2024屆山東省萊州一中高三第三次月考數(shù)學(xué)試題

2023屆山東省萊州一中高三第三次月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-12．已知數(shù)列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（）A． B． C． D．3．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則實數(shù)的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．24．二項式的展開式中，常數(shù)項為（）A． B．80 C． D．1605．已知直線與圓有公共點，則的最大值為（）A．4 B． C． D．6．若函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）8．若平面向量，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．9．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．10．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于、兩點，且，拋物線的準線與軸交于，的面積為，則（）A． B． C． D．11．設(shè)全集U=R，集合，則（）A．{x|-1<x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}12．設(shè)i為數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|FP|=5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.14．已知拋物線的焦點和橢圓的右焦點重合，直線過拋物線的焦點與拋物線交于、兩點和橢圓交于、兩點，為拋物線準線上一動點，滿足，，當(dāng)面積最大時，直線的方程為______.15．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝kx有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________．16．已知集合，則____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，求的極值；（2）證明：.（參考數(shù)據(jù)：）18．（12分）在孟德爾遺傳理論中，稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子，遺傳因子總是成對出現(xiàn)例如，豌豆攜帶這樣一對遺傳因子：使之開紅花，使之開白花，兩個因子的相互組合可以構(gòu)成三種不同的遺傳性狀：為開紅花，和一樣不加區(qū)分為開粉色花，為開白色花．生物在繁衍后代的過程中，后代的每一對遺傳因子都包含一個父系的遺傳因子和一個母系的遺傳因子，而因為生殖細胞是由分裂過程產(chǎn)生的，每一個上一代的遺傳因子以的概率傳給下一代，而且各代的遺傳過程都是相互獨立的．可以把第代的遺傳設(shè)想為第次實驗的結(jié)果，每一次實驗就如同拋一枚均勻的硬幣，比如對具有性狀的父系來說，如果拋出正面就選擇因子，如果拋出反面就選擇因子，概率都是，對母系也一樣．父系?母系各自隨機選擇得到的遺傳因子再配對形成子代的遺傳性狀．假設(shè)三種遺傳性狀，(或)，在父系和母系中以同樣的比例：出現(xiàn)，則在隨機雜交實驗中，遺傳因子被選中的概率是，遺傳因子被選中的概率是．稱，分別為父系和母系中遺傳因子和的頻率，實際上是父系和母系中兩個遺傳因子的個數(shù)之比．基于以上常識回答以下問題：（1）如果植物的上一代父系?母系的遺傳性狀都是，后代遺傳性狀為，(或)，的概率各是多少？（2）對某一植物，經(jīng)過實驗觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀具有重大缺陷，可人工剔除，從而使得父系和母系中僅有遺傳性狀為和(或)的個體，在進行第一代雜交實驗時，假設(shè)遺傳因子被選中的概率為，被選中的概率為，．求雜交所得子代的三種遺傳性狀，(或)，所占的比例．（3）繼續(xù)對（2）中的植物進行雜交實驗，每次雜交前都需要剔除性狀為的個體假設(shè)得到的第代總體中3種遺傳性狀，(或)，所占比例分別為．設(shè)第代遺傳因子和的頻率分別為和，已知有以下公式．證明是等差數(shù)列．（4）求的通項公式，如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機雜交實驗長期進行下去，會有什么現(xiàn)象發(fā)生？19．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線為，試求實數(shù)，的值；（2）當(dāng)時，若有兩個極值點，，且，，若不等式恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，點在線段上，且平面．（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．21．（12分）已知函數(shù)（為實常數(shù)）.（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，是矩形，的頂點在邊上，點，分別是，上的動點（的長度滿足需求）.設(shè)，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由題意，代入解方程即可得解.【詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【點睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.2．D【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項的正誤即可．【詳解】當(dāng)時，．所以數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列，，所以，，．，，．故選：．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．3．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)乘法運算化簡可得，所以由復(fù)數(shù)定義可知，解得，故選：A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

求出二項式的展開式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項式展開式的通式為，令，解得，則常數(shù)項為.故選：A.【點睛】本題考查二項式定理指定項的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項展開式的通式，是基礎(chǔ)題.5．C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時，因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.6．D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由題意得出，進而可求得實數(shù)的值，并對的值進行檢驗，即可得出結(jié)果.【詳解】，則，，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若函數(shù)的零點不為，則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，不合題意.所以，，即，解得或.①當(dāng)時，令，得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：此時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，不合乎題意；②當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則函數(shù)有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出，在求出參數(shù)后要對參數(shù)的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7．B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對稱，即可得到的單調(diào)區(qū)間，利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上遞增，所以要使，則有，變形可得，解可得：或，即的取值范圍為；故選：B．【點睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題。8．C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，，，故選：C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關(guān)鍵點.本題屬中檔題.9．D【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得，因為，當(dāng)時，，故選D．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．B【解析】

設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，由得，將直線的方程代入韋達定理，求得，結(jié)合的面積求得的值，結(jié)合焦點弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，，，，，，，，可得，，拋物線的準線與軸交于，的面積為，解得，則拋物線的方程為，所以，.故選：B.【點睛】本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.11．C【解析】

解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】由，解得或.因為或，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出，然后計算．【詳解】，∴．故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)點為，由拋物線定義知，，求出點P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到的關(guān)系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因為點P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設(shè)點為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因為a2+b2=4，解得a=1，b=，因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點到直線的距離公式可得，點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì)；考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活運用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.14．【解析】

根據(jù)均值不等式得到，，根據(jù)等號成立條件得到直線的傾斜角為，計算得到直線方程.【詳解】由橢圓，可知，，，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立），，，，，直線的傾斜角為，直線的方程為.故答案為：.【點睛】本題考查了拋物線，橢圓，直線的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.15．【解析】由圖可知，當(dāng)直線y＝kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時，y＝kx與y＝f(x)的圖像有兩個不同交點，即方程有兩個不相同的實根．16．【解析】

根據(jù)并集的定義計算即可.【詳解】由集合的并集，知.故答案為：【點睛】本題考查集合的并集運算，屬于容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（1）見證明【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（1）問題轉(zhuǎn)化為證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根據(jù)xlnx≤x（x﹣1），問題轉(zhuǎn)化為只需證明當(dāng)x＞0時，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】（1），，當(dāng)，，當(dāng)，，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（1）要證f（x）+1＜ex﹣x1．即證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，先證明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，則h′（x）＝，易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”，故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1，故只需證明當(dāng)x＞0時，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），則k′（x）＝ex﹣4x+1，令F（x）＝k′（x），則F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝1ln1，∵F′（x）遞增，故x∈（0，1ln1]時，F(xiàn)′（x）≤0，F(xiàn)（x）遞減，即k′（x）遞減，x∈（1ln1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增，即k′（x）遞增，且k′（1ln1）＝5﹣8ln1＜0，k′（0）＝1＞0，k′（1）＝e1﹣8+1＞0，由零點存在定理，可知?x1∈（0，1ln1），?x1∈（1ln1，1），使得k′（x1）＝k′（x1）＝0，故0＜x＜x1或x＞x1時，k′（x）＞0，k（x）遞增，當(dāng)x1＜x＜x1時，k′（x）＜0，k（x）遞減，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x1），由k′（x1）＝0，得＝4x1﹣1，k（x1）＝﹣1+x1﹣1＝﹣（x1﹣1）（1x1﹣1），∵x1∈（1ln1，1），∴k（x1）＞0，故x＞0時，k（x）＞0，原不等式成立．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18．（1），(或)，的概率分別是，，．（2）（3）答案見解析（4）答案見解析【解析】

（1）利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.（2）利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.（3）由（2）知，求出、，利用等差數(shù)列的定義即可證出.（4）利用等差數(shù)列的通項公式可得，從而可得，再由，利用式子的特征可得越來越小，進而得出結(jié)論.【詳解】（1）即與是父親和母親的性狀，每個因子被選擇的概率都是，故出現(xiàn)的概率是，或出現(xiàn)的概率是，出現(xiàn)的概率是所以：，(或)，的概率分別是，，（2）（3）由（2）知于是∴是等差數(shù)列，公差為1（4）其中，(由（2）的結(jié)論得)所以于是，很明顯，越大，越小，所以這種實驗長期進行下去，越來越小，而是子代中所占的比例，也即性狀會漸漸消失．【點睛】本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項公式，考查了學(xué)生的分析能力，屬于中檔題，19．（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)題意，求得的值，根據(jù)切點在切線上以及斜率等于，構(gòu)造方程組求得的值；（2）函數(shù)有兩個極值點，等價于方程的兩個正根，，不等式恒成立，等價于恒成立，，令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到的范圍，即的范圍.【詳解】（1）由題可知，，，聯(lián)立可得．（2）當(dāng)時，，，有兩個極值點，，且，，是方程的兩個正根，，，不等式恒成立，即恒成立，，由，，得，，令，，在上是減函數(shù)，，故．【點睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值點的個數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域得到參數(shù)的取值范圍，屬于較難題目.20．見解析【解析】

（1）如圖，連接，交于點，連接，，則為的中點，因為為的中點，所以，又，所以，從而，，，四點共面．因為平面，平面，平面平面，所以．又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以（2）因為