平行線四大經(jīng)典模型重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（原卷版）

專題02平行線四大經(jīng)典模型重難點(diǎn)題型專訓(xùn)

囪【題型目錄】

題型一平行線基本模型之M模型

題型二平行線四大模型之鉛筆模型

題型三平行線四大模型之“雞翅”模型

題型四平行線四大模型之“骨折”模型

。［經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型］

【結(jié)論1］若AB〃CD,則NB0C=NB+NC

【結(jié)論2］若NB0C=NB+NC,則AB〃CD.

【結(jié)論3】如圖所示，AB〃EF,則NB+ND=NC十NE

朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和

結(jié)論3的模型也稱為鋸齒模型;

鋸齒模型的變換解題思路

11

23.

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯(cuò)角拆分成2個(gè)豬蹄模型

【例1】（2022春?山東濟(jì)寧?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，如果AB||CD，則乙a、乙（3、4之間的關(guān)系

A.Z.a+Z.p+Z.y=180°B.Za—Z.p+Z.y=180°

C.Za+zp—Z.y=180°D.Za—zp—Z.y=180°[

■【變式訓(xùn)練】

【變式1】（2021春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線a//b,一塊含60。角的直角三角板ABC（zA=60°）

按如圖所示放置.若41=43。，貝亞2的度數(shù)為（）

C.105°D.107°

【變式2】（2022秋?遼寧鞍山?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知BE平分/4BC,平分

NADC,/BAD=80。，/BCD=n°,則的度數(shù)為.（用含〃的式子表示）

D

【變式3】(2022春?山東聊城?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))已知直線N8//CD,所是截線，點(diǎn)M在直線/5、CD

之間.

(1)如圖1,連接GM,HM.求證：N=4GM+乙CHM；

(2)如圖2,在NG8C的角平分線上取兩點(diǎn)〃、Q,使得乙4GM=〃GQ.試判斷W與NGQ//之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】

【結(jié)論1】如圖所示，AB〃CD,貝ljNB+NB0C+NC=360°

【結(jié)論2】如圖所示，NB+NB0C+NC=360°,則AB〃CD.

拐點(diǎn)數(shù)：1拐點(diǎn)數(shù)：2拐點(diǎn)數(shù)：n

【例2】（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩直線4B、CD平行，貝UZ1+/2+/3+/4+/5+/6=

C.800°D.900°

■【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，直線入〃"，在RM48c中，SB=90°,點(diǎn)A落在直線加上,

與直線〃交于點(diǎn)D,若/2=130。，則N1的度數(shù)為（）.

A.30°B.40°C.50°D.65°

【變式2］（2020春?山西臨汾?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一環(huán)湖公路的42段為東西方向，經(jīng)過四次拐彎后,

又變成了東西方向的房段，貝|/8+/。+/。+/￡的度數(shù)是.

AB

FE

【變式3］（2022春?江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知直線/價(jià)CD,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接尸/、

PD.

（1）如圖1,已知乙4=50。，z￡>=150°,求乙4尸。的度數(shù)；

（2）如圖2,判斷乙P/2、乙CDP、乙4PD之間的數(shù)量關(guān)系為.

（3）如圖3,在（2）的條件下，APLPD,DN平分乙PDC,若乙PAN+；乙P4B="PD,求乙4ND的度數(shù).

P

AB

一?！窘?jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】

【例3】（2022秋?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）①如圖1,AB//CD,則乙4+NE+NC=360。；②如圖2,

AB//CD,則/尸=③如圖3,AB//CD,則/E=//+Z1；④如圖4,直線〃CD//

ER點(diǎn)。在直線E尸上，則/夕-4+々=180。.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

圖1圖3

A.1個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

■【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2021秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）已知：如圖（a）,直線DE//AB.求證:

ZABC+ZCDE=NBCD；

（2）如圖（6）,如果點(diǎn)C在N8與ED之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么

新的猜想？

BAB

【變式2】(2021春?廣東東莞?七年級(jí)東莞市光明中學(xué)校考期中)(1)如圖(1)/8||CD,猜想N8P。與乙8、

的關(guān)系，說出理由.

(2)觀察圖(2),已知N8IICD,猜想圖中的N8尸。與NB、的關(guān)系，并說明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知/8IICD,猜想圖中的乙與乙8、乙0的關(guān)系，不需要說明理由.

(1)(2)(3)(4)

【變式3](2022?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè))已知，AEUBD,/A=ND.

(1)如圖1,求證：ABI/CD；

(2)如圖2,作/A4E的平分線交CD于點(diǎn)尸，點(diǎn)G為48上一點(diǎn)，連接尸G,若/CFG的平分線交線段4G

于點(diǎn)、H,連接/C,ZACE=ZBAC+ZBGM,過點(diǎn)H作交尸G的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,且

3NE-5NAFH=18°,求/￡/尸+_的度數(shù).

=【經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，ABWCD,z￡=37°,zC=20°,貝”E/8的度數(shù)為

W【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022春?湖北黃岡?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知/3//OE,乙48c=80。，NC￡>￡=140。，則

/-BCD=.

【變式2］（2022春?江蘇鹽城?七年級(jí)景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，若AB//CD,貝吐1+43/2的度數(shù)為

【變式3］（2021春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖，AB//CD,CF平分乙DCE,若乙DCF=30。，乙E=20。,

求乙42E的度數(shù)；

（2）如圖，AB//CD,乙EBF=2UBF,CF平分乙DCE,若N尸的2倍與乙B的補(bǔ)角的和為190。，求乙48E的度

數(shù).

D

H

AB

E

(3)如圖，尸為(2)中射線BE1上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分乙BPG,GN//PQ,GM平分乙DGP,

若乙8=30。，求ZMGN的度數(shù).

【培優(yōu)檢測(cè)】

1.如圖，已知4價(jià)?！?41=30。，乙2=35。，貝此8C￡的度數(shù)為（）

B.65°C.35°.50°

2.如圖，已知AB//CD,則/a,4,々之間的等量關(guān)系為（）

A.Za+Z^-Z/=180°B.Z^+Z/-Ztz=180°

C./a+々+々=360。D.Ztz+Z^+Z/=180°

3.如圖所示，若ABIIEF,用含。、B、7的式子表示》,應(yīng)為)

AB

C.180°-a-/+^.180。+。+/—/

4.如圖，直線4〃4，Zl=30°,則/2+/3=()

A.150°B.180°C.210°.240°

5.如圖所示，Z7I|Z2,41=105。,42=140。，則43的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

6.如圖，ABHCD,ZBED=61°,4ABE的平分線與4CDE的平分線交于點(diǎn)F,則NDFB=()

CD

AB

A.149°B.149.5°C.150°D.150.5°

7.如圖，乙BCD=9。。,ABWE,則a與尸一定滿足的等式是()

4B

DE

A.Q+￡=180。B.Q+Q=90。C.B=3aD.a-6=9。。

8.如圖，兩直線C。平行，貝|/1+/2+/3+/4+/5+/6=(：).

-一

(1)

A.630°B.720°C.800°D.900°

9.如圖，玲玲在美術(shù)課上用絲線繡成了一個(gè)“2"，ABWDE,乙4=30。,乙4CE=110。,則乙E*的度數(shù)為()

AB

A.30°B.150°C.120°D.100°

10.如圖,已知直線a||b,41=40。，乙2=60。.則N3等于（)

A.100°B.60°C.40°D.20°

11.如圖，AB\\EF,設(shè)4c=90。，那么x,y,z的關(guān)系式為.

12.如圖，直線a與乙408的一邊射線CM相交，1=130。，向下平移直線a得到直線6,與乙4。8的另一

邊射線相交，則42+43=.

13.如圖，在“3C中，AC=24,AB=25,BC=1.在48上取一點(diǎn)E,NC上取一點(diǎn)尸，連接E尸，若

NEFC=125°,過點(diǎn)B作BD//EP,且點(diǎn)。在的右側(cè)，則/C8。的度數(shù)為.

14.一大門的欄桿如圖所示，A4垂直地面/￡于點(diǎn)/,CD平行于地面4E；則乙42C+乙BCD=.

AE

15.如圖，在五邊形NBCDE中滿足/5//CD,則圖形中的x的值是

16.如圖，AB//CD,N/=15",NC=25/I]/W=

17.如圖，AB//CD,EF平分NBED,ZDEF+ZD=66°,NB-ND=28°,則

18.已知直線allb,將一塊含30。角的直角三角板ABC按如圖所示方式放置(NBAC=30。)，并且頂點(diǎn)A,

C分別落在直線a,b上，若Nl=22。，貝吐2的度數(shù)是

圖1圖2

(1)若乙B=60。，則"'=；

(2)請(qǐng)?zhí)剿鱊E與N尸之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由;

⑶如圖2,已知EP平分4BEF,FG平分乙EFD,反向延長(zhǎng)尸G交EP于點(diǎn)P,求NP的度數(shù).

20.如圖1,AB//CD,E是4B,CD之間的一點(diǎn).

圖1圖2圖3

(1)判定乙B/E,NCDE與乙4ED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,若ABAE,NCDE的角平分線交于點(diǎn)尸，直接寫出ZATO與乙之間的數(shù)量關(guān)系；

⑶將圖2中的射線DC沿翻折交/尸于點(diǎn)G得圖3,若—G。的余角等于2/E的補(bǔ)角，求乙B/E的大

小.

21.綜合與探究：

(1)問題情境：如圖1,AB//CD,NPAB=130。,NPCD=120°.求ZAPC的度數(shù).

小明想到一種方法，但是沒有解答完：

如圖2,過尸作尸￡〃48,.?./4P￡+NP48=180°.

ZAPE=180°-ZPAB=180°-130°=50°.

???ABHCD..-.PE//CD.

請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答.

(2)問題探究：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：

如圖3,點(diǎn)尸在射線上運(yùn)動(dòng)，2ADP=Na,NBCP=20.當(dāng)點(diǎn)P在8兩點(diǎn)之間時(shí),

尸之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

22.問題情景：如圖1,ABWCD,^PAB=140°,zPCZ)=135°,求乙4PC的度數(shù).

(1)麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：〃1PC=85。，請(qǐng)補(bǔ)全她的推理依據(jù).

如圖2,過點(diǎn)尸作「EIIN8,

因?yàn)?811c所以尸EIICD()

所以A4+ZAPE=18O。，NC+NCPE=180。.()

因?yàn)橐?48=140。，"CD=135。，所以乙4PE=40。，4CPE=45°,

乙4PC=，4PE+乙CPE=85°.

問題遷移：

(2)如圖3,ADWBC,當(dāng)點(diǎn)P在/、8兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，乙4DP=",乙BCP=L/3,求NCPD與Na、"之

間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)尸在43兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)尸與點(diǎn)/、B、。三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)直接寫出

乙CPD與乙a、"之間的數(shù)量關(guān)系.

23.如圖，ABHCD,點(diǎn)￡在直線CD內(nèi)部，且/￡_LCE.

(1)如圖1,連接/C,若/￡平分NA4C,求證：CE平分//CD；

(2)如圖2,點(diǎn)M在線段4E上，

①若/MCE=NECD,當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，NA4E與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由；

②若NMCE=、NECD(〃為正整數(shù))，當(dāng)直角頂點(diǎn)￡移動(dòng)時(shí)，N8/E與/MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并

n

說明理由.

BB

24.已知48〃CD

(1)如圖1,E為AB,CD之間一點(diǎn)，連接BE,DE,得到N8ED求證：乙BED=^B+乙D；

(2)如圖，連接ND,BC,BF平分UBC,DP平分UDC,且3凡。尸所在的直線交于點(diǎn)?

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，若418c=50。，^4DC=60°,求乙8ED的度數(shù).

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)2在點(diǎn)/的右側(cè)時(shí)，設(shè)zJ2C=a,乙4DC=p,請(qǐng)你求出NATO的度數(shù).(用含有a,|3的式

子表示)

E

uDCD

圖1圖2圖3

25.如圖，48//CD,點(diǎn)。在直線CD上，點(diǎn)尸在直線48和CD之間，NABP=NPDQ=a,平分

NBPQ.

(2)過點(diǎn)。作。E〃尸。交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,作一。呼的平分線E尸交尸。于點(diǎn)尸，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖

形，猜想E尸與尸。的位置關(guān)系，并證明；

(3)將(2)中的“作NDEP的平分線E尸交尸D于點(diǎn)尸”改為“作射線EF將NDEP分為1:3兩個(gè)部分，交PD

于點(diǎn)尸”，其余條件不變，連接E。，若E0恰好平分NP0O,請(qǐng)直接寫出/尸￡。=(用含］的式

子表示).

26.已知，AB^CD.點(diǎn)/在48上，點(diǎn)N在CD上.

(1)如圖1中，乙BME、乙E、乙END的數(shù)量關(guān)系為：；(不需要證明)

如圖2中，ABMF,乙F、NFND的數(shù)量關(guān)系為：；(不需要證明)

(2)如圖3中，NE平分乙FND,MB平分乙FME,且24￡+"=180。，求NFME的度數(shù)；

(3)如圖4中，4BME=60。,EF平分。EN,NP平分乙END,且E0||NP,則4FE0的大小是否發(fā)生變化,

若變化，請(qǐng)說明理由，若不變化，求出ZFE。的度數(shù).

27.如圖，ABUCD,定點(diǎn)E,尸分別在直線上，在平行線48,之間有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,滿足

0°<ZEPF<180°.

(1)試問：AAEP,ZEPF,/PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解:由于點(diǎn)P是平行線N2,之間一動(dòng)點(diǎn)，因此需對(duì)點(diǎn)尸的位置進(jìn)行分類討論.如圖1，當(dāng)點(diǎn)尸在EF的

左側(cè)時(shí)，易得ZAEP,ZEPF,/尸尸C滿足的數(shù)量關(guān)系為+=如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在EF的

右側(cè)時(shí)，寫出乙4EP,ZEPF,/尸尸C滿足的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖3,QE