湖南省張家界市2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題(解析版)_第1頁
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高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省張家界市2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案:不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔,考試結束后,將答題卡交回.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.35是等差數(shù)列3,5,7,9,的()A.第16項 B.第17項 C.第18項 D.第19項【答案】B【解析】等差數(shù)列3,5,7,9,的首項為3,公差為2,所以等差數(shù)列的通項公式為,令,得.所以35是等差數(shù)列3,5,7,9,的第17項.故選:B2.若直線經過兩點,則直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線經過兩點,可得直線的斜率為,設直線的傾斜角為,有,又,所以.故選:C.3.拋物線的焦點到直線的距離等于()A.1 B. C. D.4【答案】B【解析】拋物線的焦點為,焦點到直線的距離為.故選:B4.已知向量若與、共面,則實數(shù)()A. B. C. D.【答案】C【解析】由共面定理可得存在非零實數(shù)滿足,可得,解得,故選:C5.若直線被圓所截得的弦長為,則實數(shù)a的值為()A.0 B.4 C.-2 D.0或4【答案】D【解析】圓的圓心為,半徑,設圓心到直線的距離為,則,解得,所以,解得或.故選:D.6.音樂與數(shù)學有著密切的聯(lián)系,我國春秋時期有個著名的“三分損益法”:若以“宮”為基本音,“宮”經過一次“損”,頻率變?yōu)樵瓉淼?,得到“徵”;“徵”經過一次“益”,頻率變?yōu)樵瓉淼?,得到“商”;.....依次損益交替變化,獲得了“宮?徵?商?羽?角”五個音階.據(jù)此可推得()A.“徵?商?羽”的頻率成等比數(shù)列B.“宮?徵?商”的頻率成等比數(shù)列C.“商?羽?角”的頻率成等比數(shù)列D.“宮?商?角”的頻率成等比數(shù)列【答案】D【解析】設“宮”的頻率為,則“徵”的頻率為,“商”的頻率為,“羽”的頻率為,“角”的頻率為,所以“宮?商?角”的頻率成等比數(shù)列,公比為.故選:D7.設,分別為橢圓與雙曲線的公共焦點,它們在第一象限內交于點,,若橢圓的離心率,則雙曲線的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得,所以.在中,,由余弦定理可得,整理可得,,兩邊同時除以可得,.又,,所以有,所以,.因為,所以,所以,所以,,,所以,.則,故.故選:C.8.設,則()A. B.C D.【答案】A【解析】,令,則,令,則,當時,單調遞減,當時,單調遞增,所以,所以在上單調遞增,所以,即,所以.綜上,.故選:A二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知直線l:,則()A.直線l過點 B.直線l的斜率為C.直線l的傾斜角為 D.直線l在軸上的截距為1【答案】ACD【解析】直線l:,即直線l:,令,可得,即直線l過點,故A正確;可知直線l的斜率為,故B錯誤;設直線l的傾斜角為,可知,所以,即直線l的傾斜角為,故C正確;直線l在軸上的截距為1,故D正確;故選:ACD.10.數(shù)列的前項和為,已知,則下列說法正確的是()A. B.數(shù)列是等差數(shù)列C.當時, D.當或4時,取得最大值【答案】ABD【解析】由可得,當時,,兩式相減即,即時,又當時,符合,所以可得,即可得AB正確;易知數(shù)列為遞減數(shù)列,當時,,所以C錯誤;由利用二次函數(shù)性質以及可得,當或4時,取得最大值.故選:ABD11.如圖,在棱長為2的正方體中,分別為,的中點,則()A.B.⊥平面C.異面直線與所成角的大小為D.平面到平面的距離等于【答案】AB【解析】連接,如下圖所示:因為是的中點,由正方體性質可知是與的交點,又是的中點,所以是的中位線,即,可知A正確;連接,四邊形是正方形,所以,又由正方體性質可知,,平面,所以平面;又,所以平面,即B正確;由可得異面直線與所成的角即為直線與所成的角,也即是異面直線與所成的角,連接,易得是正三角形,所以,即異面直線與所成的角為,故C錯誤;易知,由正方體性質可知,又,平面,所以平面;又平面,所以,同理可證,,平面,所以平面;同理可證平面;因為正方體棱長為2,所以正三角形和正三角形的邊長為,可得其面積為,設到平面的距離為,則由等體積法可得,解得;同理有到平面的距離也為,又易知,所以平面到平面的距離等于,即D錯誤;故選:AB12.已知雙曲線的左右頂點為,,左右焦點為,,直線與雙曲線的左右兩支分別交于,兩點,則()A.若,則的面積為B.直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于,兩點,則C.若的斜率的范圍為,則的斜率的范圍為D.存在直線的方程為,使得弦的中點坐標為【答案】ABC【解析】在雙曲線中,對于A:在雙曲線的焦點三角形中,,可得所以,故A正確;對于B,不妨設,當時表示雙曲線,當時表示該雙曲線的兩條漸近線.設直線,其與的交點為聯(lián)立,可得,應滿足且.由韋達定理可知,都與無關.所以線段的中點與線段的中點重合,不妨設為.由可知,故B正確;對于C,設,且,,所以若的斜率范圍為,則的斜率的范圍為,C正確;對于D,聯(lián)立,消去可得,,故直線與雙曲線無交點,所以不存在中點,D錯誤.故選:ABC.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知,,且,則_______.【答案】2【解析】,,且,,解得:,故答案為:2.14.已知拋物線的準線方程為,則拋物線的標準方程為_________.【答案】【解析】設拋物線的標準方程為,由題意可知,,得,所以拋物線的標準方程為.故答案為:15.若函數(shù)在上單調遞減,則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】由函數(shù),可得,因為函數(shù)在上單調遞減,則在上恒成立,即在恒成立,因為,所以,即實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.16.記上的可導函數(shù)的導函數(shù)為,滿足的數(shù)列稱為“牛頓數(shù)列”.若函數(shù),數(shù)列為牛頓數(shù)列,設已知,,則____________,數(shù)列的前項和為,若不等式對任意的恒成立,則的最大值為___________.【答案】;【解析】因為,則,則,由,,所以,解得,所以,所以,由,所以,所以,即數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列,所以,,因為對任意的恒成立,又且單調遞增,所以對任意的恒成立,令,,根據(jù)對勾函數(shù)的性質可得在上單調遞減,在上單調遞增,又,且,,所以,所以的最大值為.

故答案為:;四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù),且.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的極值.解:(1)由題設,則;,則,所以點處的切線方程為,即;(2)由(1),由,有或,由,有,故區(qū)間上單調遞增,在上單調遞減,所以的極小值為,極大值為.18已知直線:和圓:.(1)求圓C的圓心坐標和半徑;(2)求經過圓的圓心且與直線垂直的直線方程.解:(1)圓可化為,則圓心為,半徑為2;(2)設與直線垂直直線的方程為已求出圓的圓心坐標為,又因為直線經過圓心,所以,即,故所求直線方程為19.已知等比數(shù)列的前項和為,,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知,求數(shù)列的前項和.解:(1)因為數(shù)列是等比數(shù)列,設公比為,且成等差數(shù)列,所以,解得,所以;(2)把代入,化簡得,則①由①得②由①②得;化簡得,解得.20.如圖,平面,,,,,,點E,F(xiàn),M分別為,,的中點.(1)求證:平面;(2)求平面與平面的夾角的大小.解:(1)連接,因為,所以,又,所以為平行四邊形,因為點分別為的中點,所以,因為為的中點,所以,則,所以四邊形為平行四邊形,則,又因為面,面,所以平面.(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,則設平面的法向量為,則,令,則,即,設平面的法向量為,則令,則,即,設平面與平面所成夾角為,則,所以平面與平面所成夾角為21.在直角坐標系中,已知橢圓的左右焦點分別為,,離心率是,點P為橢圓短軸的一個端點,的面積是.(1)求橢圓的方程;(2)若動直線與橢圓交于兩點,且恒有,是否存在一個以原點為圓心的定圓,使得動直線始終與定圓相切?若存在,求出圓的方程,若不存在,請說明理由.解:(1)依題意可得,,又,解得,所以橢圓方程為(2)存在,其定圓的方程是.設原點到直線的距離為,當直線斜率不存在時,設直線的方程為,由,可知為等腰直角三角形,則可設,∴,即,此時,當直線的斜率存在時,設直線的方程為,∴,整理得,聯(lián)立方程,可得,此時,,∴即恒成立,即恒成立,所以,即,所以定圓的方程是;綜上,當時,存在定圓始終與直線相切,其方程是.22.已知函數(shù),,.(1)討論函數(shù)的單調性;(2)設,若存在零

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