江蘇省蘇州市2024-2025學年高一上學期期中調(diào)研數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2024-2025學年高一上學期期中調(diào)研數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為集合，，則.故選：B.2.已知函數(shù)的定義域為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】函數(shù)中，，解得且，，因此是的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知命題，，若為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為命題，，且為真命題，則，解得.故選：D.4.已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，設，其中為常數(shù)，則，可得，則，所以，，當且僅當時，等號成立，故函數(shù)的值域為.故選：A.5.如圖所示，正方體容器內(nèi)放了一個圓柱形燒杯，向放在容器底部的燒杯注水（流量一定），注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿正方體容器，則正方體容器中水面上升高度與注水時間之間的函數(shù)圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】開始注水時，水注入燒杯中，水槽內(nèi)無水，高度不變；燒杯內(nèi)注滿水后，繼續(xù)注水，水槽內(nèi)水面開始上升，且上升速度較快；當水槽內(nèi)水面和燒杯水面持平以后，繼續(xù)注水，水槽內(nèi)水面繼續(xù)上升，且上升速度減慢.故選：D.6.已知，函數(shù)，若滿足關于的方程，則下列選項的命題中為假命題的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為滿足關于的方程，所以，使取得最小值，因此是假命題.故選：C．7.一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應不小于，而且這個比值越大，采光效果越好，則（）A.若一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為，則這所公寓的窗戶面積至少應該為B.若窗戶面積和地板面積在原來基礎上都增加了，公寓采光效果會變好C.若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果會變好D.若同時增加窗戶面積和地板面積，且增加的地板面積是增加的窗戶面積的8倍，公寓采光效果一定會變差【答案】C【解析】對于A，設該公寓窗戶面積為，則地板面積為，依題意，，解得，因此這所公寓的窗戶面積至少為，A錯誤；對于B，記窗戶面積為a和地板面積為b，窗戶增加的面積為，地板增加的面積為，而，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，公寓采光效果不變，B錯誤；對于C，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時增加的面積為c，，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，則，而，于是，即，同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了，C正確；對于D，記窗戶面積為a和地板面積為b，窗戶增加的面積為c，地板增加的面積為，而，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，則，若，則；若，則；若，則，因此無法判斷公寓的采光效果是否變差了，D錯誤.故選：C.8.設奇函數(shù)的定義域為，對任意的、，且，都有不等式，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對任意的、，且，都有不等式，不妨設，則，令，則，即函數(shù)在0，+∞上為增函數(shù)，因為函數(shù)為R上的奇函數(shù)，即f-x=-f則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在0，+∞上單調(diào)遞增，在因為，則，當時，即當時，由可得，則，解得；當時，即當時，由可得，則，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設全集，集合，，，則（）A.集合真子集個數(shù)是 B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A選項，集合的元素個數(shù)為，則集合的真子集個數(shù)是，A對；對于B選項，因為，，則，B對；對于C選項，因為全集，集合，，則，，則，C錯；對于D選項，由C選項可知，因為，，則，D對.故選：ABD.10.已知，若，則（）A.的最大值為B.的最小值為10C.的最大值為2D.的最小值為8【答案】AD【解析】對于A，，，則，當且僅當時取等號，A正確；對于B，，當且僅當時取等號，B錯誤；對于C，，，C錯誤；對于D，，當且僅當時取等號，D正確.故選：AD.11.設函數(shù)，則（）A.直線是曲線的對稱軸B.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則C.對，不等式總成立D.當時，【答案】BCD【解析】，畫出的圖象如下圖所示，A選項，由圖可知，不是的對稱軸，A選項錯誤；B選項，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，由圖可知，，B選項正確；C選項，對，，所以總成立，所以C選項正確；D選項，當時，，此時關于直線對稱，所以，成立.當時，，成立.當時，，，成立.綜上所述，當時，，D選項正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設，，，，若，則____________．【答案】【解析】，，，，，，，，，.13.已知是偶函數(shù)且，若，則______.【答案】【解析】設，則，因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為，則.14.設函數(shù)，若是函數(shù)的最小值，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】因為，當且時，則，這與矛盾，不合乎題意，所以，，因為二次函數(shù)的對稱軸為直線，當時，即當時，則函數(shù)在上為增函數(shù)，根據(jù)題意，則有，此時，；當時，即時，當時，，由題意可得，整理可得，解得，此時，不存在.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集為，集合.（1）若，求集合；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當時，或，而，所以.（2）由，得，則，解得，所以的取值范圍是.16.已知函數(shù)，其中.（1）若不等式的解集為，解關于的不等式；（2）解關于的不等式.解：（1）依題意，是不等式的解集，則是方程的二根，于是，解得，不等式為，因此，解得或，所以所求不等式的解集為.（2）不等式，當時，，解得；當時，，不等式無解；當時，，解得，所以當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.17.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且.（1）求的解析式及其值域；（2）求的值，并計算.解：（1）因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，解得，則，又因為，故，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，則，所以，則，所以，所以，函數(shù)值域為.（2），因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，因此，.18.某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為立方米，深為米.甲工程隊參與投標，給出的報價為：池底每平米的造價為元，池壁每平米造價為元.設總造價為元，池底一邊長為米，另一邊長為米.（1）若按照甲工程隊的報價，怎樣設計能使水池造價最低？最低造價是多少？（2）現(xiàn)有乙工程隊也參與投標，其給出的整體報價為元，其中，試問甲工程隊一定能中標嗎？（報價總低于對手即為中標）解：（1）由題意可知，水池的容積為，可得，甲工程隊的造價為（元），當且僅當時，即當時，等號成立，所以將貯水池的池底涉及為邊長為米的正方形時，總造價最低，最低造價是元.（2）若甲工程隊一定能中標成功，則對任意的、，不等式恒成立，即對任意的、，恒成立，因為，當且僅當時，等號成立，令，則，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，即當時，等號成立，所以，，所以，要使得甲工程隊一定能競標成功，則，又因為，所以，甲工程隊一定能競標成功.19已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性，并證明你的結論；（2）記.（i）討論在上的單調(diào)性，并說明理由.再請直接寫出在上的單調(diào)區(qū)間；（ii）是否存在這樣的區(qū)間，使得在上是單調(diào)函數(shù)，且的取值范圍是.若存在，求出區(qū)間；若不存在，請說明理由.解：（1）函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)是奇函數(shù).（2）（i），，由，得，當時，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（ii）由（i）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，假設存