利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第06講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（17-18高二?黑龍江牡丹江?課時練習(xí)）若。＞2,則方程;尤3一如2+i=o在Q2）上根的個

數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用一這2+1的導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的唯一性定理可求解.

【詳解】設(shè)=一公?+1,則尸（x）=Y-2以=%（％-2。），

因?yàn)椤?,所以為＞4,

所以當(dāng)工￡（0,2）時，/（%）＜0,則人元）在。2）上為減函數(shù)，

又/（0）/（2）=lx（H_4a）=y-4a＜0,

所以f（x）=0在（0,2）上恰有1個根,

即方程;丁-狽2+]=。在（o,2）上根的個數(shù)為L

故選B

兀

2.（2024?四川涼山?二模）若f（x）=xsinx+cosx-1,xe--,n,則函數(shù)的零點(diǎn)個

數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，極值，畫圖，根據(jù)圖象得零點(diǎn)個數(shù).

【詳解】（x）=sinJ;+xcosx-sinxcosx,

當(dāng)》€(wěn)（一/0）時，r（x）＜o(jì),/（X）單調(diào)遞減，

當(dāng)時，r（x）＞0,/（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)時，f'（x）＜0,/（力單調(diào)遞減，

又+3=>>0,/(0)=0,咱=尸>0,/㈤=-2<0,

貝U/(x)=xsinx+cosx-1的草圖如下：

由圖象可得函數(shù)“X)的零點(diǎn)個數(shù)為2.

故選：C.

3.(2023?陜西西安?模擬預(yù)測)方程aef=x+l有兩個不等的實(shí)數(shù)解，則。的取值范圍為()

A.1加B.C)C.卜30)。.卜川

【答案】C

【分析】變形為a=(x+l)e，有兩個不等的實(shí)數(shù)解，構(gòu)造g(x)=(x+l)e"求導(dǎo)，得到單調(diào)

性和極值情況，又當(dāng)x>T時，g(x)>0恒成立，當(dāng)x<-l時，g(x)<0恒成立，從而得到

答案.

【詳解】由題意得a=(x+l)e”有兩個不等的實(shí)數(shù)解，

令g(x)=(x+l)e",定義域?yàn)镽,

g，(x)=(x+2)e",當(dāng)x>-2時，gf(x)>0,g(x)=(x+l)e*單調(diào)遞增，

當(dāng)x<—2時，g'(x)<0,g(x)=(x+l)e”單調(diào)遞減，

故g(x)=(x+l)e工在x=-2時取得極小值，也是最小值，

故g(-2)=(-2+l)e-2=—J,

又當(dāng)x>-l時，g(x)>0恒成立，當(dāng)x<-l時，g(x)<0恒成立，

故要想a=(x+l)e*有兩個不等的實(shí)數(shù)解，則ae

故選：C

/、flnx,x>0

4.(23-24高三上?河南鄭州?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=q彳<0，若關(guān)于x的方程

/(%)+尤-。=0有且只有一個實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(l,+oo)B.[1,+<?)C.D.(-oo,l)

【答案】A

/、/、Ilnx+x,x>0/、

【分析】設(shè)g(x)=〃x)+x=工，問題可轉(zhuǎn)化為g(x)與y只有1個交點(diǎn)，求

ICI%,JiXJ

導(dǎo)得到其單調(diào)性，畫出其函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出答案.

【詳解】令g(x)="x)+x{+xo,

則可轉(zhuǎn)化為g(x)與y=a只有1個交點(diǎn)，

當(dāng)X>0時，g(x)=lnx+x,故g'(x)=』+l>0恒成立，

故且(力=111%+%在％6(0,+0))上單調(diào)遞增，

當(dāng)xWO時，g(x)=e"+x,故8'(力=1+1>0恒成立，

故g(x)=e，+x在xe(-oo,l］上單調(diào)遞增,又g(0)=e°+0=l,

畫出g(x)的圖象如下：

要想g(x)與只有1個交點(diǎn)，只需。>1,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+8).

故選：A

5.(22-23高三上?江蘇南京?階段練習(xí))已知函數(shù)若方程/⑴-x-。=。有

三個不同的解，則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(l,e-l)C.(l,e)D.(e-l,e)

【答案】B

【分析】

將原題轉(zhuǎn)化為丁=<(力與>=彳+。有三個不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象分析相應(yīng)的臨界位置求解，

并利用導(dǎo)數(shù)處理切線問題.

【詳解】

/f^x)-x-a-0,貝!J/(x)=x+a

???原題轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=x+。有三個不同的交點(diǎn)

y=x+a表示為斜率為1,縱截距為。的直線，如圖可知:

1

滿足條件的直線以過點(diǎn)A(l,e)的直線12,與/'(x)=e(x<1)相切的直線\為臨界位置

若過點(diǎn)A(Le),則e=l+a,即。=?—1

若與〃x)=e*(x41)相切，則〃x)=e，=l,可得x=0,/(0)=l

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),則。=1

的取值范圍是(LeT)

故選：B.

6.(2024,云南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)=xe*-x-lnx-a,若〃x)=0在xe(0,e)有實(shí)數(shù)

解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[0,+oo)B.L+e)C.[1,+co)D.[e,+co)

【答案】C

【分析】

首先分析題意，由于/(力=0,設(shè)出8(”=尤/-尤-1叭X40。進(jìn)一步分析

/2(^)=xe'-l,xG(0,e),則〃(x)=e'.+m''>0,分析力⑺單調(diào)性解出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】根據(jù)題意,/(句=0,所以a=xe-x-tax,令g(x)3*lnx,x?0,e),

則函數(shù)=xe'-x-lux-a在(0,e)上存在零點(diǎn)等價于'與g(x)的圖象有交點(diǎn).

g，(x)=ex+xex-l--=eY(x+1)--=(x+l)Ll=(“叫(挖T,

XXX)X

令/1(力=猶"一1,%￡(0,6，貝1]〃(%)=廿+求">0,故"(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤?0)=-lv0,/i(l)=e-l>0,所以存在唯一的/?0,l),使得W％)=0,

心1

即/e"。—1"。，即e"=—,x0=-lnx0,

所以當(dāng)O<x<Xo時/1伍)<0遙〈彳)<0,8(%)單調(diào)遞減，當(dāng)

為〈尤<e時,/z(%)>O,g〈x)>O,g(x)單調(diào)遞增，所以

g(x)n*=g(尤o)=%e&_也=1_/+/=1,

又XfO時,g(X)f+8,故》€(wěn)(0,6)送(3)41,+8),所以°21,

故選：C.

x2+2x,x<0

7.(23-24高二下?江蘇常州?階段練習(xí))函數(shù)/(x)=e、，若函數(shù)g(%)=〃x)-加

——,x>0

、x

有3個零點(diǎn)，則加的取值范圍為()

A.(-1,0)B.(-l,e)C.(e,+oo)D.(-oo,-l)

【答案】C

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/z(x)=3,x>0的圖象，然后作出函數(shù)“X)的圖象，結(jié)合圖形可解.

【詳解】令刈》)=￡,x>0,則“(x)=(x[E,

當(dāng)。<x<l時,/if(x)<0,〃(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時,〃(x)>0,力⑺單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)X=1時，取得極小值MD=e,

再結(jié)合二次函數(shù)圖象，作出/(X)的圖象如下圖：

因?yàn)楹瘮?shù)g(元)=/(%)-機(jī)有3個零點(diǎn)，

所以函數(shù)“X)的圖象與直線y=根有3個交點(diǎn)，

由圖可知，以>e,即加的取值范圍為(e,+8).

故選：C

8.(2024?廣西?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(x)=lnx-就在(O,3e)上有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是()

【答案】C

【分析】將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖像交點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得出

H=吧InY，根據(jù)圖像即可解決問題.

X

【詳解】因?yàn)閤e(O,3e),令〃x)=0,即Inx—依=0,貝加，=￥，

所以函數(shù)/(力=向-依在(0,3e)上有兩個不同的零點(diǎn)等價于曲線％=￥和%=。在(0,3e)

上有兩個不同的交點(diǎn)，

設(shè)g(x)=—,xe(0,3e),則/(尤)=^^,令g<x)=0,解得x=e,

當(dāng)0<x<e時，g'(x)>0,當(dāng)e<x<3e時，g'(x)<0,

所以g(尤)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,3e)上單調(diào)遞減，

又g(e)=：,g(3e)=2^,當(dāng)0<x<l時，g(x)<0,且x-0時，g(x)-?-oo,

其圖像如圖所示，

故選：C.

二、多選題

9.(22-23高二下?甘肅定西?階段練習(xí))若函數(shù)/(幻=彳3+5Y一6》+”有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

a的可能取值是()

A.-10B.-9C.2D.3

【答案】BCD

【分析】根據(jù)已知，把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，

結(jié)合圖行進(jìn)行求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=d+；x2-6x+a有三個零點(diǎn)，等價于丁+；/一6尤+。=0有3個根，

即函數(shù)y=%3+]3%2一6%與函數(shù)y=_〃有3個交點(diǎn)，令g(x)=%3+]3x2—6x,

則g'(%)=3%2+3x-6=3(x+2)(x-l),由g[x)>0有:%>1或％〈-2,由g'(x)〈。有：,

所以g(x)=d+；d_6x在(1,+?>)上單調(diào)遞增，在(一2,1)上單調(diào)遞減；

7Q

又g(-2)=10,g⑴=一?所以g(%)=V+；/—6%的大致圖象為：

為

/IV-10

II\

/;\V=g(x)

Ir

TIT

7‘，7

所以—a<10,解得—1。<〃<大，故A錯誤.

22

故選：BCD.

10.（2024高二下?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（同=k-3—+。-1,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.丫=〃外在（2,3）上單調(diào)遞增

B.y=/（x）恰有一個極大值

C.當(dāng)時，/（x）=0無實(shí)數(shù)解

D.當(dāng)a=l時，/（/（力）=。有三個實(shí)數(shù)解

【答案】BCD

【分析】分類討論去掉絕對值符號后求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性、極值判斷AB,利用極值判斷方程

的實(shí)根個數(shù)判斷C,利用數(shù)形結(jié)合思想判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)尤<3時，/（無）=（3-力1+4-1,/（尤）=（2—x）e"當(dāng)x<2時，/'（無）>0,

當(dāng)2Vx<3時，，。）<0,所以/（x）在（T,2）上單調(diào)遞增，在（2,3）上單調(diào)遞減.當(dāng)天>3時,

/（x）=（x-3）ex+?-l,r（x）=（x-2）ex>0,/（x）在（3,+e）上單調(diào)遞增,A錯誤;

對于B,由以上討論知尤=2是/'（X）的極大值點(diǎn)，B正確；

對于C,當(dāng)”>1時，a—l>0,/（2）=e2+a—l>0,/（3）=tz—1>0,當(dāng)x<2時，

/（x）=|x-3|e'+a-l>a-l>0,所以當(dāng)a>l時,/（x）=0無實(shí)數(shù)解,C正確；

對于D,當(dāng)4=1時，/(x)=|x-3|e\由以上討論知當(dāng)/⑺=0時，t=3.而

/(2)=e2>3,/(3)=0<3,作出〃x)的大致圖象如圖所示.如圖可知，/(x)=3有三個實(shí)

數(shù)解，所以/(/(司)=。有三個實(shí)數(shù)解，D正確.

故選：BCD.

11.(2023?四川遂寧?模擬預(yù)測)已知a>0且aHl,方程x"=lnx(x>0)有且僅有兩個不等

根，則。的取值范圍為

【答案】

【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得ln(lnx)=41nx(x>l),令lnx=t?>0),則4=可=8"),

利用導(dǎo)數(shù)求出g(Omax，結(jié)合方程根的個數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】由x"=lnx>0,得ln(lnx)=alnx(x>l).

令I(lǐng)nx=rQ>0),則a=—

設(shè)函數(shù)g(f)=可，得g'(f)=§上.令g")=0,得仁e.

在(O,e)上g'⑺>0,g⑺單調(diào)遞增；在(e,+8)上g?)<0,g⑺單調(diào)遞減,

所以g⑺ma「g(e)=:,g[￡|=-e<0,又當(dāng)r>l時，g?)>0恒成立,

所以方程x"=Inx(尤>0)有且僅有兩個不等根,

即曲線y=g(/)=皿圖象與直線>=。有兩個交點(diǎn)的充分必要條件是0<a<』,

te

所以0的取值范圍是［o,：］

故答案為：(0,：］

_±1

12.(2024高三?全國?專題練習(xí))函數(shù)〃％)=祀2——在(0,+e)上的零點(diǎn)個數(shù)為

【答案】2

【分析】

令/(%)=。，并將其轉(zhuǎn)化為膽=再根據(jù)y=與y=：的圖象的交點(diǎn)情況解決問題.

x4x4

1上［X1

【詳解】令〃尤)=0,可得xe-5」，因?yàn)閤e(o,y),則”=與，也即一：=ln^,

XXX

Xc,r/口Inx1

-=21nx,整理可得一=一；

2x4

令〃(X)=g,則/7(X)=、，

XX

故當(dāng)xe(O,e)時,“(無)>0,y=/z(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(e,+oo)時,/z(x)<0,y=/?(x)單調(diào)遞減；

又當(dāng)xe(0,l)時,/i(x)<0,xe(l,+oo)時,/?(x)>0,

//(e)=|,且當(dāng)x趨近于正無窮時，〃(x)趨近于0；

在同一坐標(biāo)系中，作出y=/z(x)與y=；的函數(shù)圖象如下所示:

數(shù)形結(jié)合可知,y="⑴與y=；的函數(shù)圖象在(0,+s)有2個交點(diǎn),

故“X)在(0,+8)有兩個零點(diǎn).

故答案為：2.

四、解答題

13.(23-24高三上?河南?期末)已知函數(shù)/(x)=〃ln(x+l)-xsinx.

⑴若。=0,求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程;

⑵若4=1,研究函數(shù)“X)在X?-L0］上的單調(diào)性和零點(diǎn)個數(shù).

【答案】(i)y=-x

(2)/(x)在x?-l,0］上單調(diào)遞增；1

【分析】⑴當(dāng)。=0時，求出唯卜子，(Ijji從而可求出切線方程.

(2)當(dāng)a=l時，利用導(dǎo)數(shù)求出〃x)在x?TO］上單調(diào)遞增.又"0)=0,從而可求解.

【詳解】(1)當(dāng)〃=0時，/(x)=-xsinx,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)色，4切處的切線方程為，=一工

(2)當(dāng)1=1時，/(x)=ln(x+l)—xsinx,貝lj/'(%)=^^—sinx-xcosx,

當(dāng)xe(-l,0］時，>0,-sinx>0,-xcosx>0,則/''(x)>0,

故/(x)在尤?T,0］上單調(diào)遞增.

又因?yàn)椤?)=0,所以“X)在x?-l,0］上的零點(diǎn)個數(shù)為1.

14.(22-23高二下?浙江杭州?期中)已知函數(shù)〃x)=

(1)求曲線y=〃x)+siiir在x=0處的切線方程；

⑵方程/(%)=。恰有兩個不同的實(shí)根，求。的取值范圍.

【答案】⑴y=2x

(2)as

【分析】

(1)根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求得了(”的單調(diào)區(qū)間和極值，由此求得。的取值范圍.

【詳解】(1)依題意，y=/(x)+sinx=—+sinx,

y'=e-x(—x+1)+cosx,

所以此4=2,又丸=0=0,所以切線方程為V=2x.

(2)

因?yàn)槭?x)=e-￡(-x+l),

所以：

當(dāng)尤e(O,l)時，/^x)>0,所以/(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)xepy)時,/'(x)<0,所以〃尤)單調(diào)遞減.

所以/(X)在尤=1處取得極大值也即是最大值，

對于函數(shù)〃x)=

=/(0)=0,當(dāng)x＜0時，/(%)＜0;當(dāng)尤＞0時，/(x)＞0.

所以0的取值范圍是

B能力提升

1.(2024,全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(勸=尤-1-々111元有三個零點(diǎn)尤，1尤2，W，其中aeR,

則以特2尤3的取值范圍是()

A.(L+8)B.(2,+00)C.(e,+co)D.(3,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)解析式得/(1)=。，由/⑺=。，得/(；)=0,設(shè)玉＜%＜當(dāng)，則無「毛=1，3=1，

從而可得⑼馬七=%求解導(dǎo)函數(shù)-(x)=，一呈+1,分類討論與。＞2兩種情況下函數(shù)

X

的單調(diào)性，從而可得答案.

【詳解】定義域?yàn)?o,+8),顯然/⑴=l-；-alnl=0,

若/是零點(diǎn)，貝!]/?)=r-；-alnr=0,

/(-)=--/-aln-=-\?---alnf|=0,

tttt)

所以1也是零點(diǎn)，函數(shù)/(%)=%-1-。1口％有三個零點(diǎn)王,入2，入3，

tX

不妨設(shè)藥＜/＜兀3，則玉?%=L工2=1'

匚匕2「,/、r1ax1-ax+1

所以ClXyX2X2—Cl,于(X)=1H------=---------，

XXX

當(dāng)aV2時，結(jié)合定義域和判別式易知廣(無)＞。恒成立，

即函數(shù)”為)在(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)a＞2時，設(shè)尤2-ax+l=0的兩根分別為了4，%，

易知0＜匕＜1＜尤5,所以函數(shù)/⑺在(0,%)上單調(diào)遞增，

在(4,當(dāng))上單調(diào)遞減，在(%,+e)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xfO時，/(X)-＞-00,/(x4)＞/(l)=0,

/(x5)</(l)=O,當(dāng)冗f+00,f(x)f+00,

所以由零點(diǎn)存在定理易知有三個零點(diǎn)，滿足題意.

綜上，ax}x2x3的取值范圍是(2,+00).

【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式〃x)=x-L-alnx得若r是零點(diǎn)，1也是零點(diǎn)，

xt

從而得士?鼻=1,々=1，所以求取人工3的取值范圍即求。的取值范圍，然后求解導(dǎo)函數(shù)，利

用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可.

fY.QXX<0

2.(23-24高三上?廣東深圳?期末)已知函數(shù)〃x)='一；關(guān)于無的方程=t有且

［x*x>0,

僅有4個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

A.1―B.(-℃,-e)C.(0,e)D.(e,+oo)

【答案】A

【分析】作出函數(shù)圖像，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題求解即可.

【詳解】當(dāng)xVO時,r(x)=(l+x)e\

當(dāng)％<—1時/'(%)<。，當(dāng)一lvxWO時，/r(x)>0,

所以〃%)在(-8,T)單調(diào)遞減，在(T，0］單調(diào)遞增.

當(dāng)I>0時，/'(x)=lnx+l,

當(dāng)0<工<!時，/(x)<0,當(dāng)時，/r(x)>0,

所以/(x)在］。，1］單調(diào)遞減，在(：，+H單調(diào)遞增，/(-0=/［；］=-；.

畫出函數(shù)“X)的圖象，如下圖所示，

故選：A.

3.(23-24高二上?安徽蚌埠?期末)已知函數(shù)/(x)=；2.若a<b<c,且

—T-XH—,x>e

、ee

/(a)=〃b)=/(c),則*-c的取值范圍是_____.

ainb

【答案】(-2e,-e)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)畫出f(x)的大致圖象，在根據(jù)圖象以及解析式得到匕的關(guān)系及。的范圍

即可求解.

【詳解】當(dāng)0<xVl時，f(x)=--,y(x)=叱二WO,

XX

所以/(無)在(0,1］上單調(diào)遞減，且/⑺.=/(1)=0,

當(dāng)l<xVe時，/(尤)=干，r(x)=^^>0,

所以/(x)在(l,e］上單調(diào)遞增，且/(耳皿*=/(e)=

所以“X)的圖象大致如圖所示：

由a<6,f(a)=f(b}^--=—,即Mna=-alnb,令一［尤+2=0得x=2e,結(jié)合圖

abee

象可知ce(e,2e),所以黑―(-2y).

故答案為：(-2e,-e)

4.(23-24高三下?上海?開學(xué)考試)己知定義在(0,+8)上的函數(shù)y=/(x),且

則函數(shù)y=/(%)-log20Mx的零點(diǎn)個數(shù)為

【答案】643

【分析】

首先分區(qū)間寫出函數(shù)f(x)的解析式，判斷函數(shù)的周期，再利用數(shù)形結(jié)合，求函數(shù)的零點(diǎn)個

數(shù).

【詳解】當(dāng)時，sinx=log2024尤無解，故y=/(x)-logz^x沒有零點(diǎn),

當(dāng)xeg,+s］時，

[兀,71

當(dāng)xe《,兀時,X------E

2

?(J7T7171

當(dāng)％E1兀,—時，X——GI—,71

以此類推，/(x)=sinx,nf2024e[644K,645K],

當(dāng)工?0,2兀)有1個交點(diǎn)，以后每個周期2兀內(nèi)有2個交點(diǎn)，在區(qū)間(644兀,2024)無交點(diǎn)，所

以共有1+F-*2=643個交點(diǎn)，

所以函數(shù)y=〃x)Tog2024X的零點(diǎn)個數(shù)為643個.

斗

y=sinx

4

兀兀34兀&

1尸1恤024%

故答案為：643

2\x<Q

5.(23-24高三下?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)/("=21nx，g(x)=x2+2x+l-22,ZeR,

----,x>0

、x

若關(guān)于X的方程f(g(X))=X有6個解，則2的取值范圍為.

【答案】■

【分析】

令g(x)=f,根據(jù)/(X)圖象可知,“X)等于常數(shù)的解最多只有3個，根據(jù)g(x)圖象性質(zhì)可

知，g(x)等于常數(shù)的解最多只有2個，若/'(g(x))=2有6個解，需要=2有3個解，

g(x)=t有2個解，根據(jù)“X)圖象先求出0<4<士，再得出力和/⑴=九中最小解之間的等

e

式關(guān)系，而后結(jié)合g(x)的值域即可建立關(guān)于幾的不等式，最后構(gòu)造關(guān)于4的函數(shù)，求導(dǎo)求

單調(diào)性即可解不等式，進(jìn)而得出結(jié)果。

【詳解】解：由題可得，令g(x)=t,則方程的解有3個，

當(dāng)心0時,/(?)=2\所以/?)在(7,0]上單調(diào)遞增，

當(dāng)r>0時，尸⑺=2(1”。,

則f(0在(o,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

/(e)=-,"1)=0,當(dāng)x>l時，lnx>0,所以/(x)>0,

畫y=/?)的圖象如下：

e

且方程/(r)=X的三個解分別為小4,4,不妨設(shè)；<芍<4,

則有2,=2,即％=log2%,

又g(x)=x?+2x+l-2X=(x+l)‘-2/1

所以g(無)在(-8,T)上單調(diào)遞減，在(T+e)上單調(diào)遞增，

且8(叫=-24,

又因?yàn)間(x)=f,所以-22<%氣，

所以有l(wèi)og?%>-22,gp22+log2A>0,

4^(>l)=22+log2,(^>0),所以>0,

221n2

所以九(九)在(0,+X)上單調(diào)遞增，

又唱)=0,所以2兄+log22>0的解集為+8),

綜上，X的取值范圍為W］。

故答案為：由

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，此類題目一般做法為：

(1)先根據(jù)解析式畫出兩個函數(shù)圖象；

(2)令復(fù)合函數(shù)內(nèi)函數(shù)為人

(3)結(jié)合函數(shù)圖象及零點(diǎn)個數(shù)，分析外函數(shù)根的個數(shù)以及自變量對應(yīng)的取值范圍;

(4)再確定內(nèi)函數(shù)根個數(shù)及對應(yīng)參數(shù)取值范圍；

(5)解出參數(shù)范圍即可。

C綜合素養(yǎng)

1.(23-24高三下?上海浦東新?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)殚_區(qū)間/,若存在飛?，，

使得y=/(x)在x=x0處的切線/與y=/(x)的圖像只有唯一的公共點(diǎn)，則稱y=/(x)為"L

函數(shù)”，切線/為一條“刀切線”.

⑴判斷y=是否是函數(shù)y=hu的一條"切線"，并說明理由；

(2)設(shè)g(x)=e2-6x,求證：y=g(x)存在無窮多條"切線”;

⑶設(shè)/(力=爐+加+1(0<%<。)，求證：對任意實(shí)數(shù)。和正數(shù)c，y=/(x)都是"函數(shù)"

【答案】⑴是，理由見解析

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)記/(x)=lnx,設(shè)切點(diǎn)為利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出玉，再證明直

線y=x-l與/(x)=lnx的圖象只有唯一的公共點(diǎn)，將y=x-l與函數(shù)y=lnx聯(lián)立，得

lnx-x+l=O,記〃(x)=lnx-x+L利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解.

(2)將點(diǎn)(%2出(赴))處的切線/的方程與y=g(x)聯(lián)立得g(x)-g(x2)=g'(x2)(x-X2)，記

,

/z(x)=g(x)-g(x2)-g(x2)(x-x2),利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)/l(x)存在唯一零點(diǎn)z，即可得證;

(3)類似第(2)問的思路得到(x-Xo)2(x+2xo+“)=O在(O,c)上有且僅有一解％,則

-2…e(O,c)或H。?,

再分a20、a<0兩種情況說明即可.

【詳解】(1)記/(x)=lnx,則尸(x)=g,設(shè)切點(diǎn)為(％,In%),

由切線方程為y=x-i知/(西)=1,則