,

可知/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞增，在(0,e)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)?shù)?e時(shí)，/(%)有極小值，極小值為f(e)=1-e,無極大值.

(2)由題意可知：g(x)=ex^xf+2]+mx=ex(x—Inx)4-mx>0,且％>0,

整理得血二g二旦，原題意等價(jià)于血二七二包在(o,+8)內(nèi)恒成立，

設(shè)/>0,則/(窕)=心上當(dāng)=乙

設(shè)t(%)=In%—x—l,x>0,則t(%)=--1=

XX

當(dāng)0<%V1時(shí)，t'(x)>0；當(dāng)久>1時(shí)，t(x)<0,

可知X%)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

則t(x)<t(l)=—2<0,即當(dāng)％>0時(shí)，Inx—x—1<0恒成立，

當(dāng)0V汽V1時(shí)，h(x)>0；當(dāng)/>1時(shí)，/i(x)<0；

可知M%)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(L+8)內(nèi)單調(diào)遞減，則九(%)<h(l)=-e,

由TH>eOn%一%)恒成立,可得m>_e,

x

所以HI的取值范圍為[一e,+00).

【題型4構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒(能)成立問題】

【例4】(2024?四川樂山?二模)若存在為€[-1,2],使不等式X。+(e?-l)lna2,+e2久°一2成立，則a

的取值范圍是()

A?假回B.Re?]C,[^.e4]D./同

【解題思路】等價(jià)變形給定的不等式，并令卷=3構(gòu)造函數(shù)f(t)=(e2-l)lnt-2t+2,將問題轉(zhuǎn)化為存

在t6區(qū)，三卜使得f(t)之。成立，再借助導(dǎo)數(shù)求解即得.

2222

【解答過程】依題意，x0+(e-l)lna>+ex0-2?(e-l)lna-(e-l)x0>-2

o(e2-l)lna-(e2-l)lnex°>-2?(e2-l)ln-^->2,

e^uexue人口

令高—t,BP(e2—l)lnt—2t+2>0,由％。e[—1,2],得te,

令f(t)=(e2—l)lnt—2t+2,則原問題等價(jià)于存在te樣,圖，使得f(t)20成立，

求導(dǎo)得f'(t)=?-2=匕2t,由「?)<o,得1>?,由/")>。，得。<t<?，

因此函數(shù)在(?,+8)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增，

而((I)=0,/(e2)=(e2—l)lne2-2e2+2=2e2—2—2e2+2=0,又1<<e2,

則當(dāng)lWt〈e2時(shí)，/(t)>0,若存在匹卜馬，使得/(t)20成立，

只需9We?且」21,解得aWe，且a2)§P-<a<e4,

er1ee

所以a的取值范圍為[,e4]

故選：D.

【變式4-1](2024,甘肅蘭州,二模)若關(guān)于x的不等式e"+x+21n22zu/+[mu恒成立，則實(shí)數(shù)〃？的最

X

大值為()

A.-B.-C.-D.e2

242

【解題思路】對所給不等式適當(dāng)變形，利用同構(gòu)思想得出lmnW%-21n%對于任意汽>0恒成立，進(jìn)一步構(gòu)

造函數(shù)9(%)利用導(dǎo)數(shù)分析最值即可求出結(jié)果.

【解答過程】由題意可得汽>0,771>0,

e*+%+21n->mx2+Inzn恒成立等價(jià)于e%4-x>mx2+Inm-21n-=eln(mx2)+ln(m/)恒成立，

XX

令/(%)=ex+%,x>0,

則/'(無)=e”+1>0恒成立，

所以/(%)在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，

所以若有f(%)>成立，則必有久>ln(mx2)=Inm+21n%恒成立，

即Inzn<%—21n%對于任意久>0恒成立，

令9（%）=x-2\nx,x>0,

則/(%)=1

令g(第)=o=>%=2,

所以當(dāng)OV%V2時(shí)，g'(%)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)％>2時(shí)，g\x)>0,g(%)單調(diào)遞增，

02

所以g(%)min=g(2)=2-21n2=ki],

222

從而InmWln-,所以zn的取值范圍為m4亍，即實(shí)數(shù)冽的最大值為一，

故選：B.

【變式4-2](2023?河南開封?模擬預(yù)測)若存在比6[1,+8),使得關(guān)于x的不等式(1+3"。2e成立，則

實(shí)數(shù)Q的最小值為()

A.2B.——C.In2—1D.---1

ln2ln2

【解題思路】由(1+§"+">e兩邊取對數(shù)可得(x+a)ln(l+321,令1+：=t，則不等式可轉(zhuǎn)化為+

a)lnt>1,即—二p故根據(jù)題意可得求《一七的最小值即可，令g(x)=2―七,％e(1,2],通過求

Intt—1Intt-1Inxx-1

導(dǎo)可得g(%)的最小值即可

【解答過程】由(1+>e兩邊取對數(shù)可得(x+a)ln(1+0>1①，

令l+1=t，則%=尚不因?yàn)閤€[l,+oo),所以t6(1,2],

則①可轉(zhuǎn)化得9+。)Mt2L

因?yàn)镮nt>0,a>------

Intt-1

因?yàn)榇嬖诠[l,+8),使得關(guān)于％的不等式+Ne成立，

所以存在CE(1,2],a>-^----成立，故求-----的最小值即可，

Intt—1Intt-1

令9(x)=*一三?e(l,2]

...7)=____L_+1=x-(lnx)2_(x_l)2=(lnx)2-」=(皿2*知

'')x-(lnx)2(x-1)2x(x-l)2(lnx)2(x-1)2(Inx)2(x-1)2(Inx)2'

令h(X)=(Inx)2—x—2,xe(1,2]

/1121nx-x+-

???/i(x)=--21nx—1+^=——--

令0(%)=21nx—%+(1,2],

//、2d1-X2+2X-1-(X-1)2C

所以◎(%)在(1,2]上單調(diào)遞減，所以0(%)<0(1)=0,

h(x)<0,所以h(%)在(1,2]上單調(diào)遞減,

所以h(%)<h(l)=(),.?.g(x)<0,

???g(%)在(L2]上單調(diào)遞減，g(x)>g(2)=+一1,

a-1,所以實(shí)數(shù)Q的最小值為二一1

m2m2

故選：D.

【變式4-3](2024?江西贛州?二模)已知函數(shù)/(%)=e-+1,g(%)=(1+]In%.若20(%)，則左的

取值范圍為()

A.(0,e]B.[e,+8)C.?1+8)D.(。,引

【解題思路】根據(jù)已知條件，有Ine依?(efcx+1)>(1+x)lnx(%>0),構(gòu)造函數(shù)h(%)=(1+x)lnx(x>0),

將問題轉(zhuǎn)化為為九年入)之以%)(%>0),對函數(shù)求導(dǎo)，通過函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值從而求解.

【解答過程】因?yàn)?(%)=ekx+1,所以4(%)=k(e"+1),

由kf(%)>g(x)得k(*+1)之(1+：)Inx(%>0),

即4工心-4-1)>(1+x)lnx(%>0),

即lne""?(e"+1)>(14-x)lnx(x>0),

構(gòu)造函數(shù)h(%)=(1+x)lnx(%>0),

Ine"?(ekx+1)>(1+x)lnx(x>0)可化為h(e")>h(x)(x>0),

因?yàn)閔(%)=In%+(+1(x>0),令t(%)=In%+:+1(x>0),

則/(%)=[—±=^2~(%>0),令￡’(%)=0,解得％=1,

所以％e(o,i)時(shí)，t(%)<o,t(%)在(o,i)上單調(diào)遞減，

所以％E(L+8)時(shí)，>o,t(T)在(1，+8)上單調(diào)遞增，

所以％=1時(shí)，￡(%)取得最小值，BP=t(l)=2>0,

所以t(%)>0在％G(0,+8)上恒成立，即//(%)>0在％G(0,+8)上恒成立，

所以九(%)在t6(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?gt;/i(x)(%>0),

所以eh>x(x>0),kx>Inx(%>0),/c之等(%>0),

令7H(%)=>0),則TH(%)=l：；nx(%>0),

令=0,即1—Inx=0,解得汽=e,

所以％G(0,e)時(shí)，m(x)>0,m(%)在(0,e)上單調(diào)遞增，

xe(e,+8)時(shí)，m(x)<0,zn(%)在(0,e)上單調(diào)遞減，

所以％=e時(shí)，m(%)取得最大值，即血(%)max=血(e)=：，

所以7H(%)工工，所以女之士

ee

故選：C.

【題型5與不等式恒(能)成立有關(guān)的證明問題】

【例5】(2024?云南昆明?三模)已知函數(shù)/'(尤)=e*-sina久；

⑴當(dāng)a=-l時(shí)，證明：對任意xC(-2,+8),/(無)>0；

(2)若x=0是函數(shù)/(尤)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.

【解題思路】(1)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出/(%)>/(-{)=eT-(>0,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算可得結(jié)果;

(2)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得/(X)在(-20)單調(diào)遞減，在(。,+8)單調(diào)遞增，滿足x=0是f(x)的

極值點(diǎn)，進(jìn)而求出結(jié)果即可.

【解答過程】(1)當(dāng)。=一1時(shí)，/(x)=ex+sinx,/(x)=ex+cosx,

當(dāng)％G(0,+8)時(shí)，ex>1>—sinx,則/(%)>0；

當(dāng)％C(-,o］時(shí)，cosx>0,ex>0,故f(%)>0,所以f(%)在(一,o］單調(diào)遞增，

因?yàn)橐?lt;2.8<2/，所以建Ve4<64,所以nV61n2,

所以？<ln2,所以/<2,故/(無)>/(—?)=eV—；>0；

O\6/L

綜上，對任意第€(—也+8),/(%)>0.

(2)x￡R,/(%)=ex-acosax,因?yàn)椋?0是f(x)的極值點(diǎn)，

所以/(0)=1—a=0,即a=l.

當(dāng)a=1時(shí)，/(%)=ex—sin%,令g(X)=/(%)=ex—cosx,則g(x)=ex+sinx,

由⑴可知，對任意x€(-2,+8),g'(x)>0,故g(x)在(一+8)單調(diào)遞增，又g(0)=0,

故當(dāng)(-5,())時(shí)，g(x)<0,BP/(x)<0,當(dāng)比6(0,+8)時(shí)，g(x)>0,即/''(x)>0,

故f(x)在(―20)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，滿足x=0是/Q)的極值點(diǎn)，

綜上，實(shí)數(shù)a的值為L

【變式5-1］(2024?青海?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=e。"+一ax(aeR).

(1)當(dāng)a=l時(shí),求/(久)的最值;

(2)當(dāng)ae時(shí),證明：對任意的句,x2e［-2,2］,都有1/01)-/(久2)1We2-1.

【解題思路】(1)當(dāng)a=l時(shí)，易求函數(shù)fO)的導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并判斷原函數(shù)在求得零點(diǎn)附近的

單調(diào)性，從而確定函數(shù)極值，進(jìn)一步確定函數(shù)的最值；

(2)當(dāng)a€［-1,1］時(shí)，通過連續(xù)求導(dǎo)得出原函數(shù)/(X)在［-2,2］上的單調(diào)性，通過計(jì)算/(2)—/(0)和/"(-2)-

/(0)的值構(gòu)造函數(shù)h(t)=e2t-2t-e2+2,并通過求導(dǎo)確定其單調(diào)性，求出八⑴在t€的值域,由此

可構(gòu)造不等式e2t-2t+lWe2—1,從而得出|f(2)—f(0)|We2-1,|/(-2)-/(0)|<e2-1,從而得證.

【解答過程】(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)-ex+|x2-x,/(%)=ex+%-1,

易知/'(x)=ex+x-l在上R單調(diào)遞增.

因?yàn)?''(0)=。，所以當(dāng)％<0時(shí)，/(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,

所以/(%)在(-8,0］上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以f(x)有最小值f(0)=l,無最大值.

(2)證明：/'(x)=aeax+久—a.令g(x)=/'(久)=ae°x+x—a,貝!］g'(x)=a^eax+1>0,

所以r(x)在［—2,2］上單調(diào)遞增.

又/''(0)=。,所以當(dāng)工<。時(shí),/(%)<0,當(dāng)x>。時(shí),/(x)>0,

所以/(%)在［-2,0］上單調(diào)遞減，在(0,2］上單調(diào)遞增，

即當(dāng)a€1,1］時(shí)，f(x)在［-2,0］上單調(diào)遞減，在(0,2］上單調(diào)遞增.

所以f(2)-/(0)=e2a—2a+1,f(-2)-/(0)=e-2a+2a+1.

令h(t)=e2t—2t—e?+2,貝=2e2t—2,當(dāng)t<0時(shí)，/i(t)<0,當(dāng)t>0時(shí)，h(t)>0,

所以h(t)在(-8,0］上單調(diào)遞減，在［0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閔(l)—0,/i(—1)=-2-f-4—<0,所以當(dāng)te［—1,1］時(shí),h(t)<0,

即當(dāng)t￡［一1,1］時(shí)，e2t-2t+1<e2-1,

所以當(dāng)a€[—1,1]時(shí)，e??！?a+lWe?—1且e—2a+2a+lWe?-1,

HP1/(2)-/(0)|<e2-l且|/(_2)—/(0)|<e2-l,

即對任意的％1，x2e[-2,2],都有|/(%1)-f(%2)l三昌一1.

【變式5-2](2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=aex(aW0),g(%)=/,/(%)為g(%)的導(dǎo)函數(shù).

(1)證明：當(dāng)a=l時(shí)，XfxG(0,+oo),/(x)>(%);

(2)若/(%)與g(%)有兩條公切線，求。的取值范圍.

【解題思路】(1)等價(jià)于證明V%E(0,+8),e%>2%,令九3)=e%-2K(%>。)，求導(dǎo)判斷出h(%)的單調(diào)性,

求出最值可得答案；

(2)設(shè)一條公切線與/(%)=ae*,g(%)=/切點(diǎn)分別為(%1，四刃,(如華)，求出切線方程，根據(jù)是同一條直

線可得Q=等，轉(zhuǎn)化為y=攀與y=。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得出的大致圖象可得答案.

【解答過程】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(%)=ex,g'(x)=2x,

VxE(0,+>g(%)等價(jià)于證明V%G(0,+8),d>2%,

令h(%)=e%—2x(%>0),h/(x)=ex—2,

當(dāng)0<%<ln2時(shí)，/i(%)<0,/i(%)在(0,ln2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)％>ln2時(shí)，h(x)>0,h(%)在(ln2,+oo)上單調(diào)遞增，所以九(K)>/i(ln2)=2—21n2>0,

所以V%6(0,+8),e%>2%,即V%6(0,+>g/(x)；

(2)設(shè)一條公切線與/(%)=aex,g(x)=/切點(diǎn)分別為(%力ae%。(如其)，

則/(%)=aex,g(x)=2x,

X1X1

可得切線方程為y-ae=ae(%一%。，y-=2x2(x-x2)f

X1

ae=2X2

因?yàn)樗鼈兪峭粭l直線，所以X1X1

—xrae+ae=-x1

可得。=看=令PG)4x—4

若/(%)與g(%)有兩條公切線，貝Uy=三-與y=。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

則PG)=學(xué)，

當(dāng)％V2時(shí)，p(x)>0,p(%)在(一8,2)上單調(diào)遞增，

當(dāng)%>2時(shí)，p'(x)<0,p(%)在(2,+8)上單調(diào)遞減，所以p(%)<p(2)=3

且當(dāng)汽>1時(shí)，p(x)>0,當(dāng)％<1時(shí)，p(x)<0,可得p(%)的大致圖象如下圖,

所以0<a<-j.

e