廣東省部分學校2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分學校2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一、二冊，選擇性必修第一冊第一章至第二章.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的斜率為，傾斜角為.故選：C.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以故選：C.4.已知直線與.若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由于，所以，此時兩直線方程分別為，不重合，符合題意，所以.故選：B.5.已知向量，，.若，，共面，則（）A.11 B. C.9 D.3【答案】A【解析】依題意，，，共面，所以存在，使得，即，所以，解得.故選：A.6.直線截圓所得的弦長為（）A. B.1 C.4 D.2【答案】D【解析】根據(jù)題意可得圓心，圓的半徑為3，點到直線的距離，故所求弦長為.故選：D.7.芻甍是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊狀的楔體.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意得，，所以，又，，所以設(shè)異面直線AE與BD所成的角為，則故選：A8.已知，，若直線上存在點P，使得，則t的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，因為，所以，即，所以點在以為圓心，4為半徑的圓上.點在直線上，所以直線與圓有公共點，則，解得故選:B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線過定點則下列結(jié)論正確的是（）A.P的坐標為B.當時，l在y軸上的截距為C.若l與直線垂直，則D.點P在圓的外部【答案】ABD【解析】對于A，由題意得直線，即，由，解得，故A正確；對于B，當時，直線l為，令x=0，，所以在y軸上的截距為，故B正確；對于C，由，解得，故C錯誤；對于D，因為，所以點P在圓的外部，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則（）A. B.C.在上單調(diào)遞增 D.在上恰有10個零點【答案】ABD【解析】由圖可知，，，即，又，則，故A正確；此時，又，且，則，故B正確；此時，當時，，因為函數(shù)在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯誤；當時，，因為函數(shù)在上有10個零點，所以在上恰有10個零點，故D正確.故選：ABD.11.若平面，平面，平面，則稱點F為點E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點，，記平面為，平面ABCD為，，（）A.若，則B.存在點H，使得平面C.線段長度的最小值是D.存在點H，使得【答案】ABC【解析】對于A：因為為直四棱柱，，所以以A為坐標原點，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，連接PQ，則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點共面，若，則，解得，A正確；對于B：過點H作，交于點G，過點G作AB的垂線，垂足即，過點A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點H，使得平面，B正確，對于C：，當時，取得最小值，最小值為，C正確.對于D：若，則，得，無解，所以不存在點H，使得，D錯誤.故選：ABC.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，則圓的半徑為_____________.【答案】4【解析】根據(jù)題意圓，可得圓的半徑為.故答案為：413.某校高三年級男生共600人，女生共400人，現(xiàn)按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從高三年級所有學生中抽取5人組成某活動志愿者小隊，則被抽取的女生人數(shù)為_____________.若從被抽取的這5人中抽取2人作為志愿者小隊隊長，則恰有1個男隊長的概率為_____________.【答案】①2②【解析】根據(jù)題意易得被抽取的這5人中女生的人數(shù)為，則男生的人數(shù)為3，女生人數(shù)為2，設(shè)被抽取的這5人中男生分別為A，B，C，女生分別為a，b，則從被抽取的這5人中抽取2人的所有情況有，，共10種情況，其中恰有1個男隊長的情況有6種，故所求概率為.故答案為：2；.14.已知球是棱長為的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體表面上的動點，則的最大值為______.【答案】【解析】如下圖所示：正四面體的棱長為，設(shè)其內(nèi)切球球心為點，連接并延長交底面于點，則為正的中心，且平面，連接并延長交于點，則為的中點，且，，，因為平面，平面，則，可得，的面積為，正四面體的體積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則，即，解得，可得，因為，，可得，當點位于正四面體的頂點時，取最大值，所以.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為且.（1）求的大小;（2）求的面積.解：（1）由及正弦定理可得，因為，所以，所以，因為，所以.（2）由題意可得的面積為.16.已知在中，.（1）求直線AB的方程;（2）求外接圓的標準方程;（3）過點B作的外接圓的切線，求該切線方程.解：（1）由已知可得，所以直線AB的方程為，即.（2）設(shè)的外接圓的標準方程為，則解得故的外接圓的標準方程為.（3）由（2）得外接圓的圓心為.因為，所以切線的斜率為，故所求切線方程為，即.17.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點.（1）證明：平面ABCD.（2）若，求點N到平面AMF的距離.解：（1）因為，，都垂直于平面，則.取的中點，連接，，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）連接.以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A2,0,0，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，，可得.故點到平面的距離.18.如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，，平面（1）證明：平面（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）棱BC上是否存在一點P，使得二面角余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請說明理由.解：（1）因為底面ABCD是正方形，所以又因為平面ABCD，平面ABCD，所以因為，且，平面，所以平面（2）因為平面，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為（3）若存在點P滿足題意，則可設(shè)點，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故易得平面的一個法向量為，所以，解得或舍去)，故棱BC上存在一點P，當時，二面角的余弦值為19.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學家.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學光輝的科學成果，其中一發(fā)現(xiàn)可表述為“平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.如平面內(nèi)動點到兩個定點，的距離之比為定值2，則點的軌跡就是阿氏圓，記為.（1）求的方程；（2）若與軸分別交于E，F(xiàn)兩點，不在軸上的點是直線上的動點，直線HE，HF與的另一個交點分別為，，