江蘇省常州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.設(shè)全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?所以，，，，或，.故選：B.3.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.為偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增B.為偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減C.為奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增D.為奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故，定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為偶函數(shù)，又因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.故選：B.4.已知扇形的周長為，圓心角為，則扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)扇形半徑為，則，，所以.故選：D.5.設(shè)a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（）A. B.C. D.與的大小與的取值有關(guān)【答案】A【解析】由，且，即，可得，即.故選：A.6.“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充要條件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，定義域?yàn)?，，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充要條件是.故選：C.7.將正弦曲線向左平移個(gè)單位得到曲線，再將曲線上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫角€，最后將曲線上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線的．若曲線恰好是函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將正弦曲線向左平移個(gè)單位得到曲線的圖象；再將曲線上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫角€的圖象；最后將曲線上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線的的圖象.由于曲線恰好是函數(shù)的圖象.在區(qū)間上，，，.故在區(qū)間上的值域是.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖?，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令，且在單調(diào)遞減，所以的最小值為，可得，且，所以在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榇嬖冢瑵M足，則，所以，解得：.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9.若函數(shù)（其中且）的圖象過第一、三、四象限，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】函數(shù)（其中且）的圖象在第一、三、四象限，根據(jù)圖象的性質(zhì)可得：，即.故選：BD.10.下列不等式中，正確的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以，故B正確；對于C，對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以，故C正確；對于D，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以，故D正確.故選：BCD.11.若函數(shù)對于任意，都有，則稱具有性質(zhì)．下列函數(shù)中，具有性質(zhì)的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于任意，，故函數(shù)圖像應(yīng)該是上凸的，此時(shí)，如圖所示：或者函數(shù)圖像是一條直線，此時(shí)，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：ACD滿足條件.故選：ACD.12.已知函數(shù)（其中均為常數(shù)，且）恰能滿足下列4個(gè)條件中的3個(gè)：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．則這3個(gè)條件的序號(hào)可以是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】AB【解析】若①正確，則，解得；若②正確，則，，，故；若③正確，則，；若④正確，則，；對選項(xiàng)A：，取，，滿足條件，此時(shí)④不滿足，正確；對選項(xiàng)B：，取，，滿足條件，此時(shí)③不滿足，正確；對選項(xiàng)C：，，，不成立，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：相減得到，，則，，此時(shí)，整理的，，而，故不成立，錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】函數(shù)，則，所以.14.已知為第二象限角，且滿足，則______．【答案】【解析】，則，即，故，為第二象限角，故，，，解得，，故.15.已知在中，，若的內(nèi)接矩形的一邊在BC邊上，則該內(nèi)接矩形的面積的最大值為______．【答案】150【解析】如圖，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，交于點(diǎn)，設(shè)矩形與，分別交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，，由題意知，，所以，又因?yàn)椋?，所以，即，其中，矩形面積，，當(dāng)時(shí)，取得最大值150.16.設(shè)分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，若，則曲線與曲線在區(qū)間上的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為______．【答案】4047【解析】因?yàn)?，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù).所以，.所以，得到.則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù).由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易得為上的增函數(shù)，又，則，，故，所以的值域?yàn)?則與曲線為周期為的函數(shù)在區(qū)間上的交點(diǎn)，可以分為，兩部分進(jìn)行分析，則當(dāng)時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，則一共由2024個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，去掉在0處的交點(diǎn)，則一共有交點(diǎn)2023個(gè)交點(diǎn)，所以兩個(gè)函數(shù)一共有交點(diǎn)4047個(gè)交點(diǎn).四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）計(jì)算：；（2）已知，計(jì)算的值并證明．解：（1）.（2）因?yàn)椋?，，，因?yàn)?，，所以，且，所以，?18.設(shè)集合，集合，集合．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．解：（1）因?yàn)?，且，?dāng)，原不等式等價(jià)于，解得或，當(dāng)，原不等式等價(jià)于，無解，所以，，因?yàn)椋?，即，所以，所?（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，令，又在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過第四象限內(nèi)的點(diǎn)，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)榻堑氖歼厼閤軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過第四象限內(nèi)的點(diǎn)，，所以，且，解得.（2），因?yàn)椋?，所以原?20已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值及取最值時(shí)的值；（2）若的最小值為，求．解：（1）當(dāng)時(shí)，，令，，則，的圖象對稱軸為，開口向上，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，最大值為，所以在上的最小值為，此時(shí)，最大值為，此時(shí).（2）因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，且，所以，又，所?21.已知結(jié)論：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若對恒成立，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，反之亦然．特別地，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時(shí)為奇函數(shù)．設(shè)函數(shù)．（1）判斷在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）計(jì)算的值，并根據(jù)結(jié)論寫出函數(shù)的圖象的對稱中心；（3）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．解：（1）在上單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)，則，，則，故，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2），則，故函數(shù)的圖象的對稱中心為.（3）設(shè)，故奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，即，即，則在上恒成立，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即的最大值為.22.已知．（1）若為奇