江蘇省常州市溧陽市2023-2024學年高一上學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市溧陽市2023-2024學年高一上學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解不等式，得，即，而，所以.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)，為了得到的圖象，只需將的圖象（）A.向右平移個長度單位 B.向左平移個長度單位C.向右平移個長度單位 D.向左平移個長度單位【答案】D【解析】因為，所以為了得到的圖象，只需將的圖象向左平移個長度單位，故C錯誤，D正確；若把的圖象向右平移個單位，則所得圖象的解析式為，若把的圖象向左平移個單位，則所得圖象的解析式為，AB錯誤.故選：D.4.已知函數(shù)，若，則的值是（）A. B.3或 C.或 D.3或或【答案】A【解析】函數(shù)，由，得，解得；或，無解，所以的值是.故選：A.5.已知函數(shù)為奇函數(shù).則（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因為奇函數(shù)，所以，即，得到，所以，當時，的定義域為關于數(shù)0對稱，符合意義，所以.故選：B.6.在一次數(shù)學實驗中，某同學運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：在四個函數(shù)模型（為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關系的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題，作出散點圖如下，由散點圖可知，散點圖和對數(shù)函數(shù)圖象接近，可選擇反映函數(shù)關系.故選：C.7.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，的定義域為，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B，的定義域為，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，設的定義域為R，為奇函數(shù)，因為在R上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，的定義域為R，在定義域內(nèi)的單調(diào)性有增有減，故D錯誤.故選：C.8.已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)，記，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，，因此函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，顯然，即，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.9.下列結(jié)論正確的有（）A.化成弧度是 B.函數(shù)的周期為C.第四象限角不一定是負角 D.圓心角為，半徑為2的扇形面積為【答案】BCD【解析】對于選項A，因為，所以選項A錯誤，對于選項B，因為的周期為，所以選項B正確，對于選項C，因為第四象限角為，當時，均為正確，所以選項C正確，對于選項D，因為扇形的圓心角為，半徑為2，所以，所以選項D正確.故選：BCD.10.下列判斷正確的是（）A. B.若，則C. D.【答案】AB【解析】對于A，，A正確；對于B，由，得，所以，B正確；對于C，，則，C錯誤；對于D，，而，因此，即，D錯誤.故選：AB.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，的最小值為B.當時，的值域為C.的圖象與直線不可能有3個交點D.若，則方程只有1解【答案】BCD【解析】對于A，當時，取，，當時，，故A錯誤；對于B，當時，，若時，，，當且僅當，即時取等，若時，，，當且僅當，即時取等，所以的值域為，故B正確；對于C，要求的圖象與直線的交點個數(shù)，即令，即，即，即與在的交點個數(shù)，如下圖，與在的最多有2個交點，故C正確.對于D，若，則，若時，，，當且僅當，即時取等，若時，，，當且僅當，即時取等，所以的值域為，而，而當時，，時，，所以，即，方程只有1解，故D正確.故選：BCD.12.對于定義在上的函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得，那么稱是函數(shù)的一個不動點.則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有且只有1個不動點B.函數(shù)有且只有1個不動點C.函數(shù)有2個不動點D.函數(shù)有3個不動點【答案】BCD【解析】對于選項A，因為，由，解得或，所以有兩上不動點，所以選項A錯誤，對于選項B，因為，由，得到，令，易知區(qū)間上單調(diào)遞增，又當時，，所以選項B正確，對于選項C，因為，由，得到，當時，，當時，，所以和是的兩個不動點，在同一坐標系中，作出的圖象，由圖知，只有兩個不動點，所以選項C正確，對于選項D，因為，由，令，在同一坐標系中，作出的圖象，由圖知，與有三個交點，即有三個不動點，所以選項D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域為_____________________.【答案】【解析】函數(shù)有意義，，解得，所以所求函數(shù)的定義域為.14.寫出一個在區(qū)間上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)的冪函數(shù)：_____________________.【答案】（答案不唯一，寫一個即可）【解析】因為冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，所以冪函數(shù)可以為.（答案不唯一，寫一個即可）15.若存在滿足，則的取值范圍為_________________________.【答案】【解析】存在滿足，則，令，因在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.故的取值范圍為：.16.已知函數(shù)，則不等式的解集為_________________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為或，關于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，又當時，，令，根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”可知在上單調(diào)遞增，任取，，因為，所以，，所以，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由對稱性知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以，解得.所以原不等式的解集為.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）判斷元素，與集合的關系，并說明理由；（2）求.解：（1）令，解得：，故；令，解得：，故；故，.（2）因為，，當為偶數(shù)，則，當為奇數(shù)，則，所以，所以.18.在平面直角坐標系中，點在角的終邊上.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）點在角的終邊上，，，，所以，，所以.（2）.19.已知函數(shù)．（1）若關于x的不等式的解集為，求a，b的值；（2）當時，解關于x的不等式．解：（1）由函數(shù)，不等式化為，由不等式的解集為，所以方程的兩根為1和2，由根與系數(shù)的關系知：，解得a＝2，b＝1.（2）b＝1時不等式，可化為，即；當a＞1時，解不等式得x＜1或x＞a；當a＝1時，解不等式得x≠1；當a＜1時，解不等式得x＜a或x＞1．綜上，a＞1時，不等式的解集為{x|x＜1或x＞a}；a＝1時，不等式的解集為{x|x≠1}；a＜1時，不等式的解集為{x|x＜a或x＞1}．20.函數(shù)的圖象如圖所示.（1）寫出的單調(diào)增區(qū)間（不用寫過程）；（2）求的值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有12個零點，求的值.解：（1）觀察圖象得：，函數(shù)的周期，則，，由，得，即，由，，得，因此，，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間是.（2）由（1）知，.（3）由（1）知，，當時，，依題意，，解得，而，所以.21.節(jié)約資源和保護環(huán)境是中國的基本國策.某化工企業(yè)，積極響應國家要求，探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為.設改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，第次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量，可由函數(shù)模型給出，其中是指改良工藝的次數(shù).（1）試求改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型；（2）依據(jù)國家環(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過，試問至少進行多少次改良工藝后，才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達標？（參考數(shù)據(jù)：取）解：（1）由題知，，所以當時，由，得到，解得，所以，所以改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型為.（2）由題有，整理得到，兩邊同時取常用對數(shù)得到，即，又，解得，又，所以至少進行7次改良工藝后，才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達標.22.中心對稱函數(shù)指的是圖形關于某個定點成中心對稱的函數(shù)，我們學過的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對稱函數(shù)，它的對稱中心為坐標原點.類比奇函數(shù)的代數(shù)定義，我們可以定義中心對稱函數(shù)：設函數(shù)的定義域為，若對，都有，則稱函數(shù)為中心對稱函數(shù)，其中為函數(shù)的對稱中心.比如，函數(shù)就是中心對稱函數(shù)，其對稱中心為.（1）判斷是否為中心對稱函數(shù)（不用寫理由），若是，請寫對稱中心；（2）若定義在上的函數(shù)為中心對稱函數(shù)，求的值；（3）判斷函數(shù)是否為中心對稱函數(shù)，若是，求出其對稱中心；若不是，請說明理由.解：（1）根據(jù)題意，的定義域為，，若對，都有，所以中心對稱函數(shù)，對稱中心為.（2）若定義在上的函數(shù)為中心對稱函數(shù)，明顯定義域僅關于點對稱