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文檔簡介
第07講拓展一:異面直線所成角(傳統法與向量法)
jQ知識清單
1、(傳統法)核心技巧:平移使相交
具體操作,通過平移一條(或2條),使異面直線轉化為相交直線,然后在三角形中利用余弦定理求角
2、(向量法)用向量運算求兩條直線所成角
已知a,b為兩異面直線,A-C與B,。分別是b上的任意兩點,a,b所成的角為。,則
ACBD
①cos<AC,BD>=
\AC\\BD\
\ACBD\
②cos3=|cos<AC,BD>|=7-----------
AC\'\BD
豳題型精講
題型01求異面直線所成角(定值)(傳統法)
【典例1](23-24高一下?山東煙臺?階段練習)已知在長方體中,AB=BC,直線AC1與
平面ABCD所成角的正弦值為冷,N為線段3c的中點,則直線A片與直線C|N所成角的余弦值為()
【典例2](23-24高一下?浙江?階段練習)在正三棱柱ABC-A耳G中,叫,面ABC,2AB=AAl,則異
面直線AC與A4所成角的余弦值為()
【變式1](2024?重慶?模擬預測)如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,分別是P"3c的中點,
點P在平面ABCD內的射影為N,PA與平面ABCD所成角的正切值為2,則直線總與MC所成角的余弦值
為()
題型02求異面直線所成角(定值)(向量法)
【典例1】(2024?遼寧沈陽?模擬預測)己知直三棱柱ABC-AB?中,/ABC=120。,AB=CCt=2,BC=1,
則異面直線A與與BG所成角的余弦值為()
A.BB.姮C.巫D.且
2543
【典例2](23-24高三上?廣西?開學考試)正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素,加上它們
的多種變體,一直是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一.如圖,該幾何體是一個高為4的正八面體,G為2c
的中點,則異面直線EG與防所成角的正弦值為.
【典例3】(2024高一下?全國?專題練習)如圖,已知。是圓柱下底面圓的圓心,人4為圓柱的一條母線,
.2兀.
B為圓柱下底面圓周上一點,OA=1,ZAOB=^,AAZ?為等腰直角三角形,則異面直線AQ與A3所成
角的余弦值為
TT
【變式1】(2024?湖北武漢?模擬預測)已知菱形A3CZ),ZDAB=~,將△ZMC沿對角線AC折起,使以
A,民C,。四點為頂點的三棱錐體積最大,則異面直線A8與8所成角的余弦值為()
A』Bf38
A?D.L.L).
5244
【變式2](23-24高三下?四川德陽?期末)正四面體A3C£>中,E、P分別是AB和。的中點,則和
AC所成角的大小是.
【變式3】(23-24高二上?廣東茂名?期末)長方體A8CD-ABGA中,AB=BC=2,CCl=l,點F是底
面ABCD的中心,則直線AG與直線BF所成角的余弦值為.
題型03求異面直線所成角(最值或范圍)
【典例1](23-24高二下?山東煙臺?階段練習)如圖,在邊長為1的正方體ABCD-ABIGA中,點P在4G
上,點。在平面內,設直線AA與直線尸2所成角為仇若直線PQ到平面AC?的距離為也,貝bin。
2
的最小值為.
【典例2](23-24高二上?浙江金華?階段練習)如圖,在多面體ABCDE中,.平面ABC,平面BCD_L
平面ABC,.ABC是邊長為2的等邊三角形,BD=CD=下,AE=2.
B
⑴求點B到平面ECD的距離;
(2)若M為3c的中點,N為線段砥上的動點,設異面直線。與MN所成角為凡求cos。的最大值及此時
EN_
f的值
ED
【變式3](23-24高二上?吉林通化?期末)如圖,在正四棱錐V-ABCD中,二面角V-3。-。為60。,E
VF
為3c的中點.已知F為直線VA上一點,且F與A不重合,若異面直線與儂所成角為6。。,則祈
題型05易錯題型求異面直線所成角忽略角的取值范圍
【典例1](23-24高二上?遼寧?期末)直三棱柱ABC-A瓦G中,AC=AB=2,BC=2近,"=3,則直線
AG與4聲夾角的余弦是()
991616
A.-----B.—C.——D.—
13132525
【典例2](23-24高二上?黑龍江齊齊哈爾?期末)中國古代數學瑰寶《九章算術》中記載了一種稱為"曲池"
的幾何體,該幾何體為上下底面均為扇環(huán)形的柱體(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).現有一個如圖所
示的曲池,其中明,底面ABCD,底面扇環(huán)所對的圓心角為,,扇環(huán)對應的兩個圓的半徑之比為1:2,
AB=\,M=1-E在4〃上且為靠近2的三等分點,則異面直線班與C]。所成角的余弦值為()
\/6—^2^2—\/6ry[6+V?A/6—^2
A.------------b.-----------c.-----------u.-----------
2444
【變式1](23-24高二上?湖北武漢?期末)已知兩條異面直線的方向向量分別是〃=(-3,1,-2),v=(3,2,1),
則這兩條異面直線所成的角。滿足()
A.sin^=-B.cos6=——
1414
7115
c.sin6=一D.cos6?=-—
1414
【變式2](23-24高二上?山東棗莊?階段練習)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD1
底面ABCD,PD=2DC,E為PC上一點,且PC=4EC,則異面直線AC與BE所成角的余弦值為()
742DV42rV21NA/21
14141414
第07講拓展一:異面直線所成角(傳統法與向量法)
知識清單
1、(傳統法)核心技巧:平移使相交
具體操作,通過平移一條(或2條),使異面直線轉化為相交直線,然后在三角形中利用余弦定理求角
2、(向量法)用向量運算求兩條直線所成角
已知a,b為兩異面直線,A,C馬B,。分別是。,b上的任意兩點,a,b所成的角為。,貝U
\AC-BD\
②cos0=|cos<AC,BD>|=
I研麗I
題型精講
題型01求異面直線所成角(定值)(傳統法)
【典例1](23-24高一下?山東煙臺?階段練習)已知在長方體ABCD-ABCB中,AB=3C,直線AG與
平面ABCD所成角的正弦值為冷,N為線段3C的中點,則直線A片與直線C|N所成角的余弦值為()
,史
【答案】A
【分析】結合條件根據線面角的定義求得GC,連接G2DN,根據異面直線夾角的定義,利用余弦定理
求解即可.
【詳解】連接AC,因為GC,平面A3CD,所以NC|AC為直線AG與平面A3。所成角,
設A3=3C=a,CC]=/i,則AC二AC]=,2/+元,
所以sin/£AC=~1f=?=乎,所以〃=立〃,
GA,2/+后52
連接連接GDOV,由長方體的性質知,4G//A。且
所以四邊形A〃G與為平行四邊形,
所以A4〃DC〉則ZNQD或其補角即為直線AB1與直線QN所成角,
22
在NC]。中,DCX=y/a+h=a,NC{=a,DN=a>
3/3Q25Q2
所以由余弦定理得cosNNC\D==2;44=X0
ZC.JLJ-CJVcVO731,
2xax—ci
22
即直線A片與直線C|N所成角的余弦值為YZ.
3
故選:A
DxG
AB
【典例2](23-24高一下?浙江?階段練習)在正三棱柱A3C-AAC中,AA_L面ABC,2AB=AA,,貝!|異
面直線AC與A4所成角的余弦值為()
【答案】A
【分析】分別取4男,朋,AB,AC的中點F,E,H,G,可得ZFEG是異面直線4c與A4所成角即為所與EG
所成角(或其補角),在AEFG中,由余弦定理求解即可.
【詳解】分別取A瓦,的中點F,E,H,G,
連接EF,FH,EG,GH,FG,所以£F//4綜EG//A。,
所以異面直線4c與A與所成角即為所與EG所成角(或其補角),
即N五EG,設2AB=44]=2,所以£F=EG=
FG=^FH2+GH2=
一5--5---1-7
222
EF+EG-FG44447
所以在EFG中,所以cos/EEG=
2EFEG2小逐5W
2
7
所以異面直線AC與A與所成角的余弦值為工.
故選:A.
【變式1](2024?重慶?模擬預測)如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,M,N分別是PD/C的中點,
點P在平面ABCD內的射影為N,PA與平面A3CD所成角的正切值為2,則直線以與所成角的余弦值
為()
【答案】A
【分析】根據題意,由條件可證MC〃£W,則直線R4與MC所成的角為NAEN,然后結合條件以及余弦
定理代入計算,即可得到結果.
【詳解】
如圖,取R4的中點E,連接EM,EN.因為分別是24,尸。的中點,
所以EM//ADEM=-AD.
2
因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AO//BC,AD=-BC.
2
因為N為BC的中點,所以NC=:BC,所以EM//NC,EM=NC.
故四邊形包區(qū)可為平行四邊形,所以MC〃敬,
所以直線上4與MC所成的角為NAEN.
連接PN,AN,因為點尸在平面ABCD內的射影為N,所以兩人平面ABCD,
所以24與平面A3CD所成的角為NE4N,所以tan/EAN=2.
不妨令PN=2,貝!J3=1,所以PAMJPM+AN?=占,
所以EA=EN=@,
2
在"EN中,
EA2+EN2-AN。
由余弦定理得cosZAEN=
2.EA-EN
故選:A.
【變式2](23-24高一下?安徽阜陽?期中)如圖,在正方體ABCQ-ABGA中,M,N分別為。。/和C。
的中點,則異面直線AM與BN所成角的余弦值為()
4
D.I
【答案】A
【分析】E,尸分別為AB,8瓦的中點,NEC/或其補角為AM與BN所成的角,設正方體的邊長為。,余弦
定理求解即可.
【詳解】取4B的中點E,B片的中點尸,連接EQ/G,
又M,N分別為GA和CG的中點,正方體中,QN//FB,C\N=FB,
四邊形GNBP為平行四邊形,有FCJIBN,
同理有EC,//AM,則NEC/或其補角為AM與所成的角,
EC;+FC;-EF。
所以cos/EC/=
-2EC、FC\
即異面直線AM與BN所成角的余弦值為乎.
故選:A.
【變式3](23-24高三上?河南鶴壁?期中)如圖,在正三棱柱ABC-A與G中,的=4,AB=2,則直線
與直線B£所成角的正切值為.
【答案】早]底
【分析】根據給定條件,作出直線與直線BC所成的角,再借助余弦定理求出余弦值即可求解.
【詳解】在正三棱柱ABC-A再G中,連接明交BC于。點,取4G的中點R連接。尸,
顯然。是BG的中點,則。尸//AB,/與。廠是4B與4c所成的角或其補角,
2222
在’08尸中,B1F=6,OBt=^BtC=174+2=75,OFA.B=^4+2=A/5,
(百丁十(6)2—(6)27Jl-cos?NBQF_751
cosZB{OF=一,tanZB.OF=
2x^5x^5101cosZB^OF7
所以直線A3與直線所成角的正切值為叵.
7
故答案為:耳
【變式4】(2024?全國?模擬預測)在三棱錐P-ABC中,AC=y/3,SC=1,PA=PB=PC=AB=2,M
為AC的中點,則異面直線8M與R4所成角的余弦值是.
【答案】咚
【分析】先根據異面直線所成角的定義確定血B為異面直線皿與B4所成的角或其補角;再根據勾股定
理求出即4,余弦定理求出cosNDCB.,進而得出BEP;最后在8A仍中,利用余弦定理即可求出cos/DMB.
【詳解】取PC的中點D,連接如圖所示:
p
因為M為AC的中點,。為尸。的中點,
則根據三角形的中位線定理可得DM//PA,且DM=,PA=1.
2
所以ZDMB為異面直線與a所成的角或其補角.
因為在“ABC中,AC=0,BC=1,AB=2,
所以AB?=3C2+AC2,則AC13C.
^AM=MC=-AC=—,所以=JBC2+MC2=立.
222
又在PBC中,BC=1,PB=PC=2,
72_i_I2_721
所以由余弦定理可得:cosNDCB=J
2x2x14
又因為在中,DC=BC=1,
I3
所以由余弦定理可得:BD2=l+l-2xlxlx-=-.
42
173
/z.cDM2+BM1-BD-1+4-2577
則在中,由余弦定理可得,cosZDMB=-----------------------
2xDMxBM2小也一28
2
所以異面直線BM與PA所成角的余弦值為空.
故答案為:這.
28
題型02求異面直線所成角(定值)(向量法)
【典例1】(2024?遼寧沈陽?模擬預測)己知直三棱柱ABC-AB?中,ZABC=120°,AB=CC1=2,BC=1,
則異面直線A片與BG所成角的余弦值為()
A.D..
254
【答案】C
【分析】根據空間向量法求線線角解決即可.
【詳解】以3為原點,在平面A3C過B作8C的垂線交AC于。,
以8£>為x軸,以BC為V軸,以B片為z軸,建立空間直角坐標系,
因為直三棱柱ABC-A再£中,/ABC=120。,AB=CCi=2,BC=1,
所以A(A/3,-1,0),耳(0,0,2),5(0,0,0),q(0,1,2),
所以曲=(-73,1,2),Bq=(0,1,2),
設異面直線AB,與8G所成角為。,
\ABBC\5Tio
所以cos。=c
\ABX\-\BCX\A/8,A/54
故選:C.
【典例2](23-24高三上?廣西?開學考試)正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素,加上它們
的多種變體,一直是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一.如圖,該幾何體是一個高為4的正八面體,G為8C
的中點,則異面直線EG與B尸所成角的正弦值為.
E
【答案】叵
6
【分析】依題意,求出棱長,建立空間直角坐標系,借助向量求出異面直線夾角的余弦值,再轉換為正弦
值即可.
【詳解】
連接30AC交于。點,連接收,
因為該幾何體是一個高為4的正八面體,
所以3£>_LAC,EF=4,OE=2,
設棱長為。,則4。=缶,。4=叵,
2
所以在RtAAOE中,AE2=O^+OE2,即/=[孚]+2?,解得°=20,
以OA,OB,OC所在直線為%%z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,
則E(0,0,2),C(-2,0,0),G(-l,l,0),S(0,2,0),F(0,0,-2),
所以EG=(-1,1,-2),3/=(0,-2,-2),
設異面直線EG與8尸夾角為。,
EGBF(-1)x0+1x(-2)+(-2)x(-2)
則cos0=
EG^BF^(-1)2+12+(-2)2J(-2『+(-2)2~6
因為640微
所以異面直線EG與BF所成角的正弦值sin3=Vl-cos2^=等
故答案為:—.
6
【典例3】(2024高一下?全國?專題練習)如圖,已知。是圓柱下底面圓的圓心,他為圓柱的一條母線,
8為圓柱下底面圓周上一點,OA=1,ZA0B=y,然2為等腰直角三角形,則異面直線AQ與A3所成
角的余弦值為.
【分析】可借助等角定理得到/用4?;蚱溲a角即異面直線4。與A3所成的角,結合余弦定理計算;或借
助空間向量的線性運算得到AlO-AB=^AO-AAiyAB=AO-AB-AAiAB=|OA|-|AB|COS^=|,再利用夾角
公式計算.
【詳解】方法一:
如圖,過點8作2瓦〃相交圓柱的上底面于點4,連接A與,BQ,
則由圓柱的性質易證四邊形4片仍為矩形,所以4瓦//43,
所以/用4?;蚱溲a角即異面直線4。與AB所成的角,
在中,OA=OB=1,ZAOB=—,所以A3=20Bsin^^=2sin^=石,
323
因為AA8為等腰直角三角形,且AAJ.AB,所以AA=AB=6,
所以BQ=Afi=小A4?+OA2=2,又44=AB-E,
攻+外哥-攻4+3_4
所以COS/與4。=
2Ao-2x2x6-4
即異面直線4。與例所成角的余弦值為當
27r
在,ABO中,OA=OB=1,ZAOB=—,
所以AB=20Bsin'=技ZOAB=-,
36
因為44出為等腰直角三角形,且所以用=筋=百,
易知A41_LAO,所以AO=/4短+QV=2,AA]-AO=0,AAi-AB=O,
所以AO.AB=(AO-裕)A3=AO.A3-A4rAB=|O4|A@COS《=T,
3
2=5.
所以cos(AO,A3)4。A3
P4M2x734
則異面直線\0與AB所成角的余弦值為昱.
4
故答案為:走.
4
【變式1】(2024?湖北武漢?模擬預測)已知菱形A3CD,ZDAB=1,將△ZMC沿對角線AC折起,使以
A,民C,。四點為頂點的三棱錐體積最大,則異面直線A3與8所成角的余弦值為()
A,-B.3C,-D.正
5244
【答案】C
【分析】當三棱錐。-ABC的體積最大時,平面ACDL平面A5C,以“為原點,EB,EC,ED分別為x,y,z
軸的正方向建立空間直角坐標系,求出向量AB,CD的坐標,根據向量夾角的坐標表示可解.
【詳解】記AC的中點分別為E,因為AD=CD,所以OE人AC,
同理,BELAC,記AB=2a,
因為=所以行MC=BAC=-,
36
所以BE=DE-a,AE=CE=6a,
TT
易知,當平面AS,平面A5c時,三棱錐O-ABC的體積最大,此時/呂釗二,,
以E為原點,£氏£。,皮)分別為蒼y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,
則A(0,-百〃,0),B(?,0,0),Ce,6a,0),£>(0,0,?)
所以AB=(。,y/3a,0j,CD=(0,-a),
所以cosAB,CD=3a=一』,
2ax2a4
3
所以異面直線AB與8所成角的余弦值為一.
4
故選:C
【變式2](23-24高三下?四川德陽?期末)正四面體ABCD中,£、廠分別是43和8的中點,則EF和
AC所成角的大小是.
【答案】45。/!
4
【分析】構造輔助線,利用中位線定理得到NGEE是所和AC所成角,然后結合向量數量積的變形即可求
解.
【詳解】取A0中點G,連接EG,FG,令棱長為
因為E、歹分別是A8和8的中點,
所以EG〃9,EG=-BD,GF//AC,GF=-AC,
22
所以ZGFE是EF和AC所成角,
11,
又BA-BC=BA-BD=BC-BD=a^a—=—a2,
22
FG=-CA=-(BA-BC]=-BA--BC,
22、>22
FE^FC+CB+BE=-DC-BC+-BA
22
=-(BC-BD\-BC+-BA=-BA--BC--BD,
2、>2222'
122Jy222)4
|=],r_V2
FG=\BA-\BCFE=-BA--BC--BD|-2")
222
FGFEV2
所以cos/GFE=
FG||FE|2,
所以NGEE=45。,即M和AC所成角的大小為45。.
故答案為:45°
【變式3](23-24高二上?廣東茂名?期末)長方體ABCD-A4GA中,AB=BC=2,CQ=1,點尸是底
面A3CD的中心,則直線AQ與直線BF所成角的余弦值為
【答案】烏!石
99
【分析】建立空間直角坐標系,利用坐標進行計算即可.
【詳解】如圖所示,建立如下空間直角坐標系,
依題可得,A(2,0,0),G(0,2,1),/(1,1,0),4(2,2,1),
ACj-FB]-2xl+2xl+lxl_73
所以cosAC1,做=
HH也忑一9
故直線AG與直線所成角的余弦值為當,
故答案為:走.
9
題型03求異面直線所成角(最值或范圍)
【典例1](23-24高二下?山東煙臺?階段練習)如圖,在邊長為1的正方體ABCD-AqG0中,點尸在4G
上,點Q在平面ABBiA內,設直線A4與直線尸。所成角為夕若直線P。到平面AC,的距離為且,貝”in。
2
的最小值為.
AG
[答案]6
3
(分析]建立空間直角坐標系,利用向量法表示出P到面ACR的距離,進而求出點P坐標,過尸作平面ACDt
的平行平面,得到點。的軌跡,再利用向量法求線線角,進而求其最值即可.
【詳解】因為直線尸。到平面ACQ的距離為更,
2
所以必有尸?!鍭CD],即點尸到平面AC。的距離為昱,
2
如圖建立空間直角坐標系,設尸(P』」),又4(1,0,0),C(0,1,0),。(0,0,1),
則AC=(-1,1,0),40,=(-1,0,l),CP=(p,0,l),
設面ACD{的法向量為乃=(x,y,z),
AC-n=-x+y=0,、
則,取尤=1得〃=(1』,1),
ADl-n=-x+z=0
則歸*1=甲=且,解得p=;,即尸
\n\V32212)
過尸作平面AC,的平行平面,與正方體ABCD-4AGA的截面為麗,
V,N分別為線段4片和線段B片的中點,則
所以。在直線MN上,
^PQ=PM+MQ=PM+AMN=0\+A[0,-,--I=I
y22JI22Jy2222
_|%尸。|
又刈=(。,。,1),則儂6=時闋
當2=0時,cos0=0,
口
cos0<------
A/2XT-T,
則sin。的最小值為Jl-
一3
故答案為:手
【典例2](23-24高二上?浙江金華,階段練習)如圖,在多面體ABCDE中,平面A3C,平面3CD_L
平面ABC,A5C是邊長為2的等邊三角形,BD=CD=s/5,AE=2.
B
⑴求點B到平面ECD的距離;
(2)若M為8c的中點,N為線段BE上的動點,設異面直線CO與所成角為。,求cos。的最大值及此時
EN_
言的值
ED
【答案】⑴半
,9,A/8057
3511
【分析】
(1)說明08,49,8兩兩垂直,建立空間直角坐標系,求出相關點的坐標,求出平面ECD的法向量,根
據空間距離的向量求法,即可求得答案;
(2)設EN=/l即(0W2W1),表示出N點坐標,即可求得MN坐標,結合的坐標,根據空間角的向量
求法,即可求得cos。的最大值及此時F蕓N的值.
【詳解】(1)設BC的中點為。,連接AO,。。,KuBD=CD=s/5,則
ABC是邊長為2的等邊三角形,故OC=1,則0O=JCD2_OC2=2,
平面BCD_L平面ABC,平面BCD一「平面ABC=8C,DOu平面BCD,
故DO_L平面A5C,AOu平面A5C,故。O_LAO,
乂ABC是邊長為2的等邊三角形,BC的中點為。,故AO23C,
故以OB,AO,OD所在直線為x,7z軸,建立空間直角坐標系,
則Ae,一后0),2(1,0,0),。(0,0,2),E(0,-V3,2),C(-l,0,0),
C£>=(1,O,2),CE=(1,-V3,2),
n-CD=x+2z=0
設平面CED的一個法向量為〃=(%,y,z)則
n-CE=x-布y+2z=0
令尤=2,則〃=(2,0,—1),又CB=(2,0,0),
故點B到平面ECD的距離為d=0包=與=還;
\n\V55
(2)M為2C的中點,即為。點;
N為線段助上的動點,設EN=XE8(04241),
而班=(1,右,一2),即硒=彳(1,6,一2),故點N(X,石(2-1),一2(力一1)),
故MN=(2,A/3(A-l),-2(2-1)),而CD=(1,0,2),
設異面直線8與MN所成角為。,則cos6=|cos(MN,CD)|=心,①
\MN\\CD\
__________14-3-1_________|4-32|
A/S7A2+3(2-1)2+4(2-1)2后,8幾2—14力+7'
令f=4-33je[l,4],則彳
|4-32|31fl3
故BW?一14X+7后弧2一221+23匹卜子+軍,
112223
4-=v,ve[-,l],貝IJ8——+—,即為235—22v+8,
t4tt
當V="eG,1]時,23V2_22v+8取得最小值||,
?237-3一艮麻
即,=打,即4-32=F/.2=五時,w122?23取得最大值E73535,
即cos。的最大值為叵,此時黑的值為j
35EB11
【典例3](23-24高三下?湖南長沙?開學考試)三棱錐尸-ABC中,上4,平面ABC,ABJ.BC,AB=BC=2.
PA=2有,點。是面R4B內的動點(不含邊界),AD±CD,則異面直線8與A3所成角的余弦值的取
值范圍為()
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系,由AD29,可得/_2x+z2=0(0〈尤<撩),再利用線線角的向量求法求
解即得.
【詳解】由2,平面ABCBCu平面A3C,得上4L3C,
又AB_LBC,PA45=從尸418(^平面/^,則3C2平面R4B,
ADu平面aB,則AD13C,又AD_LC£>,BC8=C,3C,C£>u平面BCD,
因此AD_L平面BCD,而BDu平面BCD,則ADS3D,
如圖,以A為坐標原點,AB,BC,AP的方向為x,Mz軸正方向建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),。(2,0,0),。(2,2,0),尸(0,0,2?設。(x,0,z),
3
AO=(x,0,z),3Q=(x—2,0,z),由ADIHD,^x2-2x+z2=0(0<x<-),
AB=(2,0,0),CD=(x—2,-2,z),設異面直線CD與AB所成角為0,
\ABCD\2(2-x)2—x
則cos0=|cos(AB,CD)|二
\AB\\CD\~27(X-2)2+4+Z2-A/2-74^1'
)
令j4—x=t,貝!—,2),cos6=2
顯然函數y=在(半,2)上單調遞增,此時"je(嚕,D'c°sOe
所以異面直線8與AB所成角的余弦值的取值范圍為
故選:A
【點睛】思路點睛:求空間角余弦的最值或范圍問題,根據給定條件,選定變量,將該角的余弦建立起變
量的函數,求出函數最值或范圍即可.
【變式1](23-24高二上?山東濰坊?期末)在直三棱柱ABC-中,的=4,A8=26,平面。經過
點A,且直線AA與平面&所成的角為30。,過點a作平面a的垂線,垂足為則點A到平面口的距離為
直線AA與BH所成角的范圍為.
【答案】2[30。,60。]
【分析】利用得出H在以A4為直徑的球面上,其時可得出A到平面。的距離,由直線A4與
平面。所成的角為30。,得“在以A4為軸,頂角為60。的圓錐面上,從而得出”的軌跡是圓,然后建立如
圖所示的空間直角坐標系,利用空間向量法求得3"與A4所成角的余弦值,角的范圍.
【詳解】如圖,連接因為AHua,所以
所以H在以朋為直徑的球面上,又直線AA與平面a所成角為30。,而/AA8即為直線AA與平面&所成
的角,因此NAAH=30。,因此H在以AA為軸,頂角為60。的圓錐面上,
過H作/£0,AA于點O,則其中的長即為4到平面a的
距離.
所以H在圓錐40的底面圓上,。為圓心,半徑為G,
以A8為V軸,A4為z軸,過A與A3垂直的直線的為了軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則8(0,2石,0),設H(石cos仇括sin0,3),
BH=cos0,sin(9-2^,3),取A4,的一個方向向量為”=(0,0,1),
\BH,"L廠3廠36工
cosBH,n=
BH同J3cos20+3(sin3-2)2+9j24-12sind以2’2」
又QVBH,nMn,所以3",
63
所以直線BH與A4所成角的范圍是邑口,即[30。,60。],
故答案為:2;[30。,60。].
【變式2](23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期末)如圖,在長方體ABCD-A/CQ中,E是人4的中點,點
尸是A。上一點,AB=AAl=2,BC=3,AF=1,動點尸在上底面AAGA上,且滿足三棱錐尸—班尸的
體積等于1,則直線CP與所成角的余弦值的最大值為
【答案】外
(分析]建立空間直角坐標系,設尸(九n,2)(0<m<3,0<n<2),通過向量法算出點P到平面BFE的距離,
結合三棱錐P-3E廠的體積等于1可得到2"「〃=2,再通過向量法計算直線CP與所成角的余弦值的
范圍,繼而算出答案
【詳解】以。為坐標原點,分別以DC,OR所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
P(m,n,2)(0W相V3,0W〃V2),則/(2,0,0),E(3,0,1),8(3,2,0),C(0,2,0),
A(0,0,2),
FB=(1,2,0),FE=Q,0,1),CP=(叫及—2,2),DR=(0,0,2),
設平面ME的法向量為4=(尤,y,z),貝I]"-"x+ZwO,令片2,得a=(2,-l,-2),
a?FE=x+z=0
上.£尸||2/77-8-
而EP=,則點P到平面BFE的距離d=
開二i
又EP=JF+12=e,BF=BE=Jf+愛=小,
在等腰△班E中,B到中:的高為扃-—=—,則SBFE'X0X述=』,
22222
1c413日\2m-n-8\
而Vp_BFE=7xSBFExd=二義二義d=1,于THd=--------------=2,
3BFE323
解得2加一九=2或2加一〃=14,由0?根?3,。?〃42,得一202加一〃46,貝U2m-n=2f
jrCPDD、4
設直線W與所成的角為氏
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