河北省唐山市玉田縣2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省唐山市玉田縣2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，其中滿足，故.故選：B2.已知向量，，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，且，所以，解得，故選：A.3.若與均為定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的部分圖象可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榕c均為定義在R上的奇函數(shù)，所以，又因?yàn)榈亩x域?yàn)镽且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以hx故圖象關(guān)于軸對(duì)稱且，符合要求的只有選項(xiàng)B，故選：B.4.當(dāng)時(shí)，函數(shù)，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，解得，或，又，則，故，解得，或，即的取值范圍是.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，同時(shí)除以，得，即，故選：C.6.設(shè)的實(shí)部與虛部相等，且實(shí)部不為，的虛部是實(shí)部的倍，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”是“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，則，所以的實(shí)部，虛部，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，所以“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”可以推出“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限”；若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，由上可知，所以3a5b<0-a5b>0且所以“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限”可以推出“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”；由上可知，屬于充要條件，故選：C.7.函數(shù)的所有零點(diǎn)的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，則函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)與函數(shù)在上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).對(duì)于函數(shù)，其最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值從3減小到-3,當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值從-3增大到3.類似可得函數(shù)在區(qū)間上的圖象變化情況.如圖分別作出和在上的圖象如下.由圖可知，兩函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故兩者的交點(diǎn)與也關(guān)于直線對(duì)稱，故即函數(shù)的所有零點(diǎn)的和為故選：C.8.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?,+∞上均單調(diào)遞增，所以，即，對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)，易知時(shí)，f'x>0，即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則所以，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以，綜上.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)根，則（）A.為純虛數(shù) B.C. D.【答案】ABD【解析】方程，，方程的根為，即方程的根為，，不妨設(shè)，，則為純虛數(shù)，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：ABD.10.如圖，在中，，，點(diǎn)分別邊上，點(diǎn)均在邊上，設(shè)，矩形的面積為，且關(guān)于的函數(shù)為，則（）A.的面積為 B.C.先增后減 D.的最大值為【答案】ACD【解析】取中點(diǎn)，連接，則，且，所以的面積為A正確.過作，垂足為，設(shè)與交于點(diǎn)，由等面積法可得，則由，得，則，所以，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，B錯(cuò)誤，C，D均正確.故選：ACD11.已知，，且不等式恒成立，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】AB【解析】由，，則不等式，令，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以，解得，因此可得的最小值為，的最大值為，故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.___________.【答案】【解析】原式.13.將一副三角板按如圖所示的位置拼接：含角的三角板的長直角邊與含角的三角板的斜邊恰好重合.與相交于點(diǎn).若，則___________.【答案】【解析】由題可知.由可得：，則，解得.14.已知四邊形是邊長為4的正方形，點(diǎn)滿足，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y，是中點(diǎn)，則,由可得,故，所以，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在上的值域?yàn)?（1）求；（2）將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，求的解析式與單調(diào)遞增區(qū)間.解：（1）因?yàn)?，所以，令，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，且，所以.（2）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目傻?，的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉韮杀犊傻?；令，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為().16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積的最大值．解：（1）由，可得，即，所以，，因，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故△面積最大值為．17.如圖，某鐵皮制成的無蓋容器的上半部分為圓柱，下半部分為圓錐，且圓錐與圓柱同底等高，圓柱與圓錐無鐵皮的阻隔，已知圓錐的母線長為分米.（1）忽略鐵皮的厚度，求該容器的容積的最大值；（2）設(shè)鐵皮的價(jià)格為每平方分米元，當(dāng)該容器的容積取得最大值（忽略鐵皮的厚度）時(shí)，求需要的鐵皮的總費(fèi)用.解：（1）設(shè)圓錐與圓柱的底面半徑為，則圓錐與圓柱的高為，則圓錐的體積，圓柱的體積，則該容器的容積，，由，，則，則，則，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；故當(dāng)分米，分米時(shí)，取得最大值為（立方分米），即該容器的容積的最大值為立方分米.（2）由（1）知當(dāng)該容器的容積取得最大值時(shí)，圓錐與圓柱的底面半徑為分米，則圓錐與圓柱的高為分米，則圓錐的側(cè)面積（平方分米），圓柱的側(cè)面積（平方分米），則該容器的表面積為（平方分米），又（元），則需要的鐵皮的總費(fèi)用為元.18已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若曲線與在上至少有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，、，且，，求的最小值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即．（2）由，得，令，其中，則，其中，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．所以，，所以，則的取值范圍為．（3）因?yàn)?、，且，，所以，設(shè)函數(shù)，則，可得在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即對(duì)時(shí)恒成立．設(shè)，則．設(shè)，則，令，解得．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．，，當(dāng)時(shí)，，，則，，所以存在，使得，即．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．，當(dāng)時(shí)，，又整數(shù)，所以的最小值為．19.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若，，則稱為“循環(huán)函數(shù)”.（1）試問函數(shù)是否為“循環(huán)函數(shù)”？說明你的理由.（2）已知函數(shù)，證明：存在常數(shù)C，使得為“循環(huán)函數(shù)”.（3）已知對(duì)任意，函數(shù)，都滿足.①證明：為“循環(huán)函數(shù)”.②若，證明：當(dāng)時(shí)，.提示：設(shè)，當(dāng)時(shí)，.解：（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，fx=所以此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，故滿足，所以fx=e-x-1,x≤0（2）由題可知，顯然，，易知的定義域?yàn)?，要使任意滿足，則，所以不妨令，則，此時(shí)，故存在常數(shù)C，使得為“循