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第16講三角函數(shù)的概念與運(yùn)算

（8類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第16題,14用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的正弦公式，正弦定理解三角

分形余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，單獨(dú)出題比較少，一般與三角函數(shù)、正余弦

定理結(jié)合出題

【備考策略】1.理解、掌握三角函數(shù)的定義，能夠求解特殊角的三角函數(shù)值

2.能掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助單位圓求解三角函數(shù)值

4.掌握三角函數(shù)的知一求二，齊次化等解題方法

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合三角函數(shù)與正余弦定理一起出題。

?考點(diǎn)梳理

1?角的概念

2.弧度制的相關(guān)概念考點(diǎn)一、任意角與弧度制

r知識(shí)點(diǎn)一.三角函數(shù)的定義《3.三角函數(shù)的概念考點(diǎn)二、扇形的弧長(zhǎng)與面積

4.常用結(jié)論考點(diǎn)三、三角函數(shù)的定義

5.三角函數(shù)定義的推廣

三角函數(shù)的概念與運(yùn)算r1.平方關(guān)系考點(diǎn)四、sina,cosa,tana的知一求二

知識(shí)點(diǎn)二.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系Y2.商數(shù)關(guān)系考點(diǎn)五、sina,cosa,tana的齊次化

3.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形｛考點(diǎn)六、sina±cosa,sincrcosa的知一求二

1誘.導(dǎo)公式

考點(diǎn)七、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

知識(shí)點(diǎn)三.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣

考點(diǎn)八、誘導(dǎo)公式中的湊角求值

3同.角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.三角函數(shù)的定義

1.角的概念

1

(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

分類：按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分成三類：正魚、負(fù)角和零角.

(2)象限角

在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾

象限，就說這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

(3)終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={￡l6=a十寸360°,k”,即任一與角a終邊相

同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

2.弧度制的相關(guān)概念

(1)1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角.

⑵弧度制：

①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.

②記法：弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度

如圖，在單位圓。中，蕊的長(zhǎng)等于1,就是1弧度的角.

⑶角度制和弧度制的互化：180。=匹rad,1。=喧0rad,1rad=l匹上.

(4)扇形的弧長(zhǎng)公式：1=虹,扇形的面積公式：5=%=1戶.其中r是半徑，a(0<a<2兀)為弧所對(duì)圓心角.

3.三角函數(shù)的概念

三角函數(shù)正弦余弦正切

設(shè)a是一個(gè)任意角，aGR,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(x,y),那么

定義X叫做a的正弦，記作sin工叫做a的余弦，記作2叫做a的正切，

X

acosa

記作tana

4.常用結(jié)論

(1)一個(gè)口訣

三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

(2)三角函數(shù)在每個(gè)象限的正負(fù)如下表：

第一象第二象第三象第四象

三角函數(shù)

限符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)

sina++一一

cosa+一一+

tana+—+—

(3)象限角

2

第一象限角仔|2Anr<a<2/CE號(hào),kEZ}

第四象限角陽(yáng)2AH+爭(zhēng)＜。＜淅~+2型EZ]

(4)軸線角

軸

線

角

的

集

合

終邊落在坐標(biāo)軸上的角"[a|a二5F/EZ

5.三角函數(shù)定義的推廣

設(shè)點(diǎn)尸(x,y)是角a終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r=\OP\,貝！Jsina=",cosa=~,tana=".

rrx

知識(shí)點(diǎn)二.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1.平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l.

將壬歹sina,「罷+E,讓z]

2.商數(shù)關(guān)系：--=tan2J.

cosa

3.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形

(l)sin2a=1—cos2a=(l+cosa)(l—cosa)；cos2a=1-sin2a=(l+sina)(l—sina).

0#兀+匹，左￡力

(2)sina=tanacosal2J.

(3)(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

知識(shí)點(diǎn)三.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1.誘導(dǎo)公式

組數(shù)--二三四五六

a+2歷171

角兀+a~a7i—a----a~-\-a

收Z(yǔ))22

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cos。cosc—cos。sina—sina

正切tanatana—tana一tana

2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號(hào)看象限"，其中的奇、偶是氣的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.

3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形

(1)sin2a=1—cos2a=(1+cos(z)(l—cosa)；

cos2a=1—sin2a=(1+sin(z)(l—sina)；

3

(sinaicosa)2=l±2sin?cosa.

[a#+E,kGZ

(2)sina=tanacosal2,

sin2atan2a

⑶sin2a

sin2a+cos2atan2a+1

7

cos'。1

cos2a

sin2a+cos2atan2a+1

考點(diǎn)一、任意角與弧度制

典例引領(lǐng)

1.（2015?山東?高考真題）終邊在y軸的正半軸上的角的集合是（）

A.卜卜=]+2卜兀,k6Z}B.{%,=]+々無(wú)}

C.jxk=—]+2k兀，keZ}D.{x,=—]+k兀，keZ}

【答案】A

【分析】利用終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法即可求解

【詳解】終邊在y軸正半軸上的角的集合是1母+2"#€Z}

故選：A

2.（23-24高三下?江西?階段練習(xí)）已知集合A=^x\2kn+^<x<2kn+y,fcezj,集合B=卜出兀+；<x<

/C7t+pfcGz）,則力C8=（）

A.^2/c7t+J2/CTT+目），keZB.（k兀+kit+J,keZ

C.（2/OT+/2/OT+§,kGZD.伽+：,碗+9，fc6Z

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件把集合B寫成用2kn+0（fcGZ）形式表示的集合，再與集合A求交集即可.

【詳解】依題意，B={X|2/OT+：<x<2kn+j,/cGzjU卜|2E+中<x<2kit+-,kEzj,

而4={x|2E+^<x<2kit+y,kGzj,

所以力nB={x[2/CT+：<x<2/OT+m，kez}=（2碗+力2k兀+§,kEZ.

故選：A

即網(wǎng)投文

1.（23-24高三上?上海靜安?期末）設(shè)a是第一象限的角，貝吟所在的象限為（）

A.第一象限B.第三象限

4

C.第一象限或第三象限D(zhuǎn).第二象限或第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)a是第一象限的角，求出］的范圍判斷即可得解.

【詳解】因?yàn)閍是第一象限的角，

所以2E<a<+彳，fc6Z,

所以kit<—<fc?r+—,fcez,

24

當(dāng)k=2幾TIEZ時(shí)，2九兀V三V2九兀+:,九CZ,三為第一象限角；

242

當(dāng)左=2幾+1,九EZ時(shí)，2n兀+兀V2<2n兀+兀+c，）1€Z,士為第三象限角.

242

故選：C

2.（23-24高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）若a是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（）

A.90°—aB.90°+aC.360°-aD.360°+a

【答案】C

【分析】由題意，根據(jù)角的定義和象限角的概念可判斷各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)閍是第一象限角，所以-a是第四象限角，

則90。一a是第一象限角，故A錯(cuò)誤；90。+a是第二象限角，故B錯(cuò)誤；

360。-a是第四象限角，故C正確；360。+a是第一象限角，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.（23-24高三上?云南?階段練習(xí)）從2023年12月14日13：00到當(dāng)天13:25,某時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度

為（）

A.且B.空C.—列D.—空

6363

【答案】C

【分析】根據(jù)弧度的概念求解.

【詳解】因?yàn)榉轴樖前凑枕槙r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)的角為負(fù)角，

所以分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為-2兀=-日

306

故選：C.

4.（22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考）①若角a與角0的終邊相同，貝ija與0的數(shù)量關(guān)系為；②若角a與角

S的終邊關(guān)于X軸對(duì)稱，貝!la與S的數(shù)量關(guān)系為；③若角a與角0的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，貝心與￡的數(shù)

量關(guān)系為；④若角a與角夕的終邊在一條直線上，則a與￡的數(shù)量關(guān)系為；⑤如果a是第

一象限的角，那么E是第象限的角.

【答案】a=0+2/OT,keZa+S=2kn,keZa+0=（2k+1）兀,keZa=0+

kn,keZ一、二、三

【分析】

根據(jù)角的終邊關(guān)系寫出兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，注意對(duì)稱性、周期性應(yīng)用，根據(jù)a所在象限寫出］的范圍，討論

5

其所在的象限即可.

【詳解】由角a與角0的終邊相同，則a=￡+2/c兀,kEZ,

由角a與角夕的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+0=2knfkeZ,

由角a與角夕的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則a+S=（2k+l）%/cEZ,

由角a與角S的終邊在一條直線上，則a=￡+女兀,々CZ,

由a是第一象限的角，則2々兀Va＜1+2k.7t,kGZ,

所以竽警,kez,

33oo

當(dāng)k=0,則0＜與＜3在第一象限；

36

當(dāng)k=l,則在第二象限；

336

當(dāng)k=2,則亨＜與＜￡,在第三象限；

當(dāng)k＞3,則學(xué)衣次重復(fù)出現(xiàn)在上述三個(gè)象限內(nèi)；

所以］在第一、二、三象限.

故答案為：a=P+2kii,fcGZ,a+）?=2kji,fcGZ,a+夕=（2k+1）兀,k€Z,a=0+kji,kE.Z,一、二、

考點(diǎn)二、扇形的弧長(zhǎng)與面積

甲典例引領(lǐng)

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》中《方田》一章給出了計(jì)算弧田面積的公式：弧田面積=1（弦x

矢+矢2）.弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心

到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為8（0,￡）｝且cos。=套，半徑等于10m的弧田，按照上述給出的面積公

式計(jì)算弧田面積是（）

【答案】A

【分析】先根據(jù)半角公式求出sing,cos*再分別求出弦長(zhǎng)和矢長(zhǎng)，再根據(jù)弧田的面積公式即可得解.

【詳解】由cos”套可得，嗚=尸=*嗚=獰，，

故弦長(zhǎng)為2Xlosing=12,矢長(zhǎng)為10-10cos1=2,

6

所以所求弧田面積為3X（12x2+22）=14m2.

故選：A.

2.（2024高三下?四川成都?專題練習(xí)）如圖，圓。內(nèi)接一個(gè)圓心角為60。的扇形力BC,在圓O內(nèi)任取一點(diǎn),

則該點(diǎn)落在扇形ABC內(nèi)的概率為（）

A

【答案】c

【分析】連接OA,OC,設(shè)圓的半徑為r,求出AC,利用扇形面積公式求出扇形ABC的面積，再結(jié)合幾何

概型求概率公式求解.

【詳解】連接OA,OC,

貝此。4c=30°,=OC=r,

取力C中點(diǎn)D,連接。D,貝

其中4D=CD=rcos300=yr,

所以4C=24D=V3r,

所以扇形ABC的面積為］xxAC?=jitr2,

又因?yàn)閳A的面積為兀聲，

12

所以在圓O內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在扇形ABC內(nèi)的概率為彩=3

兀產(chǎn)2

故選：C

7

即時(shí)檢測(cè)

I________L__________

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，曲線段AB是一段半徑為R的圓弧，若圓弧的長(zhǎng)度為等，則A,B兩點(diǎn)

【答案】C

【分析】先由弧長(zhǎng)公式求出圓心角，再由三角形中計(jì)算得出；

【詳解】設(shè)砂所對(duì)的圓心角為a.

則由題意，得aR=等R.所以戊=日，

所以4B=2/?sinj=2Rsin?=2RX產(chǎn)=V3/?,

故選:C.

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在RSPB。中，NPBO=90。，以。為圓心，OB為半徑作圓弧交OP

于點(diǎn)A.若圓弧AB等分4POB的面積，且N4。B=a,則與=.

【答案】170.5

【分析】利用扇形半徑表示直角三角形POB和扇形的面積，利用面積間的關(guān)系，列式求解.

【詳解】設(shè)扇形的半徑為r,則扇形的面積為

在Rt△POB中，PB=rtana

則^POB的面積為:7?rtancr,

由題意得^丁?丁tana=2x1ar2

所以tana=2a,所以‘-="

tana2

8

故答案為：t

3.(22-23高三上?安徽六安?階段練習(xí))已知扇形的周長(zhǎng)為20cm,則當(dāng)扇形的圓心角a=扇形面積

最大.

【答案】2

【分析】由扇形周長(zhǎng)公式列式2r+2=20(0<r<10),根據(jù)扇形面積公式列式并化簡(jiǎn)為二次函數(shù)形式，從

而求解得r=5時(shí)扇形面積最大，計(jì)算出弧長(zhǎng)由弧長(zhǎng)公式計(jì)算圓心角的值.

【詳解】設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為

由題意，2r+1=2002=20—2r(0<r<10),

扇形的面積為S==1(20—2r)r=10r—r2

="(r-5)2+25(0<r<10),所以當(dāng)r=5時(shí)，

扇形面積取最大值25,此時(shí)1=20-10=10,

所以扇形的圓心角a=』=券=2時(shí)，扇形面積最大.

T5

故答案為：2

4.(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他的《天文學(xué)大成》

包含一張弦表(即不同圓心角的弦長(zhǎng)表)，這張表本質(zhì)上相當(dāng)于正弦三角函數(shù)表.托勒密把圓的半徑60等分,

用圓的半徑長(zhǎng)的”作為單位來度量弦長(zhǎng).將圓心角a所對(duì)的弦長(zhǎng)記為crda.如圖，在圓。中，60。的圓心角所對(duì)

的弦長(zhǎng)恰好等于圓。的半徑，因此60。的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為60個(gè)單位，即crd60。=60.若。為圓心角，cos。=

-(00<6<180°),則crd。=______.

8

/crd601

60°

【答案】30V7

【分析】根據(jù)度量弦長(zhǎng)的定義，利用余弦定理求出cos。=；時(shí)圓心角。所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)/=?r,結(jié)合60。的圓

心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為60個(gè)單位即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓的半徑為r,cos。=5時(shí)圓心角。所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為

O

利用余弦定理可知F-r2+r2-2r2cos。=^r2,即可得2=jr,

又60。的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)恰好等于圓。的半徑，60。的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為60個(gè)單位，

即與半徑等長(zhǎng)的弦所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為60個(gè)單位，

所以2=4x60=3077.

9

故答案為：30V7

考點(diǎn)三、三角函數(shù)的定義

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知角a終邊上有一點(diǎn)P（sin號(hào),cos”），貝阮-a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【分析】根據(jù)稱所在象限可判斷點(diǎn)P所在象限，然后根據(jù)對(duì)稱性可得.

【詳解】因?yàn)榉Q是第二象限角，所以sin”>0,cos^CO,

o66

所以點(diǎn)P在第四象限，即角a為第四象限角，

所以-a為第一象限角，所以兀-a為第三象限角.

故選：C

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a的頂點(diǎn)為原點(diǎn)。，以x軸的非負(fù)半軸為始邊,

終邊經(jīng)過點(diǎn)P（l,機(jī)）（M<0）,則下列各式的值恒大于0的有（）個(gè).

;②cosa—sina；③sinacosa；④sina+cosa.

tana

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到sinaVO,cosa>0,tana<0,再依次判斷每個(gè)式子得到答案.

1

【詳解】sina=T^V0'c°sa=->0,tana=m<0,

Vl+m2

>0；②cosa-sina>0；③sinacosa<0；④sina+cosa符號(hào)不確定.

tana

故選：C.

即0^（

1.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)

P（sin或cos貝！Jcos（a+，）=（）

A.0B.-C.—D.-

222

【答案】B

【分析】由三角函數(shù)的定義即可求得a,從而得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得「你》則tana=*=圣所以a=：+2Mr,/c￡Z,

所以cos（a+：）=cosQ+2k7i+/）=cos^=

10

故選：B

2.(2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè))“角％夕的終邊在同一條直線上”是“sin(a-0)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】借助a-0的值，直接分別判斷充分性和必要性.

【詳解】由角a,￡的終邊在同一條直線上，得a=0+GZ,

即a—8=ku,k€Z,所以sin(a—3)=sinfcir=0,eZ.

反之，由sin(a-/?)=0,得a-°=mn,m€Z,

當(dāng)zn為偶數(shù)時(shí)，角a,0的終邊在同一條射線上；

當(dāng)山為奇數(shù)時(shí)，角a邛的終邊在同一條直線上.

綜上，“角a,￡的終邊在同一條直線上”是“sin(a-位=0”的充要條件.

故選：C.

3.(2024?寧夏石嘴山?三模)在平面直角坐標(biāo)系中，角8的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終

邊經(jīng)過點(diǎn)P(l,2),貝I]7cos2。一2sin26=()

A.B.|C.-2D.2

【答案】A

【分析】由題意可知：tan。=2,根據(jù)倍角公式結(jié)合齊次化問題分析求解.

【詳解】由題意可知：tan。=2,

7cos20—4sin0cos07-4tan0_7—4x2_1

所以7cos2?！?sin20=

sin20+cos20tan20+l-22+l—5

故選：A.

4.(2020高三?全國(guó)?專題練習(xí))若角。的終邊上有一點(diǎn)P(a,a)(aK0),則sin。的值是

【答案】曰或一圣

【分析】由已知求得|OP|,對(duì)a分類討論即可求得sin。的值.

【詳解】P(a,a),|。尸|=Va2+a2=V2|a|,

當(dāng)a>0時(shí)，|。尸|=V2a,sin?=卷=亨；

當(dāng)a<0時(shí)，|。尸|二一夜0，sin6>=-^=-y.

sinJ的值是子或-

故答案為：孑或-爭(zhēng)

考點(diǎn)四、sina,cosa,tan。的初一求二

11

典例引領(lǐng)

1.(2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知sin管+a)=苧且]<aVn,貝ijtana=()

A.-V3B.--C.—D.3

33

【答案】B

【分析】由誘導(dǎo)公式可得cosa=-咚,根據(jù)平方關(guān)系sina=再根據(jù)商數(shù)關(guān)系得tana=膽.

22cosa

【詳解】由誘導(dǎo)公式得sin(y+a)=sin(IT+：+a)=—sin(^+a)=—cosa=?，

所以cosa=-y,

又因?yàn)镼6(],兀)，

所以sina=i,

r-rKI4sinaV3

所以tana=——=-—?

cosa3

故選：B.

2.(23-24高三下?遼寧?階段練習(xí))已知cos"號(hào),3￡(0,7t),則cos《—2。=.

【答案】-號(hào)-三五

【分析】先求出sin。，再根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式即可得解.

【詳解】因?yàn)閏os8=-1,9e(0,7i),

所以sin0=V1-cos20=苧，

所以cosQ-28)=sin20=2sin0cos0=—殍.

故答案為：-殍.

即峭史

1.(2024,山東?二模)已知sina=*,且a€仔,兀)，那么把苧=________.

5\2/cos4a

【答案】—|

【分析】先根據(jù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求出cosa,tana,再根據(jù)二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)即可得解.

【詳解】因?yàn)閟ina=|,aE\,兀),所以cosa=-：,tana=-；,

sin2a2sinacosa2sina?3

—y-=----n—=------=2tana=——.

cosacosacosa2

故答案為：-去

2.(2024?西藏林芝,模擬預(yù)測(cè))已知銳角a滿足sin2a=tana,則cosa=________.

【答案】曰/；魚

【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將切化弦，解得即可.

【詳解】因?yàn)閟in2a=tana,所以2sinacosa=2吧，因?yàn)閍為銳角，sincr>0,cosa>0,

cosa

所以cos2a=I，所以cosa=j或cosa=-苧(舍去).

故答案為：y

考點(diǎn)五、sin絲cosa,tana的齊次化

12

典例引領(lǐng)

5sina+cosa

1.（2024?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知tana=2,則

2sina—cosa

A.-B.—C.-D.2

333

【答案】B

【分析】根據(jù)切弦互化法計(jì)算即可求解.

【詳解】因?yàn)閠ana=2,

所以5sina+cosa_5tana+l_5x2+1_11

2sina—cosa2tana—12x2—13

故選：B.

2.（2024?四川自貢?三模）已知角a滿足三等=3,則sin2a=（）

sin2a

A.一處B.正C.—D.。

101055

【答案】D

【分析】結(jié)合題意運(yùn)用倍角公式和化正弦余弦為正切，即可求解.

2sin2a

【詳解】由上啜=3得=3,即tana=3,

2sinacosa

2sinacosa2tana_3

???sin2a=~

si~n7a+：cos2-al+tan2a5

故選：D.

即日螂（

1.(23-24高三下?云南?階段練習(xí))若tana=I，則sin2a-2cos2a—2=()

A.--B.--C.—D.—

24132413

【答案】B

【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閠ana='

所以sin2a-2cos2a-2=22*伽呼一小2

sina+cosa

2sinacosa—4cos2a2tana—4

sin2a+cos2atan2a+1

2

2x--424

析二=

故選：B.

2.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）已知tan。=2V2,則cos20=（）

13

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角公式，結(jié)合正余弦齊次式法計(jì)算即得.

【詳解】由tan。=2V2,得cos20=cos20—sin20=儂約皿g_，匕0釁7

cos”e+sin”。1+tan/。9,

故選：C

3.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）已知坐駕=2,則普T

sm0+cosy2sm0+cos0

【答案】言

【分析】利用同角三角函數(shù)值之間的基本關(guān)系可得sin。=-4cos6,將表達(dá)式利用平方和關(guān)系為1化簡(jiǎn)可得

結(jié)果.

【詳解】由si”：2*_2可得$出。=—4cos0,即tan。=—4；

sm8+cos6

gr-pisin30+cos0_(—4COS0)3+COS0_—64cos30+cos0_—64cos20+l

2sin0+cos302x(-4cos0)+cos30—8cos0+cos30-8+cos20

-64cos2。+sin20+cos20—63cos20+sin20-63+tan20

—8(sin20+cos20)+cos20—8sin20—7cos2?！?tan20—7

將tan”-4代入計(jì)算可得就碧=舒=省

□rtsin30+cos0_47

2sin0+cos30135,

故答案為：言

考點(diǎn)六、sina+cosa,sin。?cosa的初一求二

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三下?安徽蕪湖?階段練習(xí)）已知*^=鳥則sin2a=（）

sma+cosa3

A.匹Bc-D

3-i.4-1

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件,利用二倍角公式求出cosa-sina,再利用同角公式計(jì)算得解.

V3zcos2a-sin2ag々力外日.V3

【詳解】由卓一得a一：---=1解得cosa-sina=—

sma+cosa3sina+cosa33：

兩邊平方得1一sin2a=所以sin2a=|.

故選：D

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知sina+cosa=二，aG(0,n),貝！Jtana.....-)

5tana

A44

-卷B?-看c--iD.

3

【答案】B

【分析】借助sina+cosa=，可得sina?cosa,結(jié)合所處象限可得sina-cosa,即可得tana,即可得解.

14

、、I]

【詳解】由sina+cosa=iaE(O,TI),

???(sina+cosa)2=擊，即1+2sina?cosa=

???2sina-cosa=-1|<0,a為鈍角,

???sina>0,cosa<0,???sina—cosa>0,

???(sina—cosa)2=1—2sina-cosa=

.7

???sina—cosa=

rn,1.sina+cosa+sina-cosa4

則sina=---------------------=

4

143,54

cosa=---=-???tana=1=-

555—3

5

mil,1417

貝IJtana-------=----------T=-----.

tana3——12

3

故選：B.

即日螂（

1.（23-24高三上?天津河西?階段練習(xí)）已知aE（0m）,sina+cosa=-個(gè)，則cos2a=（）

A.+—B.—C.--D.+—

-333-9

【答案】B

【分析】由sina+cosa=一/平方得到sin2a,再利用平方關(guān)系求解.

【詳解】解：因?yàn)閍E（0m）,sina+cosa=—曰V0,

所以aE（詈,兀）,

由sina+cosa=—彳兩邊平方得1+2sinacosa=

2

即sin2a=2sinacosa

所以2a€（,,2兀），cos2a=—sin22a=f.

故選：B.

2.（23-24高三上?云南?階段練習(xí)）已知sinacosa=",且：＜a＜會(huì)則下列結(jié)果正確的是（）.

A.sin2a=-B.sina+coscr=—

82

C.sina—cosa=——D.tana=4—V15

【答案】B

【分析】利用二倍角正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系逐項(xiàng)求解即可.

【詳解】因?yàn)閟inacosa='所以sin2a=2sinacosa=工，故A錯(cuò)誤；

84

15

因?yàn)?sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=

又2<a<p所以sina+cosa>0,所以sina+cosa=/，故B正確；

(sina—cosa)2=cos2a+sin2a—2sinacosa=

又U<a<p所以sina>cosa所以sina—cosa=?，故C錯(cuò)誤；

V5-

sina+cosa=2解得sina=

聯(lián)立4

V3-

sina—cosa=2cosa=

4

所以tana=史”=4+V15,故D錯(cuò)誤；

cosa

故選：B.

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知sin。,cos。是關(guān)于久的方程25/-35%+a=0的兩個(gè)實(shí)根，則」--

sin0cos（7c+0）

的值為.

【答案】—/2-

1212

【分析】利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.

【詳解】因?yàn)閟in。，cos。是關(guān)于％的方程25/-35%+a=0的兩個(gè)實(shí)根，

可得sinO+cos0=平方可得1+2sin0cos0=可得sin0cos0=||,

7

所以」______」=工+工=sine+cosfl=再=受.

sin。cos（7i+0）sin。cos6sinJcos?！?2

故答案為：II

4.（23-24高三上?安徽?階段練習(xí)）已知。是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿足cos。-sin。=-￡則處封巴警竺=

5sin0

（）

【答案】B

【分析】

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2e+cos2j=1,可求tan。的值，進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用

化簡(jiǎn)，即可計(jì)算得解.

【詳解】

因?yàn)閏os3—sin。=—兩邊平方得1—2sin6cos。=

即2sin0cos0=可得（sin。+cos0）2=1+2sin0cos0=

因?yàn)?。是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且2sin0cos9=g,所以sin?！?,cos。>0,

所以sin0+cosO>0,得sin。+cos0=管，

又因?yàn)閏os0—sin。=—個(gè)，sin。+cos0=手，

16

聯(lián)立解得：sin。=—,cos0=y,故有：tan。=2,

從而有(sin8+cose)cos26sin0+cos0cos20—sin20tan0+l1-tan209

-----------------------------------1---------------

sinOsin。cos20+sin20tan。l+tan2010

故選：B.

考點(diǎn)七、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

典例引領(lǐng)

1.（2024?北京通州?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,

終邊與單位圓交于點(diǎn)PG，-?!），則cos（兀一2a）=（）

9779

A--王B.一石C.房D.北

【答案】B

【分析】接根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出sina=-|,cosa=p再由誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式化簡(jiǎn)即可得

出答案.

【詳解】由三角函數(shù)的定義可得sina=-'|,cosa=

所以COS（TT—2a）――cos2a=—（2cos2a—1）——（2x-1）=—同

故選：B.