材料力學(xué)（第2版）課件：桿件的變形分析A

桿件的變形分析(A)DeformationPARTA桿件的變形分析（A）Deformation（PARTA）4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形桿件承受軸向載荷，軸向和橫向尺寸均發(fā)生變化。桿件沿軸線方向的變形稱為軸向變形或縱向變形；垂直于軸線方向的變形稱為橫向變形?？v向變形縱向應(yīng)變當(dāng)桿橫截面上的應(yīng)力不超過比例極限時(shí)EA：拉(壓)剛度4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形橫向變形橫向應(yīng)變

通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料在彈性范圍內(nèi)時(shí)，拉壓桿的縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變存在如下的比例關(guān)系泊松比各向同性材料：4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形只適用于桿件均勻變形只適用彈性范圍只適用等直桿

若桿件橫截面沿軸線緩慢變化，軸力沿軸線變化，作用線仍與軸線重合。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形直桿系一般桿件4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形西蒙?泊松Simeon-DenisPoisson法國(guó)數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家和物理學(xué)家無神論者在固體力學(xué)中，泊松以材料的橫向變形系數(shù)，即泊松比而知名。他在1829年發(fā)表的《彈性體平衡和運(yùn)動(dòng)研究報(bào)告》一文中，用分子間相互作用的理論導(dǎo)出彈性體的運(yùn)動(dòng)方程，發(fā)現(xiàn)在彈性介質(zhì)中可以傳播縱波和橫波，并且從理論上推演出各向同性彈性桿在受到縱向拉伸時(shí)，橫向收縮應(yīng)變與縱向伸長(zhǎng)應(yīng)變之比是一常數(shù)，其值為四分之一。但這一數(shù)值和實(shí)驗(yàn)有差距，如1848年G.維爾泰姆根據(jù)實(shí)驗(yàn)就認(rèn)為這個(gè)值應(yīng)是三分之一。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形負(fù)泊松比材料通常認(rèn)為,幾乎所有的材料泊松比值都為正,約為1/3,橡膠類材料為1/2,金屬鋁為0.33,銅為0.27,典型的聚合物泡沫為0.11～0.14等,即這些材料在拉伸時(shí)材料的橫向發(fā)生收縮。而負(fù)泊松比NegativePoisson’sRatio)效應(yīng),是指受拉伸時(shí),材料在彈性范圍內(nèi)橫向發(fā)生膨脹;而受壓縮時(shí),材料的橫向反而發(fā)生收縮。

1987年,PoderickLakes把110×38×38mm的普通聚氨酯泡沫放入75×25×25mm的鋁制模具中,進(jìn)行三維壓縮后再對(duì)其進(jìn)行加熱、冷卻和松弛處理,得到的泡孔單元呈內(nèi)凹(re-entrant)結(jié)構(gòu)，首次通過對(duì)普通聚合物泡沫的處理得到具有特殊微觀結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比材料,并測(cè)得其泊松比值為-0.17。自此,這一領(lǐng)域內(nèi)的研究開始蓬勃發(fā)展起來。文獻(xiàn)檢索:負(fù)泊松比材料的應(yīng)用前景和價(jià)值？4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形例題4.1階梯形直桿受力如圖所示，桿各段的橫截面面積分別A1=A2=2500mm2，A3=1000mm2，桿各段的長(zhǎng)度如圖，彈性模量E=200GPa。求桿的總伸長(zhǎng)量。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形總伸長(zhǎng)：4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形例題4.2

如圖所示桿系結(jié)構(gòu)，已知桿BD為圓截面鋼桿，直徑d=20mm，長(zhǎng)度l=1m，E=200GPa；桿BC為方截面木桿，邊長(zhǎng)a=100mm，E=12GPa。載荷F=50kN。求點(diǎn)B的位移。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形

通過節(jié)點(diǎn)B的受力分析可以判斷AB桿受拉而BC桿受壓，AB桿將伸長(zhǎng)，而BC桿將縮短。

因此，節(jié)點(diǎn)B變形后將位于B0點(diǎn)

由于材料力學(xué)中的小變形假設(shè)，可以近似用B1和B2處的圓弧的切線來代替圓弧，得到交點(diǎn)B3

故點(diǎn)B的位移近似等于BB3的距離。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形(1)計(jì)算軸力(2)計(jì)算變形4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形(2)計(jì)算點(diǎn)B的位移點(diǎn)B的位移4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形【討論】(1)桿件變形是桿件在載荷作用下其形狀和尺寸的變化，結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的位移指結(jié)構(gòu)在載荷作用下某個(gè)節(jié)點(diǎn)空間位置的改變。(2)圖解法求結(jié)構(gòu)位移，“以切線代弧線”是以小變形假設(shè)為前提的。(3)求解結(jié)構(gòu)位移的步驟:受力分析，求軸力；應(yīng)用胡克定律求各桿變形；用“以切線代弧線”方法找出節(jié)點(diǎn)變形后的位置。4.1直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形【課堂討論】試計(jì)算以下剛性梁AB的B處位移。其它桿件為彈性桿，剛度EA。（討論計(jì)算思路）4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算公式相距l(xiāng)

的兩截面之間的扭轉(zhuǎn)角適用于等截面軸

相對(duì)扭轉(zhuǎn)角若在長(zhǎng)l的兩橫截面之間T為常量，則對(duì)于截面變化不大的圓錐截面軸同種材料階梯軸扭轉(zhuǎn)時(shí):4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形取單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角

用來表示扭轉(zhuǎn)變形的大小單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角的單位:rad/m抗扭剛度越大，單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角越小轉(zhuǎn)換為(°/m)4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形例題4.3如圖所示受扭圓軸，已知：Me1=1400N·m，Me2=600N·m，Me3=800N·m，d1=60mm，d2=40mm，剪切彈性模量G=80GPa，計(jì)算最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形1）根據(jù)題意，首先畫出扭矩圖2）AB段單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：3）BC段單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：綜合兩段，最大單位扭轉(zhuǎn)角應(yīng)在BC段為0.03978rad/m4.2圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形例題4.4

如圖所示鉆桿橫截面直徑為20mm，在旋轉(zhuǎn)時(shí)BC段受均勻分布的扭力矩m的作用。已知使其轉(zhuǎn)動(dòng)的外力偶矩Me