一元線性回歸的F檢驗(yàn)

一元線性回歸效果的顯著性檢驗(yàn)(F檢驗(yàn)法)前面我們給出了一元回歸直線方程的求解即一元線性回歸中未知參數(shù)的最小二乘估計(jì)．那么這條回歸直線對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n)擬合的程度如何？是否真正體現(xiàn)x、y之間的這種線性關(guān)系，這就需要對(duì)回歸效果的好壞進(jìn)行檢驗(yàn)．這種檢驗(yàn)是評(píng)價(jià)方程對(duì)總體的代表性的所謂線性關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)．檢驗(yàn)x與y是否具有線性關(guān)系，以及它們之間的密切程度，這就是回歸直線方程的效果檢驗(yàn)所要解決的問(wèn)題．由一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型可知，一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型是

y=a+bx+εε～N(0,σ2)即隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望是自變量x的線性函數(shù)，然而這樣的假設(shè)是否合理呢？若在y=a+bx+ε中b=0，說(shuō)明x的變化對(duì)y沒(méi)有影響，這時(shí)回歸方程就不能近似地描述變量x與y之間的關(guān)系，因此為了判斷x與y之間是否存在線性關(guān)系，只需檢驗(yàn)假設(shè)：

H0：b=0此問(wèn)題也稱為線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題．我們要根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n)作出拒絕或接受原假設(shè)b=0的判斷．拒絕原假設(shè)才能確認(rèn)我們的線性回歸模型是合理的，接受原假設(shè)表示不能認(rèn)為x、y之間有線性相關(guān)關(guān)系．如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)問(wèn)題呢？我們先把變量y的離差平方和予以分解.（點(diǎn)擊此處看分解過(guò)程）

=Q+U其中是回歸值與其平均值的離差平方和，而,可以把看成是由于x的變化而引起的y值變化，因此稱之為回歸平方和；反映的是觀測(cè)值與回歸值之間的離差平方和，它表示除x對(duì)y的線性影響之外的一切因素引起的y值的變化，稱之為誤差平方和或殘差平方和.而

∴

數(shù)學(xué)上我們可以證明,當(dāng)H0為真時(shí),統(tǒng)計(jì)量

～F(1,n-2).對(duì)于給定的顯著性水平α,查自由度為(1，n-2)的F分布臨界值表,可得臨界值Fα(1,n-2)使得

.其拒絕域?yàn)閃={F>Fα(1,n-2)}.例在某大學(xué)一年級(jí)新生體檢表中,隨機(jī)抽取10張,得到10名大學(xué)生的身高(x)和體重(y)的數(shù)據(jù)如下,試求體重關(guān)于身高的線性回歸方程,并檢驗(yàn)回歸方程的顯著性(α=0.05)?身高xi/cm體重yi/kg身高xi/cm體重yi/kg16217016615817451545247631661671701731685955605754解.根據(jù)表中數(shù)據(jù),列出下列計(jì)算表.回歸直線方程的計(jì)算步驟(I)

i

xi

yi

xi2

yi2

xiyi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Σ

162

170

166

158

174

166

167

170

173

168

1674

51

54

52

47

63

59

55

60

57

54

552

26244289002755624964302762755627889289002992928224280438

2601

2916

2704

2209

3969

3481

3025

3600

3249

2916

30670

8262

9180

8632

7426

10962

9794

9185

10200

9861

9072

92574

,

,

,

,

,

∴

,

.因此線性回歸方程為:

.下面我們來(lái)檢驗(yàn)身高x與體重y之間是否具有顯著的線性關(guān)系．根據(jù)題意,我們作假設(shè)

H0:b=0.n=10,

,

,∴

.對(duì)于給定的α=0.05,查F分布臨界值表得到臨界值:

F0.05(1,8)=5.32．顯