人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題01三角形（11個(gè)考點(diǎn)清單+11種題型解讀）

專題01三角形（考點(diǎn)清單，11個(gè)考點(diǎn)清單+11種題型解讀）【清單01】三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點(diǎn)歸納：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角；③三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).（2）三角形的定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．【清單02】三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)歸納：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系．【清單03】三角形的分類1.按角分類：要點(diǎn)歸納：①銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點(diǎn)歸納：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.【清單04】三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語(yǔ)言作圖語(yǔ)言過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號(hào)語(yǔ)言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語(yǔ)言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．【清單05】三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)歸納：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【清單06】三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點(diǎn)歸納：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．【清單07】直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.判定1：有一個(gè)角是直角的三角形式直角三角形判定2：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形【清單08】三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.要點(diǎn)歸納：(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線．（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．2．性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．要點(diǎn)歸納：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點(diǎn)歸納：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°．【清單09】多邊形的概念1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關(guān)概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形。如圖：凸多邊形凹多邊形凸多邊形凹多邊形要點(diǎn)歸納：(1)正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形．【清單10】多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點(diǎn)歸納：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；【清單11】多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點(diǎn)歸納：(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)；(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．【考點(diǎn)題型一】與三角形有關(guān)的線段1．（23-24八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）下列圖形中，三角形是（

）A．

B．

C．

D．

2．（24-25八年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，在中，，，的高與的比是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，工人師傅砌窗時(shí)，為使長(zhǎng)方形窗框不變形，常用木條將其固定，這種做法的依據(jù)．4．（23-24八年級(jí)上·吉林四平·期末）如圖，是的中線，若，，，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型二】與三角形有關(guān)的角5．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）如圖，，，，則x的值為（

）

A．80 B．120 C．100 D．1406．（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，在中，平分交邊于點(diǎn)D，交邊于點(diǎn)E．若，，則的大小為（

）A． B． C． D．7．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖，和是分別沿著邊翻折形成的，若，則．8．（23-24八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，在中，，，是邊上的高，的平分線交于點(diǎn)．求的度數(shù)．【考點(diǎn)題型三】多邊形的內(nèi)角和與外角和9．（22-23八年級(jí)上·河北滄州·期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，這個(gè)多邊形是（

）．A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形10．（23-24八年級(jí)上·新疆阿克蘇·期末）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是30°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（

）.A．6 B．8 C．10 D．1211.（22-23八年級(jí)上·重慶渝北·期末）如圖，在六邊形中，一個(gè)外角的度數(shù)為，則．

12．（23-24八年級(jí)上·河南商丘·期末）已知一個(gè)邊形的每一個(gè)外角都等于．(1)該邊形是否一定是正邊形？______；（填“一定是”或“不一定是”）(2)求這個(gè)邊形的內(nèi)角和；(3)從這個(gè)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出______條對(duì)角線．【考點(diǎn)題型四】綜合應(yīng)用13．（21-22八年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖，在中，是邊上的高，平分，若，求的度數(shù)．14．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期中）如圖，中，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．15．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖1，線段AD與相交于點(diǎn)O，連接，我們把這樣的圖形稱為“8字形”，數(shù)學(xué)興趣課上，老師安排同學(xué)們探索“8字形”中相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系．(1)請(qǐng)通過觀察、測(cè)量，猜想圖1中與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，奮斗小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作與的平分線交于點(diǎn)P，若，求的度數(shù)；(3)智慧小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線，使得，，兩條射線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)題型五】判斷三條線段能否組成三角形16．（21-22八年級(jí)上·貴州遵義·期末）在長(zhǎng)度分別為、、、的四條線段中選擇其中的三條，將它們順次首尾相接構(gòu)成三角形，則能構(gòu)成不同三角形的個(gè)數(shù)共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)17．（21-22八年級(jí)上·山東日照·期末）有四根長(zhǎng)度分別是2，3，5，7的線段，從中選出三條線段首尾順次相接圍成三角形，則三角形的周長(zhǎng)是．18．（20-21八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）下列長(zhǎng)度的三條線段：①5、6、12；②4、4、10；③4、6、10；④3、4、5．能組成三角形的是．（填序號(hào)即可）【考點(diǎn)題型六】求三角形第三邊的長(zhǎng)或取值范圍19．（23-24八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）中，，則a的取值范圍是(

)A． B． C． D．20．（22-23八年級(jí)上·廣西賀州·期末）在中，若，，則第三邊的長(zhǎng)度可以是（

）A．2 B．13 C．15 D．621．（24-25八年級(jí)上·湖南湘西·期中）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和3，則它的第三邊長(zhǎng)x的范圍為．【考點(diǎn)題型七】求三角形的周長(zhǎng)或取值范圍22．（22-23八年級(jí)上·貴州銅仁·期末）若三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．1423．（22-23八年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）如圖，是的中線，已知的周長(zhǎng)為，比長(zhǎng)，則的周長(zhǎng)為．24．（22-23八年級(jí)上·河北廊坊·期末）在中，，．(1)若是整數(shù)，求的長(zhǎng)；(2)已知是的中線，若的周長(zhǎng)為10，求的周長(zhǎng)．25．（20-21八年級(jí)上·江西上饒·期末）已知，的三邊長(zhǎng)為．(1)求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍；(2)當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)時(shí)，求x．【考點(diǎn)題型八】求最大值或最小值26.（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，且第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，這樣的三角形的周長(zhǎng)最小值是（）A． B． C． D．27．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，在中，是中點(diǎn)，垂直平分，交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)，使最大，則這個(gè)最大值為（

）A．10 B．5 C．13 D．28．（23-24八年級(jí)上·天津和平·期末）如果一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是和，第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，則這個(gè)三角形周長(zhǎng)的最大值是．29．（22-23八年級(jí)上·安徽亳州·期中）已知三角形的兩邊長(zhǎng)為5和7，第三邊的邊長(zhǎng)a．(1)求a的取值范圍；(2)若a為整數(shù)，當(dāng)a為何值時(shí)，組成的三角形的周長(zhǎng)最大，最大值是多少？【考點(diǎn)題型九】求三角形內(nèi)外角平分線的夾角30．（22-23八年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）如圖所示，是的內(nèi)角平分線，是的外角平分線，若，則（

）

A． B． C． D．31．（20-21八年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BO與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，若∠BOC＝130°，則∠D＝32．（23-24八年級(jí)上·湖北孝感·期中）如圖，點(diǎn)為內(nèi)角平分線與外角平分線的交點(diǎn)，已知，求的度數(shù)．33．（23-24八年級(jí)上·寧夏銀川·期末）（1）如圖①所示，已知直線，求證：．（2）如圖②所示，已知直線，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）如圖③所示，已知直線，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過點(diǎn)作的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，______．【考點(diǎn)題型十】求三角形高線的夾角34．已知非Rt△ABC中，∠A=45°，高BD、CE所在的直線交于點(diǎn)H，畫出圖形并求出∠BHC的度數(shù)．35．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期中）在中，為最大角且，高和所在的直線交于點(diǎn)．【探究】求和有什么關(guān)系，寫出探究過程；【應(yīng)用】在鈍角中，，高和所在的直線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為_____【考點(diǎn)題型十一】求高線與角平分線的夾角36．（23-24八年級(jí)上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，中，為的角平分線，為的高，，，那么是（

）A． B． C． D．37．（22-23八年級(jí)上·廣東汕頭·期末）如圖，在中，是角平分線，是高，已知，，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．38.（22-23八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期中）如圖，中，是邊上的高，，分別是，的平分線，，，則．39．（23-24八年級(jí)上·重慶合川·期末）如圖，在中，是高，是角平分線，與交于點(diǎn)G．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．

專題01三角形（考點(diǎn)清單，11個(gè)考點(diǎn)清單+11種題型解讀）【清單01】三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點(diǎn)歸納：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角；③三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).（2）三角形的定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．【清單02】三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)歸納：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系．【清單03】三角形的分類1.按角分類：要點(diǎn)歸納：①銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點(diǎn)歸納：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.【清單04】三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語(yǔ)言作圖語(yǔ)言過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號(hào)語(yǔ)言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語(yǔ)言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．【清單05】三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)歸納：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【清單06】三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點(diǎn)歸納：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．【清單07】直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.判定1：有一個(gè)角是直角的三角形式直角三角形判定2：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形【清單08】三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.要點(diǎn)歸納：(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線．（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．2．性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．要點(diǎn)歸納：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點(diǎn)歸納：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°．【清單09】多邊形的概念1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關(guān)概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形。如圖：凸多邊形凹多邊形凸多邊形凹多邊形要點(diǎn)歸納：(1)正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形．【清單10】多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點(diǎn)歸納：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；【清單11】多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點(diǎn)歸納：(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)；(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．【考點(diǎn)題型一】與三角形有關(guān)的線段1．（23-24八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）下列圖形中，三角形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查三角形定義，根據(jù)不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，即可解題．【詳解】解：由三角形定義可知，

是三角形，故選：C．2．（24-25八年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，在中，，，的高與的比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的高，三角形的面積公式，根據(jù)等面積法求解即可．【詳解】解∶∵與是高，∴，∴，故選∶B．3．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，工人師傅砌窗時(shí)，為使長(zhǎng)方形窗框不變形，常用木條將其固定，這種做法的依據(jù)．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)．【詳解】解：工人師傅砌窗時(shí)，為使長(zhǎng)方形窗框不變形，常用木條將其固定，這種做法的依據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：三角形具有穩(wěn)定性4．（23-24八年級(jí)上·吉林四平·期末）如圖，是的中線，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查三角形面積公式，利用中位線求面積．根據(jù)題意可知的面積，再利用三角形面積公式即可得到本題答案．【詳解】解：是的中線，，∴的面積的面積，，，∴，∴，解得：，的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)題型二】與三角形有關(guān)的角5．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）如圖，，，，則x的值為（

）

A．80 B．120 C．100 D．140【答案】D【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，由三角形內(nèi)角求得是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：三角形內(nèi)角和是，，，即的值為，故選：D．6．（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，在中，平分交邊于點(diǎn)D，交邊于點(diǎn)E．若，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)角平分線的定義可得，再由平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，故選：C．7．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖，和是分別沿著邊翻折形成的，若，則．【答案】80【分析】本題考查折疊性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合已知求得、的度數(shù)，再根據(jù)折疊性質(zhì)求得，的度數(shù)，然后利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，由折疊性質(zhì)得，，∴，故答案為：80．8．（23-24八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，在中，，，是邊上的高，的平分線交于點(diǎn)．求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及三角形的外角，關(guān)鍵是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義得到的值，然后利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解題即可．【詳解】解：在中，，，，又是的平分線，，又是邊上的高，，【考點(diǎn)題型三】多邊形的內(nèi)角和與外角和9．（22-23八年級(jí)上·河北滄州·期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，這個(gè)多邊形是（

）．A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】B【分析】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和與外角和，掌握n邊形的內(nèi)角和為、外角和是是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算公式與外角和是列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)是n，根據(jù)題意得：，解得：，∴這個(gè)多邊形是四邊形．故選：B．10．（23-24八年級(jí)上·新疆阿克蘇·期末）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是30°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（

）.A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】本題主要考查了多邊形的外角和定理．利用任何多邊形的外角和是除以一個(gè)外角度數(shù)即可求出答案．【詳解】解：多邊形的外角的個(gè)數(shù)是，所以多邊形的邊數(shù)是12．故選：D．11.（22-23八年級(jí)上·重慶渝北·期末）如圖，在六邊形中，一個(gè)外角的度數(shù)為，則．

【答案】/610度【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可求得的度數(shù)，然后利用多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算出六邊形的內(nèi)角和，進(jìn)而求得答案．【詳解】解：∵，∴，∵六邊形的內(nèi)角和為，∴，故答案為：12．（23-24八年級(jí)上·河南商丘·期末）已知一個(gè)邊形的每一個(gè)外角都等于．(1)該邊形是否一定是正邊形？______；（填“一定是”或“不一定是”）(2)求這個(gè)邊形的內(nèi)角和；(3)從這個(gè)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出______條對(duì)角線．【答案】(1)不一定是(2)(3)【分析】本題考查正多邊形的定義，多邊形的內(nèi)角與外角，多邊形的對(duì)角線，（1）根據(jù)各邊都相等，各角都相等的多邊形是正多邊形判斷即可；（2）先求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對(duì)角線，據(jù)此列式解答即可；熟記多邊形的內(nèi)角和、外角和以及對(duì)角線的條數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵一個(gè)邊形的每一個(gè)外角都等于，∴該邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于：，但該n邊形的各邊不一定都相等，故該邊形不一定是正邊形，故答案為：不一定是；（2）∵多邊形的外角和是，∴，∴內(nèi)角和是：，∴這個(gè)邊形的內(nèi)角和為；（3）從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對(duì)角線，∵，∴，∴從這個(gè)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對(duì)角線．故答案為：．【考點(diǎn)題型四】綜合應(yīng)用13．（21-22八年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖，在中，是邊上的高，平分，若，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的高線與角平分線，根據(jù)已知條件得到，求得，根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求解即可．【詳解】解：∵是邊上的高，，，，平分，，，，故答案為：．14．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期中）如圖，中，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，垂直定義，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)得，再證明，則，再計(jì)算角的等量代換，即可作答．（2）結(jié)合垂直定義得出，再運(yùn)用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)列式計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：，，，，，．15．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖1，線段AD與相交于點(diǎn)O，連接，我們把這樣的圖形稱為“8字形”，數(shù)學(xué)興趣課上，老師安排同學(xué)們探索“8字形”中相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系．(1)請(qǐng)通過觀察、測(cè)量，猜想圖1中與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，奮斗小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作與的平分線交于點(diǎn)P，若，求的度數(shù)；(3)智慧小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線，使得，，兩條射線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，理由見解析(2)(3)【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，對(duì)頂角相等，理解題意靈活運(yùn)用題中得出的“字形”性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和對(duì)頂角相等結(jié)合等式性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)“8字形”得到，兩等式相減得到，即，即可求解；（3）根據(jù)，可得，，再由三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，可得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，證明：，，又，；（2）解：平分，平分，，，由“8字形”得到，兩等式相減得到，即，，；（3）解：，，，，，由“8字形”得到，，，，．【考點(diǎn)題型五】判斷三條線段能否組成三角形16．（21-22八年級(jí)上·貴州遵義·期末）在長(zhǎng)度分別為、、、的四條線段中選擇其中的三條，將它們順次首尾相接構(gòu)成三角形，則能構(gòu)成不同三角形的個(gè)數(shù)共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答的關(guān)鍵．先任取3條線段，有4種組合，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷取舍即可．【詳解】解：在長(zhǎng)度分別為、、、的四條線段中選擇其中的三條，有4種組合：、、；、、；、、；、、，∵，，，，∴、、不構(gòu)成三角形，其它三種組合可以構(gòu)成三角形，故選：C．17．（21-22八年級(jí)上·山東日照·期末）有四根長(zhǎng)度分別是2，3，5，7的線段，從中選出三條線段首尾順次相接圍成三角形，則三角形的周長(zhǎng)是．【答案】15【分析】根據(jù)三角形三邊不等關(guān)系進(jìn)行分析即可．【詳解】解：從長(zhǎng)度為2，3，5，7的四根線段中取三根能組成三角形的只有3，5，7一種，所以三角形的周長(zhǎng)為：3+5+7=15．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊不等關(guān)系，理解三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題關(guān)鍵．18．（20-21八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）下列長(zhǎng)度的三條線段：①5、6、12；②4、4、10；③4、6、10；④3、4、5．能組成三角形的是．（填序號(hào)即可）【答案】④【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析判斷．【詳解】解：①5+6＜12，不能組成三角形；②4+4＜10，不能組成三角形；③4+6＝10，不能組成三角形；④3+4＞5，能組成三角形．故答案為：④．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長(zhǎng)的那條線段就能夠組成三角形．【考點(diǎn)題型六】求三角形第三邊的長(zhǎng)或取值范圍19．（23-24八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）中，，則a的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】考查了三角形三邊關(guān)系，本題需要理解的是如何根據(jù)已知的兩條邊求第三邊的范圍．已知兩邊，則第三邊的長(zhǎng)度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長(zhǎng)的范圍．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得即故選：D．20．（22-23八年級(jí)上·廣西賀州·期末）在中，若，，則第三邊的長(zhǎng)度可以是（

）A．2 B．13 C．15 D．6【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出第三邊的范圍，判斷即可．本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第三邊的長(zhǎng)為，則，即，第三邊的長(zhǎng)度可以是6，故選：D．21．（24-25八年級(jí)上·湖南湘西·期中）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和3，則它的第三邊長(zhǎng)x的范圍為．【答案】【分析】本題考查三角形三遍關(guān)系，熟練掌握：任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊直接得到結(jié)論．【詳解】解：三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和3，第三邊長(zhǎng)的取值范圍是，即，故答案為：．【考點(diǎn)題型七】求三角形的周長(zhǎng)或取值范圍22．（22-23八年級(jí)上·貴州銅仁·期末）若三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．14【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得不等式，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)為，再由不等式的性質(zhì)即可得出，進(jìn)而可判斷出正確的選項(xiàng)?！驹斀狻拷猓涸O(shè)第三邊的長(zhǎng)為x，由題意得：，即，則三角形的周長(zhǎng)為，則，∴7，8，9，14中，只有9符合題意故選：C.23．（22-23八年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）如圖，是的中線，已知的周長(zhǎng)為，比長(zhǎng)，則的周長(zhǎng)為．【答案】/13厘米【分析】本題主要考查了三角形中線的定義，三角形周長(zhǎng)計(jì)算，根據(jù)題意得到，由三角形中線的定義得到，根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式得到，則可推出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵比長(zhǎng)，∴，∵是的中線，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為，故答案為：．24．（22-23八年級(jí)上·河北廊坊·期末）在中，，．(1)若是整數(shù)，求的長(zhǎng)；(2)已知是的中線，若的周長(zhǎng)為10，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)17【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）解：由題意得：，，是整數(shù)，；（2）解：是的中線，，的周長(zhǎng)為10，，，，的周長(zhǎng)25．（20-21八年級(jí)上·江西上饒·期末）已知，的三邊長(zhǎng)為．(1)求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍；(2)當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)時(shí)，求x．【答案】(1)的周長(zhǎng)(2)或【分析】（1）根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊得到x的取值范圍，再由周長(zhǎng)定義得到周長(zhǎng)的范圍．（2）根據(jù)周長(zhǎng)的范圍結(jié)合周長(zhǎng)為偶數(shù)，得到周長(zhǎng)的值，進(jìn)而得到x的值．【詳解】（1）三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，即，的周長(zhǎng)，即：的周長(zhǎng)；（2）的周長(zhǎng)是偶數(shù)，由結(jié)果得的周長(zhǎng)可以是或，的值為或【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，自然數(shù)的奇偶性，熟練掌握三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】求最大值或最小值26.（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，且第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，這樣的三角形的周長(zhǎng)最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系，由三角形的三邊關(guān)系定理可得到的取值范圍，而是整數(shù)，可求的最小值，周長(zhǎng)最小值也可求，熟練掌握三角形三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)是，∵三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，∴，即，∵是整數(shù)，∴，，，，，∴當(dāng)時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小值是，故選：．27．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，在中，是中點(diǎn)，垂直平分，交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)，使最大，則這個(gè)最大值為（

）A．10 B．5 C．13 D．【答案】B【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系．延長(zhǎng)交直線于P，在上任取一點(diǎn)不與點(diǎn)P重合，連接，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系證明此時(shí)，最大，最大值等于長(zhǎng)即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交直線于P，在上任取一點(diǎn)不與點(diǎn)P重合，連接，，∵，，∴，∴此時(shí)，最大，最大值等于長(zhǎng)，∵D是中點(diǎn)，∴，∴最大值，故選：B．28．（23-24八年級(jí)上·天津和平·期末）如果一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是和，第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，則這個(gè)三角形周長(zhǎng)的最大值是．【答案】【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，掌握“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”是解題的關(guān)鍵．利用三角形三邊關(guān)系，先確定第三邊的范圍，進(jìn)而就可以求出第三邊的長(zhǎng)，從而求得三角形的周長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為，由題意得：，，第三邊長(zhǎng)是偶數(shù)，要使三角形周長(zhǎng)最大，，該三角形周長(zhǎng)的最大值為：，故答案為：29．（22-23八年級(jí)上·安徽亳州·期中）已知三角形的兩邊長(zhǎng)為5和7，第三邊的邊長(zhǎng)a．(1)求a的取值范圍；(2)若a為整數(shù)，當(dāng)a為何值時(shí)，組成的三角形的周長(zhǎng)最大，最大值是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最大為【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．【詳解】（1）解：由三角形的三邊關(guān)系可知，即，∴a的取值范圍是；（2）解：由（1）知，a的取值范圍是，a是整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最大，此時(shí)周長(zhǎng)為：，∴周長(zhǎng)的最大值是23．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【考點(diǎn)題型九】求三角形內(nèi)外角平分線的夾角30．（22-23八年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）如圖所示，是的內(nèi)角平分線，是的外角平分線，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是的內(nèi)角平分線，是的外角平分線，∴，，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，熟知三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．31．（20-21八年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BO與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，若∠BOC＝130°，則∠D＝【答案】40°【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴∠ACO=∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和概念正確推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．32．（23-24八年級(jí)上·湖北孝感·期中）如圖，點(diǎn)為內(nèi)角平分線與外角平分線的交點(diǎn)，已知，求的度數(shù)．【答案】．【分析】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到，進(jìn)一步得出推出，于是得到結(jié)論．【詳解】解：平分，平分，，即33．（23-24八年級(jí)上·寧夏銀川·期末）（1）如圖①所示，已知直線，求證：．（2）如圖②所示，已知直線，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）如圖③所示，已知直線，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過點(diǎn)作的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，______．【答案】（1）證明見解析；（2）．證明見解析；（3）【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)B作直線，即可證，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出；（2）過點(diǎn)B作直線，即可證，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出；（3）過點(diǎn)B作直線，即可證，結(jié)合平行線的性質(zhì)可得出，．根據(jù)，可求出．再由角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可求出．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)B作直線，∵，∴，∴，．∵，∴；（2）．證明如下：如圖，過點(diǎn)B作直線，∵，∴，∴，．∵，∴；（3）如圖，過點(diǎn)B作直線，∵，∴，∴，，∴．∵，∴，∴．∵的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)G，∴，，∴．故答案為：．【考點(diǎn)題型十】求三角形高線的夾角34．已知非Rt△ABC中，∠A=45°，高BD、CE所在的直線交