廣東省茂名市信宜市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市信宜市2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的斜率為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為直線方程為，化為斜截式為：，所以直線的斜率為：.故選：D.2.拋物線的焦點到準線的距離為（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B【解析】由拋物線方程，得，故拋物線焦點到準線距離為，故選：B.3.已知兩條直線：，：，且，則的值為()A.－2 B.1 C.－2或1 D.2或－1【答案】B【解析】：，：斜率不可能同時不存在，∴和斜率相等，則或，∵m＝－2時，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故選：B.4.信宜市是廣東省首個“中國慈孝文化之鄉(xiāng)”．為弘揚傳統(tǒng)慈孝文化，信宜某小學開展為父母捶背活動，要求同學們在某周的周一至周五任選兩天為父母捶背，則該校的同學甲連續(xù)兩天為父母捶背的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令周一至周五的5天依次為1，2，3，4，5，則周一至周五任選兩天的樣本空間，共10個樣本點，連續(xù)兩天事件，共4個樣本點，所以該校的同學甲連續(xù)兩天為父母捶背的概率為.故選：C5.若，則“”是“方程表示橢圓”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】若方程表示橢圓，則，解得或，因為或，因此，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：D.6.平行六面體中，，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由平行六面體可得，又，所以，則.故選：B.7.若動點P在直線上，動點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設與直線平行的直線的方程為，∴當直線與曲線相切，且點為切點時，，兩點間的距離最小，設切點，，所以，，，，點，直線的方程為，兩點間距離的最小值為平行線和間的距離，兩點間距離的最小值為.故選：.8.已知兩個等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（）A.1678 B.1666 C.1472 D.1460【答案】B【解析】第一個數(shù)列的公差為4，第二個數(shù)列的公差為6，故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，則新數(shù)列的公差為12，首項為2，其通項公式為，令，得，故，則，故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A：，所以，A正確；B：，所以，B錯誤；C：，，所以，C正確；D：，不存在實數(shù)，使得，故與不平行，D錯誤．故選：AC．10.△ABC的三個頂點坐標為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是（）A.邊BC與直線平行B.邊BC上高所在的直線的方程為C.過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為D.過點A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點D(3，5)【答案】BD【解析】直線的斜率為，而直線的斜率為，兩直線不平行，A錯；邊上高所在直線斜率為，直線方程為，即，B正確；過且在兩坐標軸上的截距相等的直線不過原點時方程為，過原點時方程為，C錯；過點A且平分△ABC面積的直線過邊BC中點，坐標為，D正確．故選：BD．11.若雙曲線的實軸長為6，焦距為10，右焦點為F，則下列結論正確的是（）A.過點F的最短的弦長為 B.雙曲線C的離心率為C.雙曲線C上的點到點F距離的最小值為2 D.雙曲線C的漸近線為【答案】BCD【解析】依題知，，則，所以雙曲線的方程為，且對于A，當直線的斜率為零時，該直線截雙曲線的弦長為，故A錯誤；對于B，雙曲線的離心率，故B正確；對于C，設雙曲線上任意一點，則，則，又的對稱軸為，故當時，，故C正確；對于D，雙曲線方程知，漸近線方程為，故D正確；故選：BCD.12.材料：在空間直角坐標系中，經過點且法向量的平面的方程為，經過點且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（）A.平面與垂直B.平面與所成角的余弦值為C.直線與平面平行D.直線與是異面直線【答案】AD【解析】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方向向量，直線的方向向量；對于A，，，則平面與垂直，A正確；對于B，，平面與所成角的余弦值為，B錯誤；對于C，，，直線平面或直線平面，直線過點，又滿足，直線平面，C錯誤；對于D，與不平行，直線與直線相交或異面，由得：，此時無解，直線與直線無交點，直線與直線是異面直線，D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知等比數(shù)列滿足，，則______．【答案】12【解析】等比數(shù)列an滿足，，由，得.故答案為：1214.長方體中，，，點F是底面的中心，則直線與直線所成角的余弦值為______．【答案】【解析】如圖所示，建立如下空間直角坐標系，依題可得，,則,所以,故直線與直線所成角的余弦值為,故答案為：.15.寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程________.【答案】（答案不唯一，或均可以）【解析】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為；因為，且，所以，設，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；可知和關于對稱，聯(lián)立，解得在上，在上取點，設其關于的對稱點為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：（答案不唯一，或均可以）16.已知橢圓的右焦點為F，過F點作圓的一條切線，切點為T，延長FT交橢圓C于點A，若T為線段AF的中點，則橢圓C的離心率為_________．【答案】【解析】設橢圓的左焦點為,連接，,由幾何關系可知，則，即，由橢圓的定義可知，即且，整理得，解得，.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線與垂直且經過點.（1）求的方程;（2）若與圓相交于兩點,求.解：（1）由直線，可得斜率，因為，所以直線的斜率為，又因為直線過點，所以直線的方程為，即.（2）由圓，可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，又由圓的弦長公式，可得弦長.18.記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．解：（1）由等差數(shù)列的性質可得：，則：，設等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項公式為：.（2）由數(shù)列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.19.“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項活動，出現(xiàn)在宋朝．南宋時，首都臨安每逢元宵節(jié)時制迷，猜謎的人眾多．開始時是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因為謎語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學獨立競猜，甲同學猜對了12道，乙同學猜對了8道，丙同學猜對了n道．假設每道燈謎被猜對的可能性都相等．（1）任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學恰有一個人猜對的概率；（2）任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對概率為，求n的值．解：（1）設“甲猜對燈謎”事件A，“乙猜對燈謎”為事件B，“任選一道燈謎，恰有一個人猜對”為事件C，由題意得，，，且事件A、B相互獨立，則，所以任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率為；（2）設“丙猜對燈謎”為事件D，“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個人都沒有猜對”為事件E，則由題意，，解得．20.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，E是的中點，作交于點F．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小．解：（1）解法一：因為底面是正方形，側棱底面，以D為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，依意得，，，，所以，，因為，所以，由已知，且，平面，平面，所以平面．解法二：底面是正方形，，底面，且平面，，，平面，平面，平面，平面，，，E為中點，，，平面，平面，平面，平面，，由已知，且，平面，平面，所以平面.（2）解法一：依題意得，且，，設平面的一個法向量為，則，即取，因為，，設平面的一個法向量為，則即取，設平面與平面的夾角為，則，又，所以，所以平面與平面的夾角為．解法二：由（1）知平面，，又，平面，平面，為平面與平面所成角，，E為中點，，，平面，平面，，直角三角形中，，所以，所以平面與平面的夾角為21.記數(shù)列an的前項和為，已知.（1）證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求數(shù)列a（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，當時，，解得；當時，由，得，兩式相減得，即，則，即，又，故，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以．（2）由（1）得，所以,所以，則，兩式相減，得，所以．22.已知橢圓的左?右焦點分別為，且.過