材料力學（第2版）課件：能量法初步

能量方法初步EnergyMethod能量方法初步EnergyMethod10.1作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功10.2桿件的變形能計算10.3功的互等定理及位移互等定理10.4卡氏第二定理10.5莫爾定理及圖乘法10.1作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功10.1作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功

設(shè)彈性體在支座約束作用下無任何剛性位移，則彈性體在外力（即載荷）作用下發(fā)生變形，同時外力作用點在外力作用方向產(chǎn)生位移，因此外力在相應(yīng)的位移上作功，用W表示。而彈性體由于變形的發(fā)生就要積蓄一定的能量，這種因變形而儲存的能量稱為應(yīng)變能，用Ve表示。根據(jù)功能原理，若彈性體的外力由零緩慢地增至最終值，忽略彈性體在變形過程中的其他能量損耗，則儲存在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力在其相應(yīng)位移上所作的功。

利用外力功與應(yīng)變能的關(guān)系計算和分析構(gòu)件及結(jié)構(gòu)的位移、變形、內(nèi)力和應(yīng)力的方法稱為能量法。能量法是一種重要的應(yīng)用非常廣泛的計算方法。本章從基本概念入手，介紹能量法的基本理論和方法及應(yīng)用。10.1作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功常力功

彈性體在平衡力系的作用下，在一定的變形狀態(tài)保持平衡，這時，如果某種外界因素使這一變形狀態(tài)發(fā)生改變，作用在彈性體上的力作功，是常力功:10.1作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功變力功

作用在彈性桿件上的力，其加力點的位移，隨著桿件受力和變形的增加而增加，在這種情形下，力所作的功為變力功。

對于材料滿足胡克定律、又在小變形條件下工作的彈性桿件，作用在桿件上的力與位移成線性關(guān)系。FPΔOFP

10.1作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功常力功非線性變力功線性變力功10.1作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功需要指出的是，上述功的表達式中，力和位移都是廣義的。FP可以是一個力，也可以是一個力偶；當FP是一個力時，對應(yīng)的位移Δ是線位移，當FP是一個力偶時，對應(yīng)的位移Δ是角位移。廣義力廣義位移集中力線位移集中力偶角位移一對等值反向的力相對線位移一對等值反向的力偶相對角位移10.2桿件的變形能計算10.2桿件的變形能計算軸向拉伸（壓縮）

外力F作用是緩慢加載，F(xiàn)-DL關(guān)系符合胡克定律，呈線性關(guān)系當加載至F，變形為DL時，外力作功為圖示的陰影部分面積。外力作功:變形能:將上式除以桿的體積Alv

變形能密度10.2桿件的變形能計算軸向拉伸（壓縮）若桿件中軸力FN=F

當桿件的軸力沿桿件的軸線發(fā)生變化時,dx微段的應(yīng)變能:10.2桿件的變形能計算

外力偶矩從0緩慢增加至最終值，圓軸的轉(zhuǎn)角j與外力偶矩T的關(guān)系也是一條斜直線。若

扭矩沿軸線變化時，整個軸的應(yīng)變能為:扭轉(zhuǎn)10.2桿件的變形能計算彎曲

根據(jù)撓曲線近似微分方程，可計算兩端截面相對轉(zhuǎn)角:力偶所作的功是:

純彎曲梁的應(yīng)變能：

對于橫力彎曲，梁截面上同時有彎矩和剪力，且一般都隨截面位置變化，這時應(yīng)分別計算彎曲與剪切相對應(yīng)的應(yīng)變能，但是在細長梁下，對應(yīng)于剪切的應(yīng)變能與彎曲應(yīng)變能相比，可以忽略不計。10.2桿件的變形能計算統(tǒng)一形式

根據(jù)軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲的分析，應(yīng)變能可綜合寫成統(tǒng)一形式:

F

廣義力D

廣義位移

在線彈性情況下，廣義力和廣義位移之間是線性關(guān)系。

對于非線性彈性材料組成的構(gòu)件，不能用上式計算變形能或外力功，而應(yīng)有下式計算：10.2桿件的變形能計算例題10.1

如圖所示簡支梁，集中力F作用于C點，試用能量原理計算截面C的撓度wC。

EI為常數(shù)。10.2桿件的變形能計算1、計算約束反力，寫出彎矩方程2、應(yīng)變能10.2桿件的變形能計算3、外力作功4、根據(jù)功能原理10.2桿件的變形能計算應(yīng)變能表達式組合變形情況下的應(yīng)變能10.3功的互等定理和位移互等定理10.3功的互等定理和位移互等定理功的互等定理

對于線彈性體（梁、桁架、框架等），第一組力在第二組力引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功。10.3功的互等定理和位移互等定理功的互等定理[證明]注:由于在F2作用之前F1已經(jīng)作用在梁上，因此F1在F2引起的位移D12上作功是常力作功F1

D12兩次加載作的功應(yīng)等于彈性體存儲的應(yīng)變能。而應(yīng)變能與加載次序無關(guān)（若有關(guān)，則和能量守恒相矛盾）。10.3功的互等定理和位移互等定理位移互等定理若F1=F2

F1作用點沿F1方向由于F2而引起的位移D12,等于F2作用點沿F2方向由于F1引起的位移D21.

上述互等定理中的力和位移都應(yīng)理解為廣義的，如果力換成力偶，則相應(yīng)的位移應(yīng)當是角位移。10.3功的互等定理和位移互等定理例題10.2

如圖所示懸臂梁，已知梁的抗彎剛度為EI,若截面B的垂直位移為0，試用互等定理求FB10.3功的互等定理和位移互等定理第一組力:F,FB第二組力:F0=1根據(jù)功互等，第一組力在第二組力引起的位移作功等于第二組力在第一組力引起的位移作功計算D1,D2第一組力在第二組力引起的位移上作功:10.3功的互等定理和位移互等定理第一組力在第二組力引起的位移上作功:第二組力在第一組力引起的位移上作功為0（第一組力引起B(yǎng)點位移為0）:由功的互等定理10.3功的互等定理和位移互等定理課堂練習

如圖所示簡支梁，已知梁中點C作用F力時，B截面的轉(zhuǎn)角:試求在B截面作用力偶矩M時，C的撓度DC10.3功的互等定理和位移互等定理課堂練習解答根據(jù)功的互等定理，F(xiàn)力在M所引起的位移上所作的功等于M在F力所引起的位移（角位移）上所作的功，即方向向下10.4卡氏第二定理10.4卡氏第二定理結(jié)構(gòu)因外力作用而存儲的應(yīng)變能：若有一個增量dFi，則應(yīng)變能增量（功增量）略去高階小量10.4卡氏第二定理第一組力第二組力根據(jù)功互等定理：若dFi趨于0卡氏第二定理(通常稱卡氏定理):線彈性桿件或桿系的應(yīng)變能對于作用在該桿系上某一載荷的變化率等于該載荷相關(guān)的位移。CarloAlbertoCastigliano意大利187310.4卡氏第二定理對于橫力彎曲，應(yīng)用卡氏定理：對于桁架，由于各桿均受軸向力

用卡氏定理求結(jié)構(gòu)某處位移，該處需有與所求位移相應(yīng)的載荷，若該處沒有與此位移對應(yīng)的載荷，則可采用附加力的方法，即在該點虛設(shè)一個廣義力F,運用卡氏定理求廣義位移，最后使該力等于零。10.4卡氏第二定理例題10.3

線彈性材料懸臂梁，自由端A作用有集中力，若F、l、EI已知，求

1）加力點A的位移DA

2)梁中點B的位移DB10.4卡氏第二定理1、求加力點A的位移彎矩方程：正值表示位移與力方向一致10.4卡氏第二定理2、求梁中點B的位移在點B附加力F'彎矩方程:實際B處并無力的作用，故F'=010.5莫爾定理及圖乘法10.5莫爾定理及圖乘法莫爾定理求梁上截面C在載荷F1,F2……Fi作用下的位移DC假想在截面C先作用單位力F0=1F0單獨作用時的應(yīng)變能:M0(x)

單位力作用下梁的彎矩方程然后增加載荷F1,F2……FiF1,F2……Fi作用時的應(yīng)變能:M(x)

F1,F2……Fi作用下梁的彎矩方程梁總的應(yīng)變能:10.5莫爾定理及圖乘法莫爾定理將單位力F0=1與F1,F2……Fi同時作用，梁上的彎矩方程應(yīng)為：梁總的應(yīng)變能:兩種情況下應(yīng)變能相等:展開化簡后得到:這就是計算彎曲變形時的莫爾定理或單位載荷法。式中的積分稱為莫爾積分。10.5莫爾定理及圖乘法莫爾定理將計算彎曲變形時的莫爾定理進行推廣:同時承受彎曲和扭轉(zhuǎn):對于有m根桿的桁架，若在載荷作用下第i根桿的軸力FNi

在需要求兩點的相對位移時，只需要在兩點的聯(lián)線方向上加一對方向相反的單位力，然后用莫爾定理計算，即可求得相對位移。10.5莫爾定理及圖乘法圖乘法莫爾積分：若EI為常數(shù)，則只需計算M(x),M0(x)如有一個是x的線性函數(shù)，可用圖乘法簡化積分計算微面積對M(x)軸的靜矩M(x)所圍面積w對M(x)軸的靜矩10.5莫爾定理及圖乘法圖乘法10.5莫爾定理及圖乘法圖乘法圖乘法的應(yīng)用條件(1)桿件軸線為直線——直桿；(2)桿件是等截面的（或分段等截面的）——EI

=

常數(shù)；(3)兩個彎矩圖中至少有一個是直線變化的（或分段直線變化）

——直線圖形。可用圖乘法求積分運算10.5莫爾定理及圖乘法圖乘法幾種常見圖形的面積及其形心10.5莫爾定理及圖乘法圖乘法

對于比較復雜的圖形，在進行圖乘法求解時，為了計算方便，可將彎矩分解成幾部分，對每一部分使用教材上給出的標準圖形，然后疊加求解。

若M(x)為折線，則應(yīng)以折線的轉(zhuǎn)折點為界，將積分分成幾段，逐段使用圖乘法，然后求和。10.5莫爾定理及圖乘法例題10.4

均布載荷作用下的簡支梁如圖，EI為常量，試求跨中截面C的撓度wC10.5莫爾定理及圖乘法1、畫出梁的彎矩圖2、在梁的中點施加單位力3、畫出單位力作用下的彎矩圖4、利用圖乘法求解。由于單位力作用下的彎矩圖是折線，因此要分段求和。10.5莫爾定理及圖乘法彎矩圖左右對稱，可取其中一半計算形心位置按照圖乘法求跨中撓度10.5莫爾定理及圖乘法例題10.5用圖乘法求圖示梁的截面B撓度和轉(zhuǎn)角

10.5莫爾定理及圖乘法例題10.51、畫出彎矩圖（過程略）

為了應(yīng)用圖乘法方便，可以將彎矩圖分解成為3個面積的代數(shù)和

注意到II、III面積應(yīng)為負面積10.5莫爾定理及圖乘法例題10.52、為求截面B的撓度，在截面B施加單位力F0=1，畫出單位力作用下的彎矩圖10.5莫爾定理及圖乘法例題10.5按照圖乘法求截面B撓度10.5莫爾定理及圖乘法例題10.5按照圖乘法求截面B轉(zhuǎn)角為求截面B

轉(zhuǎn)角，在B點施加單位力偶MB=1畫出彎矩圖10.5莫爾定理及圖乘法例題10.6

剛架受力如圖所示，已知：橫桿彎曲剛度為2EI，豎桿彎曲剛度為EI，拉伸剛度為EA，載荷集度q，長度l。

求：1.截面B

的水平位移;

2.分析軸力對B處水平位移的影響。

10.5莫爾定理及圖乘法

畫出系統(tǒng)的彎矩圖，可利用疊加原理，分別畫出Fp=ql作用以及q作用下的彎矩圖，計算B點位移時分別與單位力產(chǎn)生的彎矩圖進行圖乘后疊加。原系統(tǒng)圖Fp單獨作用的彎矩圖q單獨作用的彎矩圖1、計算彎矩引起的B點水平位移10.5莫爾定理及圖乘法為求截面B的水平位移，在截面B加一個水平向右的單位力，并畫出單位力作用下的彎矩圖。10.5莫爾