數(shù)字信號(hào)處理-課件 第8章 無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

第8章無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)§8-6IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較§8-8本章總復(fù)習(xí)§8-5FIR濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)§8-2FIR線性相位濾波器的特點(diǎn)§8-1引言點(diǎn)擊進(jìn)入目錄§8-4頻率抽樣設(shè)計(jì)法§8-3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法2024/12/2213:2838.1引言IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可以利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)和結(jié)果，模擬濾波器的設(shè)計(jì)有成熟的數(shù)學(xué)方法和現(xiàn)成的圖表可查，簡(jiǎn)單方便。IIR濾波器的主要缺點(diǎn)是難以實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位特性.線性相位濾波器應(yīng)用廣泛,如音樂廳的聲音傳輸系統(tǒng)、圖像和通信傳輸系統(tǒng)在內(nèi)的很多應(yīng)用系統(tǒng)常常要求具有嚴(yán)格的線性相位特性。FIR濾波器由于可實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位而具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，線性相位濾波器不會(huì)改變輸入信號(hào)的形狀，只是將信號(hào)延遲了若干個(gè)抽樣間隔.

FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)為有限長(zhǎng)序列，既具有恒定的穩(wěn)定性，又可以采用FFT算法提高運(yùn)算效率和實(shí)時(shí)性.2024/12/2213:2848.1引言

另外，經(jīng)過足夠的延時(shí)，一個(gè)非困果有限長(zhǎng)序列能成為因果有限長(zhǎng)序列，可以采用因果系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。

FIR濾波器的不足之處是，對(duì)于同樣的衰減特性，F(xiàn)IR濾波器的系統(tǒng)階數(shù)比IIR濾波器系統(tǒng)階數(shù)要高很多.

由于系統(tǒng)函數(shù)H(z)結(jié)構(gòu)的不同，IIR濾波器設(shè)計(jì)中的各種變換方法對(duì)FIR濾波器是不適用的。

線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)主要包括窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、頻率抽樣法和最優(yōu)化設(shè)計(jì)法。8.2FIR線性相位濾波器的特點(diǎn)FIR濾波器是非遞歸型線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)序列，它的z變換為

FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的主要特點(diǎn)如下：（1）H(z)是關(guān)于z-1的（N-1）階多項(xiàng)式；（2）系統(tǒng)函數(shù)在有限z平面上有（N-1）個(gè)零點(diǎn)，零點(diǎn)可以分布于z平面的任意位置；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在原點(diǎn)z=0處有（N-1）階重極點(diǎn)。概述8.2.1線性相位應(yīng)滿足的條件h(n)對(duì)應(yīng)的z變換為H(z)，其頻率響應(yīng)為實(shí)際濾波器系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)為實(shí)序列，因此有θ(ω)具有如下兩種類型的線性相位：式中，α,β均為常數(shù)(1)θ(ω)=-αω

(2)θ(ω)=β-αω兩類線性相位的群延遲都為常數(shù)為:1．第一類線性相位條件滿足式（1）的線性相位特性的系統(tǒng)稱為第一類線性相位濾波器或第一類線性相位系統(tǒng)，即濾波器具有經(jīng)過原點(diǎn)的線性相位特性。因此,第一類線性相位（過原點(diǎn)的線性相位）濾波器的h(n)具有如下關(guān)系:將線性相位條件代入頻率響應(yīng)表達(dá)式,可得:化簡(jiǎn)可得即線性相位濾波器必須滿足如下條件這是FIR濾波器具有第一類線性相位（相位特性過原點(diǎn)的線性相位）的充分必要條件，即:（1）延時(shí)α等于h(n)長(zhǎng)度N-1的一半，即α=(N-1)/2；（2）濾波器的h(n)偶對(duì)稱，并以n=(N-1)/2為對(duì)稱中心.N為奇數(shù)時(shí)，延時(shí)α為整數(shù)；N為偶數(shù)時(shí)，延時(shí)為整數(shù)加半個(gè)抽樣周期。0≤n≤N-12．第二類線性相位條件滿足式（2）所示的線性相位特性稱為第二類線性相位濾波器或第二類線性相位系統(tǒng)，該類型的濾波器相位特性在縱軸上經(jīng)過±π/2。代入線性相位條件,可得:化簡(jiǎn)可得因此,線性相位濾波器必須滿足如下條件0≤n≤N-1這是FIR濾波器具有第二類線性相位的充分必要條件（1）延時(shí)α等于h(n)長(zhǎng)度N-1的一半，即α=(N-1)/2；（2）β=±(π/2)，表明此時(shí)除具有線性相位之外，還有±π/2的固定相移.(3)h(n)奇對(duì)稱，并以n=(N-1)/2為奇對(duì)稱中心。由于h(n）具有奇對(duì)稱性，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)有：根據(jù)h(n)的對(duì)稱性和N的奇偶情況，可以分為:h(n)偶對(duì)稱（N為奇數(shù)和偶數(shù)）h(n)奇對(duì)稱（N為奇數(shù)和偶數(shù)）如圖8-1(a)~(d)分別是四種對(duì)稱情況時(shí)h(n)的波形.

h(n)的四種對(duì)稱關(guān)系分別對(duì)應(yīng)四種類型的FIR線性相位數(shù)字濾波器.8.2.2線相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的特點(diǎn)1.h(n)偶對(duì)稱根據(jù)線性相位條件可得頻率響應(yīng)為：歐拉公式并結(jié)合h(n)偶對(duì)稱特點(diǎn)，化簡(jiǎn)可得幅值響應(yīng)函數(shù)為：相位特性為：因此，濾波器具有嚴(yán)格的線性相位，并具有(N-1)/2個(gè)抽樣間隔的延時(shí)。h(n)偶對(duì)稱時(shí)的相位特性2.h(n)奇對(duì)稱這時(shí)，頻率響應(yīng)為根據(jù)歐拉公式并結(jié)合h(n)奇對(duì)稱的特點(diǎn)可得幅值響應(yīng)函數(shù)為相位特性為：h(n)奇對(duì)稱時(shí)，F(xiàn)IR濾波器具有準(zhǔn)確的線性相位，并具有(N-1)/2個(gè)抽樣間隔的延時(shí)，而且還產(chǎn)生900的相移，此時(shí)，F(xiàn)IR濾波器是一個(gè)具有準(zhǔn)確的線性相位的理想正交變換網(wǎng)絡(luò)。ω=0時(shí)，θ(ω)=π/2，即相位響應(yīng)除線性相位項(xiàng)之外，還包含了π/2相移，如下圖所示。能使所有頻率產(chǎn)生900相移的網(wǎng)絡(luò)，稱為正交變換網(wǎng)絡(luò)，又稱為900移相器、希爾伯特（Hilbert）變換器。8.2.3幅值函數(shù)的特點(diǎn)根據(jù)h(n)的對(duì)稱性和N的奇偶情況，可以按h(n)的四種情況對(duì)H(ω)的特點(diǎn)進(jìn)行討論。1.I型線性相位：h(n)偶對(duì)稱，N為奇數(shù)h(n)偶對(duì)稱，N為奇數(shù)時(shí)的線性相位FIR濾波器稱為I型線性相位濾波器。h(n)偶對(duì)稱時(shí)，其幅值響應(yīng)如下幅值函數(shù)可表示為式中h(n)為偶對(duì)稱，N為奇數(shù)時(shí)，幅值函數(shù)具有如下特點(diǎn)：（1）H(ω)關(guān)于ω=0，π，2π偶對(duì)稱性。（2）I型線性相位濾波器可以用于設(shè)計(jì)任意形式的FIR濾波器。2.II型線性相位：h(n)偶對(duì)稱，N為偶數(shù)h(n)偶對(duì)稱，N為偶數(shù)時(shí)的線性相位FIR濾波器稱為II型線性相位濾波器。h(n)偶對(duì)稱時(shí)，無(wú)論N為奇數(shù)還是偶數(shù)，其幅值響應(yīng)函數(shù)為如下形式：上式可簡(jiǎn)化為式中當(dāng)h(n)偶對(duì)稱、N為偶數(shù)時(shí)，H(ω)具有如下特點(diǎn)：（1）當(dāng)ω=π時(shí)，cos[ω[n-(1/2)]]，即H(π)=0，即H(z)在z=-1處有一階零點(diǎn)；（2）H(ω)關(guān)于ω=π奇對(duì)稱，關(guān)于ω=0，2π偶對(duì)稱.II型濾波器不能用于設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器;這是因?yàn)?，幅值響?yīng)H(π)=0，而高通和帶阻濾波器則要求ω=π時(shí)，幅值響應(yīng)H(ω)≠0.3.

III型線性相位：h(n)奇對(duì)稱，N為奇數(shù)h(n)奇對(duì)稱，N為奇數(shù)時(shí)的線性相位FIR濾波器稱為III型線性相位濾波器。幅值函數(shù)H(ω)如下：幅值函數(shù)H(ω)可簡(jiǎn)化為式中（1）當(dāng)ω=0，π，2π時(shí)，H(ω)=0，即系統(tǒng)函數(shù)H(z)在z=±1處均為零點(diǎn)。（2）H(ω)在ω=0，π，2π具有奇對(duì)稱性。h(n)奇對(duì)稱，N為奇數(shù)，H(ω)具有如下特點(diǎn)III型濾波器不能用于低通或高通，只能用于帶通濾波器。4.

Ⅳ型線性相位：h(n)奇對(duì)稱，N為偶數(shù)h(n)奇對(duì)稱，N為偶數(shù)時(shí)的線性相位FIR濾波器稱為Ⅳ型線性相位濾波器。因此幅值函數(shù)如下：可進(jìn)一步簡(jiǎn)化表示為如下形式式中h(n)奇對(duì)稱，N為偶數(shù)，H(ω)具有如下特點(diǎn)：（1）當(dāng)ω=0，2π時(shí)，H(ω)=0，H(z)在z=1處為零點(diǎn)。（2）H(ω)在ω=0，2π奇對(duì)稱，在ω=π處具有偶對(duì)稱性。

Ⅳ型濾波器不能用于設(shè)計(jì)低通和帶阻濾波器。h(n)奇對(duì)稱性時(shí)，濾波器具有90度相移特性，因此，第III種和第Ⅳ種FIR線性相位濾波器可以在微分器及900移相器中使用。7.2.4線性相位濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)1．系統(tǒng)函數(shù)H(z)零極點(diǎn)的作用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)是微分方程的特征根，它決定了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，而且在強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)(即零初始條件響應(yīng))時(shí)也會(huì)包含自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)可以受輸入函數(shù)的激發(fā)，在輸出響應(yīng)中形成自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。當(dāng)零點(diǎn)和極點(diǎn)互相接近時(shí)，可以一定程度上抵消極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模態(tài)分量，可降低響應(yīng)的超調(diào)量，但同時(shí)也會(huì)使響應(yīng)速度變慢。在輸出響應(yīng)中，與零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一類輸入函數(shù)的模態(tài)分量為0，即零點(diǎn)對(duì)該類輸入函數(shù)具有阻塞作用。2．FIR濾波器零點(diǎn)分布規(guī)律線性相位FIR數(shù)字濾波器，不僅具有線性相位、恒定的穩(wěn)定性等特點(diǎn)，其零點(diǎn)分布也具有相應(yīng)的規(guī)律。（1）若z=zi是H(z)的零點(diǎn)，則必有如果z=zi是H(z)的零點(diǎn)，則1/zi也是其零點(diǎn)。（2）若H(zi)=0，則由于實(shí)際FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)為實(shí)數(shù)，即H(z)是關(guān)于z或z-1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式理論，若H(z)的零點(diǎn)為復(fù)數(shù)，則必有其共軛復(fù)數(shù)的零點(diǎn)存在。

若z=zi是H(z)的零點(diǎn)，則、(zi)*、1/zi和(1/zi)*均為系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零點(diǎn)。zi、(zi)*、1/zi和(1/zi)*零點(diǎn)四階組。3．零點(diǎn)分布情況根據(jù)上述分析可知，F(xiàn)IR線性相位數(shù)字濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)是互為倒數(shù)的共軛對(duì)，即零點(diǎn)具有共軛鏡像關(guān)系。這種互為倒數(shù)的共軛對(duì)有如下四種可能性。1）非實(shí)軸、非單位圓上的零點(diǎn)若零點(diǎn)zi既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上，則zi可表示為:式中，零點(diǎn)的分布如下圖所示，為兩對(duì)互為倒數(shù)的共軛零點(diǎn)出現(xiàn)零點(diǎn)四階組時(shí)，基本因式為：（a）非實(shí)軸、非單位圓零點(diǎn)上式中（2）單位圓上、非實(shí)軸上的零點(diǎn)零點(diǎn)zi在單位圓上，但不在實(shí)軸上，即r≠1，θi≠0或π，這時(shí)零點(diǎn)的共軛復(fù)數(shù)也等于其倒數(shù)，因而此時(shí)必為一對(duì)共軛零點(diǎn)，其分布情況如圖8-5(b)所示（b）單位圓上、非實(shí)軸上零點(diǎn)這種情況的基本因式為：（3）實(shí)軸上、非單位圓上的零點(diǎn)零點(diǎn)zi在實(shí)軸上，但不在單位圓上，即r≠1，θi=0或π，顯然，這時(shí)零點(diǎn)為實(shí)數(shù)、不是復(fù)數(shù),而且零點(diǎn)存在倒數(shù),其倒數(shù)也是實(shí)數(shù)，這時(shí)零點(diǎn)的分布情況如圖8-5(c)所示式中:取“+”號(hào)時(shí)，θi=π，零點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸上；

取“—”號(hào)時(shí)，θi=

0，零點(diǎn)在正實(shí)軸上。（c）實(shí)軸上非單位圓上零點(diǎn)這時(shí)的基本因式為（4）在實(shí)軸上、在單位圓上的零點(diǎn)零點(diǎn)zi既在實(shí)軸上也，在單位圓上，即r=1，θi=0或π，這時(shí)零點(diǎn)僅具有兩種可能，即這時(shí)，零點(diǎn)的分布如圖8-5(d)所示，零點(diǎn)為實(shí)數(shù)，而不是復(fù)數(shù)，故沒有共軛零點(diǎn)，均為單個(gè)零點(diǎn)。因此，系統(tǒng)函數(shù)包含的基本因式為：（d）實(shí)軸且單位圓上零點(diǎn)

根據(jù)已知條件求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

已知某線性相位FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且已知系統(tǒng)函數(shù)在z=1和z=0.5ejπ/3處各有一個(gè)單零點(diǎn)，濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)在0≦n≦5均為實(shí)數(shù)值，n取其他值時(shí)h(n)=0。試求該線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解：例1（1）由于濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)為實(shí)數(shù)，根據(jù)z=0.5ejπ/3處有零點(diǎn)，則必有另一個(gè)共軛零點(diǎn)z=0.5e-jπ/3，即系統(tǒng)函數(shù)包含如下因式：（2）根據(jù)零點(diǎn)的鏡像位置關(guān)系，即非單位原非實(shí)軸上的零點(diǎn)，其倒數(shù)依然是零點(diǎn)，因此，系統(tǒng)函數(shù)還包含如下因式：（3）系統(tǒng)在z=1處有單零點(diǎn)，為實(shí)數(shù)零點(diǎn)，且在實(shí)軸上，也在單位元上，因此，系統(tǒng)函數(shù)包含如下因式：由此可得，該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為:根據(jù)上述分析可知，F(xiàn)IR線性相位濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)只可能是由以上這四種因式的組合而成。若將系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)分布與四種類型FIR線性相位濾波器結(jié)合起來(lái)，則可得出:II型濾波器，由于H(π)=0，必有單根z=-1；III型濾波器，由于H(0)=H(π)=0，則必有zi=±1兩個(gè)零點(diǎn)；Ⅳ型濾波器，由于H(0)=0，則必有單根z=1.掌握了FIR線性相位濾波器的基本特性，就可根據(jù)技術(shù)指標(biāo)要求設(shè)計(jì)符合需求的各種類型的FIR濾波器。2024/12/2213:28378-3窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

(DesignofFIRFiltersusingWindowFunction)是有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(FIR)濾波器的一種重要設(shè)計(jì)方法；它的基本思想是從理想濾波器的頻率特性入手，通過序列的傅立葉逆變換求出其單位抽樣響應(yīng)hd(n)；該hd(n)為無(wú)限長(zhǎng)單位抽樣響應(yīng)，經(jīng)過加窗(即窗函數(shù))直接截短為有限長(zhǎng)序列，作為設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng);窗函數(shù)在很大程度上決定著濾波器的性能，因此稱為窗函數(shù)設(shè)計(jì)法。概述：2024/12/2213:2838理想的頻率響應(yīng)Hd(ejω)，設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器，使其頻率響應(yīng)H(ejω)逼近理想頻率響應(yīng)Hd(ejω).8-3窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器8.3.1設(shè)計(jì)方法1．基本原理

Hd(ejω)在邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn)，因此hd(n)是無(wú)限長(zhǎng)的，且是因果的。為得到有限長(zhǎng)序列，最有效的方法是加窗函數(shù)w(n)對(duì)hd(n)進(jìn)行截短2024/12/2213:2839對(duì)Hd(ejω)進(jìn)行傅立葉逆變換可得：以理想低通濾波器為例分析窗函數(shù)法理想濾波器幅值響應(yīng)函數(shù)如下：2024/12/2213:2840將hd(n)截取長(zhǎng)度為N的一段，構(gòu)成h(n)設(shè)計(jì)線性相位濾波器，必須滿足對(duì)稱性要求對(duì)稱中心:對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序列hd(n)加矩形窗函數(shù)RN（n）進(jìn)行截短，得到有限長(zhǎng)序列h(n)，設(shè)窗函數(shù)統(tǒng)一用W(n)表示，若加矩形窗，則有：2024/12/2213:2841窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的頻域影響時(shí)域加窗對(duì)hd(n)截短以后，濾波器h(n)已符合FIR線性相位濾波器的對(duì)稱性約束條件，那么對(duì)應(yīng)的幅值特性H(ejω)是否能充分逼近Hd(ejω)呢？接下來(lái)分析經(jīng)加窗截短后對(duì)頻率響應(yīng)所產(chǎn)生的影響。頻域卷積根據(jù)上式可知，

H(ejω)能否充分逼近Hd(ejω)以及逼近的精度，完全取決于窗函數(shù)WR(ejω)的頻率特性。2024/12/2213:28422．加窗對(duì)H(ejω)的影響矩形窗是一種常用的窗函數(shù)，現(xiàn)以矩形窗截短為例，分析加窗運(yùn)算對(duì)濾波器頻率特性所產(chǎn)生的影響。矩形窗矩形窗頻譜矩形窗幅值2024/12/2213:2843FIR濾波器的幅頻特性H(ω)能否充分逼近理想濾波器的幅值特性以及逼近誤差，完全取決于窗函數(shù)W(ω)的頻率特性。接下來(lái)分析加窗后的卷積積分過程2024/12/2213:2844理想低通與矩形窗頻譜函數(shù)卷積過程2024/12/2213:2845加窗對(duì)H(ω)的影響在理想特性不連續(xù)點(diǎn)ωc附近形成過渡帶,過渡帶寬度近似等于WR(θ)主瓣寬度,Δω=4π/N

通帶內(nèi)增加了波動(dòng)，最大峰值在ωc-2π/N

處,阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大負(fù)峰在ωc+2π/N處,通帶與阻帶中的波動(dòng)情況與窗函數(shù)幅值譜有關(guān),WR(θ)波動(dòng)愈快(加大時(shí))，通帶與阻帶內(nèi)波動(dòng)愈快，WR(θ)旁瓣的大小直接影響波動(dòng)的大小.這些影響是對(duì)hd(n)加矩形窗引起的，稱之為吉布斯效應(yīng)。

2024/12/2213:2846減小吉布斯效應(yīng)的方法

增加矩形窗的寬度N不能減少吉布斯效應(yīng)。

N的改變只能改變?chǔ)刈鴺?biāo)的比例和WR(ω)的絕對(duì)大小，不能改變主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值。加大N并不是減少吉布斯效應(yīng)的有效方法。尋找合適的窗函數(shù)，使頻譜的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣的幅度就變小了；旁瓣的減少可使通帶與阻帶波動(dòng)減少，從而加大阻帶的衰減。但這樣是以過渡帶寬度增加為代價(jià)的。2024/12/2213:2847矩形窗三角（Bartlett）窗漢寧（Hanning）窗海明（Hamming）窗布萊克曼（Blackman）窗凱澤（Kaiser）窗8.3.2常用窗函數(shù)加矩形窗產(chǎn)生了8.95%的正負(fù)峰值，根據(jù)過渡帶右側(cè)的這一負(fù)峰值數(shù)據(jù)，可計(jì)算出加矩形窗時(shí)，阻帶可達(dá)到的衰減為-21dB，這個(gè)衰減在濾波器的實(shí)際應(yīng)用中往往偏小。根據(jù)卷積積分原理，如果選擇矩形窗，當(dāng)窗譜接近于沖激函數(shù)時(shí)，H(ω)可充分逼近Hd(ω)，這相當(dāng)于窗的寬度為無(wú)限寬，相當(dāng)于不加窗截短，在工程設(shè)計(jì)中不可操作。為了增加FIR濾波器的阻帶衰減特性，必須選擇合適的窗函數(shù)。2024/12/2213:2848（1）矩形窗102024/12/2213:2849（2）三角（Bartlett）窗1012342024/12/2213:2850（3）漢寧（Hanning）窗2024/12/2213:2851（4）海明（Hamming）窗2024/12/2213:2852（5）布萊克曼（Blackman）窗2024/12/2213:2853（6）凱澤（Kaiser）窗2024/12/2213:2854常用窗函數(shù)的波形2024/12/2213:2855常用窗函數(shù)的頻譜

2024/12/2213:2856給出理想濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)根據(jù)允許的阻帶衰減及過渡帶寬度，確定窗函數(shù)和N計(jì)算hd(n)

如果Hd(ejω)不能用簡(jiǎn)單函數(shù)表示，可以用求和代替積分。8.3.3窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟2024/12/2213:2857將hd(n)與窗函數(shù)相乘得FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)計(jì)算FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，并驗(yàn)證是否達(dá)到所要求的指標(biāo)8.3.3窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟2024/12/2213:2858用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR低通濾波器，設(shè)N=11，ωc=0.2

rad

例28.3.4濾波器設(shè)計(jì)舉例解：理想數(shù)字低通濾波器求hd(n)2024/12/2213:2859因此，設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)為:例28.3.4濾波器設(shè)計(jì)舉例2024/12/2213:2860不同窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR濾波器

用矩形窗時(shí)過渡帶最窄，而阻帶衰減最小;布萊克曼窗過渡帶最寬，但阻帶衰減加大;為保證有同樣的過渡帶，必須加大窗口長(zhǎng)度N2024/12/2213:2861窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)計(jì)線性相位FIR低通濾波器，給定參數(shù)如下:Ωs=2

×1.5×104(rad/sec);Ωp=2

×1.5×103(rad/sec);阻帶起始頻率:Ωst=2

×3×103(rad/sec);阻帶衰減不小于-50dB,幅度特性如下圖所示:例32024/12/2213:2862解:(1)由模擬頻率求數(shù)字頻率通帶截止頻率:例3阻帶截止頻率:阻帶衰減即:可刪除此框內(nèi)容可刪除此框內(nèi)容窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器2024/12/2213:2863例3理想低通濾波器過度帶截止頻率:(2)求hd(n)設(shè)hd(ejω)為理想線性相位濾波器窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器2024/12/2213:2864由此可得:例3其中,為線性相位所必須的相移窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器2024/12/2213:2865例3由于海明窗過度帶寬度:(3)求窗函數(shù)50dB:海明窗由δ2確定窗的形狀,由過度帶寬度確定N過度帶寬度:窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器2024/12/2213:2866例3(4)求h(n)海明窗:由海明窗確定FIR濾波器的h(n)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器67例3(4)求h(n)(續(xù))所以:(5)由h(n)求H(ejω)檢驗(yàn)各指標(biāo)是否滿足設(shè)計(jì)要求,如達(dá)到要求,設(shè)計(jì)結(jié)束.若未達(dá)到要求,改變窗的參數(shù)重新設(shè)計(jì).窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器68例3

Hd(ejω)的幅值特性如下圖所示各指標(biāo)滿足設(shè)計(jì)要求,設(shè)計(jì)結(jié)束.窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器本例為FIR低通濾波器設(shè)計(jì)，對(duì)于FIR高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等不同類型的濾波器，窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的原理和方法類似，不同點(diǎn)只是理想濾波器的解析表達(dá)式不同，詳細(xì)過程閱讀教材相關(guān)內(nèi)容。2024/12/2213:2869

應(yīng)用Matlab函數(shù)fir1實(shí)現(xiàn)

窗函數(shù)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器

1）函數(shù)fir1的調(diào)用格式:

b=fir1(n,Wc,'ftype',Windows)n:濾波器階數(shù)，Wc:截止頻率Ftype:濾波器類型，ftype=high，高通FIR濾波器;ftype=stop，帶阻FIR濾波器Windows:窗函數(shù)類型，默認(rèn)為Hamming窗；可選boxcar、bartlett、Hanning、Hamming、Blackman、triangle窗。例42024/12/2213:2870

2)Matlab設(shè)計(jì)butterworth低通濾波器

設(shè)計(jì)15階FIR低通濾波器，截止頻率為0.2π。

b=fir1(15,0.2);freqz(b,1,512);例4函數(shù)freqz(b,a,N)用于計(jì)算由a和b構(gòu)成的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，并用圖形方式分別表示其幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。2024/12/2213:2871

程序運(yùn)行結(jié)果

本例程序運(yùn)行結(jié)果如下所示：例48.3.5窗函數(shù)法的主要問題從窗函數(shù)法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的實(shí)例可以看出，窗函數(shù)法過程較簡(jiǎn)單，通?？梢郧蟪鼋馕霰磉_(dá)式，性能和參數(shù)有表格可查，采用程序設(shè)計(jì)時(shí)，流程清晰，代碼簡(jiǎn)潔明了，使用方便。窗函數(shù)法應(yīng)用非常廣泛，但也存在如下問題：（1）若衰減特性要求不高，矩形窗應(yīng)用廣泛，設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單快速，但一般不是最佳設(shè)計(jì)。（2）當(dāng)理想濾波器性能Hd(ejω)很復(fù)雜或不能直接計(jì)算出hd(n)時(shí)，則用求和代替積分，這實(shí)際上相當(dāng)于在積分區(qū)間內(nèi)對(duì)Hd(ejω)進(jìn)行均勻采樣，用這個(gè)采樣序列的離散傅立葉逆變換作為hd(n)的估計(jì)值，這時(shí)要求采樣點(diǎn)越密集效果越好，但過多的采樣點(diǎn)數(shù)會(huì)增大計(jì)算量，而過少的采樣點(diǎn)數(shù)又會(huì)影響精度，因此，需要根據(jù)具體要求綜合衡量，但一般情況下，采樣點(diǎn)數(shù)至少不少于N。8.3.5窗函數(shù)法的主要問題（3）采用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器不能實(shí)現(xiàn)對(duì)通帶和阻帶截止頻率的精確控制。（4）窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器具有通帶、阻帶最大波紋相等的特性，二者不能分別控制，通帶和阻帶的波紋越靠近過渡帶，其波動(dòng)幅度越大。采用窗函數(shù)法進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)時(shí)一般按最大波紋參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，這就意味著阻帶內(nèi)其他頻率處遠(yuǎn)超設(shè)計(jì)指標(biāo)，因此，窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的濾波器既不是最經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)，也不是最優(yōu)設(shè)計(jì)。2024/12/2213:28748-4頻域抽樣法設(shè)計(jì)法8.4.1頻率抽樣法基本原理窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)原理是從時(shí)域出發(fā)，在時(shí)域直接設(shè)計(jì)FIR線性相位數(shù)字濾波器，即對(duì)理想hd(n)用某一形狀的窗函數(shù)截短為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列h(n)，以該頻率響應(yīng)H(ejω)逼近理想的頻率響應(yīng)Hd(ejω)。頻率取樣法

(DesignbyFrequencySampling)是FIR濾波器的另一種重要設(shè)計(jì)方法，該設(shè)計(jì)法依據(jù)頻域抽樣理論，對(duì)給定的理想頻率特性進(jìn)行抽樣，從抽樣點(diǎn)中恢復(fù)原來(lái)的頻率特性，達(dá)到設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的目的。2024/12/2213:2875頻率抽樣法直接在頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)；在[0,2

]范圍內(nèi)對(duì)理想濾波器Hd(ejω)進(jìn)行N點(diǎn)等間隔抽樣，使H(ejω)在抽樣點(diǎn)上與Hd(ejω)的抽樣值相等，然后根據(jù)頻域抽樣值求實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器的頻率特性H(ejω).即：1．設(shè)計(jì)原理并以此Hd(k)作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值H(k)，即令因此有

求出頻域序列H(k)以后，對(duì)H(k)進(jìn)行DFT逆變換，求出時(shí)域有限長(zhǎng)序列h(n)。

根據(jù)頻域抽樣內(nèi)插公式可知，利用頻域抽樣的N個(gè)抽值H(k)也可求出FIR濾波器的單位抽樣相應(yīng)h(n)和系統(tǒng)函數(shù)H(z)以及頻率響應(yīng)H(ejω)2024/12/2213:2877根據(jù)插值公式頻率響應(yīng)

根據(jù)內(nèi)插公式可知，在頻域各抽樣點(diǎn)上,波器的實(shí)際頻率響應(yīng)與理想濾波器的頻率響應(yīng)值完全相等，即k=0，1，2，…，N-1而在抽樣點(diǎn)之間，其頻率響應(yīng)則是各抽樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的疊加，與理想濾波器的實(shí)際值存在一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的波形密切相關(guān)。若理想幅值響應(yīng)的曲線出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍性波動(dòng)，例如理想低通濾波器，則內(nèi)插值與理想幅值響應(yīng)的誤差就較大，如下圖所示。若抽樣點(diǎn)之間的理想幅值響應(yīng)曲線變化平緩，則內(nèi)插值與理想幅值響應(yīng)值的逼近誤差就較小。因此，在理想幅值響應(yīng)特性的不連續(xù)點(diǎn)附近，會(huì)出現(xiàn)逼近誤差的峰值，除峰值現(xiàn)象之外，在通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)，還會(huì)產(chǎn)生小幅振動(dòng)或波動(dòng)。2．線性相位約束條件采用頻率抽樣法設(shè)計(jì)FIR線性相位濾波器，其抽樣值H(k)的幅值和相位應(yīng)符合線性相位的相關(guān)約束條件。（1）第一類FIR線性相位濾波器h(n)偶對(duì)稱，N為奇數(shù)2024/12/2213:2880當(dāng)h(n)是偶對(duì)稱，h(n)=h(N-n-1)，N為奇數(shù)。H(ω)是偶對(duì)稱的對(duì)H(ejω)在[0,2

]范圍內(nèi)等間隔地抽樣N個(gè)點(diǎn)即（2）第二類FIR線性相位濾波器h(n)偶對(duì)稱，N為偶數(shù)幅值函數(shù)H(ω)具有奇對(duì)稱性，即H(ω)關(guān)于ω=0,π,2π奇對(duì)稱H(ω)=-H(2π-ω)由此可得，Hk也滿足奇對(duì)稱性，即由此也可得出,第三類和第四類線性相位濾波器的條件.8.4.2線性相位第一種頻率抽樣對(duì)Hd(ejω)進(jìn)行頻率抽樣，即在z平面單位圓上的N個(gè)等間隔點(diǎn)上對(duì)頻率響應(yīng)抽樣,有兩種抽樣方式。1.第一種方式(I型頻率抽樣)第一個(gè)抽樣點(diǎn)在ω=0處，如下圖所示。第一種頻率抽樣2.第二種方式(II型頻率抽樣)第二種頻率抽樣第一個(gè)抽樣點(diǎn)在ω=π/N處，如下圖所示;每種抽樣方式都包括N為偶數(shù)和N為奇數(shù)兩種情況。第一種頻率抽樣又稱為I型頻率抽樣，本章前面分析的抽樣方式就是第一種頻率抽樣，即由于實(shí)際系統(tǒng)的單位抽樣h(n)為實(shí)數(shù)，因此可得:從幾何意義上看，由于等間隔分布在N等分的單位圓上，雖然H(N)=H(0)，但有限長(zhǎng)序列隱含有周期性，H(N)是下一周期的起始值。由此可得|H(k)|=|H(N-k)|θ(k)=-

θ(N-k)根據(jù)線性相位數(shù)字濾波器的相位約束條件：因此，頻率抽樣中抽樣點(diǎn)的位置θ(k)、頻率抽樣值H(k)及頻率響應(yīng)的解析表達(dá)式如下：（1）若N為奇數(shù)（2）若N為偶數(shù)頻率抽樣法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器舉例。采用頻率抽樣法設(shè)計(jì)FIR低通數(shù)字濾波器;

已知:ωc=0.5π,N=11

求H(ejω)的解析表達(dá)式。例5解：根據(jù)設(shè)計(jì)要求，理想低通濾波器的頻率特性為：根據(jù)頻率抽樣理論，抽樣頻率間隔為：由此可得由于因此而代入頻域抽樣內(nèi)插公式，可得：根據(jù)本題可知，采樣頻率抽樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的一般步驟為:（1）根據(jù)已知條件確定Hk，θk（2）求H(k)；（3）計(jì)算H(ejω)或系統(tǒng)函數(shù)H(z)。8.4.3線性相位第二種頻率抽樣頻率抽樣設(shè)計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是可以在頻域直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，通過上一例題發(fā)現(xiàn)，采用該方法的抽樣頻率必須是2π/N的整數(shù)倍，抽樣頻率不能自由選擇，若N確定時(shí)，抽樣點(diǎn)的位置受到一定的限制，雖然可以通過增加N一定程度提升對(duì)頻域抽樣位置的選擇，但又增加了計(jì)算量。為了提高對(duì)抽樣頻率的選擇性，故提出了第二種頻率抽樣方法。第二種頻率抽樣的第一個(gè)抽樣點(diǎn)不在ω=0處，而在ω=π/N處，又稱為II型頻率抽樣，由于抽樣點(diǎn)的相位發(fā)生了變化，因此，需對(duì)第一種頻率抽樣表達(dá)式的相位進(jìn)行修正，即根據(jù)離散傅里葉逆變換的定義，則有即對(duì)h(n)進(jìn)行z變換，可得：因此，可得頻率響應(yīng)為上述兩式是第二種頻率抽樣的系統(tǒng)函數(shù)H(z)和頻率響應(yīng)H(ejω)的內(nèi)插公式。為了方便應(yīng)用，可將頻率抽樣H(k)表示為如下形式：由于實(shí)際濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)為實(shí)數(shù)，因此有（1）若N為奇數(shù)

代入第2種頻率抽樣內(nèi)插公式,可得N為奇數(shù)時(shí),頻率響應(yīng)如下:（2）若N為偶數(shù)代入第二種頻率抽樣內(nèi)插公式，可得N為偶數(shù)時(shí)，線性相位第二種頻率抽樣之頻率響應(yīng)如下:第二種頻率抽樣的提出，使得即使抽樣點(diǎn)數(shù)N不變時(shí)，對(duì)抽樣頻率的選擇性提高了一倍。上述兩種頻率抽樣均可在FIR線性相位濾波器的最優(yōu)化過程中應(yīng)用，選擇第一種還是第二種頻率抽樣，以及N取奇數(shù)還是偶數(shù)，應(yīng)根據(jù)所設(shè)計(jì)濾波器的類型等相關(guān)條件決定。雖然FIR濾波器的頻率抽樣設(shè)計(jì)法與數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)中的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)都是頻域抽樣理論，但兩者所解決的問題是不同的。從頻域抽樣理論建立起來(lái)的FIR頻率抽樣型結(jié)構(gòu)，是FIR濾波器結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的一種方式，對(duì)任何FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)皆可以采用。而FIR濾波器的頻率抽樣設(shè)計(jì)方法，是根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)FIR線性相位濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，而不涉及濾波器的結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)完成之后，可以根據(jù)需要采用任何類型的結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)，既可以采用頻率抽樣型結(jié)構(gòu)、卷積型結(jié)構(gòu)，也可以采用級(jí)聯(lián)型等結(jié)構(gòu)。8.4.4過渡帶抽樣與逼近誤差優(yōu)化頻域抽樣法設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器在阻帶內(nèi)的衰減很小，在實(shí)際應(yīng)用中往往達(dá)不到要求.產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是由于在通帶邊緣抽樣點(diǎn)的陡然變化而引起的起伏振蕩.8.4.4過渡帶抽樣與逼近誤差優(yōu)化工程應(yīng)用中都希望設(shè)計(jì)的濾波器充分逼近理想濾波器，為了提高實(shí)際濾波器與理想濾波器的逼近程度，進(jìn)一步減小逼近誤差，應(yīng)著重考慮如何減小通帶邊緣抽樣點(diǎn)的突變而引起的起伏振蕩，這種振蕩既影響阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減，也影響通帶內(nèi)幅值特性的平穩(wěn)程度。為了減小過渡帶的起伏振蕩，提高濾波器的衰減特性，頻域抽樣法可以考慮在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)的邊緣增加過渡性的抽樣點(diǎn)，這樣雖然增加了過渡帶的寬度，但可以降低起伏振蕩，增大濾波器的阻帶衰減特性。過渡帶抽樣點(diǎn)的增加以及對(duì)新增抽樣點(diǎn)的抽樣值進(jìn)行優(yōu)化，可以使濾波器通帶和阻帶的波紋均減小，從而獲得高性能的FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)。理論上，只要過渡帶增加采樣點(diǎn)就能提高濾波器衰減特性。過渡帶增加的采樣點(diǎn)數(shù)不超過3點(diǎn)就可得到很好的提升效果。低通濾波器，若不設(shè)置過渡性的抽樣點(diǎn)，則阻帶最小衰減約為-20dB。若增加1個(gè)過渡性抽樣點(diǎn)，并對(duì)抽樣值進(jìn)行優(yōu)化，則阻帶最小衰減可達(dá)到--35dB~55dB左右；若增加2個(gè)過渡性抽樣點(diǎn)，衰減可達(dá)-60dB~-75dB；若增加3個(gè)過渡性抽樣點(diǎn)，衰減可達(dá)-80dB~-95dB。因此，過渡帶新增頻域抽樣點(diǎn)對(duì)增加衰減特性的效果非常顯著。(a)增加一個(gè)抽樣點(diǎn)(b)增加二個(gè)抽樣點(diǎn)(c)增加三個(gè)抽樣點(diǎn)頻率抽樣設(shè)計(jì)法的主要優(yōu)點(diǎn)是可以在頻域直接設(shè)計(jì)，并且適合于最優(yōu)化設(shè)計(jì).主要缺點(diǎn)是抽樣頻率受到一定的限制，若采用第一種頻率抽樣法，抽樣頻率必須是2π/N的整數(shù)倍，若采用第二種頻率抽樣法，抽樣頻率則等于2π/N的整數(shù)倍與π/N之和因此，該設(shè)計(jì)方法無(wú)法保證截止頻率ωc的自由取值，若想要達(dá)到自如的選擇截止頻率，僅有增加抽樣點(diǎn)數(shù)N一個(gè)辦法，但這增加了計(jì)算量。采用頻率抽樣法設(shè)計(jì)FIR低通數(shù)字濾波器，其理想頻率特性為如下矩形特性：已知：ωc=0.5π，抽樣點(diǎn)數(shù)N=33，試設(shè)計(jì)具有線性相位的FIR低通濾波器。解：例6根據(jù)給定的濾波器指標(biāo)，低通濾波器在k=0時(shí)的幅值響應(yīng)H(0)=1，因此，該濾波器屬于第一類線性相位濾波器，根據(jù)給定的理想頻率特性可得出頻率抽樣值H(k)如下圖(a)所示，由于|H(k)|關(guān)于ω=π偶對(duì)稱，而設(shè)計(jì)濾波器僅與0≤ω≤π的區(qū)間有關(guān)，在該區(qū)間內(nèi)對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)有17點(diǎn)，即H(k)（0≤k≤16），而17≤k≤32順序的采樣點(diǎn)，位于π<ω<2π區(qū)間內(nèi)，圖中已略去。（a）理想低通Hd(ejω)及抽樣H(k)根據(jù)截止頻率ωc=0.5π，可得因此，可按第一種頻率抽樣方式設(shè)計(jì)濾波器，N=33，則有由此可得頻率響應(yīng)為根據(jù)已知條件，采用頻率響應(yīng)抽樣設(shè)計(jì)的濾波器幅值響應(yīng)如圖(b)所示，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，過渡帶寬度為2π/33，而阻帶最小衰減略低于-20dB。由于在過渡帶沒有設(shè)置抽樣點(diǎn)，濾波器的阻帶衰減特性一般，對(duì)衰減特性要求較高的濾波器，該設(shè)計(jì)不能滿足使用要求。(b)過渡帶無(wú)采樣點(diǎn)的設(shè)計(jì)結(jié)果為了提高阻帶的衰減特性，達(dá)到更滿意的衰減性能，可在通帶和阻帶交界處設(shè)置一個(gè)抽樣點(diǎn)，采用插值優(yōu)化可得，在k=9處，|H(9)|=0.5，如下圖（a）所示，幅頻特性仿真結(jié)果如圖如下圖（b）所示，這時(shí)濾波器阻帶的衰減達(dá)到了-36db左右。由于過渡帶增加了一個(gè)抽樣點(diǎn)，這相當(dāng)于擴(kuò)大了過渡帶的寬度，雖然增大了衰減特性，但這時(shí)過渡帶寬度擴(kuò)大一倍，為4π/N=4π/33。(a)

理想的頻率響應(yīng)及抽樣|H(k)|(b)增加一個(gè)過渡性抽樣點(diǎn)的設(shè)計(jì)結(jié)果若增加第二個(gè)過渡性抽樣點(diǎn)，則可以進(jìn)一步提升阻帶衰減特性。需注意的是，由于增加抽樣點(diǎn)，過渡帶的寬度又增加一個(gè)采樣間隔，如果不允許繼續(xù)增加過渡帶的寬度，而依然希望增大阻帶衰減，則可以考慮增加頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N。如果其他指標(biāo)維持不變，增加N至N=65，并在k=17~18增加兩個(gè)過渡帶抽樣點(diǎn)，優(yōu)化插值|H(17)|=0.5886，|H(18)|=0.1065，則設(shè)計(jì)的濾波器的幅頻特性如下圖所示，阻帶最小衰減超過了-55dB，而過渡帶寬度沒有增加，僅為6π/65。增大N的不足之處是，由于階數(shù)升高，運(yùn)算量增大了。N=33，增加兩個(gè)采樣點(diǎn)(b)N=65，增加2個(gè)過渡抽樣點(diǎn)之頻率抽樣設(shè)計(jì)結(jié)果1088-5FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)頻率抽樣設(shè)計(jì)討論了過渡帶抽樣的優(yōu)化設(shè)計(jì)，增加抽樣點(diǎn)對(duì)提高阻帶衰減特性的顯著效果，這樣設(shè)計(jì)得到的結(jié)果雖然進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了對(duì)的充分逼近，使濾波器更接近于優(yōu)化設(shè)計(jì)；由于這僅僅通過增加過渡帶的少數(shù)抽樣點(diǎn)并作為變量，而通帶和阻帶的其他抽樣值都是預(yù)先確定的常數(shù)，因此并不是最優(yōu)化逼近或最佳逼近；最優(yōu)設(shè)計(jì)是指將所有抽樣值均作為變量，在一定的優(yōu)化準(zhǔn)則下，計(jì)算機(jī)迭代所得到的結(jié)果稱為最優(yōu)化設(shè)計(jì)或最佳設(shè)計(jì)。FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)，本質(zhì)上是對(duì)的最優(yōu)逼近，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的逼近誤差。根據(jù)逼近誤差衡量標(biāo)準(zhǔn)，有兩種優(yōu)化方法，一是基于均方誤差最小準(zhǔn)則，另一個(gè)是切比雪夫逼近準(zhǔn)則，即最大誤差最小化準(zhǔn)則。在兩個(gè)優(yōu)化準(zhǔn)則都得到了廣泛的應(yīng)用，在FIR濾波器設(shè)計(jì)方面，通常采用切比雪夫逼近準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的濾波器在同樣性能時(shí)階數(shù)更低，或者同樣階數(shù)時(shí)性能更優(yōu)。2024/12/2213:281098-5FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)采用“最大誤差最小化”的優(yōu)化準(zhǔn)則，根據(jù)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，導(dǎo)出一組條件，要求在此條件下，在整個(gè)逼近的頻帶范圍內(nèi)使得逼近誤差絕對(duì)值的最大值為最小，從而得到唯一的最佳解。采用最大誤差最小化準(zhǔn)則得到的最優(yōu)濾波器，在通帶和阻帶內(nèi)必然呈等紋波特性。最大誤差最小化準(zhǔn)則也稱為切比雪夫準(zhǔn)則。采用切比雪夫準(zhǔn)則設(shè)計(jì)濾波器，誤差在整個(gè)頻帶均勻分布，對(duì)同樣的技術(shù)指標(biāo)，這種逼近法需要的濾波器階數(shù)低，而對(duì)同樣的濾波器階數(shù)，這種逼近法的最大誤差最小。8.5.1均方誤差最小準(zhǔn)則顧名思義，這一準(zhǔn)則是使逼近誤差的能量最小，令Hd(ejω)表示理想的頻率響應(yīng)，H(ejω)表示實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器頻率響應(yīng)，

E(ejω)表示頻率響應(yīng)逼近誤差，則有:由此可得均方誤差為設(shè)計(jì)的目的是使e2最小，即均方誤差最小設(shè)計(jì)準(zhǔn)則注重的是在[-π~π]整個(gè)區(qū)間內(nèi)，誤差的總能量最小，并不關(guān)注局部誤差大小，因而某些頻率點(diǎn)可能會(huì)出現(xiàn)大一點(diǎn)的誤差。因此，均方誤差最小的目標(biāo)是通過合理選擇濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)，使得誤差e2最小。根據(jù)誤差定義可得：根據(jù)帕塞瓦爾定理可得：誤差e2共包含兩個(gè)求和大項(xiàng)，其中第二求和項(xiàng)僅僅與理想濾波器的hd(n)有關(guān)，而與其他因素?zé)o關(guān)。在理想頻率特性Hd(ejω)給定后，hd(n)便已經(jīng)完全確定，而且與設(shè)計(jì)值h(n)無(wú)關(guān)，因此第二求和項(xiàng)實(shí)際上為常數(shù)。由此可知，欲使e2最小，必須使第一求和項(xiàng)最小，而誤差e2獲得極小值的理想情況是:(*)這時(shí)可實(shí)現(xiàn)e2最小，即根據(jù)上頁(yè)表達(dá)式（*）可知，窗函數(shù)設(shè)計(jì)法中采用矩形窗對(duì)進(jìn)行截短就是均方誤差最優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果。在常用的窗函數(shù)中，雖然矩形窗的過渡帶最窄，但由于存在吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象，在過渡帶兩側(cè)均產(chǎn)生了較大的峰值誤差，從而導(dǎo)致濾波器在通帶內(nèi)存在起伏波動(dòng)和阻帶衰減較小等不足。8.5.2加權(quán)切比雪夫逼近準(zhǔn)則切比雪夫逼近準(zhǔn)則又稱為最大誤差最小化準(zhǔn)則。最大誤差最小化準(zhǔn)則又稱為最佳一致逼近準(zhǔn)則，或加權(quán)切比雪夫等波紋逼近。采用優(yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是不僅可以得到具有嚴(yán)格線性相位的FIR數(shù)字濾波器，而且實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)設(shè)計(jì)。該優(yōu)化準(zhǔn)則是基于“最大誤差最小化”，即：式中，A表示預(yù)先給定的頻率取值范圍，可以是通帶或阻帶，E(ω)為權(quán)函數(shù)誤差，形式如下：

1．H(ω)的統(tǒng)一表式為了分析方便，應(yīng)將FIR線性相位濾波器四種情況頻率響應(yīng)的幅值函數(shù)H(ω)采用統(tǒng)一公式描述，將H(ω)分解為兩項(xiàng)乘積的統(tǒng)一形式，即Q(ω)為ω的固定函數(shù)，P(ω)為ω的r個(gè)余弦函數(shù)之和，即r個(gè)余弦函數(shù)之線性組合。根據(jù)FIR線性相位濾波器h(n)的對(duì)稱性以及N為奇偶情況，四種類型的之頻率響應(yīng)可統(tǒng)一表示為如下形式式中，H(ω)是幅值函數(shù)，為可為正負(fù)值的標(biāo)量，L是與相位相關(guān)的指數(shù)因子。對(duì)于四種類型的濾波器，L的取值和H(ω)表達(dá)式各不相同，詳細(xì)情況如表8-4所示。2．加權(quán)逼近誤差極值分析由于濾波器設(shè)計(jì)中對(duì)通帶與阻帶的誤差性能要求不一樣，即不同頻帶范圍內(nèi)誤差函數(shù)[Hd(ω)-H(ω)]的最大值不同，為了使得通帶與阻帶不同頻段的加權(quán)誤差最大值相等，加權(quán)切比雪夫逼近法對(duì)誤差函數(shù)W(ω)引入了加權(quán)系數(shù)，即誤差為通過引入加權(quán)矩陣W(ω)，從而使得各頻帶段的加權(quán)誤差E(ω)最大值相同，例如，若逼近一個(gè)截止頻率為ωc的低通濾波器，則應(yīng)取式中，k=δ1/δ2，加權(quán)矩陣保證了通帶與阻帶的加權(quán)誤差相同。從而可得：若Q(ω)≠0令則有這樣，H(

)最佳一致逼近Hd(

)的問題是（或者切比雪夫等波紋逼近問題）可視為求一組系數(shù)使其在通帶和阻帶各頻段的逼近誤差E(ω)的最大誤差達(dá)到極小。若用||E0(ω)||該極小值，則可表示為:式中，A表示濾波器工作的所有通帶和阻帶區(qū)間。對(duì)于上式所示的切比雪夫夫等波紋逼近問題求解，帕克斯(Parks)和麥克萊倫（McClellan）引入了逼近理論的一個(gè)著名定理來(lái)求解該問題，這就是交錯(cuò)定理（AlternationTheorem)，又稱為交替定理。（1）交錯(cuò)定理則對(duì)于[0，π]區(qū)間內(nèi)的一個(gè)子集A（包括所有通帶和阻帶，不包括過渡帶）的連續(xù)函數(shù)的唯一和最佳的加權(quán)切比雪夫逼近的充分必要條件是：加權(quán)逼近誤差函數(shù)E(ω)在A上至少有(r+1)個(gè)極值頻率點(diǎn)，即A中至少有(r+1)個(gè)頻率點(diǎn)ωi，且ω1<ω2<ω3<……<ωr<ωr+1且有：并且若P(ω)是r個(gè)余弦函數(shù)的線性組合，即（2）極值頻率點(diǎn)數(shù)量交錯(cuò)定理最佳逼近的充分必要條件要求誤差函數(shù)E(ω)在區(qū)間A上至少有（r+1）個(gè)極值點(diǎn)，而r是關(guān)于P(ω)線性組合中余弦函數(shù)的個(gè)數(shù)?，F(xiàn)在討論E(ω)極值頻率點(diǎn)的數(shù)量。因此，用交錯(cuò)定理求解最佳逼近，應(yīng)先分析H(ω)的極值點(diǎn)數(shù)量。以線性相位FIR濾波器的第I種情況為例討論H(ω)極值點(diǎn)的最大數(shù)量。根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式，上式可以化為若令r=cos(ω),，則有式中，因此，對(duì)FIR線性相位濾波器的第I種情況，H(ω)的極值點(diǎn)數(shù)目Ne滿足：同理，對(duì)于線性相位FIR濾波器的其他三種類型，也可以推出極值點(diǎn)數(shù)Ne如下：對(duì)于第I種情況，低通濾波器的誤差函數(shù)E(ω)最多可以有個(gè)=(N+5)/2極值點(diǎn)，根據(jù)交錯(cuò)定理，最優(yōu)逼近時(shí)其誤差函數(shù)極值點(diǎn)至少應(yīng)有：極值點(diǎn)的數(shù)量比交錯(cuò)定理的要求還多一個(gè)極值點(diǎn)，這種濾波器被稱為最多波紋濾波器，對(duì)于FIR線性相位低通濾波器，最多波紋濾波器又稱為超波紋濾波器。8.5.3雷米茲交替算法雷米茲（Remez）交替算法是應(yīng)用交錯(cuò)定理求解最佳逼近的一種最優(yōu)化算法，又稱為雷米茲交換算法。該算法由雷米茲于1934年公開發(fā)表，目前該算法已非常成熟，有很多資料可供借鑒和參考。根據(jù)FIR濾波器的設(shè)計(jì)問題，該算法是在單位抽樣響應(yīng)長(zhǎng)度N、通帶截止頻率ωc、阻帶截止頻率ωs給定的情況下求解，過程如下。1．確定一組頻率{ωk}根據(jù)交錯(cuò)定理先選擇一組頻率點(diǎn)，{ωk}，（k=0，1，2，…，r），可以先對(duì)（r+1）個(gè)等間隔初始頻率點(diǎn)ωk（k=0，1，2，…，r）給定一組初始估計(jì)值，這些頻率點(diǎn)位于通帶和阻帶區(qū)間，在選擇初始頻率點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意將ωc及ωst包含在內(nèi)。將初始頻率點(diǎn){ωk}，（k=0，1，2，…，r）代入誤差函數(shù)，則有即因此，求解逼近函數(shù)P(ω)，則需要求解逼近函數(shù)的r個(gè)系數(shù)α(n)及δ。2．求δ及系數(shù)α(n)根據(jù)誤差表達(dá)式可得如下方程：這（r+1）個(gè)線性方程組，因此，可用矩陣形式表示如下：求解該方程可得α(0),α(1),…α(r-1)及δ，共r+1個(gè)未知數(shù)（2）δ解析式求解δ的解析表達(dá)式如下式中δ求出后，可求得的值根據(jù)拉格朗日內(nèi)插公式可得式中3．計(jì)算E(ω)并迭代新的極值頻率求出P(ω)之后，根據(jù)可以計(jì)算出誤差函數(shù)E(ωk)的值，依次繪出當(dāng)前確定的ω0,ω1,ω2,……,ωr頻率點(diǎn)上的E(ωk)，若在這組頻率的所有頻率點(diǎn)上均滿足|E(ωk)|≤δ，則說(shuō)明最佳逼近已實(shí)現(xiàn)。4．求系統(tǒng)函數(shù)H(z)和h(n)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)逼近以后，由于已求得P(ω)，而P(ω)滿足若P(ω)是通過解線性方程組求得，則已求出α(n)，對(duì)于四種類型中的任何一種濾波器，均可通過求解出如下系數(shù)：從而求解出即可求出h(n)和h(z)若是通過δ表達(dá)式求解P(ω)，則可根據(jù)由傅立葉逆變換求解濾波器的單位抽樣相應(yīng)h(n)和系統(tǒng)函數(shù)h(z)。FIR低通濾波器的最優(yōu)設(shè)計(jì)已知線性相位FIR低通濾波器的指標(biāo)如下：通帶邊緣頻率：0.3π；阻帶邊緣頻率：0.4π；通帶最大衰減：δp=0.05；阻帶最大衰減：δs=0.01；試采用切比雪夫等波紋最優(yōu)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)滿足指標(biāo)要求的FIR線性相位數(shù)字低通濾波器。例7解：clc;closeall;clearall;wp=0.3*pi;ws=0.4*pi;F=[wp/piws/pi];delta_1=0.05;delta_2=0.01;等波紋最優(yōu)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器程序代碼如下：Delta=[delta_1delta_2];a=[10];[N,f0,a0,w]=remezord(F,a,Delta);h=remez(N,f0,a0,w);disp('FIR濾波器階數(shù)');disp(N);disp('FIR濾波器階數(shù)');disp(h);w=linspace(0,pi,1000);Mag=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(Mag)));axis([0,1,-80,5]);title('FIR線性相位濾波器設(shè)計(jì)');xlabel('歸一化頻率/\pi');ylabel('幅值/dB');grid;figure(2);stem(h);title('FIR濾波器單位抽樣響應(yīng)h(n)');axis([030-0.150.35]);xlabel('n');gridon;（1）FIR線性相位低通濾波器的幅值響應(yīng)曲線如所示。（2）系統(tǒng)階數(shù)及單位